學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精6。3總體特征數的估計前面我們學習了用圖、表來表示樣本數據，并且學習了如何通過圖、表所提供的信息,用樣本的頻率估計總體的分布.為了從整體上更好地把握總體的規律，我們還需要通過樣本數據對總體的數字特征進行研究.在數學中，通常把能反映總體某種特征的量（如：平均數、方差、標準差等)稱為總體特征數。6。3．1平均數及其估計案例探究為了了解某地區高三學生的身體發育情況，抽查了地區內100名年齡為17。5～18歲的男生的體重情況，結果如下（單位：kg）56。569.56561.564.566。56464.57658.57273．556677057.565。56871756268。562．56659.563．564。567。57368557266.574636055。57064.5586470。55762．5656971．573625876716663．55659.563．5657074.568。56455.572．566。5687657.56071．55769.57464.55961．5676863．5585965。562．569。57264.575。568.5646265.558。567.570.5656666。5706359.5根據上述數據我們可以畫出樣本的頻率分布直方圖,并對相應的總體分布作出估計.由于圖中各小長方形的面積等于相應各組的頻率，這個圖形的面積反映了數據落在各個小組的頻率的大小。在得到了樣本的頻率后，就可以對相應的總體情況作出估計。例如從這些樣本數據的頻率分布直方圖可以看出，體重在(64.5,66。5）kg的學生比體重為其他值的學生數多，但他并沒有告訴我們多多少.試問:怎樣將各個樣本數據匯總為一個數值，并使它成為樣本數據的“中心點”?能否用一個數值來描寫樣本數據的離散程度？初中我們曾經學過眾數、中位數、平均數等各種數字特征。應當說，這些數字都能夠為我們提供關于樣本數據的特征信息。我們常用算術平均數（其中ai（i=1，2，…，n）為n個實驗數據）作為體重的最理想的近似值,它的依據是什么呢?處理實驗數據的原則是使這個近似值與實驗數據之間的離差最小，設這個近似值為x，那么它與n個實驗值ai（i=1,2，…，n）的離差分別為x－a1，x－a2，x－a3，…,x－an.由于上述離差有正有負,故不宜直接相加.可以考慮將各個離差的絕對值相加，研究｜x-a1｜+｜x—a2|+…+｜x-an|取最小值時x的值.但由于含有絕對值，運算不太方便，所以，考慮離差的平方和，即（x－a1）2＋（x－a2)2＋…＋（x－an）2，當此和最小時，對應的x的值作為近似值。因為（x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an）2＝nx2－2（a1＋a2＋…＋an）x+a12+a22+…+an2，所以當x=時離差的平方和最小，故可用作為表示體重的理想近似值，稱其為這n個數據a1，a2,…，an的平均數(average）或均值（mean），一般記為=。這樣,我們可以用計算器求得，該地區內100名年齡為17.5～18歲的男生的體重的最佳近似值為x＝65。5（kg）.這樣我們就得到了樣本平均數的求解方法:樣本數據的算術平均數，即=.Excel中函數“AVERAGE（）”可直接用于計算給定數據的平均數.如求12，12．4，12．8，13，12．2,12．8，12．3，12．5,12．5的平均數，可直接把它們輸到工作表中A1∶J1區域后,在某空白單元格中輸入“＝AVERAGE（A1∶H1）”即可，即得它們的平均數為12．5（如下圖）.自學導引1．在頻率分布直方圖中，眾數是指最高矩形的中點的橫坐標，中位數是指樣本數據中累積頻率為0.5時所對應的樣本數據值，平均數是指樣本數據的算術平均數.2．下列數字特征一定是數據組中數據的是（）A．眾數B．中位數C．標準差D．平均數答案：A3．數據：1，1，3，3的眾數和中位數分別是（)A．1或3,2B．3，2C．1或3，1或3D．3，3答案：A4.頻率分布直方圖的重心是(）A．眾數B．中位數C．標準差D．平均數答案：D疑難剖析【例1】某校高一年級的甲、乙兩個班級（均為50人)的語文測試成績如下：（總分：150）甲班：1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114乙班：116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110試確定這次考試中,哪個班的語文成績更好些.思路分析：我們可用一組數據的平均數衡量這組數據的水平，因此，分別求得甲、乙兩個班級的平均分即可。解析:用科學計算器或計算機分別求得甲班的平均分為101．1,乙班的平均分為105.4,故這次考試乙班成績要好于甲班。【例2】某教師出了一份共3道題的測試卷,每題1分,全班得3分、2分、1分和0分的學生所占比例分別為0。3、0.5、0。1和0。1．(1）若全班共10人，則平均分是多少？（2）若全班共20人，則平均分是多少？（3）若該班人數未知，能求出該班的平均分嗎？思路分析：上述所占比例就是各數據的頻率.解：由題意，平均分＝3×0。3＋2×0。5＋1×0。1＝2．答：全班的平均分為2分。思維啟示：各數據頻率確定時,平均數不受樣本容量的影響.【例3】某工廠人員及工資構成如下表:人員經理管理人員高級技工工人學徒合計周工資2200250220200100人數16510123合計22001500110020001006900(1）指出這個問題中周工資的眾數、中位數、平均數；（2)這個問題中，平均數能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么？思路分析：根據眾數、中位數、平均數各自的特點，選擇合適的數據反映該廠的工資水平.解析：由表格可知：眾數＝200，∵23的中間位置眾數是12，∴中位數＝220.平均數=（2200+1500+1100+2000+100)÷23=300.雖然平均數為300元/周，但由表格中所列出的數據可見,只有經理在平均數以上,其余的人都在平均數以下,故用平均數不能客觀真實地反映該工廠的工資水平.思維啟示：平均數受數據中的極端值的影響較大,妨礙了對總體估計的可靠性，這時平均數反而不如眾數、中位數更能反映客觀情況。拓展遷移【拓展點1】以往的招生統計數據顯示，某大學錄取的新生高考總分的中位數基本上穩定在550分.你的一位校友在今年的高考中得了520分，你是立即勸阻他報考這所大學，還是先查閱一下這所大學招生的其他信息？解釋一下你的選擇.提示:應該查閱一下這所大學的其他招生信息，例如平均信息、最低錄取分數線信息等，盡管該校友的分數位于中位數之下，而中位數本身并不能提供更多錄取分數分布的信息。在已知最低錄取分數線的情況下,很容易作出判斷；在已知平均數的情況下,如果平均數小于中位數很多,則說明最低錄取分數線較低，可以推薦該校友報考這所大學，否則還要獲取其他的信息（如標準差的信息）來作出判斷.【拓展點2】在一次人才招聘會上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收入水平很高”，“去年,在50名員工中，最高年收入達到了100萬，他們年收入的平均數是3。5萬”。如果你希望獲得年薪2.5萬元，(1)你是否能夠判斷自己可以成為此公司的一名高收入者？(2)如果招聘員繼續告訴你，“員工收入的變化范圍是從0.5萬到100萬”，這個信息是否足以使你作出自己是否受聘的決定?為什么？（3）如果招聘員繼續給你提供了如下信息，員工收入的中間0。5(即去掉最少的0.25和最多的0.25后所剩下的）的變化范圍是1萬到3萬，你又該如何使用這條信息來作出是否受聘的決定？（4）你能估計出收入的中位數是多少嗎?為什么均值比估計出的中位數高很多？答案：（1）不能，因為平均收入和最高收入相差太多，說明高收入的職工只占極少數.現在已經知道至少有一個人的收入為