矩陣初等變換的一些應用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u4761摘要 1381.矩陣的行秩等于列秩，統稱為矩陣的秩。 17908緒論 2220531.研究背景與意義 2227512.研究內容 328271第一章矩陣的秩 3202181.1矩陣的初等變換 367391.2證明過程 4161991.3舉例說明 124508第二章矩陣的秩與行列式的聯系 1352442.1證明過程 1397132.2舉例說明 1619522第三章初等變換與矩陣標準形的聯系 1836973.1證明過程 1863843.2舉例說明 2029952結論 23251141）“矩陣的行秩等于列秩”的重新證明； 23315143）“任意矩陣都可經過初等變換變為標準形矩陣”的重新證明。 238864參考文獻 23摘要作為矩陣理論的重要組成部分，矩陣初等變換是貫穿高等代數教學活動始末的一個重要概念。它也是解決高等代數諸多問題的重要工具，在高等代數中具有重要地位和廣泛的應用。本論文主要討論矩陣初等變換的一些應用，從矩陣的初等變換的角度重新證明一些矩陣的基本事實：矩陣的行秩等于列秩，統稱為矩陣的秩。一矩陣的秩是的充分必要條件為矩陣中有一個級子式不為零，同時所有級子式全為零.任意矩陣都與一左上角為單位矩陣且其余元素都為零的矩陣等價，它稱為矩陣的標準形，主對角線上1的個數等于的秩（1的個數可以為0）.初等變換的這三個應用構成論文的主要內容，而在每一個應用中，都會通過一些例題進一步說明這些應用的理論意義。關鍵詞：初等變換矩陣的秩標準形緒論1.研究背景與意義在世界數學史上，矩陣的概念最早是由詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特[1]提出的。1858年以來，英國數學家凱萊發表了一系列有關矩陣的論文，如《矩陣論的研究報告》。他研究了矩陣的運算規律、矩陣的逆、矩陣的轉置和特征多項式方程等問題[2]。到19世紀末，矩陣理論體系基本形成。20世紀，矩陣理論得到了進一步的研究。目前，矩陣理論已成為數學理論的重要組成部分。矩陣理論作為處理量與有限維空間的重要工具，不僅是學習代數學的基礎，而且在許多領域都有重要的應用價值[3]。例如，從1904年到1910年，希爾伯特用矩陣來研究積分方程，然后將積分方程應用到數學物理問題中。1925年，海森堡的無限矩陣理論應用于量子論[4]，矩陣力學應運而生。1927年，希爾伯特等人開始用矩陣理論、積分方程等分析工具研究量子理論，并在抽象幾何中研究量子力學的特征值問題[5]。矩陣初等變換作為矩陣理論的重要組成部分[6]，有著豐富的研究成果。比如王廷明[7]用構造分塊矩陣和廣義初等變換的方法證明了矩陣秩的（不）等式。王路群、劉英、李鳳霞、劉冬麗[8]利用初等變換對一次不定方程進行求解，并給出了相關結論。呂效國和趙本剛[9]借助初等變換理論，可以構造性地求出演化矩陣，即求出具體的可逆矩陣，使,且不僅限于存在性證明，應用實例表明，該方法具有普遍性。陳亮、杜翠真和高勤[10]研究了實對稱矩陣正交對角化過程中正交矩陣的求解方法，給出了利用初等變換求解正交矩陣的方法。該方法不需要用特征方程求解特征值和特征向量，只使用初等變換和施密特正交化法。牛興文[11]用初等變換證明了若爾當標準形式定理。掌握矩陣初等變換對我們學好高等代數很有幫助。例如，針對高等代數學習中常出現的一些抽象繁瑣的問題，我們都可以利用矩陣初等變換去求解。在整個高等代數學習過程中，矩陣的初等變換在行列式的計算、極大向量無關組、二次型的變換、線性空間、線性變換、-矩陣等問題[12]中起著重要的作用。因此，矩陣初等變換在一定程度上顯示了矩陣理論的獨特魅力。2.研究內容作為矩陣理論的重要組成部分，矩陣的初等變換起源于求解線性方程組的消元法，這是高等代數學的一個基本概念：在解多元線性方程組時，經常對方程組實施三類初等變換達到消元的目的，而這三類初等變換本質上反映在方程組系數矩陣上的初等變換。矩陣的初等變換（行和列變換）是高等代數學的一個重要概念，也是解決數學和其他學科問題的重要工具。本論文主要對矩陣初等變換的性質應用作進一步的研究分析。在論文中將首先論述初等變換的理論基礎，其次論述（證明）初等變換的三個應用，最后進行總結。本論文結構安排如下：第一章矩陣的秩，這一章主要總結出兩個引理，對此進行證明并給出實例進行驗證，進而利用兩個引理完成對“矩陣行秩等于矩陣列秩”的證明。第二章矩陣的秩與行列式的聯系，這一章將討論矩陣的秩與其子式之間的關系，完成“矩陣的秩為的充要條件是矩陣中有一個級子式不為零，同時所有級子式全為零”的證明，舉例說明了子式在矩陣的秩的證明中的應用。第三章初等變換與矩陣標準形的聯系，這一章初等變換、矩陣的秩與矩陣標準形聯系在一起，給出了求解矩陣標準形的另一種角度。在證明過程中將定理分為三種情形，分別討論，從而完成矩陣標準形的證明。第一章矩陣的秩當我們把矩陣的每一行或每一列看作一個向量時，那么矩陣就是由若干個行向量或列向量組成的.向量組的秩是由極大線性無關組的個數決定的，因此相應地，矩陣的秩就是行向量組的秩或列向量組的秩。我們知道矩陣的行秩等于列秩，但這不是偶然的.1.1矩陣的初等變換在解線性方程組時，經常對方程實施下列三種變換：交換方程組中某兩個方程的位置；用一個非零常數乘以某一個方程；將某一個方程的倍加到另一個方程上。這三種變換不會改變方程組的解，我們把這三類方程的運算稱為方程組的初等變換[13]。顯然，方程組的初等變換不改變矩陣的秩，方程組系數矩陣的秩不變。把這三類初等變換轉移到矩陣上，就是矩陣的初等行變換。矩陣的初等行變換與初等列變換統稱為初等變換，下面來定義矩陣的初等變換。數域上矩陣的初等變換是指下列三種變換：以中的一個非零的數乘矩陣的某一行（列）；互換矩陣中兩行（列）的位置；中任意一個數乘矩陣的某一行（列）加到另一行（列）；當一個矩陣經過初等變換后，它就變成了另一個矩陣.當矩陣經過初等變換變成矩陣時，我們表示為.1.2證明過程下面我們將用兩個引理來完成證明過程.利用矩陣的初等變換，我們可以得到以下兩個引理.引理1設是一個矩陣.對矩陣進行若干次的初等行變換，則以下（i）,（ii）成立.初等行變換把的行向量組變換為等價的行向量組.因此，的行秩不變.初等行變換不改變的列向量組的線性相關性（無關性）.因此，的列秩不變.證明為了證明引理中的（i），我們只需證明每一次初等行變換（3種類型）不改變行秩即可.下面我們對3種類型的初等行變換分別進行討論.（）記，不妨設，.顯然，行向量組與行向量組等價.因而，行向量組與行向量組的秩相等.因此，的行秩等于的行秩.（）記，不妨設，.顯然，行向量組與行向量組等價.因而，行向量組與行向量組的秩相等.因此，的行秩等于的行秩.（）記，不妨設，.顯然，行向量組與行向量組等價.因而，行向量組與行向量組的秩相等.因此，的行秩等于的行秩.即引理中的（i）成立.為了證明引理中的（ii），我們只需證明每一次初等行變換（3種類型）不改變列秩即可.下面我們對3種類型的初等行變換分別進行討論.記，不妨設，.向量中元素發生變化，但向量之間原有的數量關系式不發生改變.顯然，列向量組與列向量組的線性相關性（無關性）是不發生改變的.因此，的列秩等于的列秩.記，不妨設，.向量中元素位置發生變化，但向量之間原有的數量關系式不發生改變.顯然，向量組與向量組的線性相關性（無關性）是不發生改變的.因此，的列秩等于的列秩.記，不妨設，.不難證明，向量組與向量組的線性相關性（無關性）是不發生改變的.因此，的列秩等于的列秩.即引理中的（ii）成立，這就完成了引理的整個證明.例1計算下列矩陣的行秩.；2）.根據引理1，對以上兩個矩陣進行初等行變換.1）.因此，矩陣的行秩為4.2）.因此，矩陣的行秩為5.通過觀察我們發現，例1中第一個矩陣的第一行與第三行的所有元素互為相反數，很顯然行秩為4，經過一系列的初等行變換后行秩仍為4；第二個矩陣的行秩為5，經過一系列的初等行變換后行秩仍為5.這就印證了“初等行變換不改變矩陣的行秩”.例2矩陣，用矩陣的初等行變換來看的列秩..一方面由引理可知，初等行變換不改變矩陣列秩.另一方面利用初等行變換將化為階梯形矩陣，用來表示階梯形矩陣的列向量，很容易看出.顯然矩陣的列秩仍為3.引理2設是一個矩陣.對矩陣進行若干次的初等列變換，則以下（i），（ii）成立.（i）初等列變換把的列向量組變換為等價的列向量組.因此，的列秩不變.（ii）初等列變換不改變的列向量組的線性相關性（無關性）.因此，的行秩不變.證明為了證明引理中的（i），我們只需證明每一次初等列變換（3種類型）不改變列秩即可.下面我們對3種類型的初等列變換分別進行討論.（）記，不妨設，.顯然，列向量組與列向量組等價.因為等價向量組的極大線性無關組也等價，所以向量組與向量組的秩是相等的.因此，的列秩等于的列秩.（）記，不妨設，.顯然，列向量組與列向量組等價.因而，列向量組與列向量組的秩相等.因此，的列秩等于的列秩.（）記，不妨設，.顯然，列向量組與列向量組等價.因而，列向量組與列向量組的秩相等.因此，的列秩等于的列秩.即引理中的（i）成立.為了證明引理中的（ii），我們只需證明每一次初等列變換（3種類型）不改變行秩即可.下面我們對3種類型的初等列變換分別進行討論.記，不妨設，.向量中元素發生變化，但向量之間原有的數量關系式不發生改變.顯然，行向量組與行向量組的線性相關性（無關性）是不發生改變的.因此，的行秩等于的行秩.記，不妨設，.向量中元素位置發生變化，但向量之間原有的數量關系式不發生改變.顯然，行向量組與行向量組的線性相關性（無關性）是不發生改變的.因此，的行秩等于的行秩.記，不妨設，.不難證明，行向量組與行向量組的線性相關性（無關性）是不發生改變的.因此，的行秩等于的行秩.即引理中的（ii）成立，這就完成了引理的整個證明.例3計算下列矩陣的列秩.；2）.根據引理2，對以上兩個矩陣進行初等列變換.1）.因此，矩陣的列秩為4.2）.因此，矩陣的列秩為5.通過觀察我們可以發現，例3中第一個矩陣的第二列與第四列的所有元素互為相反數，很顯然列秩為4，經過一系列的初等列變換后列秩仍為4；第二個矩陣的列秩為5，經過一系列的初等列變換后列秩仍為5.這就印證了“初等列變換不改變矩陣的列秩”.例4矩陣，用矩陣的初等列變換來看的行秩..一方面由引理可知，初等列變換不改變矩陣行秩.另一方面利用初等列變換將化為階梯形矩陣，用來表示階梯形矩陣的行向量，很容易看出線性無關.顯然矩陣的行秩仍為4.利用上面的兩個引理，我們可以證明下面的定理.定理1設是一個矩陣，則的行秩等于的列秩.證明：令.設矩陣的行秩為，列秩為，不失一般性，我們設矩陣的前個行向量是線性無關的。,不妨設.易知，矩陣的任意個列向量是線性相關的.因此，的列秩.由引理1可知，初等行變換不改變矩陣的列秩.因而，的列秩.,不妨設.易知，矩陣的任意個行向量是線性相關的.因此，的行秩.由引理2可知，初等列變換不改變矩陣的行秩.因而，的行秩.綜上所述，即矩陣的行秩等于列秩.1.3舉例說明下面通過兩個實例說明這部分的主要結論.例5設，對進行初等行變換.容易得知矩陣的行秩為3，列秩小于等于3.又初等行變換不改變矩陣的列秩，所以矩陣的列秩小于等于3.對進行初等列變換.容易得知矩陣的列秩等于3.得出結論，矩陣的行秩等于列秩.例6設，對進行初等行變換不難判斷矩陣的行秩為3，列秩小于等于3.又初等行變換不改變矩陣的列秩，所以矩陣的列秩小于等于3.再對進行初等列變換.容易得知矩陣的列秩等于3.得出結論，矩陣的行秩等于列秩.我們在求解矩陣的秩這類問題時，利用初等變換不改變矩陣的行秩和列秩這一結論，將矩陣化為階梯形矩陣來得到矩陣的秩[14].這一理論在矩陣理論中有著十分重要的作用，對求解線性方程組和建立矩陣與行列式之間的關系具有重要的理論意義.第二章矩陣的秩與行列式的聯系在討論線性方程組解的問題時，除了利用矩陣的秩外，一般也需要借助行列式的值來判斷.因此，在這一章中，我們討論矩陣的秩和行列式的值之間的關系.2.1證明過程為了建立矩陣的秩與行列式之間的關系，我們引入了矩陣的級子式.由于在選擇行、列時位置不同，相對應的級子式也不同，這也就決定了級子式是很多的.那么，矩陣的秩與其級子式之間的關系[15]可以表示為：定理2一矩陣的秩是的充分必要條件為矩陣中有一個級子式不為零，同時所有級子式全為零.證明：先證必要性.設矩陣的秩為.這就是說，矩陣中行向量組極大線性無關組個數為，列向量組極大線性無關組個數為（不妨設前個）.令,所以.現在來證矩陣中所有級子式全為零.設任意一個矩陣的級子式為，假設，顯然矩陣的行向量組線性無關.這就是說，矩陣的行向量組所處在的行向量組線性無關.因此，矩陣的秩大于等于，而這與假設矛盾.所以矩陣為零.這就證明了必要性.再證充分性.不妨設是一個不為零的級子式，則.由可知（下面用來表示一系列初等變換）.因此，（*）中的每一行都可以換到矩陣的第行，進行適當的列變換，第行中每一個（*）中的元素可以換到矩陣的第位置，因而可以變換到0.綜上所述，矩陣可經過適當的行變換、列變換到，因此矩陣的秩為[16].2.2舉例說明下面通過兩個實例說明這部分的主要結論.例7設，已知的一個3級子式不為零.請從級子式的角度說明的秩.不妨設為滿足條件的3級子式，對進行初等變換，以為中心，消去相鄰非零元素..經過一系列的初等行變換、列變換，中出現一個值為零的四級子式，下面我們接著利用消去其他非零元素..顯然，的所有4級子式都為零，存在一個3級子式不為零，所以矩陣的秩為3.例8設，已知的一個3級子式不為零.請從級子式的角度說明的秩.不妨設為滿足條件的3級子式，對進行初等變換，以為中心，消去相鄰非零元素..經過一系列的初等行變換、列變換，中出現一個值為零的四級子式，下面我們接著利用消去其他非零元素..顯然，的所有4級子式都為零，存在一個3級子式不為零，所以矩陣的秩為3.通過這兩個實例，我們發現這其實也是判斷矩陣的秩的一種方法.以上過程我們總結為：根據已知條件假設符合條件的級子式，為了方便計算，一般選擇左上角元素.以這個級子式為中心，對矩陣進行初等變換，將這個級子式所有的相鄰元素消為零.接著交換下面的一行和一列，再次以這個級子式為中心進行初等變換.以此類推下去，就可以把這個級子式以外的所有元素消為零，得出“所有級子式都為零”這個結論.因此，矩陣的秩為.否則，矩陣的秩不為.第三章初等變換與矩陣標準形的聯系利用初等變換矩陣可以簡化求解線性方程組的計算過程，從而得到方程組的解。在求解線性方程組的過程中，我們需要對系數矩陣進行一系列的初等變換，以達到簡化的目的.對系數矩陣經過一次初等變換，就相當于左乘或右乘了一個初等矩陣，因此矩陣的最簡形就是一次次矩陣乘法后積累的結果[17].那么，我們就可以說矩陣與其最簡形等價[18].那矩陣與其標準形是否等價，我們利用一個引理來給出這部分內容的證明.3.1證明過程引理設是一個階方陣且可逆（即的秩為），則對只進行初等行變換或列變換，那么可化為階單位陣.證明：以下過程只進行初等行變換.由的秩為可知，矩陣第一行元素不全為零.假設，對進行初等行變換，重復以上步驟，將化為上三角矩陣.因為可逆，，所以對角線上元素都不為零.以的最后一行分別消去最后一列的所有元素，以的倒數第二行分別消去倒數第二列的所有元素，以此類推，就化為了一個階單位陣.只進行初等列變換利用類似方法即可證明.定理3任意一個矩陣都與一形式為的矩陣等價，它稱為矩陣的標準形，主對角線上1的個數等于的秩（1的個數可以為0）.證明：如果，顯然已經是標準形了.以下討論中，假定.設的秩為.當時，不妨設矩陣的前個行向量線性無關，那么通過初等行變換，可變換為.由定理1的引理可知，初等行變換不改變列向量組的線性相關性.又因為行秩等于列秩，因此再假設前個列向量線性無關.那么，經過初等列變換，可變換為.這時左上角是一個階方陣且秩為，根據引理這個階方陣可經過初等變換為單位陣.這樣就得到了所要的標準形.該單位陣階數為，因而1的個數也就是，即1的個數等于的秩.當時，此時是一個行滿秩矩陣.假設前個列向量線性無關，經過初等列變換，可變換為.這時，的左半部分為一個階方陣且秩為，可變換為單位陣.這樣就得到了所要的標準形.顯然，1的個數等于的秩.當時，此時是一個列滿秩矩陣.假設前個行向量線性無關，經過初等行變換，可變換為.這時，的上半部分為一個階方陣且秩為，可變換為單位陣.這樣就得到了所要的標準形.顯然，1的個數等于的秩.綜上所述，任何一個矩陣都可通過初等變化為標準形且1的個數等于矩陣的秩[19].3.2舉例說明例9求下列矩陣的標準形.1）；2）；3）；4）.1）該矩陣的行數等于列數，所以對矩陣首先進行初等行變換，變為階梯形矩陣.我們發現產生了元素全為零的行，因而接著進行初等列變換，使矩陣中出現元素全為零的列.這時，只需要對左上角元素進行簡單的初等變換，即可得到矩陣的標準形.2）該矩陣的行數大于列數，所以對矩陣進行初等行變換，變為階梯形矩陣.在變為階梯形矩陣過程中，產生了元素全為零的行，因而接著進行初等列變換，使矩陣中出現元素全為零的列.這時，只需要對左上角元素進行簡單的初等變換，即可得到矩陣的標準形..3）該矩陣的行數小于列數，所以對矩陣進行初等列變換，變為階梯形矩陣.在變為階梯形矩陣過程中，產生了元素全為零的列，因此該矩陣的秩為4.這時，我們發現矩陣是一個行滿秩矩陣.所以只需要對左半部分元素進行簡單的初等列變換，即可得到矩陣的標準形..4）該矩陣的行數等于列數，下列步驟與1）一致..在應用此方法求解矩陣的標準形時，首先比較行數和列數的大小關系，若行數等于列數或者行數大于列數，則先進行初等行變換，化矩陣為階梯形矩陣后進行初等列變換；若行數小于列數，則先進行初等列變換，化矩陣為階梯形矩陣后進行初等行變換，目的都是產生元素全為零的行和列.之后，對剩下的非零元素進行簡單的初等變換，即可得到矩陣的標準形.結論本文從矩陣的初等變換角度出發首先研究了矩陣的行秩等于列秩的問題，通過兩個引理給出了這一結論的重新證明。通過求解矩陣的秩實例進一步說明這一結論，更一步對矩陣理論知識的學習提供捷徑。緊接著針對這一結論借助級子式，建立了矩陣的秩與行列式之間的聯系，提供了從級子式角度求解矩陣的秩的思路，達到了對矩陣初等變換理論的進一步學習和研究的目標。最后，通過討論任意矩陣都可通過初等變換變為標準形矩陣，為化簡矩陣為標準形矩陣提供了新思路、新方法。本文主要做了以下工作：“矩陣的行秩等于列秩”的重新證明；“矩陣的秩為的充要條件是矩陣中有一個級子式不為零，同時所有級子式全為零”的重新證明；“任意矩陣都可經過初等變換變為標準形矩陣”的重新證明。參考文獻[1]董可榮.矩陣理論的歷史研究[D].山東大學碩士學位論