工程力學

1位移法

11.1位移法的基本概念11.2等截面直桿的單元分析11.3位移法的基本原理11.4對稱結構的利用11.5超靜定結構在支座位移和溫度改變影響下的位移法內力計算本章學習內容

11.1

位移法的基本概念11.1.1力法與位移法的區別11.1.2位移法解題需解決的問題1）確定結構上的哪些位移作為基本未知量。2）需要用力法計算出單跨超靜定梁在桿端發生各種位移時及荷載等因素作用下的內力。3）如何求出這些位移。11.1

位移法的基本概念11.2

等截面直桿的單元分析11.2.1位移法基本單跨梁位移法基本的單跨梁僅有三種形式:11.2.2桿端力和桿端位移的正負規定1）桿端轉角θA、θB，弦轉角β

=Δ/l都以順時針為正，如圖a所示。2）桿端彎矩對桿端以順時針為正，對結點或支座以逆時針為正，如圖b所示。11.2

等截面直桿的單元分析11.2.3等截面直桿的形常數由單位桿端位移引起的三種單跨超靜定梁的桿端內力稱為形常數。令i=EI/l（稱為線剛度），由力法可以求得各種情形的形常數，如表所示。11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數由跨中荷載引起三種單跨超靜定梁的桿端內力稱為載常數，也叫固端內力。載常數也可按力法計算出來，如表所示。11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數11.2

等截面直桿的單元分析11.2

等截面直桿的單元分析11.2.4等截面直桿的載常數11.2.5等截面直桿的轉角位移方程（剛度方程）兩端固定單跨梁在桿端位移和荷載共同作用下，利用形、載常數和疊加原理可得到桿端內力。轉角位移方程（剛度方程）11.2

等截面直桿的單元分析11.2.5等截面直桿的轉角位移方程（剛度方程）根據形、載常數和疊加原理，可建立各種因素共同作用下將桿端位移和桿端內力聯系起來的桿端彎矩的單跨梁的轉角位移方程。（1）兩端固定梁（見圖a）轉角位移方程。

（2）一端固定一端鉸支梁（見圖b）轉角位移方程。

（3）一端固定一端定向支承梁（見圖c）轉角位移方程。

（4）已知桿端彎矩，可由桿件的矩平衡方程求出剪力。

11.2

等截面直桿的單元分析11.3

位移法的基本原理11.3.1位移法的基本思路在原結構的結點上附加約束（剛臂、支鏈桿），使其成為固定端或鉸支端；將原結構變成了若干個單跨超靜定梁的組合體，該組合體稱為原結構的基本結構；形成基本結構所需附加的約束的數目即為基本未知量的數目；利用形常數表和載常數表得到各桿端內力，并利用附加約束處反力（反力偶）為零的條件建立位移法基本方程；解方程即得基本未知量，進而確定結構的桿端內力。11.3.1位移法的基本思路1.基本未知量結構的結點位移分兩類：線位移和角位移。位移法基本未知量是結點的獨立位移，當然未知量總數應該是獨立線位移和獨立角位移的和，即位移法基本未知量n=獨立角位移個數nα+獨立線位移個數nl。確定未知量總的原則是：在原結構的結點上逐漸加約束，直到能將結構拆成具有已知形常數和載常數的單跨梁為止。即：獨立角位移個數=位移未知的剛結點個數；獨立線位移個數=變剛結點為鉸后，為使鉸結體系幾何不變所要加的最少鏈桿數（鉸結體系幾何不變，線位移數為零）。11.3

位移法的基本原理11.3.1位移法的基本思路2.基本結構確定了獨立位移未知量，在結點上加約束消除獨立位移，即得基本結構。對應線位移加支座鏈桿，對應角位移加限制轉動的剛臂。在原結構的結點上附加約束（剛臂、支鏈桿）的原則：1）一般情況下，在結構的剛結點上附加剛臂，鉸結點處不需加剛臂。2）如果結構受外界因素影響產生側向或是豎向線位移，則獨立線位移的個數即為附加支鏈桿數量，支鏈桿應附加在剛結點或是鉸接點處，方向與位移方向相反。11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路位移法有兩種思路求解結點位移和桿端彎矩：平衡方程法和典型方程法。1.平衡方程法圖a所示為二次超靜定結構。在不考慮軸向變形的情況下，只有B結點能產生轉角位移，作為廣義位移記作Z1。廣義平衡條件Z1得位移法方程11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路平衡方程法解題步驟：1）確定位移法基本未知量。2）利用轉角位移方程寫出各桿端彎矩表達式。3）對每個角位移θi，建立結點的力矩平衡方程：對每個線位移Δj，建立截面投影平衡方程：，或4）聯立求解由方程(11-5)、(11-6)組成的位移法方程，求出結點位移。5）將求得的結點位移代入桿端彎矩表達式，求出桿端彎矩并繪最后彎矩圖。6）根據M圖由桿件平衡求FS，繪FS圖，再根據FS圖由結點投影平衡求FN，繪FN圖。11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路【例11-1】繪圖a所示剛架的彎矩圖。設1點發生順時針轉角11.3

位移法的基本原理11.3.2位移法解題思路【例11-2】繪圖a所示剛架的彎矩圖。設1、2兩點的實際側移為Z111.3

位移法的基本原理2.典型方程法先選圖b為基本體系；使基本體系發生與原結構相同的結點位移；受相同的荷載，因原結構中無附加約束，故基本體系的附加約束中的約束力（矩）必須為零，即：R1=0，R2=0；Ri是基本體系在結點位移Z1、Z2和荷載共同作用下產生的第i個附加約束中的反力（矩），按疊加原理Ri也等于各個因素分別作用時（如圖c，d，e所示）產生的第i個附加約束中的反力（矩）之和。得位移法典型方程：11.3

位移法的基本原理3.位移法典型方程基本體系是令基本結構發生原結構待求的位移Zi（i=1,2……n）同時受有外因作用，從結點位移方面看基本體系和原結構沒有了差別，但是由于待求位移Zi（i=1,2……n）和外因作用，第i個附加約束上將產生的約束總反力，顯然這是和原結構仍然不同的。為了消除這一差別（原結構沒有附加約束），第i個附加約束上的總反力應該等于零，也即Ri=0或

位移法典型方程11.3

位移法的基本原理注意：1）位移法方程的物理意義：基本體系在荷載等外因和各結點位移共同作用下產生的附加約束中的反力（矩）等于零。實質上是原結構應滿足的平衡條件。2）位移法典型方程中每一項都是基本體系附加約束中的反力（矩）。其中Rif表示基本體系在荷載作用下產生的第i個附加約束中的反力（矩）；稱為自由項。rijZj表示基本體系在Zj作用下產生的第i個附加約束中的反力（矩）。3)主系數rii表示基本體系在Zi=1作用下產生的第i個附加約束中的反力（矩）；rii恒大于零。4)副系數rij表示基本體系在Zj=1作用下產生的第i個附加約束中的反力（矩）；根據反力互等定理有rij=rji，副系數可大于零、等于零或小于零。5)由于位移法的主要計算過程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡條件，所以位移法校核的重點是平衡條件（剛結點的力矩平衡和截面的投影平衡）。11.3

位移法的基本原理【例11-3】繪制圖a所示彎矩圖。【解】根據1點處力的平衡，則有11.3

位移法的基本原理【例11-4】繪制圖a所示彎矩圖。【解】該體系有未知數2處，增加相應的剛臂后，根據力的平衡，則有11.3

位移法的基本原理求解步驟：1)確定位移法基本未知量，加入附加約束，取位移法基本體系。2)令附加約束發生與原結構相同的結點位移，根據基本結構在荷載等外因和結點位移共同作用下產生的附加約束中的總反力（矩）等于零，列位移法典型方程。3)繪出單位彎矩圖、荷載彎矩圖，利用平衡條件求系數和自由項。4)解方程，求出結點位移。5)用公式疊加最后彎矩圖。并校核平衡條件。6）根據M圖由桿件平衡求FS，繪FS圖，再根據FS圖由結點投影平衡求FN，繪FN圖。11.3

位移法的基本原理11.4

對稱結構的利用作用于對稱結構上的任意荷載可以分為對稱荷載和反對稱荷載兩部分分別計算。在對稱荷載作用下，變形是對稱的，彎矩圖和軸力圖是對稱的，而剪力圖是反對稱的。在反對稱荷載作用下，變形是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，而剪力圖是對稱的。計算對稱連續梁或對稱剛架時，我們只需計算這些結構的半邊結構就可以。此方法適用于力法和位移法。11.5超靜定結構在支座位移和溫度改變影響下的位移法內力計算11.5.1由于支座位移引起的超靜定結構內力變化的計算【例11-5】已知圖示a剛架的支座A順時針轉動0.01rad；支座B向下沉陷0.02L。試用位移法繪制彎矩圖。方法一：（1）確定該結構的未知位移數目：如圖b所示基本結構，由于支座發生位移會引起剛節點D產生角位移Z1和水平位移Z2，以及會引起鉸節點B產生水平位移Z2。AD桿的A端轉角θAB＝0.01,D端轉角θDB＝Z1AD桿的側位移ΔAD＝Z2，

旋轉角βAD＝Z2/LCD桿的C端轉角θCD＝0,D端轉角θDC＝Z1CD桿的側位移ΔCD＝－Z2，旋轉角βCD＝ΔCD/L＝－Z2/LDB桿的D端轉角θDB＝Z1DB桿的側位移ΔDB＝0.02L，旋轉角βCD＝ΔDB/L

＝0.0211.5超靜定結構在支座位移和溫度改變影響下的位移法內力計算（2）根據等截面直桿的載常數和形常數寫出各桿端內力表達式：1）AD桿視為兩端固定梁A端產生轉角0.01rad,D端產生轉角Z1，AD桿兩端產生相對線位移ΔAD＝Z2MAD＝4iθA＋2iZ1－6iZ2/L＝0.04i＋2iZ1－6iZ2/LMDA＝4iZ1＋2iθA－6i2Z2/L＝4iZ1＋0.02i－6iZ2/LVAD＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L

VDA＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L

2）CD桿視為兩端固定梁D端產生轉角Z1，CD桿兩端產生相對線位移ΔCD＝－Z2MCD＝0＋2iZ1＋6iZ2/L＝2iZ1＋6iZ2/LMDC＝4iZ1＋0＋6iZ2/L＝4iZ1＋6iZ2/LVCD＝－6iZ1/L－12iZ2/LVDC＝－6iZ1/L－12iZ2/L3）BD桿視為一端固定一端簡支梁D端產生轉角Z1，BD桿兩端產生相對線位移ΔBD=0.02LMDB＝3iZ1－3iΔBD/L＝3iZ1－0.06iVDB＝－3iZ1/L＋3iΔBD/L2＝－3iZ1/L＋0.06/L

VBD＝－3iZ1/L＋3iΔBD/L2＝－3iZ1/L＋0.06i/L

11.5超靜定結構在支座位移和溫度改變影響下的位移法內力計算（3）建立位移法方程并求出未知的位移量Z1與Z3：取D結點為隔離體如圖c所示，由∑MD＝0得

MDA＋MDC

＋MDB

＝0(4iZ1＋0.02i－6iZ2/L)＋(4iZ1＋0＋6iZ2/L)+(3iZ1－0.06i)＝011iZ1－0.04i＝0

解得Z1＝0.04/11＝4/1100＝1/275Z1＝1/275取DB桿為隔離體如圖d所示：由∑X＝0得

VDA

－VDC

＝0(－6iZ1/L＋12iZ2/L2－0.06i/L)－(－6iZ1/L－12iZ2/L)＝024iZ1/L2－0.6i/L＝0解得：Z2＝L/400Z1＝1/275Z2＝L/400所得位移均為正值，說明結點D、B的實際位移方向與所假設的位移方向相同。（4）繪制最后彎矩圖與剪力圖將前面已求得的位移值Z1與Z3代入前面各桿端彎矩和剪力表達式，求出各桿端內力值，從而繪出該結構在支座移動下所產生的彎矩圖與剪力圖。1）繪制最后彎矩圖MAD＝0.04i＋2iZ1－6iZ2/L＝0.04i＋2i×(1/275)－6i×(L/400)/L＝35.5i/1100MDA＝4iZ1＋0.02i－6iZ2/L＝4i×(1/275)＋0.02i－6i×(L/400)/L＝21.5i/1100MCD＝2iZ1＋6iZ2/L＝2i×(1/275)＋6i×(L/400)/L＝24.5i/1100MDC＝4iZ1＋6iZ2/L＝4i×(1/275)＋6i×(L/400)/L＝32.5i/1100MDB＝3iZ1－0.06i＝3i×(1/275)－0.06i＝－54i/11002）繪制最后剪力圖

VAD＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2

－0.06i/L

＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

－0.06i/L＝－9i/1100LVDA＝－6iZ1/L＋12iZ2/L2

－0.06i/L

＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

－0.06i/L＝－57i/1100LVCD＝－6i1Z1/L－12iZ2/L＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

＝9i/1100LVDC＝－6i1Z1/L－12iZ2/L＝－6i×(1/275)/L＋12i×(L/400)/L2

＝9i/1100LVDB＝－3iZ1/L＋0.06i/L＝－3i×(1/275)/L＋0.06i/L＝54i/1100LVBD＝－3iZ1/L＋0.06i/L＝－3i×(1/275)/L＋0.06i/L＝54i/1100L11.5超靜定結構在支座位移和溫度改變影響下的位移法內力計算方法二：（1）確定該結構的未知位移數目：同上（2）取基本結構如圖b所示,寫出位移法典型方程：

r11Z1

＋r12Z2

＋R1C

＝0r21Z1

＋r22Z2＋R2C

＝0

式中RiC分別表示基本結構單獨在支座位移作用下在附加約束中產生的約束力。（3）求方程中的系數rii、rij和自由項RiCMFDB=-0.02L×3i/L=-3i/50MFDA=2i×0.01＝i/50MFAD=4i×0.01＝i/25

ＶFDA=－0.01×６i/Ｌ＝－3i/50L圖g，由∑MD＝0可得：R1C＝MFDA＋MFDＢ＝0,R1C＝i/50

-3i/50

＝-i/25對DB桿隔離體由∑X＝0可得：R2C＝-3i/50

L圖i，由∑MD＝0可得：r11＝4i＋3i＋4i＝11i對DB桿隔離體由∑X＝0可得：r21＝6i/L－6i/L＝0圖k，由∑MD＝0可得：r12＝6i/L－6i/L＝0對DB桿隔離體由∑X＝0可得：r22＝12i/L2＋12i/L2＝24i/L211.5超靜定結構在支座位移和溫度改變影響下的位移法內力計算方法二：（4）將主系數rii、rij和數項Ric代入典型方程中得Z1和Z2：

r11Z1＋r12Z2＋R1C

＝0即:11iZ1＋0×Z2－i/25＝0r21Z1＋r22Z2＋R2C

＝0,0×Z1+24i/L2Z2-3i/50

L＝0解得：Z1＝1/275Z2＝L/400（5）求各桿端最后彎矩值

MAD＝4iθA＋2iZ1－6iZ2/L＋0＝4i×0.01＋2i/275－6i/L×L/400＝［(44＋2×4－16.5）i/1100］＝35.5i/1100(右側受拉)MDA＝4iZ1

＋2iθA＋（－6iZ2/L）＋0＝4