基于數學綜合問題解決的

思維能力培養

2018.9.14

中國人民大學附屬中學

王宇解決綜合問題，學生的思維能力從哪里來？學生學習時的困惑·不能識別圖形中的基本幾何元素·不能根據條件和圖形獲得基本幾何結論·對于證明的目標找不到切入點.·做了很多題，但還是感覺迷茫.老師教學時的困惑·課時緊張，綜合問題只能考試前后講·講了很多題，其實學生掌握的并不多解決綜合問題，學生的思維能力從哪里來？化整為零，平時滲透結合規律，專題引導反饋練習，螺旋上升一、化整為零，平時滲透例1.圓的概念“到定點的距離等于定長的點的集合”追問：①到定點O的距離小于定長2的點的集合是什么②到定點C的距離大于等于2，且小于等于4的點的集合是什么？數形結合，軌跡思想例2.例題已知⊙O的半徑為3，點P在平面上，且OP=1，點Q在⊙O上，問PQ的最大與最小值.追問：點P為平面上一點，點Q在⊙O上，若PQ≤1，請問點P組成的集合是什么，怎樣描述？軌跡思想2017年北京中考29題例3.

關于圓中的角的關系每堂課都引導學生關注學到的角的關系例4.已知AB是⊙O的直徑，C為圓上一點，CE⊥AB于E，弦BD∥OC，求證∠OCD=∠BCE.

通過例題來講解基本結論的具體應用

圓周角定理直徑所對圓周角垂徑定理例5.講授切線的判定與性質問題1：怎樣利用判定定理證明切線？追問：①連半徑，證垂直，怎樣證明垂直？（證直角）②怎樣證直角？（導角）問題2：由切線性質可以得到什么結論？追問：從90°角出發我們可以獲得哪些信息？（導角，Rt△勾股）關注問題本質引導學生發散24．如圖，A，B，C三點在⊙O上，直徑BD平分∠ABC，過點D作DE∥AB交BC于點E，在BC的延長線上取一點F，使得EF=DE．（1）求證：DF是⊙O的切線；例6.

2018年1月海淀期末考試證切線—90°—導角直徑所對圓周角平行得到內錯角等DE=EF得到等腰底角等二、結合規律，專題引導

幾何問題的認知規律畫圖畫圖是幾何學習的基本功通過畫圖，學生初步了解圖形信息識圖先看圖，觀察圖形中的幾何元素再看條件，確認問題的已知信息猜想根據圖形條件，可能得到哪些結論按邊、角、三角形、四邊形……等分類整理推理去偽存真，嚴謹證明例7.圓的概念把基本功的訓練落實到平時例8.圓周角定理習題課追問：已知線段AB，平面內所有滿足∠ACB=30°的點C組成的圖形是什么，請畫出來.90°呢？例9.中考總復習專題課“垂直與平行”例10.2018年2月人大附中摸底例11.中考復習專題課《角》利用中考題，整理回顧經典的導角模型例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）如圖，等邊△ABC中，D是邊BC上的一點，∠BAD=α例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）（1）連接AD，點E是點B關于直線AD的對稱點，連接AE，BE，CE.

①

依題意補全圖形；

②

請問你可以得到哪些結論？開放式的問題設計，更關注學生的分析能力例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）（2）在（1）的條件下，將點C關于直線BE對稱，得到點F，連接EF，CF.

①依題意補全圖形；②請問你可以得到哪些結論？增加復雜度，螺旋式上升鍛煉學生能力例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）（3）再進一步，連接AF，延長FE與AD交于G，與AB交于H，請問你還可以得到哪些結論？例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）（4）回歸海淀二模27題，類比完成證明例12.一堂試卷講評課（2018.6海淀二模）例13.一堂交流課（2018.7陜西旬邑）問題簡單些適應不同層次的學生還想講哪些專題？拋磚引玉平行與垂直線段角幾何問題的形成與演化條件的發散與思索從結論出發的幾何方法整理

函數研究和學習的規律內容定義域、值域、最值、增減性、對稱性、圖象名稱、圖象位置……方法圖象法、解析式法、列表法特性課本所學三種函數的共性與特性動態參數的變化對于函數圖象的影響例14.中考總復習專題課《函數的性質》2016年海淀一模14題例15.專題課《如何從函數圖象中獲取信息》例16.總復習專