學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精1。1導數的概念1。1。1平均變化率1.1。2瞬時變化率——導數知識梳理1。函數f(x）在區間［x1，x2］上的平均變化率為___________.2。設物體運動的路程與時間的關系是s=f(t），當Δt趨近于0時，函數f(t）在t0+Δt之間的平均變化率趨近于常數。我們把這個常數稱為t0時刻的____________.3.函數y=f（x)在x0處的導數f′（x0)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在(x0，f(x0))處切線的斜率,即k=f′（x0）=_____________.知識導學要學好本節內容，最重要的是理解平均變化率和瞬時變化率的概念。本節的重點是導數的定義及其幾何意義，難點是利用割線逼近的方法求曲線在某點處的導數,及兩種變化率之間的關系。疑難突破1。正確理解平均變化率和瞬時變化率的關系。剖析:平均變化率和瞬時變化率都是反映事物變化程度的量,平均變化率表示的是曲線在某區間上的變化趨勢；瞬時變化率表示的是曲線上某一點處的變化趨勢。2。怎樣理解導數的定義及幾何意義?剖析:導數是函數在某一點處的瞬時變化率，導數的幾何意義就是曲線y=f（x)在點P(x0，f（x0）)處的切線的斜率.導數的概念就是變量變化速度在數學上的一種抽象,深刻理解導數的定義是本節的關鍵。典題精講【例1】已知f（x）=x2,求曲線y=f（x)在x=3處的切線斜率.思路分析：為求得過點（3,9）處的切線斜率，我們從經過點（3，9）的任意一條直線(割線）入手。解：設P（3，9),Q(3+Δx，（3+Δx）2)，則割線PQ的斜率為kPQ==6+Δx。當Δx無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數6,從而曲線y=f(x)在點P(3，9)處的切線斜率為6。綠色通道:利用割線逼近切線的方法，求曲線在某一點處的切線斜率的方法是一種比較直觀的解題方法。變式訓練：已知f(x）=2x2，求曲線y=f(x）在x=1處的切線斜率。思路分析:為求得過點（1,2)處的切線斜率，我們從經過點（1，2)的任意一條直線(割線）入手。解：設P(1,2）,Q（1+Δx,2（1+Δx）2),則割線PQ的斜率為kPQ==4+2Δx。當Δx無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數4,從而曲線y=f（x）在點P(1,2)處的切線斜率為4.【例2】已知f(x)=x2+3。（1)求f（x）在x=1處的導數；(2）求f（x)在x=a處的導數。思路分析：函數在某一點處的導數實際上就是相應函數圖象在該點切線的斜率,深刻理解概念是正確解題的關鍵。解：(1)因為=2+Δx，當Δx無限趨近于0時，2+Δx無限趨近于2,所以f（x）在x=1處的導數等于2。（2)因為=2a+Δx，且當Δx無限趨近于0時，2a+Δx無限趨近于2a,所以f（x)在x=a處的導數等于2a。綠色通道：本題主要考查對導數概念的理解程度，及應用定義解題的熟煉程度。變式訓練：已知f(x）=3x+5,求當x=2時的導數.思路分析：函數在某一點處的導數的幾何意義就是函數圖象在該點切線的斜率。解:因為.所以f（x)在x=2時的導數為3.【例3】已知曲線y=3x2-x，求曲線上一點A(1，2）處的切線的斜率及切線方程.思路分析:求曲線上某點的切線斜率就是求函數在那一點的導數值.解:因為,當Δx趨近于0時,5+3Δx就趨近于5,所以曲線y=3x2—x在點A（1,2)處的切線斜率是5.切線方程為y-2=5(x—1),即5x-y—3=0。綠色通道：根據導數的定義將切線的斜率求出，再根據點斜式方程求出切線方程，這是用導數求某點處切線的一般方法。變式訓練：已知曲線y=上一點P(2,），求點P的切線斜率及點P處的切線方程.思路分析:先求出某點處的切線斜率，即求該函數在某點處的導數，然后利用導數定義求解。解：因為=4+2Δx+,當Δx趨近于0時,4+2Δx+就趨近于4，所以曲線y=上點P（2,)處的切線斜率為4，切線方程為，即問題探究問題：某鋼管廠生產鋼管的利潤函數為P（n）=-n3+600n2+67500n—1200000，其中n為工廠每月生產該鋼管的根數,利潤P（n)的單位是元。（1)求邊際利潤函數P′（n)=0時n的值;(2）解釋（1）中n的實際意義。導思：這是一道有關邊際函數的實際應用題,由于利潤函數已給出，只需先求邊際利潤函數P′（n）,再根據P′(n)=0解出n的值即可.探究：(1)因為=（-3n2+1200n+67500)+Δn.當Δn無限趨近于0時,—3n2+1200n+67500+Δn無限趨近于-3n2+1200n+67500.∴P′(n)=-3n2+1200n+67500.由P′(n)=0，即—3n2+1