圓與方程知識點2221、圓的標準方程:圓心C(a,b),半徑為r()()xaybr,，,,222、圓的一般方程:x，y，Dx，Ey，F,022DEDEF，,422表示圓，圓心C()半徑為,,,DEF，,,40222DE2222表示點();不表示任何圖形,,,DEF，,,40DEF，,,40223、過點求圓的切線方程(1)點在圓上(,)xy002222圓的方程為，切線方程xyr，,xxyyr，,002222圓的方程為，切線方程()()xaybr,，,,()()()()xaxaybybr,,，,,,0022圓的方程為，切線方程x，y，Dx，Ey，F,0xxyy，，00xxyyDEF，，，，,00022(2)點在圓外，設直線方程為即(,)xyyykxx,,,()kxykxy,,，,0000000d,rk由圓心到直線的距離求出(過圓外一點作圓的切線有2條)(3)點在圓內(,)xy0022224、圓與圓相交，CxyDxEyF:0，，，，,CxyDxEyF:0，，，，,11112222則公共弦的直線方程為()()()0DDxEEyFF,，,，,,121212r公共弦長，半徑，圓心到弦的距離(弦心距)滿足關系式:dll222()，,dr222225、圓與圓相交，CxyDxEyF:0，，，，,CxyDxEyF:0，，，，,11112222過兩圓交點的圓系方程可設為2222或xyDxEyFxyDxEyF，，，，，，，，，,,,,,()0(1)11122222xyDxEyFDDxEEyFF，，，，，,，,，,,,[()()()]0111121212若?C1與?C2交于A、B兩點，則直線AB稱為這兩個圓的根軸。經過A、B兩點的所有的圓形成一個圓系，這圓系內任何兩個圓的根軸均為直線AB，因此我們稱這種圓系為共軸圓系10、用坐標法解決幾何問題的步驟:(1)建立適當的平面直角坐標系，設點的坐標(2)找等量關系(3)將平面幾何問題轉化為代數問題;(4)化簡運算(5)檢驗得出結論222圓的切點弦方程:1.,(,)已知圓的方程求經過圓上一點的切線方程。xyrMxy，,002222【結論1】過圓上一點的切線方程xyrMxyxxyyr，,，,(,):。0000【方法】1.設出直線，再求解;2.利用軌跡思想，用向量或平面幾何知識求解。一、當點M在圓O上時，直線L是圓的切線。二、當點M在圓O外時，1.直線L不是圓O的切線，下面證明之:2r22?圓心O到L的距離為d,,由在圓O外,得x，y,rM(x,y)000022x，yy?，故直線L與圓O相交.d,r,y)M(xL00如圖1，設過點M的圓O的兩條切線為L,L,切點分別為A、12AB,22則直線MA:，直線MB:.xx，yy,rxx，yy,rox2211B?點M的坐標滿足直線MA與MB的方程,(x,y)00圖12,xx，yy,r,1010?,,2,xx，yy,r2010,2由此可見A、B的坐標均滿足方程，xx，yy,r00由于兩點確定一條直線2?直線AB的方程為。xx，yy,r00所以此時的直線L是經過點P的切點弦AB所在直線的方程，而不是圓O的切線。三、當點M在圓O內時，2r22d,?圓心O到L的距離為，由在圓O內,得x，y,rM(x,y)000022x，yyL?故直線L與圓O相離.d,rLP0AMoxB圖2xy00?直線L的斜率，而直線OM的斜率，kk,,,lomyx00?L,OM一方面，過點M與OM垂直的直線方程為L(x,x)x，(y,y)y,0,0000022即xx，yy,x，y00002,xx，yy,r00,，另一方面，將直線OM與L的方程聯立y,0y,x,x0,22xryr00得到它們的交點P的坐標為，(,)2222x，yx，y000022xryr200由(二)可知過點P的圓的切點弦所在直線的方程為，,x，,y,r2222x，yx，y000022即，即為直線的方程。xx，yy,x，yL00000由此我們看到?，直線L是由點M確定的。LL0例1求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與A(1,4)B(3,2)y,0P(2,4)圓的關系(解法一:(待定系數法)解法二:(直接求出圓心坐標和半徑)22例2求半徑為4與圓相切，且和直線相切的圓的方程(考y,0x，y,4x,2y,4,0慮要全面)例3求經過點，且與直線和都相切的圓的方程(A(0,5)x,2y,02x，y,0類型二:切線方程、切點弦方程、公共弦方程(兩相交圓方程相減得公共弦方程)22例5已知圓，求過點與圓相切的切線(，，O:x，y,4P2，4O22AMAMB例6、過圓外一點，作這個圓的兩條切線、，切點分別是、x，y,1M(2,3)BAB，求直線的方程。類型三:弦長、弧問題2222例7、求兩圓和的公共弦長x，y,x，y,2,0x，y,5類型四:直線與圓的位置關系2m例8、若直線與曲線y,4,x有且只有一個公共點，求實數的取值范圍.y,x，m22例9圓上到直線的距離為1的點有幾個,3x，4y,11,0(x,3)，(y,3),922，，10、過點作直線，當斜率為何值時，直線與圓，，，，有公P,3，,4C:x,1，y，2,4ll共點，類型五:圓與圓的位置關系2222例11:圓和圓的公切線共有條。x，y,2x,0x，y，4y,02212:求與圓外切于點，且半徑為的圓的方程.25x，y,5P(,1,2)類型六:圓中的對稱問題:自點發出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所，，A,3，3xxl22在的直線與圓相切(1)求光線和反射光線所在的直線方C:x，y,4x,4y，7,0l程((2)光線自到切點所經過的路程(A類型七:圓中的最值問題22例18:圓上的點到直線的最大距離與最小距離x，y,14,0x，y,4x,4y,10,0的差是2222例19(1)已知圓，為圓上的動點，求的最P(x,y)O:(x,3)，(y,4),1d,x，yO1大、最小值(y,222(2)已知圓，為圓上任一點(求的最大、最小值，求P(x,y)O:(x，2)，y,12x,1的最大、最小值((三角換元。數形結合)(x,2y2222PB(2,0)例20:已知，，點在圓上運動，則PA，PBA(,2,0)(x,3)，(y,4),4的最小值是.設P(x,y)BAAB類型八:軌跡問題例22、已知線段的端點的坐標是(4，3)，端點在圓22MAB(x，1)，y,4上運動，求線段的中點的軌跡方程.22AB例23如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線yy,2O:x，y,4BH上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡((四邊形是菱OC,ABCAOCH形(222AB例24已知圓的方程為，圓內有定點P(a,b)，圓周上有兩個動點、，使x，y,r222，求矩形的頂點的軌跡方程((，)PA,PBOM，AM,OAAPBQQ222222解法二:設、、，則，(Q(x,y)A