2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（新高考I卷）

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廣東、福建、江蘇、湖南、湖北、河北、山東、浙江、安徽、河南、江西

辿試卷總評(píng)~~jp

2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷，考主干、考能力、考素養(yǎng)，重思維、重創(chuàng)新、重應(yīng)用，突出考查思維過(guò)程、思

維方法和創(chuàng)新能力.創(chuàng)設(shè)全新的試卷培構(gòu)，減少題量，給學(xué)生充足的思考時(shí)間，加強(qiáng)思維考直，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向,

給不同水平的學(xué)生提供充分展現(xiàn)才華的空間，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔，助推素質(zhì)教行發(fā)展，助力教育強(qiáng)國(guó)

建設(shè).

一、依托高考評(píng)價(jià)體系，創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

2024年數(shù)學(xué)新課標(biāo)卷調(diào)減了題量，同時(shí)增加了解答題的總分值，優(yōu)化了多選題的賦分方式，強(qiáng)化了考

查思維過(guò)程和思維能力的功能.試卷題量減少能夠增加用于思考的時(shí)間，學(xué)生不必過(guò)多地關(guān)注做題的進(jìn)度

和速度，可以更專(zhuān)注、更深入地思考，更從容地試錯(cuò)，使思維能力強(qiáng)的學(xué)生能夠展示素養(yǎng)、發(fā)揮潛力、脫穎

而出，發(fā)揮了高考的選拔功能，引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培葬.

新課標(biāo)卷打破以往的模式，靈活科學(xué)地確定試題的內(nèi)容、順序.機(jī)動(dòng)調(diào)整題目順序,有助于打破學(xué)生機(jī)

械應(yīng)試的套路，打破教學(xué)中僵化、固定的訓(xùn)練模式,防止猜題押題，同時(shí)測(cè)試學(xué)生的應(yīng)變能力和解決各種難

度問(wèn)題的能力.引導(dǎo)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面掌握主干知識(shí)、提升基本能力，靈活地整合知識(shí)解決問(wèn)題.如新課標(biāo)

I卷將解析幾何試題安排在解答題的第2題，數(shù)列內(nèi)容則結(jié)合新情境,安排在最后壓軸題的位置.

試卷聚焦主干知識(shí)內(nèi)容和重要原理、方法，著重考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)用導(dǎo)中學(xué)教學(xué)遵循教育規(guī)律,

突出數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)，回歸課標(biāo)，重視教材,重視概念教學(xué)，夯實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，給學(xué)生留出思考和深度學(xué)習(xí)的

空間.避免超綱學(xué)、超量學(xué)，助力減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).如新課標(biāo)I卷第1。題以基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則、

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法為素材，考查靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具分析、解決問(wèn)題的能力，以及學(xué)生的邏輯

推理能力、運(yùn)算求解能力.

二、突出思維能力考查,助力拔尖創(chuàng)新人才選拔

數(shù)學(xué)作為一門(mén)重要的基礎(chǔ)學(xué)科,也是唯一一門(mén)理科性質(zhì)的統(tǒng)考科目，在服務(wù)人才選拔、服務(wù)國(guó)家發(fā)展

戰(zhàn)略、助力強(qiáng)國(guó)建設(shè)方面承擔(dān)重要責(zé)任、發(fā)揮關(guān)鍵作用.2024年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查學(xué)生邏輯推理、批判

性思維、創(chuàng)新思維等關(guān)鍵能力，助力拔尖創(chuàng)新人才選拔,引導(dǎo)培育支撐終身發(fā)展和適應(yīng)時(shí)代要求的能力.

試卷貫徹改革要求,注重整體設(shè)計(jì)，很好地處理考試時(shí)間、試卷題量、試題難度之間的關(guān)系，統(tǒng)籌協(xié)調(diào)

試題的思維量、計(jì)算量和閱讀量.優(yōu)化題量設(shè)置、合理控制試題的計(jì)算量，盡量避免繁難運(yùn)算，保證學(xué)生在

分析問(wèn)題的過(guò)程中有充裕的時(shí)間進(jìn)行思考，強(qiáng)調(diào)對(duì)思維能力的考查,適應(yīng)拔尖創(chuàng)新人才選拔需要.如新課

標(biāo)I卷第12題，通過(guò)應(yīng)用雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)，可以避免較為復(fù)雜的會(huì)標(biāo)計(jì)算以及聯(lián)立方程求解,從而有

效地減少計(jì)算量，節(jié)省考試時(shí)間.

試題突出創(chuàng)新導(dǎo)向,新課標(biāo)卷根據(jù)試卷結(jié)構(gòu)調(diào)整后整卷題量減少的客觀(guān)情況，創(chuàng)新能力考查策略，諛

計(jì)全新的試題情境、呈現(xiàn)方式和設(shè)問(wèn)方式，加強(qiáng)解答題部分對(duì)基本能力的考查,提升壓軸題的思維量，突已

理性思維和數(shù)學(xué)探究，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.如新課

標(biāo)I卷第19題以等差數(shù)列為知識(shí)背景,創(chuàng)新設(shè)問(wèn)方式，設(shè)置數(shù)學(xué)新定義，搭建思維平臺(tái),引導(dǎo)學(xué)生積極思考,

在思維過(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法，自主選擇路徑和策略分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.試題強(qiáng)化綜合性考查,強(qiáng)調(diào)對(duì)原理、

方法的深入理解和綜合應(yīng)用，考查知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)學(xué)科理論本質(zhì)屬性和相互關(guān)聯(lián)的

深刻理解與掌握，引導(dǎo)中學(xué)通過(guò)深化基礎(chǔ)知識(shí)、基本原理方法的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生形成完整的知識(shí)體系和網(wǎng)

絡(luò)結(jié)構(gòu).如新課標(biāo)I卷第5題將圓柱與圓錐結(jié)合，綜合考查側(cè)面積、體積的計(jì)算，第18題在函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題

中考查了曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性的這一幾何性質(zhì).

三、加強(qiáng)考教銜接，引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)

2024年高考數(shù)學(xué)試卷立足課程標(biāo)準(zhǔn),考查的內(nèi)容依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)和課程內(nèi)容，注重考查學(xué)生對(duì)基

礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的熟練掌握和靈活應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的整體性和連貫性，引導(dǎo)教學(xué)以課程目標(biāo)和核心素養(yǎng)

為指引，避免超綱教學(xué),注重內(nèi)容的基礎(chǔ)性和方法的普適性，避免百目鉆研套路和機(jī)械訓(xùn)練.

高考數(shù)學(xué)通過(guò)創(chuàng)新試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和題目風(fēng)格，深化基礎(chǔ)性考查，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深刻理

解，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導(dǎo)中學(xué)把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).增加

基礎(chǔ)題比例、降低初始題起點(diǎn),增強(qiáng)試題的靈活性和開(kāi)放性.如新課標(biāo)I卷第14題,不是考查學(xué)生記住了

哪些知識(shí)點(diǎn),而是突出考查學(xué)生的理性思維和探究能力，使得一些套路無(wú)用、模板失效，讓死記硬背的教學(xué)

方式不能適應(yīng)現(xiàn)在高考的新要求.

題型新變化

I.總題量由21題減少為19題，多選題由4題減少為I題，填空題由4題減少為I題，解答題由6道減少為

5題.

2.多選題分值由每題5分調(diào)整為每題6分，解答題分值增加，由原來(lái)的70分增加到77分.

3.增加新定義問(wèn)題,全國(guó)卷I為數(shù)列新定義問(wèn)題壓軸，解答題中少了單調(diào)考查概率統(tǒng)計(jì)的試題，導(dǎo)數(shù)題目增

加為3道,立體幾何題由3道減少為2道,導(dǎo)數(shù)解答題中出現(xiàn)對(duì)“純”函數(shù)內(nèi)容的考查.

4.大部分題目都比較簡(jiǎn)單，考查基膽知識(shí)與基本技能題占100分左右，難題數(shù)量少，但更難,難在數(shù)學(xué)上忍

維上.減少題量，體現(xiàn)“多想少算”,加強(qiáng)思維考查，強(qiáng)化素養(yǎng)導(dǎo)向,容易題占多數(shù)，難題更難,給不同水平的學(xué)生提

供充分展現(xiàn)才華的空間，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選拔，助推素質(zhì)教育發(fā)展，不考死記硬背、不出偏題怪題，引導(dǎo)中學(xué)

把教學(xué)重點(diǎn)從總結(jié)解題技巧轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng).

考情分析

題號(hào)分值題型考查內(nèi)容模塊（題目數(shù)）

I5分單選題集合與不等式1.集合（共1題）

2.不等式（共2題）

25分單選題復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)（共1題）

35分單選題平面向量的數(shù)量積平面向量（共1題）

45分單選題三角變換三角函數(shù)與解三角形

（共3題）

55分單選題圓錐的體積立體幾何（共2題）

65分單選題分段函數(shù)單調(diào)性函數(shù)（共2題）

75分單選題三角函數(shù)的圖象三角函數(shù)與解三角形

（共3題）

85分單選題抽象函數(shù)函數(shù)（共2題）

96分多選題正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

106分多選題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)（共3題）

2.不等式（共2道）

II6分多選題曲線(xiàn)與方程解析幾何（共3題）

125分填空題雙曲線(xiàn)解析幾何（共3題）

135分填空題導(dǎo)數(shù)的兒何意義導(dǎo)數(shù)（共3題）

145分填空題概率概率統(tǒng)計(jì)（共3題）

1513分解答題解二角形二角函數(shù)與解二角形

（共3題）

1615分解答題橢圓、面積解析幾何（共3題）

1715分解答題線(xiàn)面平行、二面角立體幾何（共2題）

1817分解答題導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題導(dǎo)數(shù)（共3題）

1917分解答題新定義、數(shù)列數(shù)列（共1題）

備考指津

1.重視“雙基”復(fù)習(xí)，首輪復(fù)習(xí)時(shí)在概念定義、通性通法上回歸教材,把教材上典型的例題、習(xí)題（復(fù)習(xí)題）

過(guò)一下，做到：正確地理解基本概念的內(nèi)涵和外延；熟練地掌握和應(yīng)用相關(guān)的公式與定理；熟悉并運(yùn)用常見(jiàn)

的基本技能和方法.

2.一輪更月要做到：各章內(nèi)容綜合化；基礎(chǔ)知識(shí)體系化；基本方法類(lèi)型化；解題步驟規(guī)范化.

3.對(duì)復(fù)習(xí)資料要處理，刪去偏難、偏怪、超綱、解法太唯一的題目，對(duì)基本運(yùn)算能力、空間想象能力、推

理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力等在復(fù)習(xí)時(shí)要逐步提高,達(dá)到高考要求

4.第一輪復(fù)習(xí)結(jié)束后，要做好以卜幾個(gè)方面的工作：抓住每一專(zhuān)題(板塊)的宏觀(guān)主線(xiàn)，提綱挈領(lǐng)，將板

塊知識(shí)及題型和解題方法等高度系統(tǒng)化、條理化.把高考試題進(jìn)行專(zhuān)題整合，采對(duì)重要知識(shí)、方法和技能通過(guò)高

考試題的鏈?zhǔn)椒治觯w會(huì)”突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、關(guān)注熱點(diǎn)、把握通性、注重通法、淡化技巧”的內(nèi)涵，真正明

白高考到底考什么、怎么考，對(duì)高考試題的認(rèn)識(shí)和把握形成清晰的思維膿絡(luò).

5.對(duì)于大部分考生高考數(shù)學(xué)考不好的原因不是難題沒(méi)有作對(duì),二是基礎(chǔ)題失分過(guò)多，可以說(shuō)會(huì)做做不對(duì)

是失分的主要原因.所以平時(shí)的復(fù)習(xí)要注意糾錯(cuò),對(duì)每次考試中“會(huì)做做不對(duì)的題”,要找出錯(cuò)誤原因進(jìn)行標(biāo)注,

同時(shí)再找?guī)椎李?lèi)似的題進(jìn)行鞏固，做到以例及類(lèi)、題不二錯(cuò).

真題解讀

2024年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀(新高考I卷)

一、選擇題：本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜卜5</<5},8={-3,-1,0,2,3},則ACI8=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0.2}

【命題意圖】本題考查集合的交集運(yùn)算及簡(jiǎn)單不等式的解法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：易.

【解析】由-5<V<5得75<工<巧,囚為1<5<8，1<</5<2，所以人。3-{-10，故選人.

【快解】因?yàn)橐?-'=-27<一52'=8>5，排除BCD,故選A.

【點(diǎn)評(píng)】集合是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)，一般以容易題而目呈現(xiàn),考查熱點(diǎn)一是集合的并集、交集、補(bǔ)集運(yùn)算,

二是集合之間的關(guān)系，所給集合多為簡(jiǎn)單不等式的解集、離散的數(shù)集或點(diǎn)集，這種考行方式多年來(lái)保持穩(wěn)定.

【知識(shí)鏈接】

1.求解集合的運(yùn)算問(wèn)題的三個(gè)步驟：

(1)看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵，即辨清是數(shù)

集、點(diǎn)集還是圖形集等，女口{=/(x)},{山={工)},{(x,y)|y=/(x)}Z2者足不同的；

(2)對(duì)集合化簡(jiǎn)，有些集合是可以化簡(jiǎn)的，光化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了、易于解決；

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行交、并、補(bǔ)等運(yùn)算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和韋恩圖(Venn).

2.若三=l+i,則z=()

z-1

A.-1-iB.-1+iC.1-iDl+i.

【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：易.

【答案】C

【解析】由二=l+i得,z=?=l-i,故選C.

Z-I1

【點(diǎn)評(píng)】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識(shí)點(diǎn)，一般以容易題面目呈現(xiàn)，新高考復(fù)數(shù)題單選題、多選題、填空題都可能

出現(xiàn)，考查熱點(diǎn)一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義,如復(fù)數(shù)的模、共挽宓數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的幾何

意義等，二是復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算.

【知識(shí)鏈接】

解復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，不含i的看作

另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng)，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共枕基數(shù)，解題中要注意把i的事寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.

(3)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，?般化為〃+歷(《〃￡R)的形式，再結(jié)合相關(guān)

定義解答.

(4)復(fù)數(shù)的運(yùn)算與究數(shù)幾何意義的綜合例.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化倒一般化為〃十加3，》￡R)的形式，再結(jié)合

復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

3.已知向量。=(04W=(2,x),若一甸,則％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【命題意圖】本題考查平面向量的數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：易.

【答案】D

【解析】因?yàn)榱Γ瑐饕??),所以力.傳一4a)=/-4a〃=4+/-4x=0,所以1=2,故選D.

【點(diǎn)評(píng)】半囪向量是高考數(shù)學(xué)必考知識(shí)點(diǎn)，?般以客觀(guān)題形式考看,熱點(diǎn)是半囪向量的線(xiàn)性運(yùn)算及平間向量的

數(shù)量積，可以是容易題，也可以是難題,難題常用平面幾何、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)交匯考查.

【知識(shí)鏈接】

1.求平面向量數(shù)量枳，當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用。?力=|即冰:os<a.h)求解：當(dāng)己知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利

用坐標(biāo)法求解，即若。=(即ji)力=J2),則ab=x\xi+y\yi.

2.求解與平面幾何有關(guān)的平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題,常見(jiàn)的方法有2種，一是建立坐標(biāo)系，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化

為代數(shù)問(wèn)題利用函數(shù)思想或基本不等式求解，二是引進(jìn)角作變量，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值或范圍.

4.已知cos(?+/?)=m,tanatan/?=2,則co*(a-/?)=

A.—3mB.---C.—D.

33

【命題意圖】本題考查兩角和與差的余弦公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心

素養(yǎng).難度:易.

【答案】A

…cos(a-￡)-cos(a+4)2sinasin/.costa-p)-m/、

【解析】因?yàn)橐?---T7--------;-----次=-------=tanalan/=2.所以---------——=2,所以cos(a一6)

cos(tr-p)+cos(a+p)2cosacos夕cos(a-p)+m

=-3加,故選A.

(快解】因?yàn)閘analan〃=2，取a=^,sin=^^-,cos(3=-y-，則cos(a-0)=-^-(cosp-sina)=--,

cos(a-/3)=^^(cos/y+sina)=^^=-3cos(a+0)=-3m，故選A.

【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)與解三角形在高考中通常有2-3道試題，若有3道題，通常是三角變換、三角函數(shù)圖像與性

質(zhì)、解三角形各有I道題.

【知識(shí)鏈接】

I.使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.

2.解決三角函數(shù)的求值問(wèn)題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.①當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示

為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式；②之“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系.

3.三明函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征；三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要注意觀(guān)

察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等),尋找式子和二角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點(diǎn).

4.給免求值與給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵在“變角”，通過(guò)角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.

5.已知圓柱與圓錐的底面半徑相等側(cè)面積相等,且它們的高均為有期圓錐的體積為

()

A.2小B.3百兀C.班兀D.9氐

【命題意圖】本題考查圓柱與圓錐的惻面積與體積，考查邏輯推理、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng).難度：易

【答案】B

【解折】設(shè)圓柱與圓錐的底面半徑相等為J由側(cè)面積相等，且它們的高均為6,得2口=.解得

「=石，所以圓錐的體積為+x32xS=3g冗，故選B.

【點(diǎn)評(píng)】新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)立體幾何客觀(guān)題一般有兩道(今年特殊，只有I到客觀(guān)題)，一般分別涉及多面體與

旋轉(zhuǎn)體，表面枳、體枳計(jì)算及線(xiàn)面位置判斷是考查熱點(diǎn).

【知識(shí)鏈接】對(duì)于柱體、椎體、臺(tái)體的體積可直接使用公式求解，對(duì)于不規(guī)則多面體的體積計(jì)算'常采用割補(bǔ)

法：將這個(gè)幾何體分割成幾個(gè)柱體、錐體,分別求出柱體和錐體的體枳，從而得出要求的幾何體的體枳：對(duì)于

三棱錐曲于其任意一個(gè)面均可作為棱錐的底面，從而可選擇更容易計(jì)算的方式來(lái)求體積：利用“等積性''近可

求“點(diǎn)到面的距離”.

6.已知函數(shù)〃工)=廣：了"二丁：,在R上單調(diào)遞增,則°的取值范圍是

Ie+ln(x+l),x>0

A.(ro,0]B.[-1,0]C.[-U]D.[0,-H?)

【命題怠圖】本題考盒分段的數(shù)的單?調(diào)性，考盒邏輯推埋、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).難度：中

【答案】B

【解析】當(dāng)x>0時(shí)/(x)單調(diào)遞增，要使f⑺在R上單調(diào)遞增,應(yīng)滿(mǎn)足\笠，所以-1<a40,故選B.

【點(diǎn)評(píng)】高考函數(shù)客觀(guān)題一般有2道,考查熱點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性與周期性，利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取

值范圍更是熱點(diǎn)中的熱點(diǎn).

【知識(shí)鏈接】

I.確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

⑴定義法：利用定義判斷.

(2)導(dǎo)數(shù)法：適用于初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)等可以求導(dǎo)的函數(shù).

(3)圖象法：由圖象確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間需注意兩點(diǎn)：一是單調(diào)區(qū)間必須是函數(shù)定義域的子集；二是圖象不

連續(xù)的單調(diào)區(qū)間要分開(kāi)寫(xiě)，用“和”或“，”連接,不能用連接.

(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),尤其是利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則時(shí)，需先確定簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性.

2.函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

⑴比較大小.

(2)求最值.

(3)解不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性將尸符號(hào)脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.

(4)利用單調(diào)性求參數(shù).

①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較.

②需注意若函數(shù)在區(qū)間m⑼上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.

③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.

7.工?0,2句時(shí).曲線(xiàn))，=sinx與y=2sin,-［)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.6D.8

【命題意圖】本題考存三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀(guān)想象的核心素養(yǎng).難度：中

【答案】C

3%-外在［0,2對(duì)上的圖象如圖所示，由圖象可得交點(diǎn)有6個(gè)，故選C.

［解析】作出曲線(xiàn)y=sinx與y=2sin

【點(diǎn)評(píng)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)基本是高考每年必考題,本題求解沒(méi)行過(guò)多的技巧，關(guān)鍵是能熟練作出三角函

數(shù)圖像，高考中有不少題目都需要借助圖形求解，在此提醒考生，做題時(shí)千萬(wàn)不要得“意”忘“形”.

【知識(shí)鏈接】

l.)，=Asin(s:+G的圖象可肘，五點(diǎn)法”作簡(jiǎn)圖得到，可通過(guò)變量代換z=&x+0計(jì)鴕五點(diǎn)坐標(biāo).

2.對(duì)于函數(shù)產(chǎn)Asin(①x+w)(A/),①#)),其對(duì)稱(chēng)軸?定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)?定是函

數(shù)的零點(diǎn).

3.根據(jù)y=4sin(sx+8“￡R的圖象求解析式的步驟：

(1)首先確定振幅和周期，從而得到人怎8.

(IM為離開(kāi)平衡位置的最大距離，即最大值與最小值的差的一半.

(II泗由周期得至U：①函數(shù)圖象在其對(duì)稱(chēng)軸處取得最大值或最小值,且相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為函數(shù)的

半個(gè)周期；②函數(shù)圖象與％軸的交點(diǎn)是其對(duì)稱(chēng)中心，相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心間的距離也是函數(shù)的半個(gè)周期；③一

條對(duì)?稱(chēng)軸與其相鄰的?個(gè)對(duì)稱(chēng)中心間的距離為函數(shù)的3個(gè)周期(借助圖象很好理解記憶).

(2)求(p的值時(shí)最好選用最值點(diǎn)求.

峰點(diǎn)：cox+e巖+2E；谷點(diǎn)：cox+3=-3+2E.

也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn).

升零點(diǎn)(圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))：①x+e=2依；

降零點(diǎn)(圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn))：①x+g=7t+2E(以上A￡Z).

8.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽J(x)>/(x-l)+/(x-2),且當(dāng)x<3時(shí)J(x)=x，則下列結(jié)論一定正確的是

()

A./(10)>1()0B./(20)>100C./(10)<100()D./(20)<l0(XX)

【命題意圖】本題考查抽象函數(shù)求值，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：難

【答案】c

【解析】由4<3時(shí)/(%)=3,/(》)>/。-1)+/(》一2)得,/(3)>〃2)+〃1)=3/(4)>〃3)+〃2)>5,

〃5)>/(4)+/(3)>8J⑹>〃5)+〃4)>13,不等式右側(cè)恰好是裝波那契數(shù)列從第3項(xiàng)起的各項(xiàng)：

3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597，所以/(20)>”16)>1597>1000.故選B.

【點(diǎn)評(píng)】抽象函數(shù)是近兩年高考考杳熱點(diǎn)，考看頻率比較高的是抽象函數(shù)求值、奇偶性、周期性及與不等式

的交匯問(wèn)題.

【知識(shí)鏈接】

1.本題是由裴波那契數(shù)列改編而成，卜.面列出斐波那契數(shù)列｛4｝的一些基本性質(zhì)，供有興趣的同學(xué)參考：

(1)4+生++…+"〃=an+2~1:

⑵4+%+%+…+a2n-i=。2“；

⑶%+4+4+…+的“=--1：

(4)+...+a；=；

wd

(5)-?,+a2-a3+...+(-l)aH=(-l)(aM+1-?rt)+1；

⑹聯(lián)=%_/+。必向:

⑺%%一-=(-D”；

(8)凡+2+。”-2=3凡.

2.對(duì)稱(chēng)性與周期性是抽象函數(shù)考查的熱點(diǎn)，下面列出一些基本結(jié)論，洪參考：

⑴若f(a+x)="力一力,則“力的圖象關(guān)于直線(xiàn)工二審對(duì)稱(chēng)：

⑵)，=/(〃+工)的圖象與y=/(〃7)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=一對(duì)稱(chēng)；

(3)若"2a-x)+f(x)=2>則/(A)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a㈤對(duì)稱(chēng).

(4)若函數(shù)/(x)的圖象既關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于直線(xiàn)x=b對(duì)稱(chēng)(a.〃),則f(x)是周期函數(shù)，門(mén)

2(匕一。)是它的一個(gè)周期.

(5)若函數(shù)/(力的圖象既關(guān)于點(diǎn)(。,0)對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于點(diǎn)(加0)對(duì)稱(chēng)(awb),則〃力是周期函數(shù)，且2(8-〃)

是它的一個(gè)周期.

⑹若函數(shù)“X)的圖象既關(guān)丁?直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)丁點(diǎn)(。,0)對(duì)稱(chēng)卜/工〃)、則”X)是周期函數(shù)，目

4(/)一〃)是它的一個(gè)周期.

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的

得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.為了解推動(dòng)出口后的畝收入(單位：萬(wàn)元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均

值元=2.1,樣本方差d二o.oi,已知該種植區(qū)以往的畝收入x服從正態(tài)分布N(1.8,0.『卜假設(shè)推動(dòng)出口后

的畝收入y服從正態(tài)分布N（元產(chǎn)）,貝j（）（若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布N（〃,b2）,P（Z<〃+crh0.8413）

A.P（X>2）>0.2

B.P（X>2）<0.5

C.P（K>2）>0.5

nP（y>2）<0.8

【命題意圖】本題考查正態(tài)分布，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：易

【答案】BC

【解析】依題可知口=2.1,$2=0.01,所以yN（2.1,0.1）,

故夕（丫>2）=。（丫>2.1—0.1）=0（丫<2.1+0.1）=0.8413>0.5《王確0錯(cuò)誤：

因?yàn)閄N（1.8,0.1），所以P（X>2）=P（X>1.8+2x0.1）,因?yàn)镻（X<1.8+0.1卜0.8413,所以

P（X>1.8+0.1）?1-0.8413=0.1587<0.2,

而P（X>2）=P（X>1.8+2x01”尸（X>1.8+O1）<0.2,B正確,A錯(cuò)誤，故選BC.

【點(diǎn)評(píng)】概率統(tǒng)計(jì)在新商考試卷中通百有2-3道題,山于概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)比較多，出題沒(méi)有固定方向，但人多有

實(shí)際背景.

【知識(shí)鏈接】

正態(tài)曲線(xiàn)的特點(diǎn)：①曲線(xiàn)位于x軸上方，與x軸不相交：②曲線(xiàn)是單峰的，它關(guān)于直線(xiàn)x=〃對(duì)稱(chēng)：③曲線(xiàn)在x

=〃處達(dá)到峰值志：④曲線(xiàn)與工軸之間的面積為1:

2.解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：（：）對(duì)稱(chēng)軸x="（2）標(biāo)準(zhǔn)差g（3）分布區(qū)間.利用對(duì)稱(chēng)性可求指定范圍

內(nèi)的概率值：由分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3。特殊區(qū)間,從而求出所求概率.注意只有

在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱(chēng)軸才為A=0.

10.設(shè)函數(shù)/。）=（1一1）2（工一4）廁（）

A.x=3是/（X）的極小值點(diǎn)

B.當(dāng)Ovxvl時(shí),/（工）〈/（丁）

C.當(dāng)1vxv2時(shí).一4</（24-1）<0

D.當(dāng)一1<x<0時(shí),/（2-力>〃<）

【命題意圖】本題考直利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考直數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)，難度：中

【答案】ACD

【解析】解法一:對(duì)于A(yíng),因?yàn)?"）=2"-1）（工一4）+"—球=3（*-1）（戈一3）.當(dāng)天￡（1,3）時(shí),f'（k<0,

當(dāng)工?9」）或x?3,y）時(shí),r（x）>OJ（x）在（—4）上單調(diào)遞胤在。,3）上單調(diào)遞減，在（3,4向上

單調(diào)遞增,X=3是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn),A正確:對(duì)于B,當(dāng)0VXV1時(shí)，1>x>x2>O,t±l/(x)在(0,1)上

單調(diào)遞增，可得/(大)>/，),B錯(cuò)誤；對(duì)于C,當(dāng)1<工<2時(shí),lv2x-1<3,由/(力在(1,3)上單調(diào)遞減,

可存/(l)>/(2x-l)>/(3),即-4</(2.v-i)<0,C正確；對(duì)于D,當(dāng)一lvx<()E寸,

/(2_X)_/(X)=(1_X)2(_2_X)_(X_1)2(X_4)=(X_1)2(2_2X)>0,所以/(2-X)〉/(X),D正確;

故選ACD.

解法二：對(duì)于A(yíng),由/'(x)=3(x-l)(x-3)Hxc(l,3Hir(x)<0^X￡(3,+8b4J'(x)>0^

x=3是函數(shù)小)的極小值點(diǎn),A正確；對(duì)于B,取'=；，則/出=一力(￡)=一膏，嗎)>G)，B錯(cuò)

誤：對(duì)于C,因?yàn)?(2x-l)=4(x-iy(2x-5)<0,〃2.r-l)+4=4(x-2)2(2x-l)>0,C正確：對(duì)于D,當(dāng)

-i<x<0時(shí)，/(2-X)-/(X)=(1-X)2(-2-X)-(X-1)2(X-4)=(X-1)2(2-2X)>0,所以

/(2-X)>/(X),D正確；故選ACD.

【點(diǎn)評(píng)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是高考熱點(diǎn)，客觀(guān)題中此類(lèi)問(wèn)題常與數(shù)式大小比較、不等式等知識(shí)交匯.

【知識(shí)鏈接】

1.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)/(幻的定義域.(2)求/。).(3)解不等式/(x)>0.解集在定義域內(nèi)的部

分為單調(diào)遞增區(qū)間.(4)解不等式/(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.特別提醒：劃分函數(shù)的單

調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論,還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).

2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：)，=/。)在36)上單調(diào)，則區(qū)間⑶是

相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2?(幻為增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x￡(a力)都有且在(為加內(nèi)的

任一非空子區(qū)間上〃幻不恒為零,應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則會(huì)漏解.(3)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在

單調(diào)區(qū)間可轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題.

II.造型上可以做成美麗的絲帶，將其看作圖中曲線(xiàn)C的一部分.已知C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且C上的點(diǎn)滿(mǎn)足橫坐標(biāo)

大于-2,到點(diǎn)/(2,0)的距離與到定直線(xiàn)x=a[a<0)的距離之積為4,則()

A.a=-2

B.點(diǎn)(2忘,0)在。上

C.C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1

D.當(dāng)點(diǎn)（小,％）在。上時(shí)

%+2

【命題意圖】本題考瓷曲線(xiàn)與方程，考杳數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)，難度:難

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A(yíng)：設(shè)曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)p（x,y）,則x>-2且而了下xk-a|=4、因?yàn)榍€(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故

J（O—2）+（）2x|o-4=4，解得a=-2,故A正確.對(duì)于B：又曲線(xiàn)方程為—2『+y><卜+2|=4,而

x>-2,故^（x-2）>,y2x（x+2）=4.當(dāng)x=2應(yīng),y=0時(shí)，J（2a-2『x（2應(yīng)+2）=8-4=4,故

（2立。）在曲線(xiàn)的正確.對(duì)于。：由曲線(xiàn)的方程可得"滯廣（一）［取“|廁/吟小

64I645256-245

而--------1=---------=-------------->0,故此時(shí)產(chǎn)>1,故c在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于［，故C

49449449x4

16

錯(cuò)誤.對(duì)于：當(dāng)點(diǎn)（小，）'o）在曲線(xiàn)上時(shí)，由C的分析可得-2），故

D看山。二(%+2『

44

二,2不,故D正確.故選ABD.

【點(diǎn)評(píng)】往年解析幾何試題都是以圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)為載體命題，該題以與生活有關(guān)的曲線(xiàn)命題，背

景新穎，時(shí)解題能力要求較高，是?道好題.

【知識(shí)鏈接】直接法求曲線(xiàn)方程時(shí)最關(guān)鍵的就是把幾何條件或等量關(guān)系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價(jià)

性.通常將步驟簡(jiǎn)記為建系設(shè)點(diǎn)、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明這五個(gè)步驟，但最后的證明可以省略,如果給出了直

角坐標(biāo)系則可省去建系這一步，求出曲線(xiàn)的方程后還需注意檢驗(yàn)方程的純粹性和完備性.

三、填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.設(shè)雙曲線(xiàn)。:￡-1=13>06>。）的左右焦點(diǎn)分別為斗、鳥(niǎo)，過(guò)F?作平行于）'軸的直線(xiàn)交C于48兩點(diǎn),

a"n

若|KA|=13,|AB\=10,則C的離心率為.

【命題意圖】本題考查雙曲線(xiàn)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，難度：易

3

【答案】一

2

22

【解析】解法?，由題可知瑪三點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，設(shè)人在第?象限陷、?="代入二一與二1

crb2

得y=±J,即Ac,--,B仁一2）,故［A.="-==已=5.又4|一|4用=%，得

[4匐二|4用+2〃=2a+5=13.解得々=4,代入2=5得〃=20,故d=々2+〃=36,,即c=6,所以

c_6_3

a~4~2

解法二：在直角居中舊4=13,|4用=5,由勾股定理得歸用=12,所以C的離心率為

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)應(yīng)用雙曲線(xiàn)的定義和性質(zhì)求離心率,沒(méi)有較為復(fù)雜的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，高考中雙曲線(xiàn)客觀(guān)題

以容易題居多.

【知識(shí)鏈接】

毛一與=1(〃>0,〃>0)2從

1.過(guò)雙曲線(xiàn)才b-焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦長(zhǎng)為手:

2.在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|仍吊|一|/平2||=2?運(yùn)用平方的方法,建立與IPQIMBI的

聯(lián)系.

3.根據(jù)雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)求離心率常用結(jié)論：e=J】D

13.若曲線(xiàn))，=eA+x在點(diǎn)(0,1)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)y=ln(x+l)+。的切線(xiàn)，則。=.

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查邏輯推現(xiàn)、直觀(guān)想象,難度：中

【答案】In2

【解析】由y=eA+x得V=e，+1,yU=e0+1=2,故曲線(xiàn)y=e'+x在(0,1)處的切線(xiàn)方程為>'=2x4-1；

由y=ln(x+l)+a得)；■，設(shè)切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=hi(x+l)+a相切的切點(diǎn)為(玉),In(%+1)+。),由兩曲

XI1

11(\1>

線(xiàn)有公切線(xiàn)得/=--=2,解得x0=--,則切點(diǎn)為一彳,。+】!1彳，切線(xiàn)方程為

%+12I22)

(|>1

y=2x+-+。+歷5=2工+1+。一的2,根據(jù)兩切線(xiàn)重合，所以〃-ln2=0.解得a=ln2.

【點(diǎn)評(píng)】用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)的切線(xiàn)一直是高考的熱點(diǎn)，常考問(wèn)題有：求曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)，求過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)

條數(shù),公切線(xiàn)問(wèn)題.

【知識(shí)鏈接】求解公切線(xiàn)問(wèn)題,通常是設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)，分別寫(xiě)出兩切線(xiàn)在這兩個(gè)切點(diǎn)處的切線(xiàn)，把兩切線(xiàn)方程轉(zhuǎn)

化為斜截式，再利用斜率與截距分別相等建立關(guān)系式求解.

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1,357.乙的卡片上分別標(biāo)

有數(shù)字246,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片

上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的卡片在此后的輪

次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.

【命題意圖】木題考查概率的計(jì)算，考查邏輯推理與數(shù)據(jù)分析的核心素苑難度：難

【答案】y

【解析】解法一：總的出牌結(jié)果有A：=24種，甲出1時(shí)比輸，所以甲最多得3分,且甲得3分的結(jié)果只有1種：

1一8.3-2,5-4,7-6,甲得2分的結(jié)果有：

(1)僅出3和5贏(yíng)：1?6,3?2,54,7?8：(2)僅出3和7贏(yíng)：1-4,3-2,54,7-6：1?8,3-2,5-67-4：1-63-2,5-8,7-4：

僅出5和7贏(yíng):1-2,3-8,5-4,7-6；1-43-8,5-2,7-6,；1-8,3-4,5-2,7-6,；1-6,3-8,5-2,7-4；1-83-6,5-2,7-4；1-6,3-8,5-4,7-2,；

1-8,365-4,7-2,得分不小于2分的總結(jié)果共12種,所以所求概率12=；1.

242

解法二：設(shè)甲在四輪游戲中的得分分別為X「X2，X3，X「四輪的總得分為X.

對(duì)于任意一輪，甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等，其中使得甲獲勝的出牌組合有六種,從而甲住該輪

獲勝的概率尸(X8=1)=搭=(所以E(XJ=/=123,4).

4433

從而E(X)=E(X+X2+X3+X4)=ZE(XJ=ZI=7.記PLP(X=《(Z=0,1,2,3).

A=I*=i占z

11

如果甲得0分，則組合方式是唯一的：必定是甲出1,3,5,7分別對(duì)應(yīng)乙出246,8,所以〃0=*=五：如果甲

11

得3分，則組合方式也是唯一的，必定是甲山135,7分別對(duì)應(yīng)乙山8,2,46所以為=丁下=k.而X的所行

31

可能取值是0.123,故〃()+〃|+〃2+〃3=LPl+2%+3〃3=E(x)=].所以Pl+〃2+丘=1.

Pl+2〃2+1=|,兩式相減即得p2+*=g，故P2+〃3=；?所以甲總得分不小于2的概率為

1

=/.

【點(diǎn)評(píng)】求隨機(jī)事件的概率一直是高考中的熱點(diǎn),求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵確定概率模型，當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)要先

把相關(guān)事件用簡(jiǎn)單事件的和與積表示，再利用相關(guān)公式求解.

【知識(shí)鏈接】

1.對(duì)于隨機(jī)事件A￡P(guān)(A+3)=P(A)+P(B)-4(AB),P(AB)=P(3")P(A)

2.若AB互斥，則尸(A+B)=P(4)+P(3),若AB相互獨(dú)立測(cè)尸(AB)=P(A)尸(5).

3.求概率的關(guān)鍵是分清所求事件是由哪些事件組成的，求解時(shí)通常有兩種方法

①將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.

②若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí),需要分類(lèi)太多，而其對(duì)立面的分類(lèi)較少，可考慮利

用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反它常用來(lái)求“至少”或“至多”型事件的概率.

4.求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，這就需要正確列出

基本事件，在列舉基木事件空間時(shí)，可以利用列舉、畫(huà)樹(shù)狀圖等方法，以隊(duì)遺漏.同時(shí)要注意細(xì)節(jié),如用列舉法,

注意是無(wú)序還是有序.在解答時(shí),缺少必要的文字說(shuō)明，沒(méi)有按要求列出基本事件是常見(jiàn)錯(cuò)誤.

四、解答題；本題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）記4ABe內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a力已知sinC=拒858，〃2+/一才=0而

（1）求8；

（2）若_/3。的面積為3+6，求c.

【命題意圖】木題考查解三角形，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng),難度：難

解：（1）由余弦定理有/—c1=2aZ?cosC,因?yàn)閍?4-h~-c2=.

所以cose/+/Y=&=也.

2ablab2

因?yàn)镃w（O,兀），所以sinC>0,

從而sinC=Vl-cos2C=Jl-4=.

因?yàn)閟inC=血（：058'所以以）$8=二,

因?yàn)?0（0,幾）,所以8=泉

J

由（1）知8=*cosC=Y^、C￡（0,兀），所以C=：,

（2）解法一:

717157r

A=n------=——,

3412

由.A?5兀.（兀兀）0601>/6+x/2

而sinA=sin—=sin—+—=——x——+——x—=-------,

12U6j22224

a_b_c

由正弦定理有.5兀一.兀一.兀，

sin—sin—sin—

1234

從而。=正巫.缶=?lc斤叵岳="c,

4222

c1人?廠(chǎng)16+1a后3+62_Q^A

月［以S.=-?/7sinC=--------c----c----=-------c-3+，3,

八R伙r222228

解得c=2&-

解法二：：由（1）知B=1.COSC=Y^.C￡（0,兀），所以C=3

324

a_b_c「?

由正弦