重難點專題14利用傳統方法解決二面角問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：三垂線法題型三：垂面法題型四：射影面積法題型五：補棱法【方法技巧與總結】二面角的求法法一：定義法在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點，以為垂足，分別在半平面和內作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當然兩條垂線的垂足點可以不相同，那求二面角就相當于求兩條異面直線的夾角即可）．法二：三垂線法在面或面內找一合適的點，作于，過作于，則為斜線在面內的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：①找點做面的垂線；即過點，作于；②過點（與①中是同一個點）做交線的垂線；即過作于，連接；③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．圖1圖2圖3法三：射影面積法凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；法四：補棱法當構成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．法五：垂面法由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．【典型例題】題型一：定義法【例1】（2025·高一·浙江金華·期中）如圖，在三棱錐中，，D為的中點，平面，垂足O落在線段上.(1)證明：；(2)已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為.①求此三棱錐的體積；②求二面角的大小.【解析】（1）因為，為的中點，所以，又平面，則，又平面，所以平面，又平面，所以；（2）①由平面，則直線與平面所成角為，則，由，為的中點，所以，則，所以，由平面，所以，所以；②在平面內作于，連接，由，又，平面，所以平面，所以，則為二面角的平面角，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以，所以在三角形中，，所以，則，同理，而，所以，即二面角的大小為.【變式1-1】（2025·高一·全國·課后作業）如圖，已知四邊形是正方形，平面．若，求平面與平面所成的二面角的大小．【解析】因為，不在平面內，平面，平面，平面，平面平面，，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，，，平面，平面，為平面和平面所成二面角的平面角，因為平面，平面，所以，，所以．【變式1-2】（2025·高一·全國·課后作業）如圖，已知四邊形是正方形，平面．求：(1)二面角平面角的度數；(2)二面角平面角的度數．【解析】（1）平面，面，，，為二面角的平面角．四邊形是正方形，，二面角平面角的度數為90°．（2）平面，面，，．為二面角的平面角．四邊形為正方形，．即二面角平面角的度數為45°．【變式1-3】（2025·高一·安徽馬鞍山·期末）如圖，圓柱中，是一條母線，是底面一條直徑，C是的中點.(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：因為是一條母線，所以平面，而平面，則，因為是底面一條直徑，C是的中點，所以，即，又平面且，所以平面，而平面，則平面平面.（2）設，則，.取的中點，則，，作，垂足于，則，即，進而，所以.因為分別是的中點，連接，所以，又，.由，可知，是二面角的平面角.所以.故二面角的余弦值為.題型二：三垂線法【例2】（2025·高一·云南昭通·階段練習）已知如圖甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分別是AB，CD上的點，，，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如圖乙）．(1)證明：平面ABE；(2)當時，求二面角的余弦值．【解析】（1）證明：在直角梯形ABCD中，因為，故，，因為，故．所以在折疊后的幾何體中，有，，而，平面，故平面ABE．（2）如圖，在平面AEFD中，過D作且交EF于G．在平面DBF中，過D作且交BF于H，連接GH．因為平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD，故平面EBCF，因為平面EBCF，故，而，故平面DGH，又平面DGH，故，所以為二面角的平面角，在平面AEFD中，因為，，故，又在直角梯形ABCD中，且，故，故四邊形AEGD為平行四邊形，故，，在直角中，，因為為三角形內角，所以為銳角，，，解得，故，故，因為三角形內角，故為銳角，，，解得，所以二面角的平面角的余弦值為．【變式2-1】（2025·高三·廣東惠州·階段練習）如圖，四棱錐中，底面，，，.(1)若，證明：∥平面；(2)若，且二面角的余弦值為，求.【解析】（1）因為底面，且底面，則，又因為，，平面，可得平面，由平面，所以，因為，，，即，可得，則∥，且平面，平面，所以∥平面.（2）若，設，則，過作，垂足為，過作，垂足為，連接，可得，，因為底面，且底面，則，且，則，可得，因為底面，且底面，則，且，平面，可得平面，由平面，可得，且，平面，可得平面，由平面，可得，可知二面角的平面角為，則，可得，，則，即，可得，整理可得，解得或（舍去），且，則，所以.【變式2-2】（2025·高一·廣西賀州·階段練習）如圖，在多面體中，平面是邊長為2的等邊三角形．

(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，的中點，連接，，由于平面平面,故，，，，平面，平面，又，,故，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，故平面平面（2）連接，過在平面內作的垂線，垂足為連接．平面，平面,，又，，平面，平面，平面，故,又，平面，平面，平面，故,為二面角的平面角，，，,故在直角中，,故．二面角的平面角的余弦值為【變式2-3】（2025·高一·江蘇南京·期末）如圖，正三棱柱中，各棱長均相等，???分別為棱???的中點.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的余弦值.【解析】（1）連接，，，又為的中點，，，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面，（2）平面，，是的中點，，又，平面，平面，又因為平面，，在正方形中，?分別為棱?的中點，，平面，平面，又平面，平面平面.（3）由（2）知平面，平面，平面平面平面，且平面平面，，設與交于點，則平面，過作垂直，連接，則，為二面角的平面角，令，則，，，又因為，，為的中點，，在直角三角形中，，由圖知，為銳角，，由圖知二面角的平面角與二面角的平面角互補，故二面角的平面角的余弦值為.題型三：垂面法【例3】（2025·高二·四川成都·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面底面，為正三角形，E是AB的中點，.

(1)求點C到平面的距離.(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）由題設，面面，面，面面，所以面，面，故，即，所以，而，，中上的高，故，令點C到平面的距離為，又，且，到面的距離為正三角形的高，所以，可得，故點C到平面的距離為.（2）由，面面，面，面面，所以面，面，故，則，又，故為等腰三角形，則上的高為，令到的距離為，則，由（1）知：點C到平面的距離為，若銳二面角為，則，故，所以二面角的余弦值為.【變式3-1】（2025·高一·江蘇蘇州·階段練習）在三棱臺中，，，且平面平面．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）平面平面，平面平面，，平面，故平面，平面，故，中點為，連接，，則，，，則，，，故四邊形為矩形，，，，故，即，，平面，故平面，又平面，故平面平面.（2）設，連接，平面，面，故，又因為，所以二面角的平面角為，，，平面，平面，所以，在中，，解得，從而，故二面角的正弦值為.題型四：射影面積法【例4】（2025·高一·吉林長春·期末）在四棱臺中，，平面平面，，，，.

(1)求證：平面；(2)若是的中點，求平面與平面的夾角的余弦值.【解析】（1）連接，因為，，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；（2）延長，做，交于點，因為平面平面，平面平面，所以平面，做平面，垂足為點，連接，設，則得為矩形，，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，可得，即，四邊形是正方形，因為，所以，，可得，取中點，連接，則，則平面，，做，連接，因為平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，可得即為平面與平面的二面角的平面角，，，，所以，可得，，所以，可得，所以平面與平面的夾角的余弦值為.【變式4-1】（2025·高二·廣東廣州·期中）如圖，已知是圓柱下底面圓的直徑，點是下底面圓周上異于的動點，，是圓柱的兩條母線．(1)求證：平面；(2)若，，圓柱的母線長為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【解析】（1）因為是底面的一條直徑，是下底面圓周上異于的動點，所以，又因為是圓柱的一條母線，所以底面，而底面，所以，因為平面，平面，且，所以平面，又因為，所以平面平面；（2）如圖所示，過作圓柱的母線，連接，因為底面//上底面，所以即求平面與平面所成銳二面角的大小，因為在底面的射影為，且為下底面的直徑，所以為上底面的直徑，因為是圓柱的母線，所以平面，又因為為上底面的直徑，所以，而平面，所以為平面與平面所成的二面角的平面角，又因為在底面射影為，所以，，所以，又因為母線長為，所以，又因為平面，平面，所以，所以,所以，即平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【變式4-2】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，求平面與平面所成二面角的大小．【解析】因為平面平面，所以，又，且，平面，所以平面，同理平面，所以在平面上的射影為．設平面與平面所成二面角為，所以，所以．故平面與平面所成二面角的大小為．題型五：補棱法【例5】（2025·山東淄博·高一統考期末）如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點．(1)證明：直線平面；(2)設平面與平面的交線為，求點到直線的距離及二面角的余弦值．【解析】（1）證明：取的中點，連接、、，在正方體中，且，、分別為、的中點，則且，故四邊形為平行四邊形，則且，又因為且，則且，故四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面，因為且，故四邊形為平行四邊形，則，、分別為、的中點，則，則，平面，平面，平面，，、平面，所以，平面平面，平面，平面.（2）延長、交與點，連接，則直線即為直線，因為且，為的中點，則，故點為的中點，為的中點，在中，，，，由余弦定理可得，則，，則，過點在平面內作直線，垂足為點，連接，，所以，，平面，平面，，，，、平面，平面，平面，，故二面角的平面角為，且，故點到直線的距離為，，因此，二面角的平面角的余弦值為.【變式5-1】（2025·高一·福建福州·期末）在四棱錐中，四邊形為矩形，平面為垂足，，平面．(1)證明：為等腰三角形．(2)若為等腰直角三角形．設平面與平面的交線為，求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，連接，，，因為為的中點，所以．又平面，平面，所以平面．因為平面，，平面，所以平面平面．因為平面平面，平面平面，所以．因為，所以．由平面，平面，可得．又，平面,所以平面，平面,從而．因為是的中垂線，所以．（2）延長交于點，連接，由平面，平面，則，因為∥，平面，平面，則∥平面，且平面，平面平面，則∥，即∥∥，因為為等腰直角三角形．則，且，且，可得，則，又因為為矩形，則，可知∥，則為矩形，則，可得，，由（1）可知：，則，且，，平面，則平面，且平面，可得，即，可知即為二面角的平面角，可得，所以二面角的余弦值為.【變式5-2】（2025·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）如圖，是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線平面，E，F分別是，的中點.（1）記平面與平面的交線為l，試判斷直線l與平面的位置關系，并加以證明；（2）設，求二面角大小的取值范圍.【解析】（1），平面，平面，平面，又平面，平面與平面的交線為l，所以，而l平面，平面，所以l平面；（2）設直線l與圓O的另一個交點為D，連接DE，FB，如圖：由（1）知，BDAC，而，所以，所以平面，所以，而，所以平面PBC，又FB平面PBC，所以，所以就是二面角的平面角，因為，點F是的中點，所以，故，注意到，所以，所以，因為，所以，所以二面角大小的取值范圍為.

【過關測試】1．（2025·高一·湖南邵陽·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，底面是一個直角梯形，，.(1)若為的中點，證明：直線平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）取的中點，連接，因為為的中點，所以，且，又底面是一個直角梯形，，，所以，，故，，四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面，平面，所以，又⊥，，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，故即為二面角的平面角，又，所以，故二面角的余弦值為.2．（2025·高一·福建福州·階段練習）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，，側面底面，是的中點.(1)求證:平面；(2)求點到平面的距離；(3)求側面與底面所成二面面角的余弦值.【解析】（1）在正方形中，,又側面底面，側面底面,平面，所以平面，又平面，所以，因為是正三角形，是的中點，則，又平面，所以平面;（2）取的中點分別為，連接，在正中，，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，，所以為等腰直角三角形，，設到平面的距離為，，所以，即到平面的距離為.（3）取的中點分別為，連接，則，所以，在正中，,因為平面,則平面,在正方形中,，故平面，所以是側面與底面所成二面角的平面角，由平面，則平面，又平面.所以，正方形的邊長，則，所以，則，故側面與底面所成二面角的余弦值為.3．（2025·高一·四川涼山·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面，是的中點.(1)求證：平面；(2)求側面與底面所成二面角的正弦值.【解析】（1）因為是正三角形，且是的中點.，所以，又底面是正方形，所以，又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以平面，所以平面.（2）如圖，取的中點的中點，連接，因為是正三角形，所以又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，平面，故，由題意可知平面，故平面平面故，故為平面PCD與面所成二面角的平面角，設，則，，所以.綜上所述：側面PCD與底面所成二面角的正弦值為.4．（2025·高一·廣西北海·期末）如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，，，，，，分別，的中點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）因為是等邊三角形，點是的中點，，所以，且，點分別是的中點，所以，中，，且，，所以，，所以，即，且，且平面，所以平面，平面,所以平面平面；（2）中，，，，，所以，過點作，因為平面平面，且平面平面；所以平面，作，連結，因為平面，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，則為二面角的平面角，中，，中，，所以，，所以二面角的余弦值為.5．（2025·高一·甘肅蘭州·期末）如圖，正方體的棱長為2.

(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）在正方體，且，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵在正方形ABCD中，設，連接，∴，，∵中，，∴為等腰三角形，∴，∴即為二面角的平面角，∵在中，，∴，即二面角的正弦值為.6．（2025·高一·廣東惠州·期末）如圖，四棱錐的底面是正方形，側面是等邊三角形，平面平面，為的中點.(1)求證：平面.(2)求側面與底面所成二面角的余弦值.【解析】（1）在等邊中，因為為的中點，所以，在正方形中，，又因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以.因為,平面，所以平面.（2）取的中點，連接.則，又正方形中，，所以,在等邊中，因為為的中點，所以.因為平面平面，平面平面，所以平面，因為平面，所以.因為，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為，所以是平面與平面所成二面角的平面角.設，則，所以.7．（2025·高一·黑龍江大慶·期末）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，分別為的中點，．(1)求證：；(2)求二面角的正弦值．【解析】（1）設，連接，由平面，平面，得，因為，，，分別為的中點，所以四邊形為正方形，為等腰直角三角形，所以，因為分別是的中點，所以，已知平面，平面，所以平面平面，又，為中點，則，而平面平面，平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以．（2）在平面內過點作，交延長線于，連接，則，因為平面，平面，所以平面平面，又平面平面，所以平面，因為平面，所以，在中，，是的中點，所以，因為，，平面，，所以平面，由平面，所以，所以是二面角的平面角，設，則，由得，，在，，所以，所以二面角的正弦值．8．（2025·高一·貴州黔西·階段練習）如圖，將邊長為的正方形沿對角線折起使得點到點的位置，連接，為的中點.(1)若平面平面，求的長度.(2)不考慮點與點重合的位置，若二面角的余弦值為，求的長度.【解析】（1）連接，則，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又正方形的邊長為，∴，；（2）取的中點，連接，∵，∴，，為二面角的平面角，∴，由題可知與全等，在中，，，，∴，∴，∴.9．（2025·高一·河北張家口·期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的菱形，平面ABCD，平面平面，平面平面.(1)證明：；(2)證明：平面；(3)當MA為何值時，二面角的余弦值為．【解析】（1）菱形中，，平面，平面，則平面，而平面平面，平面，所以.（2）在平面內過點作于，平面平面，平面平面，則平面，而平面，于是，又平面，平面，則，而平面，因此平面，又，所以平面.（3）由（2）知平面，平面，則，菱形為正方形，由平面，平面，得，過作于，連接，，而，則≌，有，于是≌，則，即，是二面角的平面角，令，，，而，在中，由余弦定理得：，解得，所以當的值為時，二面角的余弦值為．10．（2025·高一·天津濱海新·階段練習）如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個不同的動點.

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)二面角的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.【解析】（1）直線EF就是直線，根據正方體的性質知，∵平面，平面，∴平面；（2）根據正方體的性質得，∵，平面，∴平面，∵平面，∴；（3）平面就是平面，平面就是平面，∵平面與平面固定，∴二面角的大小是定值，設，，∵，是的中點，∴，根據正方體的性質可知，，∴里二面角的平面角，在直角中，，∴.∴二面角的余弦值為.11．（2025·高一·湖南株洲·期末）如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點，為的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）設為的中點，由題意得平面，∵平面，，，為的中點，，∵，平面，故平面，由，分別為，的中點，得且，從而，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結，由，，得，由，，得≌，由，得，因此為二面角的平面角，由（1）得平面，平面，所以，由，，，得，故，由余弦定理得，，所以.12．（2025·高一·廣東韶關·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點.(1)求證：平面(2)求證：平面平面(3)若，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：取的中點，連接，因為為棱的中點，所以，，又，，為的中點，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）證明：因為三棱柱為直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又，，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，（3）取的中點，連接，因為為的中點，所以，又，所以，又直三棱柱的幾何特征可得面，又面，所以，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以二面角的平面角為，因為，所以，，在中，，所以，所以二面角的余弦值為．13．（2025·高一·甘肅白銀·期末）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，底面，，，且，.(1)證明：平面平面.(2)求二面角的大小.【解析】（1）由于底面是直角梯形且，所以由得，因為底面，平面，所以，而，平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，平面，所以，又因為，所以是二面角的平面角.由得，而，即，所以在梯形中，由可得，所以在直角中，，而，所以，即二面角的大小為.14．（2025·高一·吉林長春·期末）已知在平行四邊形中，是邊上一點，且滿足，，，現以為折痕把折起，使點到達點的位置，且．如圖：(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）依題意，，，而，平面，則平面，平面，于是，又，平面，因此平面，平面，則，平面，則平面，平面，所以平面平面；（2）過點作交于，由（1）知，平面，則平面，而平面，則，過作于，連接，由平面，則平面，又平面，于是，是二面角的平面角，由（1）知二面角是直二面角，它被半平面分成兩個二面角，因此二面角的大小等于，令，而，則，，，于是，而，則，因此所以平面與平面夾角的余弦值是.15．（2025·高一·湖北咸寧·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，且的面積為.(1)求證：面；(2)當四棱錐的外接球體積最小時，求平面與平面所成二面角的余弦值.【解析】（1）證明：面面，，又面面，在面內，，底面是正方形，，又面面.（2）因為平面，平面，所以，設，設四棱錐的外接球的半徑為，則（當且僅當，即取等號）.可得，故.過作交于，連接，由，則故為平面與平面所成的二面角的平面角.由（1）知面，面，故.在中，可得，由等面積可得又，平面與平面所成二面角的余弦值為.16．（2025·高一·湖南長沙·期末）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側面是正三角形，側面底面是的中點．

(1)求證：平面；(2)求與底面所成角的正切值；(3)設平面平面，求二面角的大小．【解析】（1）證明：因為側面是正三角形，是的中點，所以，因為底面為正方形，所以，又側面底面，側面底面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，、平面，所以平面．（2）取的中點，連接，，因為側面是正三角形，所以，又側面底面，側面底面，平面，所以平面，所以即為與底面所成角，設正方形的邊長為，則，，在中，，所以與底面所成角的正切值為．（3）因為，平面，平面，所以平面