學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2。2間接證明知識梳理證明不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立，這種不直接證明的方法通常稱為__________.如反證法，反證法的證明過程概括為：“__________"“__________"“__________"“__________",即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程。知識導(dǎo)學(xué)在數(shù)學(xué)證明問題時(shí)，如果直接證明或正面證明不易證出或不易入手的情況下,可從反面證，用反證法來證，反證法的應(yīng)用需要逆向思維,依據(jù)是互為逆否命題的等價(jià)性，即要證原命題成立，只需證逆否命題成立，用反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等,反證法主要適用于以下兩種情形：(1）要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;(2）如果從正面證明，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面進(jìn)行證明,只要研究一種或很少的幾種情形,學(xué)習(xí)時(shí)注意體會。疑難突破反證法證明過程包括三個(gè)步驟剖析:（1）反設(shè)—-假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真。（2）歸謬-—從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理得出矛盾結(jié)果。（3)存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立，那么為什么這樣證？其理論根據(jù)又是什么呢？用反證法證明的依據(jù)是互為逆否命題的等價(jià)性，即“若p則q”等價(jià)于“若q則p”成立，這里得出矛盾可以與某個(gè)已知條件矛盾，可以是與某個(gè)事實(shí)、定理、公理矛盾，也可以與自身相矛盾,反證法的使用范圍是正面不太容易證，而反面好證的情況下,“存在性”“唯一性”“至多”“至少”等問題常用反證法。典題精講【例1】已知p3+q3=2,求證:p+q≤2。思路分析：本題的已知為三次式,且很難降次,雖然可分解為（p+q）（p2—pq+q2）=2，但還出現(xiàn)了我們不需要的二次式p2-pq+q2，所以正面很難入手，而所證的是一次式p+q，由一次式很容易升高次數(shù)，所以可用反證法.證明：假設(shè)p+q=t＞2，則p＞2-q.∴p3＞(2—q）3.∵p3+q3=2，∴p3+q3＞(2—q)3+q3=8-12q+6q2-q3+q3=8—12q+6q2=6(q-1）2+2≥2.∴2＞2與事實(shí)矛盾.綠色通道：在已知次數(shù)較高，而所證次數(shù)較低，正面解答不易時(shí)，可用反證法，注意反證法假設(shè)要全部否定結(jié)論.變式訓(xùn)練:設(shè)a、b都是整數(shù)，且a2+b2能被3整除.求證：a和b都能被3整除。證明：假設(shè)a、b中至少有一個(gè)不被3整除.不妨設(shè)a=3k+m（m=1或m=2且k∈Z),當(dāng)b=3n(n∈Z),則a2+b2=（3k+m)2+（3n)2=9k2+6km+m2+9n2=3（3k2+2km+3n2）+m2。∵3（3k2+2km+3n2)能被3整除，m2不能被3整除，∴a2+b2不能被3整除,與已知矛盾。當(dāng)b=3n+1(n∈Z）時(shí)，a2+b2=(3k+m）2+(3n+1)2=9k2+6km+m2+9n2+6n+1=3（3k2+2km+3n2+2n）+m2+1.∵m2+1不能被3整除，∴a2+b2不能被3整除，與已知矛盾。當(dāng)b=3n+2(n∈Z）時(shí),a2+b2=（3k+m)2+(3n+2)2=9k2+6km+m2+9n2+12n+4=3(3k2+2km+3n2+4n）+m2+4.∵m2+4不能被3整除,∴a2+b2不能被3整除，與已知矛盾.綜上,可知a和b都能被3整除。【例2】證明是無理數(shù)。思路分析：無理數(shù)的概念是不是有理數(shù)的數(shù)，所以正面不易說明。若假設(shè)是有理數(shù)得出矛盾就能說明不是有理數(shù)，而是無理數(shù)。證明:假定是有理數(shù),則可設(shè)，其中p、q為互質(zhì)的正整數(shù)。∴2=,即q2=2p2。∴q2是偶數(shù)。∴q也是偶數(shù)。設(shè)q=2m(m為整數(shù)）,則4m2=2p2。∴p2=2m2.∴p∴p也是偶數(shù).∴p、q都是偶數(shù)，有公因數(shù)2，與p、q互為質(zhì)數(shù)矛盾.∴假設(shè)是有理數(shù)不成立。∴是無理數(shù)。綠色通道：在證明“不是"或“沒有"等否定性命題時(shí)常用反證法。變式訓(xùn)練:求證：正弦函數(shù)沒有比2π小的正周期。證明：假設(shè)正弦函數(shù)y=sinx有比2π小的正周期T，(0＜T＜2π），則sin（x+T）=sinx，對于任意x都成立,∴x=0時(shí)，sinT=0.∴T=π。∴sin(x+π）=sinx。但當(dāng)x=時(shí)，sin（+π)=-1，sin=1,sin(x+π）≠sinx，與sin（x+π)=sinx矛盾.∴正弦函數(shù)沒有比2π小的正周期.【例3】已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1，ac+bd＞1。求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).思路分析：本題要證a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)，具體有一個(gè)負(fù)數(shù)？兩個(gè)負(fù)數(shù)？三個(gè)負(fù)數(shù)?還是四個(gè)負(fù)數(shù)?都有可能，誰是負(fù)數(shù)也都有可能。所以正面證明很復(fù)雜，對于“至多”“至少”性問題可用反證法。證明：假設(shè)a、b、c、d都不是負(fù)數(shù)，即a≥0,b≥0，c≥0，d≥0。∵a+b=c+d=1,∴b=1-a≥0,d=1—c≥0.∴ac+bd=ac+(1—a)(1—c）=2ac—(a+c）+1=（ac-a)+(ac-c)+1=a（c-1)+c(a—1)+1。∵a（c-1)≤0，c（a-1）≤0，∴a（c-1）+c(a-1）+1≤1，即ac+bd≤1。與ac+bd＞1相矛盾.∴假設(shè)不成立.∴a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).綠色通道:對于“至多”“至少"類命題的證明，常用反證法。變式訓(xùn)練：已知a、b、c∈(0,1），求證：（1-a）b，(1—b）c,（1—c）a不能同時(shí)大于.證法一:假設(shè)三式同時(shí)大于,即b-ab＞，c—bc＞，a—ac＞。相乘得a（1-a)b（1-b）c（1—c）＞.又∵a、b、c∈(0,1),a(1—a)≤,b（1—b)≤,c（1—c)≤，∴a（1-a）b（1-b)c(1—c）≤。矛盾,∴假設(shè)不成立，即（1-a）b,(1—b)c,（1—c)a不能同時(shí)大于。證法二:假設(shè)三式同時(shí)大于.∵0＜a＜1，∴1-a＞0，.同理，。三式相加得矛盾，∴假設(shè)不成立.∴（1-a）b，（1-b）c，(1-c)a不能同時(shí)大于。問題探究問題：1,,2能否為同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)？導(dǎo)思:有些問題在不定性或結(jié)論不確定時(shí)，我們可進(jìn)行探索性研究，可從正面研究。若正面不易研究，再從反面研究，或假設(shè)成立會導(dǎo)致什么結(jié)果，或舉反例否定，從而確定答案，下結(jié)論.探究：目前等差數(shù)列是誰不知道,無法正面驗(yàn)證，只能從反面假設(shè)，是同一等差數(shù)列中的三項(xiàng)，得出矛盾說明假設(shè)錯(cuò)誤，原結(jié)論正確；得不