2024-2025學年度春學期三月份階段性檢測試卷高二數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設函數在處的導數存在，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據導數的定義求得正確答案.【詳解】.故選：D2.若函數的導數為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用基本初等函數的導數公式以及導數的運算法則即可求解.【詳解】由函數，則.故選：B【點睛】本題考查了基本初等函數的導數公式以及導數的運算法則，需熟記公式以及導數的運算法則，屬于基礎題.3.已知是的導數，的圖象如圖，則的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導函數的正負及變化規律即可判斷.【詳解】由的圖象可知，，所以的圖象單調遞增，因為的值先增大后減小，所以的切線的斜率先增大后減小，根據圖象可判斷A正確.故選：A.4.用充氣筒吹氣球，氣球會鼓起來，假設此時氣球是一個標準的球體，且氣球的體積隨著氣球半徑r的增大而增大.當半徑時，氣球的體積相對于r的瞬時變化率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】球的體積公式為，對其求導并代入計算即可【詳解】由球的體積公式可得，得，所以時，體積關于半徑的瞬時變化率為，故選：.5.是函數的導數，函數是增函數（是自然對數的底數），與的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函數是增函數，可得，化簡后可得答案【詳解】令，則，因為是增函數，所以，所以，所以，故選：D6.已知定義在上的函數的導數為，對任意的滿足，則下列判斷錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據已知等式構造新函數，利用新函數的單調性逐一判斷即可.【詳解】設，所以函數是實數集上的增函數.A：因為函數是實數集上的增函數，所以有，所以本選項判斷正確；B：因為函數是實數集上的增函數，所以有，所以本選項判斷正確；C：因為函數是實數集上的增函數，所以有，所以本選項判斷正確；D：因為函數是實數集上的增函數，所以有，因為不能判斷的正負性，所以不能判斷之間的大小關系，因此本選項判斷不正確，故選：D【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是利用構造新函數，進而利用新函數的單調性進行判斷.7.已知函數在區間上為單調遞增函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據題意得出在區間上恒成立，利用分離參數思想化為在上恒成立，求出的取值范圍即可．【詳解】∵函數在區間上為單調遞增函數，∴在上恒成立，即在上恒成立，由于函數在上單調遞減，所以，即實數的取值范圍是，故選：D8.設，，，則，，的大小順序為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據a、b、c的結構，構造函數，利用導數判斷單調性，即可比較出a、b、c的大小，從而可得到正確答案．【詳解】因為，，故構造函數，則，令，解得，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，又因為，，所以，．因為，又，所以，即，故，故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列導數運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據求導公式、運算法則和簡單復合函數的求導依次計算，即可求解.【詳解】A：，故A正確；B：，故B錯誤；C：，故C正確；D：，故D正確.故選：ACD10.下列命題中是真命題有（）A.若，則是函數的極值點B.函數的切線與函數可以有兩個公共點C.函數在處的切線方程為，則當時，D.若函數的導數，且，則不等式的解集是【答案】BD【解析】【分析】利用極值點定義，舉例判斷A；舉例判斷B；利用導數的極限定義判斷C;構造函數，利用單調性解不等式.【詳解】A：例如在處導數，但當時，函數單調遞增，當時，函數也單調遞增，故不是函數的極值點，故A選項錯誤；B：例如，，在點的切線與有兩個交點，故正確；C：根據導數的定義可知，，即，，故錯誤；D：令，則有，，故的解集是，故的解集是，正確；故選：BD.11.已知函數，則下列結論正確的是（）A.在區間上單調遞增 B.的最小值為C.方程的解有個 D.導函數的極值點為【答案】ABD【解析】【分析】利用導數分析函數的單調性與極值，數形結合可判斷ABC選項；利用函數的極值點與導數的關系可判斷D選項.【詳解】因為，該函數的定義域為，，令，可得，列表如下：減極小值增且當時，；當時，，作出函數的圖象如下圖所示：對于A選項，在區間上單調遞增，A對；對于B選項，的最小值為，B對；對于C選項，方程的解只有個，C錯；對于D選項，令，該函數的定義域為，，令，可得；令，可得.所以，函數的單調遞減區間為，遞增區間為，所以，函數的極值點為，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線與直線相切，則實數______．【答案】【解析】【分析】設出切點坐標，對函數進行求導，根據導數的幾何意義求出的值，代入曲線即可得切點坐標，將切點代入切線即可得的值.【詳解】設切點坐標為，∵，∴，又∵曲線與直線相切，∴，解得，∴，即切點坐標為，可得，解得，故答案為.【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義、切線方程，即函數在某點處的導數即為函數在該點處切線的斜率，切點既在曲線上又在切線上，即切點坐標滿足曲線方程，切點坐標滿足切線方程，屬于基礎題．13.函數的單調遞增區間是__________.【答案】【解析】【分析】求出函數的定義域，以及導函數，根據導函數的正負確定原函數的單調性，即可寫出單調增區間.【詳解】因為，則其定義域為，，令，即可得，解得，結合函數定義域可知，函數的單調增區間為.故答案為：.【點睛】本題考查利用導數求解函數單調性，屬基礎題；本題的易錯點是沒有注意到函數的定義域.14.三次函數，定義：設是函數的導數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.有同學發現：任意一個三次函數都有“拐點”，任意一個三次函數的圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.將這一發現作為條件，則對于函數，它的圖象的對稱中心為_______；_______.【答案】①.②.【解析】【分析】解方程可求得函數的對稱中心坐標，計算出，利用倒序相加法可求得結果.【詳解】，，則.令，得，又，故函數的圖象的對稱中心為，設為函數的圖象上任意一點.因為函數的圖象的對稱中心為，所以，點P關于的對稱點也在的圖象上，所以，，則，因此，.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數的圖象在點處的切線為．（1）求函數的解析式;（2）若曲線在點P處的切線與直線垂直，求點P的橫坐標．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用導數的意義求出切線的斜率，再利用切線方程求出即可；（2）由兩直線垂直得到斜率關系，再利用導數的意義求解即可；【小問1詳解】函數，，在點處的切線為，解得，所以【小問2詳解】設，則由題可知，即，所以P的橫坐標為2．16.已知函數.（1）求的單調區間；（2）求在區間上的最大值．【答案】（1）單調遞增區間為；遞減區間為（2）【解析】【分析】（1）利用導數判斷函數的單調性；（2）根據函數的單調性求最值.【小問1詳解】易知函數的定義域為，令，得或，令，得，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，∴函數的單調遞增區間為；遞減區間為.【小問2詳解】由（1）得，當時，函數單調遞增，當時，函數單調遞減，所以.17.設函數的導數滿足，.（1）求的單調區間；（2）在區間上的最大值為，求的值.（3）若函數的圖象與軸有三個交點，求的范圍.【答案】（1）遞增區間為，遞減區間為，（2）（3）【解析】【分析】（1）求函數的導數，根據條件建立方程組關系求出，的值，結合函數單調性和導數之間的關系即可求的單調區間；（2）利用導數求出函數在區間上的最大值，建立方程關系即可求的值.（3）根據的單調性求得極值，令極大值大于，極小值小于，解不等式即可求的范圍.【小問1詳解】由可得，因為，，所以，解得：，，所以，，由即可得：，由即可得：或，所以的單調遞增區間為，單減區間為和.【小問2詳解】由（1）知，在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，取得極小值，，，則在區間上的最大值為，所以.【小問3詳解】由（1）知當時，取得極小值，當時，取得極大值，若函數的圖象與軸有三個交點，則得，解得，即的范圍是.18.已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R).（1）當a＝時，求f(x)的極值；（2）討論函數f(x)在定義域內極值點的個數.【答案】（1）f(x)極大值＝ln2－1，無極小值；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）當a＝時，f(x)＝lnx－x，求導得到f′(x)＝－＝，然后利用極值定義求解.（2）由（1）知，函數定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0)，然后分a≤0和a>0兩種情況討論求解.【詳解】（1）當a＝時，f(x)＝lnx－x，函數的定義域為(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝2，于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表.x(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)ln2－1故f(x)在定義域上的極大值為f(x)極大值＝f(2)＝ln2－1，無極小值.（2）由（1）知，函數的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝(x>0).當a≤0時，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即函數(0，＋∞)上單調遞增，此時函數在定義域上無極值點；當a>0時，當x∈時，f′(x)>0，當x∈時，f′(x)<0，故函數在x＝處有極大值.綜上可知，當a≤0時，函數f(x)無極值點，當a>0時，函數y＝f(x)有一個極大值點，且為x＝.【點睛】本題主要考查導數與函數的極值以及極值點的個數問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19.已知函數（1）討論的單調性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發現式子特點后要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調區間；（2）根據第（1）問，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數滿足，則.由于，因此在有一個零點.從而可得的取值范圍為.試題解析：（1）的定義域為，，（ⅰ）若，則，所以在單調遞減.（ⅱ）若，則由得.當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.①當時，由于，故只有一個零點；②當時，由于，