專題五一次方程（組）（講義）——中考數(shù)學一輪復習備考合集考情分析命題點命題形式命題熱度命題特點一次方程（組）及其解法1.一元一次方程的解法☆在本專題中，一次方程（組）的解法和含參問題常以填空題和選擇題的形式考查，一次方程（組）的應(yīng)用一般與不等式和函數(shù)結(jié)合，重點考查方案設(shè)計等實際問題2.二元一次方程組的解法☆☆3.一次方程（組）的含參問題☆☆一次方程（組）的實際應(yīng)用4.一元一次方程的實際應(yīng)用☆☆5.二元一次方程組的實際應(yīng)用☆☆☆講解一：一元一次方程及其解法一、等式的基本性質(zhì)基本性質(zhì)如果，那么；如果，那么如果，那么對稱性如果，那么傳遞性如果，那么【方法技巧】判斷等式的變形是否正確的方法：當對等式兩邊加、減或乘同一個數(shù)（或式子）時，變形均正確；當對等式兩邊除以同一個數(shù)（或式子）時，要先判斷這個數(shù)（或式子）是否為0，若確定該數(shù)（或式子）不為0，則該變形正確，否則錯誤.二、一元一次方程的定義1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程.方程必須具備的兩個條件：①是等式；②含有未知數(shù).兩者缺一不可.2.只含有一個未知數(shù)（一元），未知數(shù)的次數(shù)都是1（一次）的整式方程叫做一元一次方程.它的標準形式為（是常數(shù)，且）三、一元一次方程的解法使方程中等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，只含有一個未知數(shù)（一元）的方程的解又叫做它的根.解一元一次方程的一般步驟如下：變形名稱具體做法變形依據(jù)注意事項去分母在方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù).當分母是小數(shù)時，要利用分數(shù)的基本性質(zhì)把小數(shù)化為整數(shù)等式的性質(zhì)2（1）不要漏乘不含分母的項（2）分子是一個多項式，去分母后加上括號去括號一般先去小括號，再去中括號，最后去大括號分配律，去括號法則不要漏乘括號里面的項，不要弄錯符號移項把含有未知數(shù)的項和常數(shù)項分別移至等號的兩側(cè)移項法則（等式的性質(zhì)1）移項要變號，不移項不要變號合并同類項把方程化為（其中）的形式合并同類項法則（1）系數(shù)相加（2）字母及指數(shù)不變系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為等式的性質(zhì)2（1）除數(shù)不為0（2）不要把分子分母顛倒【注意】1.去分母是為了簡化運算，若不使用，則合并同類項時需進行分數(shù)運算.2.去括號時，一般按從小到大的順序，但有時也可按從大到小的順序.3.解一元一次方程的一般步驟不一定每步都用到，也不一定按照從上到下的順序進行，要根據(jù)方程的特點選取適當?shù)牟襟E進行求解.命題精練命題形式1一元一次方程的解法1．（2024·海南·中考真題）若代數(shù)式的值為5，則x等于（）A．8 B． C．2 D．【答案】A解析：∵代數(shù)式的值為5，∴，解得，故選：A．2．（2023·湖南永州·中考真題）關(guān)于x的一元一次方程的解為，則m的值為（）A．3 B． C．7 D．【答案】A解析：把代入得：，解得：．故選：A．【題型解讀】主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．3.（2023·浙江衢州·中考真題）小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：解：+1，……(1)請在相應(yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯誤處．(2)寫出你的解答過程．【答案】(1)見解析；(2).解析：（1）解：+1，……（2）解：，去分母，得，，移項，得：，合并同類頁，得：，解得：．【題型解讀】此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號，移項合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解4.（2022·浙江杭州·中考真題）計算：．圓圓在做作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)題中有一個數(shù)字被墨水污染了．(1)如果被污染的數(shù)字是，請計算．(2)如果計算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．【答案】(1)-9(2)3解析：（1）解：；（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得，解得，所以被污染的數(shù)字是3．講解二：二元一次方程（組）及其解法一、二元一次方程（組）的相關(guān)概念類別定義二元一次方程含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的整式方程二元一次方程組由兩個二元一次方程組成的含有兩個未知數(shù)的方程組.二元一次方程組的解二元一次方程組中兩個方程的公共解二、二元一次方程組的解法解二元一次方程組的基本思路是消元.類別具體內(nèi)容代入消元法將方程組中一個方程中的某個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數(shù).適用于有一個方程中含某個未知數(shù)的系數(shù)為1或-1的情況加減消元法①當方程組中同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)（相同）時，把兩個方程相加（相減）消去其中一個未知數(shù)；②當系數(shù)既不互為相反數(shù)也不相同時，需先將兩個方程適當變形（將一組未知數(shù)的系數(shù)的絕對值化為相同）后，再通過相加（相減）消去其中一個未知數(shù)【注意】1.書寫方程組的解時，通常用“{”把各個未知數(shù)的值合寫在一起.2.檢驗一組數(shù)是否為方程組的解時，只需將這組數(shù)同時代入方程組即可.三、三元一次方程組的概念及其解法1.由三個方程組成，含有三個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1的方程組叫做三元一次方程組.2.三元一次方程組的解題思路：三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程.四、一次方程（組）含參問題的解題方法1.已知方程（組）的解確定參數(shù)的方法：①將方程(組)的解代人原方程(組)，得到關(guān)于參數(shù)的新的方程(組);②解關(guān)于參數(shù)的新的方程(組)，求出參數(shù)的值.2.根據(jù)方程（組）的解情況確定參數(shù)的方法：（1）用參數(shù)表示未知數(shù)：①用含有參數(shù)的代數(shù)式表示一次方程(組)的解；②根據(jù)一次方程(組)解的情況得到關(guān)于參數(shù)的新的方程(或不等式)；③解關(guān)于參數(shù)的新的方程(或不等式)，求出參數(shù)的值(或取值范圍).（2）運用整體思想求解二元一次方程組中的含參問題：①將兩個方程直接(或變形后)相加(或相減)得出兩個未知數(shù)之間的關(guān)系式；②將所得的關(guān)系式整體代人題目中所給的方程(或不等式)中；③解方程(或不等式)，求出參數(shù)的值(或取值范圍)（3）根據(jù)兩個方程（組）有相同的解確定參數(shù)的方法：①解不含參數(shù)的方程或?qū)⒉缓瑓?shù)的方程聯(lián)立后得到新的方程組；②將求得的解代入含參數(shù)的方程，求出參數(shù)的值.命題精練命題形式2二元一次方程組的解法1.（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）點在直線上，坐標是二元一次方程的解，則點的位置在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D解析：聯(lián)立方程組，解得，∴P的坐標為，∴點P在第四象限，故選∶D．【題型解讀】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的特征，解二元一次方程組等知識，聯(lián)立方程組，求出點P的坐標即可判斷．2.（2024·江蘇宿遷·中考真題）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x、y的方程組的解是．【答案】解析：把代入，得：，∵，∴，即：，，得：，∵方程組有解，∴，∴，把代入①，得：，解得：；∴方程組的解集為：；故答案為：．3.（2023·河南·中考真題）方程組的解為．【答案】解析：由得，，解得，把代入①中得，解得，故原方程組的解是，故答案為：．4.（2024·浙江·中考真題）解方程組：【答案】解析：①×3＋②得，解得，把代入①得，解得∴5.（2024·廣西·中考真題）解方程組：【答案】解：，得：，解得：，把代入①得：，∴方程組的解為：.【題型解讀】該題型主要考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的常用解法：代入消元法和加減消元法，觀察題目選擇合適的方法是解題關(guān)鍵．命題形式3二元一次方程組的含參問題1.（2023·四川南充·中考真題）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D解析：法一：，得，解得，將代入，解得，，，得到，，法二：得：，即：，∵，∴，，故選：D．【題型解讀】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進行求解即可.2.（2023·四川眉山·中考真題）已知關(guān)于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B解析：，得，，代入，可得，解得，故選：B．【題型解讀】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．3.（2022·山東聊城·中考真題）關(guān)于，的方程組的解中與的和不小于5，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A解析：把兩個方程相減，可得，根據(jù)題意得：，解得：．所以的取值范圍是．故選：A．【題型解讀】本題考查了根據(jù)解的情況求參數(shù)，熟練利用加減法整理代入是解題的關(guān)鍵．4.（2023·四川瀘州·中考真題）關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，寫出的一個整數(shù)值．【答案】7解析：將兩個方程相減得，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴的一個整數(shù)值可以是7．故答案為：7（答案不唯一）．【題型解讀】先解關(guān)于x、y的二元一次方程組的解集，再將代入，然后解關(guān)于a的不等式的解集即可得出答案．5.已知方程組與方程組的解相同，則，．【答案】解析：由已知可得解得把代入方程組得解得：故答案為：；．【題型解讀】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，熟練掌握方程組的解法是解本題的關(guān)鍵．聯(lián)立不含a與b的方程組成新方程組，求出x與y的值，再把x與y的值代入含a與b的方程組成方程組，求出a與b的值即可．講解三：利用一次方程（組）解決生活實際問題一、配套問題1.在配套問題中，配套的物品之間都具有一定的數(shù)量關(guān)系，這個數(shù)量關(guān)系可以作為列方程的依據(jù).2.生產(chǎn)配套問題中的基本相等關(guān)系：加工（或生產(chǎn)）的各種零件、配件的總數(shù)量比等于一套組合件中各種零件、配件的數(shù)量比.3.調(diào)配問題中的基本相等關(guān)系：指從甲處調(diào)一些人（或物）到乙處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系，或從第三方調(diào)入一些人（或物）到甲、乙兩處，使之符合一定的數(shù)量關(guān)系，其基本相等關(guān)系為：甲人（或物）數(shù)+乙人（或物）數(shù)=總?cè)耍ɑ蛭铮?shù).【注意】生產(chǎn)配套問題的關(guān)鍵是理解配套方式，若配套的方式以比例形式出現(xiàn)，則生產(chǎn)總量的比例等于一套的比例；若配套的方式給出數(shù)量，如件A產(chǎn)品與件B產(chǎn)品配套，則相等關(guān)系是“A產(chǎn)品的件數(shù)=B產(chǎn)品的件數(shù)”二、工程問題1.基本關(guān)系式：，，. 2.找相等關(guān)系的方法一般有如下規(guī)律：在工作量、工作效率、工作時間這三個量中，如果一個量已知，從另一個設(shè)元，那么就從第三個量找相等關(guān)系列方程.【注意】1.當問題中總工作量未知而又不求總工作量時，統(tǒng)稱把總工作量看做整體1.2.常見的相等關(guān)系為：總工作量=各部分工作量之和三、銷售問題1.在現(xiàn)實生活中，購買商品和銷售商品時，經(jīng)常遇到的幾個量：進價、標價、售價、折扣、利潤、利潤率.2.相關(guān)的相等關(guān)系（1）；（2）；（3）；（4）【注意】當售價相同，盈利率與虧損率也相同時，其結(jié)果一定是虧損，因為盈利商品的進價一定小于售價，虧損商品的進價一定大于售價，而盈利的錢數(shù)=盈利商品的進價×盈利率，虧損的錢數(shù)=虧損商品的進價×虧損率，故虧損的錢數(shù)大于盈利的錢數(shù).四、積分問題在比賽積分問題中，基本相等關(guān)系有：參賽場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)比賽總積分=勝場積分+負場積分+平場積分【注意】（1）比賽中的積分與勝負場數(shù)有關(guān)，同時也與比賽積分規(guī)則有關(guān)，需先弄清“勝一場積幾分，平一場積幾分，負一場積幾分”.（2）在積分規(guī)則中，一般規(guī)律為：勝場積分>平場積分>負場積分，據(jù)此可粗略判斷解題的結(jié)果是否正確.（3）所謂比賽中的積分問題是指一種題目類型，其問題情境不一定是比賽.五、列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審：認真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關(guān)系（2）設(shè)：恰當?shù)卦O(shè)未知數(shù)（3）列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列方程組（4）解：解方程組，求出未知數(shù)的值（5）驗：檢驗所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實際意義（6）答：寫所答【注意】找等量關(guān)系的方法（1）抓住題目中的關(guān)鍵詞，常見的關(guān)鍵詞有：“比”“是”“等于”等；（2）根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系，如體積公式、面積公式等，找等量關(guān)系；（3）挖掘題目中的隱含條件，如飛機沿同一航線航行，順風航行與逆風航行的路程相等；（4）借助列表格、畫線段示意圖等方法找等量關(guān)系命題精練命題形式4一元一次方程的實際應(yīng)用1.（2024·廣東廣州·中考真題）某新能車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意，可列方程為（）A． B．C． D．【答案】A解析：設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)題意得：，故選：A．【題型解讀】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找出題目中的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)該車企去年5月交付新車輛，根據(jù)“今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛”列出方程即可．2．（2024·廣西·中考真題）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學著作，其中記載了一個問題，大致意思為：現(xiàn)有田出租，第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢．問：出租的田有多少畝？設(shè)出租的田有x畝，可列方程為（）A． B．C． D．【答案】B解析：根據(jù)題意，得，故選：B．【題型解讀】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)“第一年3畝1錢，第二年4畝1錢，第三年5畝1錢．三年共得100錢”列方程即可．3.（2024·福建·中考真題）今年我國國民經(jīng)濟開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費增長較快，第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，求去年第一季度社會消費品零售總額．若將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，則符合題意的方程是（）A． B．C． D．【答案】A解析：將去年第一季度社會消費品零售總額設(shè)為億元，根據(jù)題意得：，故選：A．【題型解讀】本題主要考查了列一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，根據(jù)今年第一季度社會消費品零售總額120327億元，比去年第一季度增長，列出方程即可．4.（2024·貴州·中考真題）在元朝朱世杰所著的《算術(shù)啟蒙》中，記載了一道題，大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，則快馬追上慢馬需要的天數(shù)是．【答案】20解析∶設(shè)快馬追上慢馬需要x天，根據(jù)題意，得，解得，故答案為：20．【題型解讀】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)快馬追上慢馬需要x天，根據(jù)快馬走的路程等于慢馬走的總路程，列方程求解即可．5.（2024·北京·中考真題）為防治污染，保護和改善生態(tài)環(huán)境，自2023年7月1日起，我國全面實施汽車國六排放標準6b階段（以下簡稱“標準”）.對某型號汽車，“標準”要求類物質(zhì)排放量不超過，，兩類物質(zhì)排放量之和不超過.已知該型號某汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為.經(jīng)過一次技術(shù)改進，該汽車的類物質(zhì)排放量降低了，類物質(zhì)排放量降低了，，兩類物質(zhì)排放量之和為，判斷這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量是否符合“標準”，并說明理由.【答案】符合，理由見詳解解析：設(shè)技術(shù)改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，由題意得：，解得：，∵，∴這次技術(shù)改進后該汽車的類物質(zhì)排放量符合“標準”．【題型解讀】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．設(shè)技術(shù)改進后該汽車的A類物質(zhì)排放量為，則B類物質(zhì)排放量為，根據(jù)汽車的，兩類物質(zhì)排放量之和原為建立方程求解即可．6.（2024·陜西·中考真題）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成剩余的打掃任務(wù)．小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．【答案】小峰打掃了．解：設(shè)總工作量為1，小峰打掃了，爸爸打掃了，則小峰打掃任務(wù)的工作效率為，爸爸打掃任務(wù)的工作效率為，由題意，得：，解得：，答：小峰打掃了．【題型解讀】本題是一道工程問題的應(yīng)用題．設(shè)小峰打掃了，爸爸打掃了，根據(jù)總工作量=各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．命題形式5二元一次方程組的實際應(yīng)用1.（2024·遼寧·中考真題）我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個頭，94條腿，問雞兔各多少只？設(shè)雞有只，兔有只，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．【答案】D解析：設(shè)雞有只，兔有只，由題意得：，故選：D．【題型解讀】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵