第頁，共頁第17頁，共17頁海南省2024—2025學(xué)年高三學(xué)業(yè)水平診斷（三）數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一是符合題目要求的．1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求解.【詳解】由，可知拋物線的焦點(diǎn)在的正半軸上，又，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為.故選：B.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算及虛部概念即可求解；【詳解】，所以虛部為，故選：B3已知集合.，中（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由指數(shù)不等式化簡，再由交集、補(bǔ)集運(yùn)算即可求解；【詳解】，所以或，所以，故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕裕?故選：A5.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.12 B.16 C.20 D.22【答案】D【解析】【分析】由等差數(shù)列及前項(xiàng)和的性質(zhì)即可求解；【詳解】由，可得：，所以，又，故選：D6.在同一平面內(nèi)，向量滿足，則的最小值為（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】由題意用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出的最小值即可.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則由得，則，所以，所以，所以當(dāng)時，的最小值為3.故選：A7.若邊長為整數(shù)的正方形的四個頂點(diǎn)均在橢圓上，則的焦距為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意根據(jù)對稱性得點(diǎn)在上，代入的方程得，利用橢圓焦距的定義求解即可.【詳解】由對稱性可知，正方形的四個頂點(diǎn)必在直線上，由于橢圓在y軸上的兩頂點(diǎn)間的距離為2，所以正方形的邊長只能為1，因此點(diǎn)在上，代入的方程得，解得，故，所以的焦距為.故選：B8.已知是遞增的等比數(shù)列，若，則當(dāng)取得最小值時，（）A.B.1C.4D.16【答案】D【解析】【分析】由已知得，有，，及，則取得最小值等價于函數(shù)取得最小值，利用導(dǎo)數(shù)法得時，取得最小值，即可求解.【詳解】設(shè)公比為q，由得，，故，又因?yàn)槭沁f增的數(shù)列，所以，因?yàn)椋匀〉米钚≈档葍r于函數(shù)取得最小值，求導(dǎo)得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，此時.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知實(shí)數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】對于AD，可通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；對于BC，可通過特殊值判斷；【詳解】對于A，由函數(shù)單調(diào)遞增，可知當(dāng)，正確；對于B，取，可得，錯誤；對于C，取，顯然不成立，錯誤；對于D，等價于，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增可知：當(dāng)，，所以成立，正確；故選：AD10.須彌座是一種古建筑的基座形式，又名“金剛座”，通常用于宮殿、寺廟、塔、碑等重要建筑的基座部分，由多層不同形狀的構(gòu)件組成，具有很高的藝術(shù)價值.如圖所示，某古建筑的須彌座最下層為正六棱臺形狀，該正六棱臺的上底面邊長為3，下底面邊長為4，側(cè)面積為，則（）A.該正六棱臺的高為B.該正六棱臺的側(cè)面與下底面的夾角為C.該正六棱臺的側(cè)棱與下底面所成角的正弦值為D.該正六棱臺的體積為【答案】BCD【解析】【分析】先求出側(cè)面梯形的高進(jìn)而求解正六棱臺的高判斷A，利用正棱臺的特征及二面角的概念在直角梯形中求解判斷B，根據(jù)線面角的概念在直角梯形中求解判斷C，根據(jù)棱臺的體積公式求解判斷D.【詳解】如圖，分別是上,下底面中心，分別是棱中點(diǎn)，對于A，由已知可得每個側(cè)面等腰梯形的面積為，所以梯形的高為，由此可得該正六棱臺的高為，錯誤；對于B，由正棱臺的性質(zhì)及二面角的概念可知，側(cè)面與下底面的夾角為，因?yàn)樵谥苯翘菪沃校裕字獮殇J角，所以，正確；對于C，由正棱臺的性質(zhì)及二面角的概念可知，側(cè)棱與下底面所成角為，在直角梯形中，，得，所以，正確；對于D，該棱臺上底面面積，下底面面積，故棱臺的體積為，正確.故選：BCD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則下列說法正確的是（）A. B.是奇函數(shù)C. D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】對于A，令可判斷，對于B，分別令和可判斷，對于C，令，可判斷，對于D，令，通過累加可判斷；【詳解】對于A，令可得：，所以，正確；對于B，令，可得：，令可得：，即，所以，即是奇函數(shù)，正確；對于C：令，可得，由B可得：，所以，C錯誤；對于D，令，可得：，所以所以，，,累加可得：所以，化簡可得：，當(dāng)時，代入可得滿足，所以，則，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D，令，再累加求和；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若（為正常數(shù)）的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為81，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．【答案】24【解析】【分析】通過賦值，求得，進(jìn)而可求解；【詳解】令，由題意可得且，解得：，由通項(xiàng)公式可知：展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：2413.已知函數(shù)在上的最小值為，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】通過換元，問題轉(zhuǎn)換成在可取到，進(jìn)而可求解；【詳解】由，可得：，令由題意可知：在可取到，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可知需滿足：，解得，所以的最小值為，故答案為：14.某商場舉行有獎問答游戲，每名參加者要依次回答若干道題，若連續(xù)答對兩題則結(jié)束游戲，并獲得獎品，若連續(xù)答錯兩題也結(jié)束游戲，但不能獲得獎品，只要沒有出現(xiàn)連續(xù)答對或連續(xù)答錯的情況，就繼續(xù)答題．已知小明答對每道題的概率都為，則小明獲得獎品的概率為__________．【答案】【解析】【分析】設(shè)表示當(dāng)前已答對最后一題的情況下獲得獎品的概率；表示當(dāng)前已答錯最后一題的情況下獲得獎品的概率；由題意確定，的等式關(guān)系，求解即可；【詳解】設(shè)表示當(dāng)前已答對最后一題的情況下獲得獎品的概率；表示當(dāng)前已答錯最后一題的情況下獲得獎品的概率；由題意可得：，解得：，，所以小明獲得獎品的概率為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.記的內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）求；（2）若，求外接圓半徑的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及兩角和的正弦公式化簡得，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及特殊角的余弦值可得；（2）由正弦定理得外接圓的半徑，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得，即可得解.【小問1詳解】由正弦定理及可得，，因?yàn)椋裕裕驗(yàn)椋裕恍?詳解】由題意得三角形外接圓的半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，又因?yàn)椋瑒t由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，所以，即外接圓半徑的最小值為.16.如圖，將等腰直角三角形沿斜邊上的中線翻折，得到四面體．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由即可求證；（2）建系求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】由為等腰直角三角形斜邊上的中線，可得：，也即，又為平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面；【小問2詳解】由，可得，所以，所以，因?yàn)槠矫妫詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，以為軸和軸，過在平面作的垂線為軸建系，易知，則設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得：，所以，易知平面一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為；17.已知雙曲線的焦距為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時，．（1）求的方程；（2）若點(diǎn)都在的左支上，且以為直徑的圓與軸相切，求的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于，的方程，解出即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理利用直線與雙曲線交于左支求出，根據(jù)弦長公式求出，再根據(jù)以為直徑的圓與軸相切建立方程即可求解．【小問1詳解】因?yàn)楫?dāng)軸時，，所以點(diǎn)在曲線C上，所以，又的焦距為，所以，所以，解得（負(fù)根舍去），所以，所以的方程為；【小問2詳解】由題知，直線l的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消并整理得，因?yàn)橹本€與的左支交于兩點(diǎn)，所以，解得，所以，且，因?yàn)橐詾橹睆降膱A與軸相切，所以，所以，所以，結(jié)合，所以，解得，即的斜率為.18.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線．求；（2）若且函數(shù)只有一個極值點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解即可；（2）化簡得，根據(jù)和分類討論單調(diào)性，時，在上單調(diào)的遞增，不存在極值；時，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可求解；（3）參變分離得，設(shè)，則，同構(gòu)后換元，利用導(dǎo)數(shù)法求得的最小值為0，即可求解，【小問1詳解】由題意，得，則，由題意，解得；【小問2詳解】當(dāng)時，，，令，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)的遞增，所以函數(shù)不存在極值；當(dāng)時，令即，得，令，則恒成立，則在上單調(diào)的遞增，又，，所以存在唯一的，使得，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以僅在處取到極小值，符合題意.綜上，函數(shù)只有一個極值點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】由，參變分離得，設(shè)，則，因?yàn)椋裕睿驗(yàn)椋裕O(shè)，則，，當(dāng)時，，為減函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，所以，即的最小值為0，即，所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．19.在一個足夠大的不透明袋中進(jìn)行一個輪摸球試驗(yàn)，規(guī)則如下：每一輪試驗(yàn)時，袋中均有紅、黑、白三種顏色的球，從中隨機(jī)摸出一個球（摸出的球不再放回），若摸出紅球．則試驗(yàn)成功；若摸出白球，則試驗(yàn)失敗；若摸出黑球，則進(jìn)入判定環(huán)節(jié)：判定時，放回兩個黑球取出一個白球，再從中隨機(jī)摸出一個球，若為白球則試驗(yàn)失敗，否則試驗(yàn)成功．若試驗(yàn)成功，則結(jié)束試驗(yàn)，若試驗(yàn)失敗，則進(jìn)行下一輪試驗(yàn)，直至成功或輪試驗(yàn)進(jìn)行完．已知第輪試驗(yàn)開始時，袋中有1個紅球，個黑球，個白球．（1）求第1輪試驗(yàn)成功的概率；（2）某團(tuán)隊(duì)對這個試驗(yàn)進(jìn)行了一定的研究，請若干志愿者進(jìn)行了5輪試驗(yàn)，并記錄了第輪試驗(yàn)成功志愿者的比例，記，發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測試驗(yàn)輪數(shù)足夠大時，試驗(yàn)成功志愿者的比例；（3）記試驗(yàn)結(jié)束時，試驗(yàn)成功的概率為，證明：．參考數(shù)據(jù)：．附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）按照試驗(yàn)規(guī)則，分別求出直接摸出紅球和先摸出黑球且試驗(yàn)成功的概率，然后利用互斥事件概率加法公式求解即可；（2）先根據(jù)給定的回歸方程相關(guān)公式計算出，從而求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再根據(jù)試驗(yàn)輪數(shù)足夠大時x的變化趨勢預(yù)測試驗(yàn)成功志愿者的比例；（3）通過對試驗(yàn)成功概率的遞推關(guān)系進(jìn)行分析，利用放縮法證明即可.【小問1詳解】第1輪試驗(yàn)中有1個紅