2025/3/22最優化方法1最優化方法授課教師：王艷秋生物數學教研室wangyq16@163.com2025/3/22最優化方法2舉例例1：對邊長為a的正方形鐵板，在四個角處剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解設剪去的正方形邊長為x，由題意易知，與此相應的水槽容積為要使其最大，則令得兩個駐點：因此，每個角剪去邊長為的正方形可使所制成的水槽容積最大．

2025/3/22最優化方法3舉例例2：某單位擬建一排四間的車庫，平面位置如圖所示．由于資金及材料的限制，圍墻和隔墻的總長度不能超過40m，為使車庫面積最大，應如何選擇長、寬尺寸？x2x1圖1.12025/3/22最優化方法4舉例解：設四間車庫長為，寬為.由題意可知面積為且變量，應滿足即求 2025/3/22最優化方法5舉例例3.（混合飼料配合）以最低成本確定滿足動物所需營養的最優混合飼料。設每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過1.2%的鈣;至少22%的蛋白質;至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養成分為：2025/3/22最優化方法6配料每磅配料中的營養含量(%)鈣蛋白質纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250舉例2025/3/22最優化方法7舉例解:設x1,x2,x3

是生產100磅混合飼料所需的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。第1章基本概念1.1最優化問題簡介1.2凸集和凸函數1.3最優性條件1.4

最優化方法概述2025/3/22最優化方法82025/3/22最優化方法9第1章基本概念

1.1最優化問題簡介（一）最優化（optimization

）的定義所謂最優化就是在眾多可行的方案或方法中找到最好的方案和方法。最優方案就是達到最優目標的方案。最優化方法就是搜尋最優方案的方法。

2025/3/22最優化方法10（二）最優化問題的數學模型實際問題—建立模型—分析求解模型—檢驗并評價模型求得最優解1.1最優化問題簡介重點2025/3/22最優化方法111.1最優化問題簡介建立最優化問題數學模型的三要素：

（1）決策變量。決策變量是由數學模型的解確定的未知量。（2）約束或限制條件。由于現實問題的客觀物質條件限制，模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內的約束條件，而這通常是用約束的數學函數形式來表示的。（3）目標函數。優化問題決策變量的一個數學函數，它用來衡量優化問題的效率，即優化問題追求的目標。2025/3/22最優化方法12模型的轉換1、2、1.1最優化問題簡介2025/3/22最優化方法131.1最優化問題簡介最優化問題的劃分（根據不同的性質對最優化有不同的劃分）：2025/3/22最優化方法141.1最優化問題簡介2025/3/22最優化方法151.1最優化問題簡介（三）基本概念1.約束最優化問題（1.1.1）是最優化問題的一般數學表現形式。只要在問題中存在任何約束條件，就稱為約束最優化問題。2025/3/22最優化方法161.1最優化問題簡介（1）等式約束最優化（2）不等式約束最優化（3）混合約束最優化：既有等式約束又有不等式約束的最優化問題。2025/3/22最優化方法171.1最優化問題簡介2.無約束最優化如果問題中無任何約束條件，則稱為無約束最優化問題。其數學模型為3.離散最優化

最優化模型中決策變量的取值為離散的最優化問題。4.連續最優化

最優化模型中決策變量的取值為連續的最優化問題。2025/3/22最優化方法181.1最優化問題簡介5.光滑最優化連續最優化模型中函數為光滑的最優化問題。即模型（1.1.1）中所有函數都是連續可微的。只要有一個函數非光滑的，則稱為非光滑最優化。6.線性規劃2025/3/22最優化方法191.1最優化問題簡介線性規劃問題的一般形式為：2025/3/22最優化方法201.1最優化問題簡介線性規劃問題的矩陣表示：2025/3/22最優化方法211.1最優化問題簡介7.二次規劃問題（它為非線性規劃問題）2025/3/22最優化方法221.1最優化問題簡介8.非線性最優化

模型（1.1.1）中的函數中有一個關于x是非線性的，就稱為非線性最優化問題。9.可行點（feasiblepoint）10.可行域（feasibleregion）所有可行點的全體稱為可行域。2025/3/22最優化方法231.1最優化問題簡介11、有效約束（activeconstraint）和無效約束（inactiveconstraint）2025/3/22最優化方法24例1.11.1最優化問題簡介2025/3/22最優化方法251.1最優化問題簡介13、有效集在一個可行點，所有有效約束的全體被稱為該可行點的有效集，記為14、可行域的內點15、可行域的邊界不是內點的可行點稱為可行域的邊界點2025/3/22最優化方法261.1最優化問題簡介15、最優解、嚴格最優解2025/3/22最優化方法271.1最優化問題簡介16、局部最優解、嚴格局部最優解則稱x*為最優化問題（1.1.1）的局部最優解，如果不等式嚴格成立，則稱為嚴格局部最優解。2025/3/22最優化方法281.1最優化問題簡介例1.2下圖中的決策變量哪些是局部極小解，哪些是嚴格局部極小解？2025/3/22最優化方法291.1最優化問題簡介17、凸規劃如果最優化問題的目標函數是凸的，可行域是凸集，則問題的任何最優解（不一定唯一）必是全局最優解，這樣的最優化問題稱為凸規劃。重點2025/3/22最優化方法301.2凸集和凸函數（一）凸集1、凸集的定義重點2025/3/22最優化方法312、凸集的例子1.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法323、凸集的性質1.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法331.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法341.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法35證明：（歸納法）由凸集的定義知當m=2顯然成立，假設當m=k時成立，驗證當m=k+1時成立。1.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法361.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法371.2凸集和凸函數（二）凸函數1、定義重點2025/3/22最優化方法381.2凸集和凸函數2025/3/22最優化方法391.2凸集和凸函數問題：什么樣的F是凸集，什么樣的函數是凸函數呢？重點2025/3/22最優化方法4