2.7導數的應用考點01：面積體積最大值1．某學校高二年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某“著名品牌”系列進行市場銷售量調研，通過對該品牌的系列一個階段的調研得知，發現系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（元/千克）近似滿足關系式，其中，為常數.已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.（1）求函數的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷售價格的值，使該商場每日銷售系列所獲得的利潤最大.【答案】（1）；（2）當銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.【詳解】分析：（1）根據題意已知銷售價格為6元/千克時，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）設該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，然后根據利潤計算式得出具體表達式，然后根據導數求最值思維求解即可.詳解：（1）有題意可知，當時，，即，解得，所以.（2）設該商場每日銷售系列所獲得的利潤為，則，，令，得或（舍去），所以當時，為增函數；當時，為減函數，故當時，函數在區間內有極大值點，也是最大值點，即時函數取得最大值.所以當銷售價格為5元/千克時，系列每日所獲得的利潤最大.點睛：考查函數的表示，導函數最值的應用，正確理解題意，寫出具體表達式，然后借助導數分析思維求解是解題關鍵，做此類題要有耐心，認真審題，讀懂題意，屬于中檔題.2．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的產值函數為(單位：萬元)，成本函數為(單位：萬元)．(1)求利潤函數；(提示：利潤＝產值－成本)(2)問年造船量安排多少艘時，可使公司造船的年利潤最大？【答案】(1)且；(2)當年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大.【分析】（1）根據，可得函數關系式；（2）求導函數，確定函數的單調性，從而得到函數的最值.【詳解】（1）由題可得且；（2）因為，由，得或(舍去)，當時，單調遞增，當時，單調遞減，∴當時，取得極大值，也為最大值，∴當年造船量安排12艘時，可使公司造船的年利潤最大．考點02：利潤最大值3．某種兒童型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區域是矩形，其外周長為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個半球體積之和.假設的長為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關于的函數關系式；（2）如何設計與的長度，使得最大？【答案】（1），（2）當為毫米，為毫米時，防蚊液的體積有最大值.【分析】（1）由矩形其外周長為毫米，設的長為毫米，可得AB的長度，再根據圓柱和球的體積公式即可求得防蚊液的體積關于的函數關系式；（2）對（1）求得的函數關系式求導得，據此討論函數單調性，根據函數單調性即可確定防毒液體積最大值．【詳解】解：（1）由得，由得，所以防蚊液體積，（2）求導得，令得；令得，所以在上單調增，在上單調減，所以當時，有最大值，此時，，答：當為毫米，為毫米時，防蚊液的體積有最大值.【點睛】本題是考查關于函數及其導數的一道應用題，難度不大．4．某市城郊由3條公路圍成的不規則的一塊土地（其平面圖形為圖所示）．市政府為積極落實“全民健身”國家戰略，準備在此地塊上規劃一個體育館．建立圖所示的平面直角坐標系，函數的圖象由曲線段和直線段構成，已知曲線段可看成函數的一部分，直線段（百米），體育館平面圖形為直角梯形（如圖所示），，．（參考數據：）

(1)求函數的解析式；(2)在線段上是否存在點，使體育館平面圖形面積最大？若存在，求出該點到原點的距離；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，（百米）．【分析】（1）根據函數圖象即可得出解析式；（2）寫出面積表達式，利用導數求函數單調性，即可得出點的位置.【詳解】（1）由題意，因為在曲線上，即，，所以，．又因為，，所以線段方程為，所以，．所以函數的解析式為：．（2）由題意及（1）得，在中，設點坐標為，則．又，，點坐標為，所以直角梯形的面積，即，所以．令，解得．當時，；當時，．所以在上單調遞增，在上單調遞減．所以時，函數取得最大值．故在線段上存在點，使體育館平面圖形面積最大，且到的距離（百米）．考點03：成本最小問題5．某城鎮在規劃的一工業園區內架設一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設電線．已知建造一座高壓線電塔需2萬元，搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費用等為萬元，所有高壓電線塔都視為“點”，且不考慮其他因素，記余下的工程費用為y萬元．(1)試寫出y關于x的函數關系式．(2)問：需要建造多少座高壓線塔，才能使工程費y有最小值？最小值是多少？（參考數據：）【答案】(1)(2)需建19座高壓線塔可使得余下的工程費用最低，且最小值為44.72萬元【分析】（1）由已知可得工程費用包括建造高壓線電塔所需費用和搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費用的總和，即可列出函數關系式；（2）利用導數求解函數的單調性，然后求出最小值即可.【詳解】（1）（1）由題意知，需要新建的高壓線塔為座．

所以，

即．（2）由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函數y在區間上單調遞減；在區間上單調遞增．

所以當時，函數y取得最小值，且，此時應建高壓線塔為（座）．

故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費用最低，且最小值為44.72萬元．6．由于多種因素影響，某地豬肉價格節節攀升，該地方政府為落實“迅速采取有力措施穩定生豬生產，確保豬肉供應和市場基本穩定”這一重要指示，決定對宰殺生豬的定點廠家提供政府補貼，平衡豬肉的市場價格.設豬肉的市場價格為元/千克，政府補貼為元/千克，根據市場調查，當時，豬肉市場日供應量萬千克近似地滿足關系：，日需求量萬千克近似地滿足關系：已知豬肉市場價格為26元/千克時，日需求量為13.2萬千克，定義豬肉市場日供應量與日需求量相等時的市場價格為豬肉市場的平衡價格.（1）將政府補貼表示為市場平衡價格的函數，并求出該函數的值域；（2）為使市場的平衡價格不高于28元/千克，政府補貼應至少為每千克多少元？【答案】（1）函數；值域為；（2）應至少為元/千克.【解析】（1）根據題中條件，先求出，進而得出，設，所以，由導函數的方法研究其單調性，進而可得出值域；（2）根據（1）的結果，得到時，，進而可得出結果.【詳解】（1）因為當豬肉市場價格為26元/千克時，日需求量為13.2萬千克，所以，解得；根據題意，由得，所以.設，所以，所以，所以是關于的減函數，所以當時，；當時，，所以函數的值域為；（2）由（1）得，當時，，由（1）易知是關于的減函數，所以欲使，則需；答：要使市場的平衡價格不高于28元/千克，政府補貼應至少為元/千克.【點睛】思路點睛：本題主要考查導數在生活中的應用，屬于常考題型.求解此類問題時，一般需要根據題中條件，先得出函數解析式，再對函數求導，根據導數的方法研究函數單調性，得出最值，即可確定結果.考點04：用料最省問題7．工廠需要圍建一個面積為512的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長度y（單位：m）是利用原有墻壁長度x（單位：m）的函數．(1)寫出y關于x的函數解析式，并確定x的取值范圍；(2)隨著x的變化，y的變化有何規律？(3)當堆料場的長、寬比為多少時，需要砌起的新墻用的材料最??？【答案】(1)(2)見解析；(3).【分析】（1）利用題意建立函數關系即可；（2）根據函數關系利用導數研究其單調性即可；（3）根據（2）求函數的極值、最值即可.【詳解】（1）由題意可知與原有墻壁垂直的新墻長度為：，則，所以y關于x的函數解析式為，；（2）由（1），顯然當時，，即此時隨著x的增大，y也增大；當時，，即此時隨著x的增大，y減??；（3）由（2）可知，當時，y可取得極小值也是最小值，此時，所以長和寬分別為32，16時最省料，此時長寬比為.8．工廠需要圍建一個面積為512的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁．我們知道，砌起的新墻的總長度（單位：）是利用原有墻壁長度（單位：）的函數．(1)寫出關于的函數解析式，確定的取值范圍．(2)堆料場的長、寬之比為多少時，需要砌起的新墻用的材料最省？【答案】(1)，(2)堆料場的長寬之比為2:1時，需要砌的墻所用材料最省.【分析】（1）求出矩形堆料場的另一邊新墻的長度為，得到砌起的新墻的總長度為，；（2）在第一問的基礎上，利用導函數得到函數的單調性，得到時，最小，此時，故得到長寬之比為2:1，可得結論．【詳解】（1）由題意知，矩形堆料場利用原有的墻壁的邊長為，另一邊為，則砌起的總長度，；（2），令得：（舍去），當時，，當時，.故當時，隨著的增大而減小，當時，隨著的增大而增大.由以上可知，當長，寬時，有最小值，所以堆料場的長與寬的比為2:1時，需要砌的墻所用材料最省.1．某箱子的容積與底面邊長的關系為，則當箱子的容積最大時，箱子底面邊長為（

）A． B． C． D．其他【答案】B【分析】首先求函數的導數，利用導數判斷函數的單調性，即可求得函數的最大值，以及取得最值的值.【詳解】，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以當時，取得最大值，故選：B2．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.已知銷售額函數是（x是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（

）A．6萬斤 B．8萬斤 C．3萬斤 D．5萬斤【答案】A【分析】銷售利潤為,根據得．可得，利用導數研究其單調性即可得出．【詳解】設銷售利潤為，得，，當時，，解得．，，函數在上單調遞增，在上單調遞減．時，函數取得極大值即最大值，故選：A3．已知某幾何體由兩個有公共底面的圓錐組成，兩個圓錐的頂點分別為，，底面半徑為．若，則該幾何體的體積最大時，以為半徑的球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知該幾何體的體積為，令，求導得到當時取得最大值，從而利用球的體積公式即可求解.【詳解】由題意可知該幾何體的體積為，令，則，令，得（舍去），則時，，單調遞增，時，，單調遞減，故當時，取得最大值，此時該幾何體的體積最大．則以2為半徑的球的體積為．故選：C．4．某城市要在廣場中央的圓形地面設計一塊浮雕，彰顯城市積極向上的活力.某公司設計方案如圖，等腰△PMN的頂點P在半徑為20的大⊙O上，點M，N在半徑為10的小⊙O上，點O，P在弦MN的同側.設，當△PMN的面積最大時，對于其它區域中的某材料成本最省，則此時（

）A． B． C． D．0【答案】C【分析】設△PMN的面積為，進而得，利用導數研究函數的單調性求出函數的最大值，結合二倍角的余弦公式計算即可得出結果.【詳解】等腰△PMN中，，設△PMN的面積為，則，，求導，令，即，解得：（舍去負根），記，，當，，函數單調遞增；當，，函數單調遞減；故當時，即，取得極大值，即最大值，則故選：C.5．進入4月份以來，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業的汽車運輸隊從高速公路向上海運送抗疫物資.已知A地距離上海500，設車隊從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為.已知車隊每小時運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的立方成正比，比例系數為b，固定部分為a元.若，，為了使全程運輸成本最低，車隊速度v應為（

）A．80 B．90 C．100 D．110【答案】C【分析】設運輸成本為元，依題意可得，利用導數求出函數的單調性，即可得到函數的極小值點，從而得解；【詳解】解：設運輸成本為元，依題意可得，則所以當時，當時，當時，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時取得極小值即最小值，所以時全程運輸成本最低；故選：C6．生物學家為了研究某生物種群的數量情況，經過數年的數據采集，得到該生物種群的數量Q（單位：千只）與時間t（，單位：年）的關系近似地符合，且在研究剛開始時，該生物種群的數量為5000只．現有如下結論：①該生物種群的數量不超過40000只；②該生物種群數量的增長速度逐年減??；③該生物種群數量的年增長量不超過10000只．其中所有正確說法的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意可知，求出，然后得，化成帶分式便可求出的取值范圍判斷①，對求導，根據單調性便可求出增長速度，可判斷②③.【詳解】解：由題意得：，即，解得，故．因為，故①正確；因為，可知當時，單調遞增，當時，單調遞減，故該生物種群數量的增長速度先增大后減小，故②錯誤；當時，，故③正確.故選C．7．（多選）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴一些？高二某研究小組針對飲料瓶的大小對飲料公司利潤的影響進行了研究，調查如下：某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是分，其中r（單位：cm）是瓶子的半徑．已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分（不考慮瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．下面結論正確的有（

）（注：；利潤可為負數）A．利潤隨著瓶子半徑的增大而增大 B．半徑為6cm時，利潤最大C．半徑為2cm時，利潤最小 D．半徑為3cm時，制造商不獲利【答案】BCD【分析】先根據條件及球的體積公式求出每瓶液體材料的利潤的解析式，再利用導數的性質即可逐一判斷．【詳解】由已知，每個瓶子的利潤為，，則，所以當時，，此時函數單調遞減，故A錯誤；又當時，，函數單調遞增，又，則當時，函數取得最大值，故B正確；當時，函數取得最小值，故C正確；又，故D正確．故選：BCD．8．（多選）已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1000件需另投入2.7萬元.設該公司一年內生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且當該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大時，則有（

）A．年產量為9000件 B．年產量為10000件C．年利潤最大值為38萬元 D．年利潤最大值為38.6萬元【答案】AD【分析】根據利潤銷售收入成本，將利潤表示為關于的函數，根據導數判斷單調性求最值即可得結果.【詳解】設年利潤為W.當時，，.令，得（舍負），且當時，；當時，；所以當時，年利潤W取得最大值38.6；當時，，.令，得（舍負），所以當時，年利潤W取得最大值38.因為，所以當年產量為9000件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大，且年利潤最大值為38.6萬元.故選：AD.9．已知泳池深度為，其容積為，如果池底每平方米的維修費用為元．設入水處的較短池壁長度為，且據估計較短的池壁維修費用與池壁長度成正比，且比例系數為，較長的池壁總維修費用滿足代數式，則當泳池的總維修費用最低時的值為．【答案】【分析】將池壁的總維修費用表示為關于的函數，利用導數可求得的單調性，結合單調性可得最小值點，從而得到結果.【詳解】由題意知：池底面積為，則池底維修費用為（元）；表示較短池壁長，，解得：，池壁的總維修費用表達式為，，令，解得：，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增，當時，取得最小值，即此時泳池的總維修費用最低.故答案為：.10．如圖，陰影部分為古建筑群所在地，其形狀是一個長為2，寬為1的矩形，矩形兩邊、緊靠兩條互相垂直的路上，現要過點修一條直線的路，這條路不能穿過古建筑群，且與另兩條路交于點和．則的面積的最小值為．

【答案】4【分析】設，然后由三角形相似可表示出，從而可表示出的面積，再利用導數可求出其最小值【詳解】設，因為∥，所以∽，所以，得．即，故，則．當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以當時，取得最小值．故答案為：411．如圖所示，一座小島距離海岸線上的點的距離是，從點沿海岸正東處有一個城鎮.一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是（單位：）表示他從小島到城鎮所用的時間，（單位：）表示小船?？奎c距點的距離.(1)將表示為的函數，并注明定義域；(2)此人將船停在海岸線上何處時，所用時間最少？【答案】(1)(2)此人將船停在點沿海岸正東處，所用時間最少.【分析】（1）根據題目信息將表示為的函數即可；（2）利用導數求出函數的單調區間即可.【詳解】（1）由題意可得：（2），由解得在上遞增，列表如下：0+單調遞減最小值單調遞增所以此人將船停在點沿海岸正東處，所用時間最少.12．一輛正在加速的汽車在5s內速度從0提高到了90．下表給出了它在不同時刻的速度，為了方便起見，已將速度單位轉化成了，時間單位為s．時間t/s012345速度v/（m/s）0915212325(1)分別計算當t從0s變到1s、從3s變到5s時，速度v關于時間t的平均變化率，并解釋它們的實際意義；(2)根據上面的數據，可以得到速度v關于時間t的函數近似表示式為，求，并解釋它的實際意義．【答案】(1)平均變化率分別為，，它們分別表示在相應的時間內，時間每經過1s，速度增加9和2，也就是加速度分別為(2)，它的意義是在t＝1s這一時刻，每過1s，汽車的速度增加8，也就是這一時刻汽車的加速度為【分析】（1）根據平均變化率的公式及意義求解；（2）根據導數公式及導數的實際意義求解.【詳解】（1）當t從0s變到1s、從3s變到5s時，速度v關于時間t的平均變化率分別為，，它們分別表示在相應的時間內，時間每經過1s，速度增加9和2，也就是加速度分別為.（2）∵，∴，它的意義是在s這一時刻，每過1s，汽車的速度增加8，也就是這一時刻汽車的加速度為.1．某中學為美化校園將一個半圓形邊角地改造為花園．如圖所示，為圓心，半徑為千米，點、、都在半圓弧上，設，，其中．(1)若在花園內鋪設一條參觀的線路，由線段、、三部分組成，求當取何值時，參觀的線路最長；(2)若在花園內的扇形和四邊形內種滿杜鵑花，求當取何值時，杜鵑花的種植總面積最大．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題設用表示出、、，應用倍角余弦公式、換元法及二次函數性質求參觀路線的最大長度對應的取值；（2）利用扇形、三角形面積公式用表示出扇形、、的面積，再應用導數求種植總面積最大對應的取值.【詳解】（1）解：如下圖，連接，則，在中，，即，同理可得，且，所以參觀路線的長度，令，即.當時取得最大值，此時，即時，參觀路線最