專題06正余弦定理的應用十一種考法一、方法講解1.正弦定理的應用：=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：2.余弦定理的應用：（1）a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)（2）內角和定理：3.面積公式：（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）4.三角形內角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).5.三角形中的三角函數關系=1\*GB3①sin(A＋B)＝sinC；=2\*GB3②cos(A＋B)＝－cosC；=3\*GB3③sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；=4\*GB3④coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)6.三角形中的射影定理同理有：，．7.解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式解的個數一解兩解一解一解無解注：在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．二、重難點例題及變式類型一、正弦定理解三角形例．（1）在中，，，，則角的值為（）A． B．或 C． D．【答案】C【解析】由正弦定理，可得，且，可知角的值為.故選：C（2）中，角A，B，C所對的邊分別為已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在中，因為，則，由正弦定理，可得.故選：B【變式訓練1】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則.【答案】或【解析】在中，，則由正弦定理得，，得，因為，所以或，當時，，當時，故答案為：或【變式訓練2】在中，角所對的邊分別為，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以．故選：C.類型二、余弦定理解三角形例．（1）在中，角所對的邊分別為.若，則（）A．2 B．4 C．16 D．【答案】B【解析】在中，，由余弦定理得，解得.故選：B.（2）的內角所對邊分別為，若，則角的大小（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由余弦定理得，，因為，所以，由，所以，故選：D．【變式訓練1】在中，如果，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設，則，在中，由余弦定理得：.故選：A.【變式訓練2】在中，角所對的邊分別為，若，則（）A. B.2 C.1或2 D.2或【答案】C【解析】由余弦定理得，化簡得，解出或2.故選：C.類型三、邊角互化的應用例．（1）若的三個內角，，所對的邊分別為，，，，，則（）A． B． C． D．6【答案】B【解析】在中，，所以，所以，由正弦定理以及比例的性質可得：.故選：B（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得,由于，所以，故，故選：C【變式訓練1】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則角B=.【答案】/【解析】因為，由正弦定理，即，又因為，可得，、所以，因為，可得，所以，即，又因為，所以.故答案為：.【變式訓練2】在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，由正弦定理，因為，展開化簡，又.故選:B.類型四、三角形解的個數例．（1）根據下列情況，判斷三角形解的情況，其中有唯一解的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，由正弦定理可得：，所以，因為，所以，所以三角形有2解，故A錯誤；對于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形無解，故B錯誤；對于C，由正弦定理可得：，所以，因為，所以，則為鈍角，不成立，所以無解，故C錯誤；對于D，由正弦定理可得：，所以，因為，所以，所以此三角形只有唯一解,故D正確.故選：D.（2）在中，，，，若滿足條件的有且僅有一個，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理，則，即，由題意僅有一值，故或，解得或.故選：A【變式訓練1】在中，，，滿足此條件有兩解，則BC邊長度的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵有兩解，∴，∴，故選：D．【變式訓練2】在中，內角所對的邊分別為，則下列判斷正確的是（）A．，，，有兩解 B．，，，有一解C．，，，無解 D．，，，有一解【答案】C【解析】選項A：因為，故只有一解，故A錯誤；選項B：因，故有兩解，故B錯誤；選項C：因，故有兩解，故C錯誤；選項D：因，故無解，故D正確.故選：C類型五、判斷三角形的形狀例．（1）在中，內角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定【答案】B【解析】在中，已知由正弦定理得，所以即又，則，則，所以所以該三角形為等腰三角形.故選：B.（2）在中，若，則這個三角形是．【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形【解析】因為，所以，，，則，所以，，即，所以，，，即，整理可得，即或，因此，為等腰或直角三角形.故答案為：等腰或直角三角形.【變式訓練1】已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【解析】，即，故，，因為，所以，故，因為，所以，故為等腰直角三角形.故選：D【變式訓練2】在中，內角所對邊分別為，若，則的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】因為所以，整理得，即的形狀是等腰三角形.故選：B.類型六、三角形中的面積公式例．（1）記的內角的對邊分別為，若，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由余弦定理得，即，解得，所以三角形的面積為.故選：A（2）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的值為．【答案】/【解析】由，可得，解得，所以為等邊三角形，故外接圓直徑為所以．故答案為：【變式訓練1】在中，分別是角所對的邊，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，又由題知，所以，整理得到，，又由余弦定理，所以，所以，又，所以.故選：C.【變式訓練2】記的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，若的面積為，則c為______________．【答案】【解析】由余弦定理有，對比已知，可得，因為，所以，從而，又因為，即，注意到，所以.，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.故答案為：類型七、正、余弦定理的綜合運用例．（1）在中,內角所對的邊分別為，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據正弦定理得，所以，因為為三角形內角，則，則.故選：C.（2）在中，若，，，則，.【答案】【解析】由正弦定理，有，所以，由余弦定理，有，解得.故答案為：，.【變式訓練1】在中，角所對的邊分別為，已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理可得：，所以由余弦定理可得：，所以，再由正弦定理可得：.故選：D.【變式訓練2】已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，則__________．【答案】【解析】在中，，則，由余弦定理得，由正弦定理得，所以.故答案為：類型八、正、余弦定理與三角函數性質的結合應用例．已知函數.（1）若，求的值.（2）在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍.【答案】（1）;（2）【解析】（1）由可得：..（2）由余弦定理得：，整理可得：，，，又，，，，則，，即的取值范圍為【變式訓練1】已知，（1）若，求的值；（2）在三角形ABC中，若，求的最大值；【答案】（1）（2）【解析】（1）函數,因為，所以，所以，.（2）由，而，可得，即，所以，因為，所以,則，故當時，取最大值，最大值為．類型九、三角形周長與面積問題例．已知，，分別是的內角，，的對邊，且.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）10【解析】（1）在中，，由正弦定理得：，則，即，即，由正弦定理得，即；（2）由，得，則，得，由余弦定理得，即，整理得，即，解得，則，所以的周長為.【變式訓練1】在中，角，，所對的邊分別為，，，已知（1）求；（2）若，且的周長為，求的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得得，得由余弦定理得由正弦定理得所以，所以因為，所以.（2）因為，且的周長為，所以由余弦定理可得所以，解得，因此.【變式訓練2】已知函數．在中，，且．(1)求的大小；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）12【解析】（1）由函數，因為，可得，在中，因為，所以，又因為，所以，所以，解得，因為，所以.（2）由（1）知，因為的面積為，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以的周長為.類型十、解三角形在實際問題中的應用例．（1）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結合中國書法的藝術形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象?新夢想.某同學查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求.該同學取端點繪制了，如圖，測得，若點恰好在邊上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，在中，由余弦定理，；因為，所以，在中，由正弦定理，所以，解得，故選：C（2）在同一平面上有相距14公里的兩座炮臺，在的正東方.某次演習時，向西偏北方向發(fā)射炮彈，則向東偏北方向發(fā)射炮彈，其中為銳角，觀測回報兩炮彈皆命中18公里外的同一目標，接著改向向西偏北方向發(fā)射炮彈，彈著點為18公里外的點，則炮臺與彈著點的距離為（）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里【答案】D【解析】依題意設炮彈第一次命中點為，則，，，，在中，即，解得，所以，又為銳角，解得（負值舍去），在中，所以，即炮臺與彈著點的距離為公里.故選：D【變式訓練1】岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂的仰角為，然后沿方向行走22.5米至處，又測得樓頂的仰角為，則樓高為米．【答案】【解析】中，，，，中，，，，因為米，所以，解得：故答案為：【變式訓練2】興化千島菜花風景區(qū)素有“全國最美油菜花海”之稱，以千島樣式形成的垛田景觀享譽全國，與享譽世界的普羅旺斯薰衣草園、荷蘭郁金香花海、京都櫻花并稱，躋身全球四大花海之列．若將每個小島近似看成正方形，在正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如圖所示，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，依題意，連接,不妨設小正方形方格邊長為1，則由余弦定理，,因，故得故選：B.類型十一、與其他章節(jié)的融合例．在平面凸四邊形中，已知，，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設，則，在中，由正弦定理得，所以，在中，，，則，所以，因為，所以，所以，所以的最小值為.故選：B.【變式訓練1】在中，角的對邊分別為.已知向量，向量，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）

，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：

為銳角

【變式訓練2】已知平面向量，，設函數.（1）求的最大值；（2）在中，，D在BC邊上，且，，求的周長.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）因為，，所以，所以的最大值為.（2）因為，所以，因，所以，所以，所以，因為，所以，由正弦定理，在中，，即，得，在中，，即，得，因為，所以，所以，即，由，且，，解得，所以三角形的周長為.三、能力測試練1．在△ABC中，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得，即，解得.故選：A.2．已知的內角，，的對邊分別為，，，若，則角（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由正弦定理角化邊可知，，整理為，即，由于，所以.故選：B.3．在中，角所對的邊分別為，若，則的形狀為（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.4．設△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由正弦定理有，根據余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故選：D5．（多選）在中，角的對邊分別為，下列四個命題中正確的是（）A．若則是等腰三角形B．若，則為銳角三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】對于A，因為所以即，所以，結合，可得或（舍去），所以是等腰三角形，故A正確；對于B，由正弦定理可得，則，所以為銳角，但無法判斷兩角是否為銳角，故B錯誤；對于C，因為，所以，即，又因為，可得，即是等邊三角形，故C正確；對于D，因為，所以，所以，所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，故D錯誤.故選：AC.6.（多選）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列命題正確的是（）A．若，，，則有兩解B．若，，則的面積最大值為C．若，，，則外接圓半徑為D．若，則一定是等腰三角形【答案】AC【解析】對于A，因為，所以，所