6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示6.3.3平面向量加、減運算的坐標表示【學習目標】1.借助平面直角坐標系,理解平面向量的正交分解及坐標表示.2.掌握兩個向量加減運算的坐標表示.【素養達成】數學抽象、直觀想象數學運算一、平面向量的正交分解及坐標表示1.正交分解:把一個向量分解為兩個互相垂直的向量.2.基底:設與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為i,j,取{i,j}作為基底.3.向量的坐標:向量a=xi+yj,有序數對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a=(x,y).4.特殊向量:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).二、平面向量加、減運算的坐標表示1.兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).設向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則有項目符號表示加法a+b=(x1+x2,y1+y2)減法ab=(x1x2,y1y2)2.一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.例如,已知A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2x1,y2y1).【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)如果a=xi+yj,那么向量a的坐標為(x,y),即a=(x,y).(×)提示:i,j不一定是與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量.(2)向量的坐標與向量終點的坐標一致.(×)提示:向量的起點為原點時,向量的坐標與向量終點的坐標一致;否則不一致.(3)平面上一個向量對應平面上唯一的坐標.(√)(4)設i=(1,0),j=(0,1),向量a=2i3j,則向量a的坐標為(2,3).(√)類型一平面向量的坐標表示(直觀想象)【典例1】(1)(教材提升·例3)如圖所示,e1,e2為單位正交基底,則向量a,A.(3,4),(2,2) B.(2,3),(2,3)C.(2,3),(2,2) D.(3,4),(2,3)【解析】選C.根據平面直角坐標系,可知a=2e1+3e2,b=2e12e2,所以a=(2,3),b=(2,2).(2)在直角坐標系xOy中,向量a,b,c的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分別計算出它們的坐標.【解析】設a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),則a1=|a|cos45°=2×22=2,a2=|a|sin45°=2×22=b1=|b|cos120°=3×(12)=3b2=|b|sin120°=3×32=3c1=|c|cos(30°)=4×32=23c2=|c|sin(30°)=4×(12)=因此a=(2,2),b=(32,332),c=(23【總結升華】求向量坐標的方法(1)定義法:根據平面向量坐標的定義得a=xi+yj=(x,y),其中i,j分別為與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量.(2)平移法:把向量的起點移至坐標原點,終點坐標即為向量的坐標.(3)求差法:先求出這個向量的起點、終點坐標,再用終點坐標減去起點坐標即得該向量的坐標.提醒:向量a=(x,y)中間用等號連接,而點的坐標A(x,y)中間沒有等號.【即學即練】1.已知O為坐標原點,點A在第二象限,||=2,∠xOA=120°,則向量的坐標為________.

【解析】由∠xOA=120°可得∠yOA=30°,由于||=2,所以A(1,3),故=(1,3).答案:(1,3)2.如果將=(32,12),繞原點O逆時針方向旋轉120°得到,則的坐標是()A.(12,32) B.(32,12) C.(1,3) D.(【解析】選D.向量與x軸正向夾角的正切值tanα=33,則α=30°.繞原點O逆時針旋轉120°得到,OB與x軸正向夾角為120°+30°=150°,可見OB與OA相對y軸對稱.因此B點的坐標為(32,12).類型二平面向量加、減運算的坐標表示(數學運算)【典例2】(1)設i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=i+j,則a+b與ab的坐標分別為__________,__________.

【解析】因為i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=i+j,所以a=3i+4j=(3,4),b=i+j=(1,1),所以a+b=(2,5),ab=(4,3).答案:(2,5)(4,3)(2)已知2024個向量的和為零向量,且其中一個向量的坐標為(8,15),則其余2023個向量的和的坐標為__________.

【解析】設其余2023個向量的和的坐標為(x,y),則(x,y)+(8,15)=(0,0),解得(x,y)=(8,15),所以其余2023個向量的和的坐標為(8,15).答案:(8,15)【總結升華】平面向量坐標運算的技巧(1)若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差的運算法則進行運算.(2)若已知有向線段兩端點的坐標,則可先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算.【即學即練】1.已知=(2,1),=(4,1),求的坐標.【解析】==(4,1)(2,1)=(6,2).2.在?ABCD中,AC為一條對角線.若=(2,4),=(1,3),求的坐標.【解析】因為=(1,3),=(2,4),所以===(1,1),所以==(3,5).類型三平面向量坐標運算的應用(邏輯推理、數學運算)角度1求參數的值(范圍)【典例3】已知點A(λ,3),B(5,2λ)(λ∈R),C(4,5).若=+,試求λ為何值時,(1)點P在第一、三象限角平分線上;(2)點P在第一象限內.【解析】(1)設點P的坐標為(x,y),則=(x,y)(λ,3)=(xλ,y3),又因為=(5,2λ)(λ,3)=(5λ,2λ3),=(4,5)(λ,3)=(4λ,2),所以=+=(5λ,2λ3)+(4λ,2)=(92λ,2λ1),所以x-λ若P在第一、三象限角平分線上,則9λ=2λ+2,解得λ=73(2)由(1)知,x若P在第一象限內,則9所以1<λ<9.【總結升華】向量坐標運算中求參數值(范圍)的步驟(1)表示出向量或者點的坐標;(2)利用點或者坐標的性質構造方程或者不等式.【即學即練】(2023·蘇州高一檢測)已知向量=(m,5),=(4,n),=(7,6),則m+n的值為()A.6 B.8 C.10 D.12【解析】選B.因為=(m,5),=(4,n),則=(7,6)==(4m,n5),所以4-m=7n-5=6,即m=3,n角度2求點的坐標【典例4】(易錯·對對碰)(1)已知?ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別為A(3,7),B(4,6),C(1,2),求頂點D的坐標.(2)已知一個平行四邊形的三個頂點坐標為A(3,7),B(4,6),C(1,2),求此平行四邊形頂點D的坐標.【解析】(1)設點D的坐標為(x,y),因為=,所以(4,6)(3,7)=(1,2)(x,y),所以1-x所以頂點D的坐標為(0,1).(2)設點D的坐標為(x,y),當平行四邊形為ABCD時,=,所以(4,6)(3,7)=(1,2)(x,y),所以1-x所以D(0,1).當平行四邊形為ABDC時,同理可得D(2,3).當平行四邊形為ADBC時,同理可得D(6,15).綜上可得點D可能為(0,1)或(2,3)或(6,15).【總結升華】向量坐標運算中求點的坐標的方法(1)設點的坐標,結合幾何圖形的特征,利用向量相等構造方程求解;(2)利用向量運算,將所求向量用已知向量表示,通過坐標運算求出向量的坐標,進而求出點的坐標.【即學即練】已知邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點B,點D,,及點C的坐標.【解析】由題意,點A在原點,AB與x軸正半軸成30°角,可得∠BAx=30°,∠DAx=90°+30°=120°.設B(x1,y1),D(x2,y2).則x1=||cos30°=1×32=32y1=||sin30°=1×12=12,所以B(32,1同理可得x2=||cos120°=1×(12)=12,y2=||sin120°=1×32=3所以D(12,32所以=(32,12),=(12,32由于==(32,12),所以C(3-12,【補償訓練】已知點A(2