大招9蒙日圓及其證明大招總結定理1曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓.定理1的結論中的圓就是蒙日圓.證明當題設中的兩條互相垂直的切線中有斜率不存在或斜率為0時,可得點的坐標是,或(.當題設中的兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時,可設點的坐標是,且,所以可設曲線的過點的切線方程是.由,得由其判別式的值為0,得因為是這個關于的一元二次方程的兩個根,所以由此,得進而可得欲證成立.定理2（1）雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓;（2）拋物線的兩條互相垂直的切線的交點是該拋物線的準線.定理3過圓上的動點作橢圓的兩條切線PA,PB,則證明:設點坐標由得由其判別式的值為0,得因為是這個關于的一元二次方程的兩個根,所以定理4設為蒙日圓上任一點,過點作橢圓的兩條切線,交橢圓于點A,B,O為原點,則OP,AB的斜率乘積為定值定理5設為蒙日圓上任一點,過點作橢圓的兩條切線,切點分別為A,B,O為原點,則OA,PA的斜率乘積為定值,且OB,PB的斜率乘積為定值垂徑定理)定理6過圓上的動點作橢圓的兩條切線,為原點,則PO平分橢圓的切點弦AB.證明:點坐標,直線OP斜率由切點弦公式得到AB方程,由點差法可知,OP平分AB,如圖是中點定理7設為蒙日圓上任一點,過點作橢圓的兩條切線,切點分別為A,B,延長PA,PB交伴圓于兩點C,D,則.證明:由性質2可知,為AB中點.由蒙日圓性質可知,,所以.同理.因此有,所以.典型例題(例1.)(2020春-安徽月考)已知點為直線上一點,PA,PB是橢圓的兩條切線,若恰好存在一點使得,則橢圓的離心率為解方法1:設,過點的切線方程為,聯立,得,直線與橢圓相切,,整理得,若切線PA,PB的斜率均存在,分別設為,,即,點在以為圓心,為半徑的圓上,即到直線的距離為,,解得,,若切線PA,PB分別與兩坐標軸垂直,則或或或,存在點,將其代入直線中,解得.綜上所述,.又,離心率.故答案為:.方法2:在方法1中,實際上證明了一遍蒙日圓,如果知道結論,可得的軌跡,且此圓與相忉.其中到直線的距離,解得,,又,離心率.故答案為.(例2.)(2020春-安徽月考)已知兩動點A,B在橢圓上,動點在直線上,若恒為銳角,則橢圓的離心率的取值范圍為解由結論可知:橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是冡日圓,若恒為銳角,則直線與圓相離,故,又,故答案為:.例3.已知.若直線上總存在點,使得過點的的兩條切線互相垂直,則實數的取值范圍是解).在下圖中,若小圓(其圓心為點,半徑為)的過點的兩條切線AB,AD互相垂直（切點分別為E,F）,得正方形AEOF,所以,即點的軌跡是以點為圓心,為半徑的圓.由此結論可得:在本題中,點在圓上.所認本題的題意即直線與圓有公共點,進而可得答案.例4.已知橢圓的一個焦點為,離心率為.（1）求橢圓的標準方程;（2）若動點為橢圓外一點,且點到橢圓的兩條切線相互垂直,求點的軌跡方程.解（1）依題意有故所求橢圓的標準方程為.（2）當兩條切線的斜率存在時,設過點的切線為.聯立消去得判別式,化簡得,即.依題意得,即(可由直接可得答案)(例5.已知橢圓的一個焦點為,離心率為.點為圓上任意一點,為坐標原點.（I）求橢圓的標準方程;（II）記線段OP與橢圓交點為,求|PQ|的取值范圍;（III）設直線經過點且與橢圓相切,與圓相交于另一點,點關于原點的對稱點為,試判斷直線PB與橢圓的位置關系,并證明你的結論.解（I）由題意可知,則,橢圓的標準方程:;（III）由題意可知:,設,,由,當時,,當時,,的取值范圍;（III）證明:由題意,點在圓上,且線段AB為圓的直徑,所以.分3種情況討論,（1）當直線軸時,易得直線PA的方程為,由題意,得直線PB的方程為,顯然直線PB與橢圓相切.（2）同理當直線軸時,直線PB也與橢圓相切.（3）當直線PA與軸既不平行也不垂直時,設點,直線PA的斜率為,則,直線PB的斜率,所以直線,直線,由,消去,得因為直線PA與橢圓相切,所以,整理,得同理,由直線PB與橢圓的方程聯立,得.（2）因為點為圓上任意一點,所以,即.代入（1）式,得,代入（2）式,得,.所以此時直線PB與橢圓相切.綜上,直線PB與橢圓相切.例6.(2021-安徽模擬)已知圓,橢圓的左,右焦點為,過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得弦長分別為1和.（I）求橢圓的標準方程;（II）如圖為圓上任意一點,過分別作橢圓兩條切線切橢圓于A,B兩點.（i）若直線PA的斜率為2,求直線PB的斜率；（ii）作于點,求證:是定值.解（I）由題意可得解得,所以橢圓的方程為.（II）（I）設,切線,則,由,化簡得,由得,設切線PA,PB的斜率分別為,則,又直線PA的斜率為2,則直線PB的斜率為.（II）當切線PA,PB的斜率都存在時,設,切線PA,PB的方程為,由（1）得又A,B點在橢圓上得,得,即,氻線PA,PB的方程為,又過,點,則,所直線AB的方程為,(可直接代?點弦方程)由的直線PQ的方程為,聯立直線AB方程為,解得,由得,點軌跡方程為,且焦,點恰為,故,當切線PA,PB的斜率有一個不存在時,易得.綜上,.自我檢測1.(2021-全國二模)已知雙曲線上存在一點,過點向圓做兩條切線MA,MB,若,則實數的取值范圍是(）A.B.C.D.答案：方法1:雙曲線上存在一點,過點向圓做兩條切線MA、MB,若,可知MAOB是正方形,,所以雙曲線的實半軸長的最大值為,所以.故選B.方法2:過點向圓做兩條切線MA、MB,若點軌跡即為蒙日圓,且此圓與雙曲線有公共點,所以.故選B2.給定橢圓,稱圓心在原點,半徑是的圓為橢圓的“準圓”.已知橢圓的一個焦點為,其短軸的一個端點到點的距離為.（I）求橢圓及其“準圓”的方程（II）若點是橢圓的“準圓”與軸正半軸的交點,B,D是橢圓上的相異兩點,且軸,求的取值范圍;（III)在橢圓的“準圓”上任取一點,過點作兩條直線,使得與橢圓都只有一個公共點,且分別與橢圓的“準圓”交于M,N兩點.證明:直線MN過原點.答案：（I）解:由題意知,解得,橢圓的方程為,其“準圓”為.（II）解:由題意,設,則有,又點坐標為,故,,又.的取值范圍是.（III）設,則,當時,,則其中之一斜率不存在,另一條斜率為0,.當時,設過且與有一個公共點的直線的斜率為,則的方程為,代人橢圓的方程,得:,即,由,得,其中,設的斜率分別為,則分別是上述方程的兩個根,.綜上所述,,是準圓的直徑,直線MN過原點.

3.已知是圓上的一個動點,過點作兩條直線,它們與橢圓都只有一個公共點,且分別交圓于點M,N（1）若,求直線的方程;（2）（1）求證:對于圓上的任意點,都有成立;（2）求面積的取值范圍.答案：(1)解:設直線的方程為,代人橢圓,消去,可得由,可得設的斜率分別為直線的方程分別為;(2)(1)證明:當直線的斜率有一條不存在時,不妨設無斜率與橢圓只有一個公共點,所以其方程為當的方程為時,此時與圓的交點坐標為,),所以的方程為(或成立,同理可證,當的方程為時,結論成立;當直線的斜率都存在時,設點,且設方程為,代人橢圓方程,可得由化簡整理得設的斜率分別為成立綜上,對于圓上的任意點,都有成立;(2)記原點到直線的距離分別為,面積.4.過點作橢圓兩條切線,若橢圓的兩條切線互相垂直,設圓心到切點弦的距離為到切點弦的距離為證明之積為常數.答案：證明:如圖所示,設橢圓方程為,那么在橢圓上A,B兩處切線的交點在圓,現設,那么AB的直線方程為.原點到切點弦AB的距離切線交點到切點弦AB的距離是所以(常數).5.(2021貴州模擬)已知橢圓是圓上的任意一點,MA,MB分別與橢圓切于A,B.求面積的取值范圍.答案：設,得,且由,得,從而將直線AB的方程與橢圓的方程聯立,得.所以,,因此,.又原點到直線AB的距離,所以令,得到6.(2021河北模擬)設橢圓的兩條互相垂直的切線的交點軌跡為,曲線的兩條切線PA,PB交于點,且與分別切于A,B兩點,求的最小值.答案：設兩切線為(1)當軸或軸時,對應軸或軸,可知;(2)當與軸不垂直且不平行時,,設的斜率為,則的斜率為的方程為,聯立,得,因為直線與橢圓相切,所以,得,,,所以是方程的一個根,同理是方程的另一個根,得,其中,所以點的軌跡方程為,因為滿足上式,綜上知:點的軌跡方程為.設,則在與中應用余弦定理知,,即,即令,則.且僅當,即時,取得最小.7.(衡水中學模擬)如圖,在平面直角坐標系xOy,設點是橢圓上一點,從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點P,Q.（1）若M點在第一象限,且直線OP,OQ互相垂直,求圓的方程;（2）若直線OP,OQ的斜率存在,分別記為.求的值;（3）試問是否為定值?若是求出該定值;若不是,說明理由.答案：(1)由圓的方程知圓的半徑,因為直線OP,OQ互相垂直,且和圓相切,所以,即又點在橢圓上,所以聯立(1)(2),解得,所以,所求圓的方程為.(2)因為直線和都與圓相切,(3)所以化簡得,因為點在橢圓上,所以,即,所以(3)(1)當直線OP,OQ不落在坐標軸上時,設,由(2)知,所以,故,因為,在橢圓上,所以即,所以;整理得,所以,所以.(2)當直線OP,OQ落在坐標軸上時,顯然有.綜上:結論：設點是橢圓上任意一點,從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點P、Q,直線OP,OQ的斜率分別記為.8.(2021年甘肅省張掖市肅南一中高考數學模擬)已知橢圓的離心率,且經過點,拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合.（I）過的直線與拋物線交于M,N兩點,過M,N分別作拋物線的切線,求直線的交點的軌跡方程;（II)從圓上任意一點作橢圓的兩條切線,切點為A,B,證明:為定值,并求出這個定值.答案：（I）設橢圓的半焦距為,則,即,則,橢圓方程為,將點的坐標代人得,故所求的橢圓方程為焦點坐標故拋物線方程為.設直線,代人拋物線方程得,則,由于,所以,故直線的斜率為的方程為同理的方程為,令,即,顯然,,即點的橫坐標是,點的縱坐標是即點,故點的軌跡方程是.(阿基米德三角形)（II）證明：(1)當兩切線的之一的斜率不存在時,根據對稱性,設點在第一象限,則此時點橫坐標為,代人圓的方程得點的縱坐標為,此時兩條切線方程分別為,此