9/9函數(shù)的應用（二）【學習目標】1．會利用已知函數(shù)模型解決實際問題。2．能根據(jù)實際問題，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型求解問題。【學習重難點】1．指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型在實際問題中的應用。2．根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型。【學習過程】問題導學預習教材P42－P44的內容，思考以下問題：1．一次、二次函數(shù)的表達形式分別是什么？2．指數(shù)函數(shù)模型、對數(shù)函數(shù)模型的表達形式是什么？【新知初探】幾類常見的函數(shù)模型名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型y＝eq\f(k,x)＋bk≠0二次函數(shù)模型一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0指數(shù)函數(shù)模型y＝b·ax＋ca＞0且a≠1，b≠0對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋na＞0且a≠1，m≠0冪函數(shù)模型y＝axn＋ma≠0，n≠1【自我檢測】1．判斷正誤（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）在一次函數(shù)模型中，系數(shù)k的取值會影響函數(shù)的性質。（）（2）在冪函數(shù)模型的解析式中，a的正負會影響函數(shù)的單調性。（）2．某自行車存車處在某一天總共存放車輛4000輛次，存車費為電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛。若該天普通自行車存車x輛次，存車費總收入為y元，則y與x的函數(shù)關系式為（）A．y＝0.2x（0≤x≤4000）B．y＝0.5x（0≤x≤4000）C．y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000）D．y＝0.1x＋1200（0≤x≤4000）3．某工廠2018年生產某產品2萬件，計劃從2019年開始每年比上一年增產20%，則這家工廠生產這種產品的年產量超過6萬件的起始年份是（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）（）A．2022年B．2023年C．2024年D．2025年探究一、利用已知函數(shù)模型解決問題1．某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加成本100元，已知總收益滿足函數(shù)：R（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2（0≤x≤400）,80000（x>400）))，其中x為月產量。（1）將利潤表示為月產量x的函數(shù)；（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少？[規(guī)律方法]eq\a\vs4\al()理解所給函數(shù)模型中各量的意義，利用已知量求解析式，進而求函數(shù)的問題來解釋實際問題。2．某工廠生產某種產品的固定成本為200萬元，并且生產量每增加一個單位產品，成本增加1萬元，又知總收入R是單位產量Q的函數(shù)：R（Q）＝4Q－eq\f(1,200)Q2，則總利潤L（Q）的最大值是__________萬元，這時產品的生產數(shù)量為________單位。探究二、構造函數(shù)模型解決問題3．目前某縣有100萬人，經過x年后為y萬人。如果年平均增長率是1．2%，請回答下列問題：（1）寫出y關于x的函數(shù)解析式；（2）計算10年后該縣的人口總數(shù)（精確到0.1萬人）；（3）計算大約多少年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬。（精確到1年）[規(guī)律方法]建立函數(shù)模型應把握的三個關口（1）事理關：通過閱讀、理解，明白問題講什么，熟悉實際背景，為解題打開突破口。（2）文理關：將實際問題的文字語言轉化為數(shù)學的符號語言，用數(shù)學式子表達數(shù)學關系。（3）數(shù)理關：在構建數(shù)學模型的過程中，對已有的數(shù)學知識進行檢驗，從而認定或構建相應的數(shù)學問題。4．某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車出租。該景區(qū)有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元。根據(jù)經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每超過1元，租不出的自行車就增加3輛。為了便于結算，每輛自行車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租自行車一日的總收入必須高于這一日的管理費用，用y（元）表示出租自行車的日凈收入（日凈收入＝一日出租自行車的總收入－管理費用）。（1）求函數(shù)y＝f（x）的解析式及其定義域；（2）試問當每輛自行車的日租金定為多少元時，才能使日凈收入最多？探究三、擬合函數(shù)模型解決問題5．某經營商經營了A、B兩種商品，逐月投資金額與所獲純利潤列表如下：投資A種商品金額（萬元）123456獲純利潤（萬元）0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額（萬元）123456獲純利潤（萬元）0.250.490.7611.261.51該經營者準備第七個月投入12萬元經營這兩種商品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬元才合算。請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經營者第七個月可獲得的最大純利潤（結果保留兩位有效數(shù)字）。[規(guī)律方法]eq\a\vs4\al()函數(shù)擬合與預測的一般步驟（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點圖。（2）通過觀察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線。（3）求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關系式。（4）利用函數(shù)關系式，根據(jù)條件對所給問題進行預測和控制，為決策和管理提供依據(jù)。6．蘆薈是一種經濟價值很高的觀賞、食用植物，不僅可美化居室、凈化空氣，還可美容保健，因此深受人們歡迎，在國內占有很大的市場。某人準備進軍蘆薈市場，栽培蘆薈，為了了解行情，進行市場調研，從4月1日起，蘆薈的種植成本Q（單位：元/10kg）與上市時間t（單位：天）的數(shù)據(jù)情況如下表：t50110250Q150108150（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個最能反映蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt。（2）利用你選擇的函數(shù)，求蘆薈種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本。【達標反饋】1．某市的房價（均價）經過6年時間從1200元/m2增加到了4800元/m2，則這6年間平均每年的增長率是（）A．600元B．50%C．eq\r(3,2)－1D．eq\r(3,2)＋12．“彎弓射雕”描述了游牧民族的豪邁氣概。當弓箭手以每秒a米的速度從地面垂直向上射箭時，t秒后的高度x米可由x＝at－5t2確定。已知射出2秒后箭離地面高100米，則弓箭能達到的最大高度為________米。3．某游樂場每天的盈利額y元與銷售的門票張數(shù)x之間的函數(shù)關系如圖所示，試由圖像解決下列問題：（1）求y與x的函數(shù)解析式；（2）要使該游樂場每天的盈利額超過1000元，每天至少賣出多少張門票？【參考答案】【自我檢測】1．答案：（1）√（2）√2．答案：C3．答案：D探究一、利用已知函數(shù)模型解決問題1．【解】（1）設月產量為x臺，則總成本G（x）＝20000＋100x，利潤f（x）＝R（x）－G（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－20000（0≤x≤400）,60000－100x（x>400）))。（2）由0≤x≤400時，f（x）＝－eq\f(1,2)（x－300）2＋25000.所以當x＝300時，f（x）取得最大值25000元。當x＞400時，f（x）＝60000－100x是減函數(shù)，f（x）＜60000－100×400＝20000＜25000.所以當x＝300時，f（x）的最大值為25000元。即每月生產300臺儀器時，能獲得最大利潤，最大利潤為25000元。2．解析：總利潤＝總收入－成本，L（Q）＝4Q－eq\f(1,200)Q2－（200＋Q）＝－eq\f(1,200)（Q－300）2＋250.所以產品的生產數(shù)量為300單位時，總利潤L（Q）的最大值是250萬元。答案：2503003．【解】（1）當x＝1時，y＝100＋100×1．2%＝100（1＋1．2%）；當x＝2時，y＝100（1＋1．2%）＋100（1＋1．2%）×1．2%＝100（1＋1．2%）2；當x＝3時，y＝100（1＋1．2%）2＋100（1＋1．2%）2×1．2%＝100（1＋1．2%）3；…故y關于x的函數(shù)解析式為y＝100（1＋1．2%）x（x∈N*）。（2）當x＝10時，y＝100×（1＋1．2%）10＝100×1．01210≈112．7．故10年后該縣約有112．7萬人。（3）設x年后該縣的人口總數(shù)為120萬，即100×（1＋1．2%）x＝120，解得x＝log1．012eq\f(120,100)≈16．故大約16年后該縣的人口總數(shù)將達到120萬。4．解：（1）當x≤6時，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2．3．因為x∈N*，所以3≤x≤6，x∈N*，當x＞6時，y＝[50－3（x－6）]x－115．令[50－3（x－6）]x－115＞0，得3x2－68x＋115＜0.又x∈N*，解得2≤x≤20，所以6＜x≤20，x∈N*，故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(50x－115，3≤x≤6，x∈N*，,－3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N*，))定義域為{x|3≤x≤20，x∈N*}。（2）對于y＝50x－115（3≤x≤6，x∈N*），顯然當x＝6時，ymax＝185，對于y＝－3x2＋68x－115＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(34,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(811,3)（6＜x≤20，x∈N*）。當x＝11時，ymax＝270，因為270＞185，所以當每輛自行車的日租金定為11元時，才能使日凈收入最多。5．【解】以投資額為橫坐標，純利潤為縱坐標，在平面直角坐標系中畫出A，B兩種商品的散點圖分別如圖①②所示。觀察散點圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進行模擬。取點（4，2）為最高點，則y＝a（x－4）2＋2，再把點（1，0.65）代入，得0.65＝a（1－4）2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15（x－4）2＋2．B種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用一次函數(shù)模型進行模擬。設y＝kx＋b，取點（1，0.25）和點（4，1），代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.25＝k＋b，,1＝4k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝0.25，,b＝0，))所以y＝0.25x。故前六個月所獲純利潤y關于月投資A種商品的金額x的函數(shù)關系式是y＝－0.15（x－4）2＋2，前六個月所獲純利潤y關于月投資B種商品的金額x的函數(shù)關系式是y＝0.25x。設第七個月投入A，B兩種商品的資金分別為xA，xB（萬元），總利潤為W（萬元），那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xA＋xB＝12，,W＝y(tǒng)A＋yB＝－0.15（xA－4）2＋2＋0.25xB.))所以W＝－0.15eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xA－\f(19,6)))eq\s\up12(2)＋0.15×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,6)))eq\s\up12(2)＋2．6．所以當xA≈3．2時W最大約為4．1，此時xB≈8．8．即該經營者第七個月把12萬元中的3．2萬元投資A種商品，8．8萬元投資B種商品，可獲得最大利潤約為4．1萬元。6．解：（1）由所提供的數(shù)據(jù)可知，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數(shù)不可能是常值函數(shù)，若用函數(shù)Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一個來反映時都應有a≠0，且上述三個函數(shù)均為單調函數(shù)，這與表格所提供的數(shù)據(jù)不符合，所以應選用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c進行描述，將表格所提供的三組數(shù)據(jù)分別代入函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(150＝2500a＋50b＋c，,108＝12100a＋110b＋c，,150＝62500a＋250b＋c.))解得a＝eq\f(1,200)，b＝－eq\f(3,2)，c＝eq\f(425,2)。所以，刻畫蘆薈種植成本Q與上市時間t的變化關系的函數(shù)為Q＝eq\f(1,200)t2－eq\f(3,2)t＋eq\f(425,2)。（2）當t＝－eq\f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150（天）時，蘆薈種植成本最低為Q＝eq\f(1,200)×1502－eq\f(3,2)×150＋eq\f(425,2)＝100（元/10kg）。【達標反饋】1．解析：選C．設6年間平均增長率為x，則有1200（1＋x）6＝4800，解得x＝eq\r(3,2)－1．2．解析：由x＝at－5t2且t＝2時，x＝100，解得a＝60.所以x＝60t－5t2．由x＝－5t2＋60t＝－5（t－6）2＋180，知當t＝6時，x取得最大值為180，即弓箭能達到的最大高度為180米。答案：1803．解：（1）由圖像知，可設y