第二十八章銳角三角函數一、選擇題(每小題3分,共30分)1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,AC=3,則∠C的余弦值為(A)A.53 B.23 C.3552.如圖,數學活動小組利用測角儀和皮尺測量學校旗桿的高度,在點D處測得旗桿頂端A的仰角∠ADE為55°,測角儀CD的高度為1米,其底端C與旗桿底端B之間的距離為6米,設旗桿AB的高度為x米,則下列關系式正確的是(B)A.tan55°=6x-1 B.tan55°C.sin55°=x-16 D.cos553.如果30°<∠A<45°,那么sinA的取值范圍是(B)A.0<sinA<12 B.12<sinA<C.22<sinA<32 D.4.(2023長春)學校開放日即將來臨,負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩AB到地面,如圖.已知彩旗繩與地面形成25°角(即∠BAC=25°),彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米(即AC=32米),則彩旗繩AB的長度為(D)A.32sin25°米 B.32cos25°米 C.32sin25°米 D.5.(金華中考)一配電房示意圖如圖,它是一個軸對稱圖形.已知BC=6m,∠ABC=α,則房頂A離地面EF的高度為(B)A.(4+3sinα)m B.(4+3tanα)m C.(4+3sinα)m D.(4+6.如圖,BD是菱形ABCD的對角線,CE⊥AB于點E,交BD于點F,且點E是AB的中點,則cos∠BFE的值是(D)A.3 B.32 C.33 7.如圖,AB是☉O的直徑,弦AD,BC相交于點P,那么DCABA.sin∠APC B.cos∠APC C.tan∠APC D.18.(2023杭州)第二十四屆國際數學家大會會徽的設計基礎是中國古代數學家趙爽的“弦圖”.如圖,在由四個全等的直角三角形(△DAE,△ABF,△BCG,△CDH)和中間一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中,∠ABF>∠BAF,連接BE.設∠BAF=α,∠BEF=β,若正方形EFGH與正方形ABCD的面積之比為1∶n,tanα=tan2β,則n等于(C)A.5 B.4 C.3 D.29.(2023日照)日照燈塔是日照海濱港口城市的標志性建筑之一,主要為日照近海及進出日照港的船舶提供導航服務.數學小組的同學要測量燈塔的高度,如圖,在點B處測得燈塔最高點A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前進至C處測得最高點A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,則燈塔的高度AD大約是(結果精確到1m.參考數據:2≈1.41,3≈1.73)(B)A.31m B.36m C.42m D.53m10.如圖,在△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于點E,D是線段BE上的一個動點,則CD+55A.25 B.45 C.53 D.10二、填空題(每小題3分,共18分)11.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=1213,則tanB的值為51212.計算2sin45°+2cos30°+3tan60°的結果是2+43.

13.已知在△ABC中,∠A=45°,AB=42,BC=5,則△ABC的面積為2或14.

14.如圖,在由邊長為1的小正方形組成的正方形網格中,以格點為頂點的△ABC的面積等于32,則sin∠CAB=3515.如圖,我海軍艦艇在某海域C島附近巡航,計劃從A島向位于北偏東80°方向的B島直線行駛.測得C島在A島的北偏東50°方向,在B島的北偏西40°方向.A,B兩島之間的距離為80nmile,則C島到航線AB的最短距離約是34nmile.(參考數據:2≈1.4,3≈1.7.結果保留整數)

16.(樂山中考)如圖,已知點A(4,3),點B為直線y=-2上的動點,點C(0,n),-2<n<3,AC⊥BC于點C,連接AB.若直線AB與x軸正半軸所成的銳角為α,那么當sinα的值最大時,n的值為12三、解答題(共52分)17.(6分)計算:(1)(2024成都)16+2sin60°-(π-2024)0+|3-2|;(2)(2024德陽)3-8+(12)-2解:(1)16+2sin60°-(π-2024)0+|3-2|=4+2×32-1+2-=5+3-3=5.(2)3-8+(12)=-2+(2-1)-2-2×1=-2+22-1=-3+4=1.18.(8分)(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,求AB和AC的長;(2)在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,a=6,b=32,解這個直角三角形.解:(1)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=8,∴AB=BCsin60°=832=1633,∴AC=AB·cos60°=(2)在△ABC中,∠C=90°,a=6,b=32,∴tanA=ab=33,∴∠A=30∴c=2a=26,∠B=90°-∠A=60°,∴c=26,∠A=30°,∠B=60°.19.(8分)(2023內蒙古)為了增強學生體質,錘煉學生意志,某校組織一次定向越野拉練活動.如圖,A點為出發點,途中設置兩個檢查點,分別為B點和C點,行進路線為A→B→C→A.B點在A點的南偏東25°方向32km處,C點在A點的北偏東80°方向,行進路線AB和BC所在直線的夾角∠ABC為45°.(1)求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數;(2)求檢查點B和C之間的距離(結果保留根號).解:(1)由題意得∠NAC=80°,∠BAS=25°,∴∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75°.又∵∠ABC=45°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°,∴行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數為60°.(2)過點A作AD⊥BC,垂足為D,如圖.在Rt△ABD中,AB=32km,∠ABC=45°,∴AD=AB·sin45°=32×22BD=AB·cos45°=32×22在Rt△ADC中,∠ACB=60°,∴CD=ADtan60°=33∴BC=BD+CD=(3+3)km,∴檢查點B和C之間的距離為(3+3)km.20.(8分)(2024義烏期末)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=BC=5,sin∠ABD=45(1)求BD的長;(2)若點E是邊AC的中點,連接BE,求tan∠EBC的值.解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,在Rt△ABD中,∵sin∠ABD=ADAB=4∴AD=4,∴BD=52(2)∵BC=5,BD=3,∴CD=2.∵AB=BC,且點E是邊AC的中點,∴BE⊥AC,∴∠EBC+∠C=90°.又∵∠CAD+∠C=90°,∴∠EBC=∠CAD.在Rt△CAD中,tan∠CAD=CDAD=24=∴tan∠EBC=1221.(10分)(2023菏澤)無人機在實際生活中的應用越來越廣泛.如圖,某人利用無人機測量大樓的高度BC,無人機在空中點P處,測得點P距地面上A點80米,點A處的俯角為60°,樓頂C點處的俯角為30°,已知點A與大樓的距離AB為70米(點A,B,C,P在同一平面內),求大樓的高度BC(結果保留根號).解:如圖,過點P作PH⊥AB于點H,過點C作CQ⊥PH于點Q,而CB⊥AB,則四邊形CQHB是矩形,∴QH=BC,BH=CQ.由題意可得AP=80,∠PAH=60°,∠PCQ=30°,AB=70,∴PH=AP·sin60°=80×32=403,AH=AP·cos60°∴CQ=BH=AB-AH=70-40=30,∴PQ=CQ·tan30°=103,∴BC=QH=PH-PQ=403-103=303,∴大樓的高度BC為303米.22.(12分)(2024貴州一模)如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D是AC上一點,且AD=BD,設BC=a,CD=b,BD=c,∠A=α.(1)分別計算tanα和tan2α;(2)根據