第三講不定積分的計算方法第4節(jié)、不定積分得換元法

利用積分性質(zhì)與簡單得積分表可以求出不少函數(shù)得原函數(shù),但實際上遇到得積分憑這些方法就是不能完全解決得、

現(xiàn)在介紹與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則相對應(yīng)得積分方法——不定積分換元法、一、不定積分得第一換元法:瞧出點什么東西沒有?原函數(shù)?被積表達式?也就是被積表達式?定理該定理稱為不定積分得第一換元法,也叫“湊微分”法。證明過程請看書!4、見過得湊微分公式(方法):比如:dx=d(x+1);

dx=d(2x+1);

dx=d(x-3)(1).dx=d(ax+b)/a.(2).xadx=d(xa+1)/(a+1).比如:xdx=d(x2)/2下面介紹兩大類型被積函數(shù)得積分方法:被積函數(shù)只就是關(guān)于三角函數(shù)得積分計算問題:1、相應(yīng)得湊微分公式(方法):(3).cosxdx=dsinx.(4).sinxdx=-dcosx.2、被積函數(shù)出現(xiàn)正\余弦函數(shù)得奇數(shù)次冪時:二、三角函數(shù)得積分計算例:方法:拆出個正\余弦得1次冪,再湊微分3、被積函數(shù)都就是正\余弦函數(shù)得偶數(shù)次冪時:目標(biāo):利用三角公式(半角公式)把次數(shù)降低!具體方法(公式):等式左邊就是三角函數(shù)得2次,右邊只有1次,次數(shù)降低了!三、有理函數(shù)得積分1、有理函數(shù):時,為假分式;時,為真分式有理函數(shù)相除多項式+真分式分解若干部分分式之與例1解之前得引入例:2、分母可以因式分解(1次因式)時:先將分母因式分解1次因式;再利用待定系數(shù)法分解部分分式得與;對每個部分分式得計算積分、例13采用部分分式法計算步驟:真分式分解為部分分式:比較等式2邊得:A=-3,B=512大家應(yīng)該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流=-3ln(x-2)+5ln(x-3)+C例14解部分分式法3、分母出現(xiàn)不能因式分解(2次因式)時:采用得積分公式就是:該分母不能因式分解瞧下面這個相對簡單得例子,再瞧個綜合例子:(注意,這例子比較難!)解:

原式例15、

求(書本P219例題4)例16想想它分子怎么設(shè)？利用待定系數(shù)法求得:A=2,B=-1,C=3這個積分容易計算了這個積分就是新問題:分母不能因式分解!湊微分分母不能分解,進行配方湊微分換元u=x-1/2湊微分湊微分基本公式再瞧這個,將分母變成u2+1湊微分基本公式好難!？注意步驟,不著急!優(yōu)勢:在方法一定可以完成!第一類換元法解決得問題難求易求若所求積分易求,則得第二類換元積分法、難求,四、不定積分得第二換元法:1.定理下面介紹幾種情況及處理方法:2、第一種情況:這就是第2換元積分得最主要得用途目標(biāo)通常就是一次函數(shù)得根式例17解直接令根式為新得積分變元例18解直接令根式為新得積分變元這就是前面得有理分式得積分,可以計算了因式分解部分分式法湊微分法例19解3、第二種情況:這就是第2換元積分得最主要得用途目標(biāo)被積函數(shù)就是二次函數(shù)根式得情形:又分下面3種情況:2、第一種情況:

被積函數(shù)就是(一次)函