2024-2025學年廣東省江門市高二上學期9月月考數學檢測試題（A卷）一、單選題（本大題共8小題）1．直線的斜率及在軸上的截距分別為（

）A．， B．， C．， D．，2．已知向量，，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．3．已知直線，，若，則實數的值為（

）A．1 B． C． D．4．若如圖中的直線的斜率為，則（

）

A． B． C． D．5．已知三棱錐，點M，N分別為AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．6．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，已知等腰直角三角形ADE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是線段CD的中點，則BD與EF所成的角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數為（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多選題（本大題共3小題）9．空間直角坐標系中，已知，下列結論正確的有（

）A． B．若，則C．點A關于平面對稱的點的坐標為 D．10．已知直線：，，，則下列結論錯誤的是（

）A．直線恒過定點B．當時，直線的傾斜角為C．當時，直線的斜率不存在D．當時，直線與直線平行11．如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，F為的中點，如圖所示建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是（

）A．B．向量與所成角的余弦值為C．平面AEF的一個法向量是D．點D到平面AEF的距離為三、填空題（本大題共3小題）12．過點，且垂直于軸的直線方程是.13．設空間向量，，若，則＝．14．已知直線過點且與x軸、y軸分別交于兩點，O為坐標原點，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．在空間直角坐標系中，已知向量，，．(1)求，；(2)求平面的一個法向量．16．已知四邊形的頂點.(1)求斜率與斜率；(2)求證：四邊形為矩形.17．已知的兩頂點坐標為，，是邊的中點，是邊上的高．(1)求所在直線的方程；(2)求高所在直線的方程.18．如圖，是邊長為2的正三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形.已知.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．如圖，邊長為2的正方形中，點E是的中點，點F是的中點，將分別沿折起，使A?C兩點重合于點A′，連接.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案1．【答案】C【詳解】直線，即，故直線的斜率為，在軸上的截距為，故選：C.2．【答案】D【分析】根據空間向量的加減法、數量積以及模值坐標運算可判斷.【詳解】解：因為，，所以根據空間向量的加減法、數量積以及模值運算可判斷：對于選項A：，故A錯誤；對于選項B：，故B錯誤；對于選項C：，故C錯誤；對于選項D：，故D正確.故選：D3．【答案】A【分析】利用一般式下兩直線垂直的充要條件“”即可求解【詳解】由．故選：A．4．【答案】C【詳解】設直線的傾斜角分別為，顯然，且，所以，又在上單調遞增，故，所以.故選：C5．【答案】C【詳解】.故選：C.6．【答案】A【分析】根據給定條件，利用投影向量的定義求解即得.【詳解】向量，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故選：A7．【答案】D【詳解】因為平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，所以AE⊥平面ABCD，又平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），∴，，設BD與EF所成的角大小為α，則，即BD與EF所成的角的余弦值為，故選：D.8．【答案】A【詳解】因圖中是四個相同的正方體排成的正四棱柱，故在上的投影都是，所以，，即的值只有一個．故選：A.9．【答案】AB【分析】利用向量的坐標公式，模的計算公式，對稱點的坐標，及數量積公式依次計算即可得出結果.【詳解】，,，A正確,D錯誤.若，則,則,B正確，點A關于平面對稱的點的坐標為，故C錯誤，故選：AB.10．【答案】ACD【詳解】對于A，當時，，直線恒過定點，故A錯誤，對于B，當時，直線的斜率為，傾斜角為，故B正確，對于C，當時，直線的斜率為0，故C錯誤，對于D，當時，直線經過，兩點，故直線與直線重合，故D錯誤，故選ACD.11．【答案】BCD【分析】A選項，利用空間向量表示出，進而求出；B選項，利用空間向量夾角公式求解；C選項，利用數量積為0進行證明線線垂直，進而得到答案；D選項，利用點到直線的空間向量公式進行求解.【詳解】對于A，正方體中，，，，所以，故A錯誤；對于B，，，，故B正確；對于C，設，則，，而，所以平面的一個法向量是，故C正確；對于D，，則點D到平面AEF的距離為，故D正確．故選：BCD12．【答案】【詳解】依題意，過點，且垂直于軸的直線方程是故答案為：13．【答案】3【分析】根據空間向量共線得，再利用空間向量的坐標運算和向量模的定義即可得到答案.【詳解】，則顯然，，解得，則，，故答案為：3.14．【答案】【分析】先表示出直線的截距式，利用直線過點，得到，借助基本不等式，即可求得最小值.【詳解】直線與與x軸、y軸分別交于，可設直線的截距式，直線過點，，且，，當且僅當，即時，取得最小值.故答案為：.15．【答案】(1)，(2)（答案不唯一）【詳解】（1），，，，.（2）設平面的一個法向量為，則，即，令，得，，，所以平面的一個法向量為.16．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，即.（2）因為，所以.又因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以，所以四邊形為矩形.17．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由條件結合中點坐標公式求的坐標，利用點斜式求直線方程，再化為一般式即可；（2）根據垂直直線的斜率關系求直線的斜率，利用點斜式求直線方程，再化為一般式即可.【詳解】（1）因為是邊的中點，所以，所以直線的斜率，所以所在直線的方程為：，即，（2）因為是邊AB的中點，所以，因為是邊上的高，所以，所以，所以，因此高所在直線的方程為：，即.

18．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）通過添加輔助線，證明直線與直線垂直，進而可得二面角是直二面角，即平面與平面垂直；（2）利用等體積法求解，也可以根據垂直關系建立空間直角坐標系，求得相應直線的方向向量，再得到平面的法向量，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接，則，是二面角的平面角．在中，易知，又，．平面平面．（2）由（1）知兩兩垂直，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則．設是平面的法向量，則，得，取．則，故直線與平面所成角的正弦值為．【點睛】本題主要考查空間平面與平面垂直的證明及直線與平面所成的角，考查考生的空間想象能力及運算求解能力，考查的核心素養是直觀想象?數學運算．19．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在正方形中，有，則，又，平面，∴平面，而平面，∴；（2）方法一：∵正方形的邊長為2，點E是的中點，點F是的中點，∴，∴，∴，由（1）得平面，

∴分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則,∴，設平面的一個法向量為，則有，可取，令直線與平面所成角為，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為；方法二：連接交于點，連接，∵正方形中，點E是的中點，點F是的中點，∴，∴點G為的中點，則，又，∴，又平面，∴平面，又面，所以面平面，平面平面，∴在面的射影在上，則為直線與平面所成角，

由（1）可得，∴為直角三角形，在正方形中，，，易得，，又，∴，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.2024-2025學年廣東省江門市高二上學期9月月考數學檢測試題（B卷）一、單選題（本大題共8小題）1．將直線繞著原點逆時針旋轉，得到的新直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．已知直線l過點且方向向量為，則l在x軸上的截距為（

）A． B．1 C． D．53．直線x＋y－1＝0被圓x＋12＋y2＝3A．2B．2C．22D．44．已知圓，過x軸上的點P(1,0)向圓C引切線，則切線長為A．3 B．2 C．2 D．35．若圓和圓相切，則等于（

）A．6 B．7 C．8 D．96．離心率為2的雙曲線的漸近線方程是（

）A． B． C． D．7．橢圓中，以點為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C． D．8．已知，分別是橢圓的左，右焦點，若橢圓上存在點P，使，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若兩條平行直線：與：之間的距離是，則的可能值為（

）A． B． C． D．10．已知圓與圓，則（

）A．兩圓的圓心距為B．兩圓的公切線有3條C．兩圓相交，且公共弦所在的直線方程為D．兩圓相交，且公共弦的長度為11．已知分別是雙曲線的左右焦點，點是雙曲線上異于雙曲線頂點的一點，且向量，則下列結論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．的面積為1C．到雙曲線的一條漸近線的距離為2D．以為直徑的圓的方程為三、填空題（本大題共3小題）12．拋物線的焦點到準線的距離為．13．若圓上存在兩點關于直線對稱，則的最小值是.14．已知雙曲線的左焦點為，頂點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值等于.四、解答題（本大題共5小題）15．已知直線l經過點P(－2，5)，且斜率為.(1)求直線l的方程；(2)若直線m與直線l平行，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程．16．已知圓，直線.(1)判斷直線與圓的位置關系；(2)若直線與圓交于不同的兩點，且，求直線的方程.17．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1及直線l：y＝eq\f(3,2)x＋m.(1)當直線l與該橢圓有公共點時，求實數m的取值范圍；(2)求直線l被此橢圓截得的弦長的最大值．18．已知線段AB的端點B的坐標是，端點A在圓上運動．(1)求線段AB的中點P的軌跡的方程；(2)若點C在曲線上運動，點Q在x軸上運動，求的最小值．19．已知動點P(x，y)(其中x≥0)到定點F(1,0)的距離比點P到y軸的距離大1.(1)求點P的軌跡C的方程；(2)過橢圓C1：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1的右頂點作直線交曲線C于A，B兩點，其中O為坐標原點①求證：OA⊥OB；②設OA，OB分別與橢圓相交于點D，E，證明：原點O到直線DE的距離為定值．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意可知，直線方程可轉化為，從而，則直線的傾斜角，則直線逆時針旋轉后傾斜角為，即所得新直線的斜率為．故選：B.2．【答案】A【詳解】因為直線的方向向量為，所以直線斜率，又直線過點，所以直線方程為，即，令，得，所以在x軸上的截距為-1.故選：A3．【答案】B【詳解】由題意，得圓心為(－1,0)，半徑r＝3，弦心距d＝|?1+0?1|12所以所求的弦長為2r24．【答案】B【分析】根據圓的方程求出圓心和半徑,求出的值，根據切線的長為,計算求得結果.【詳解】圓,即，表示以C(1,3)為圓心，半徑R＝1的圓．|PC|＝＝3，故切線的長為＝2，故選B．【點睛】本題主要考查圓的方程與性質，以及切線長公式的應用，屬于中檔題.過點向圓作切線（為切點），則切線長.5．【答案】C【詳解】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．6．【答案】C【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，則，即，∴雙曲線的漸近線方程為，即．故選：C．7．【答案】C【詳解】設弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2)，代入橢圓得，兩式相減得，即，即，又即，即，所以弦所在的直線的斜率為，故選C.8．【答案】B【詳解】因為橢圓上存在點P，使，所以以原點為圓心以c為半徑的圓與橢圓有交點，即，所以，又因為，所以，即，又因為，所以，所以橢圓的離心率e的取值范圍為故選：B.9．【答案】AB【分析】由兩直線平行可得n，再利用平行直線間的距離公式計算可得m，相加即可得到答案.【詳解】由題意，，，所以，所以：，即，由兩平行直線間的距離公式得，解得或，所以或.故選：AB.【點睛】本題考查兩直線的位置關系以及平行直線間的距離公式，考查學生的數學運算能力，是一道容易題.10．【答案】AC【詳解】對于A，圓的圓心為，半徑為與圓的圓心為，半徑為，故兩圓的圓心距為，A正確；對于B，由于，即圓與圓相交，兩圓的公切線有2條，B錯誤；對于C，由B可知兩圓相交，將圓與圓的方程相減，得，即公共弦所在的直線方程為，C正確；對于D，由B可知兩圓相交，而，到直線的距離為，故兩圓公共弦的長度為，D錯誤，故選：AC11．【答案】AB【解析】由雙曲線方程求出的值，得到左右焦點的坐標，漸近線方程，由求出點的橫縱坐標的關系，可求出點的坐標，進而可判斷各選項【詳解】解：對于A，由得，所以雙曲線的漸近線方程為，所以A正確；對于B，由雙曲線，可得，則，設，則，所以，得，因為點是雙曲線上，所以，解得，所以的面積為，所以B正確；對于C，到一條漸近線的距離為，所以C錯誤；對于D，由于，所以以為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為，所以圓的方程為，所以D錯誤，故選：AB12．【答案】【詳解】試題分析：由題意得，因為拋物線，即，即焦點到準線的距離為.考點：拋物線的性質．13．【答案】【詳解】由題可知圓的圓心為?1,1，若圓上存在兩點關于對稱，則說明直線過圓心，即，即，且，故.當且僅當，即時取得等號.故答案為：.14．【答案】6【分析】利用雙曲線的性質，得到，代入所求式子，結合兩點距離直線最短原理，計算最小值，即可．【詳解】結合題意，繪制圖像：根據雙曲線的性質可知，得到，所以，而，所以，所以最小值為6.【點睛】本道題考查了雙曲線的性質，考查了兩點距離公式，難度中等．15．【答案】(1)3x＋4y－14＝0(2)3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0【詳解】（1）由直線的點斜式方程得，整理得直線l的方程為3x＋4y－14＝0.（2）∵直線m與l平行，可設直線m的方程為3x＋4y＋c＝0，∴，即|14＋c|＝15.∴c＝1或c＝－29.故所求直線m的方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.16．【答案】(1)直線與圓相交；(2)直線的方程為或【詳解】（1）直線，整理得，令，解得即直線l過定點.將P點坐標代入圓C方程得，故P點在圓C內，直線與圓相交.（2）圓，整理得即，.因為，所以圓心C到直線l的距離為.又，所以故直線的方程為或.17．【答案】(1)[－3eq\r(2)，3eq\r(2)](2)eq\r(26)【詳解】(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．因為直線l與橢圓有公共點，所以Δ≥0，解得－3eq\r(2)≤m≤3eq\r(2).故所求實數m的取值范圍為[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]．(2)設直線l與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得x1＋x2＝－eq\f(6m,9)，x1x2＝eq\f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq\f(\r(13),3)·eq\r(－m2＋18)，當m＝0時，直線l被橢圓截得的弦長最大，最大值為eq\r(26).18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：設點P的坐標為，點A的坐標為，由