8.6分布列與其他知識綜合運用（精練）（提升版）

題組一與數列綜合

1.（2022?卡慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據相關法律宣布從2020年6月

8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結果為陽性的旅客人數達到一定

數量的民航局對其發出“熔斷'指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫

停運行4周），并規定“熔斷期”的航班量不得調整用于其他航線，“熔斷期''結束后，航空公司方可恢復

每周I班航班計劃.已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的

概率是:，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是:，未被熔斷的一次航班的下一次航

22

9

班也未被熔斷的概率是］??條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數，記該航空公

司A航線的第n次航班被熔斷的概率為幾.

（1）求；

12）證明：p“一|｝為等比數列；

13）求數列｛%｝的前〃項和并說明］的實際意義.

2.（2021.高州模擬）為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知

識+基本運動技能+專項運動技能”教學模式，建立“校內競賽一校級聯賽一選拔性競賽一國際交流比

賽”為一體的競賽體系，構建校、縣（區）、地（市）、省、國家五級學校體育競賽制度.某校開展“陽

光體育節”活動，其中傳統項目“定點踢足球”深受同學們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球

比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，

兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-I分；兩人都命中或都未命中，兩人均得。分，設甲

12

每次踢球命中的概率為-,乙每次踢球命中的概率為-,且各次踢球互不影響.

（1）經過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數學期望；

（2）若經過〃輪踢球，用P,表示經過第/輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率.

①求Pl，〃2，；

②規定％=。，且有Pi=ApQBpj，請根據①中Pi,p2,p、的值求出A>B,

并求出數列｛〃”｝的通項公式.

3.（2022.廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面為等可能性事件，棋盤上標有

第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第。站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳

動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到k+\），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2）,

直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第1（）0站（失敗集中營）時，該游戲結束.設棋子跳到第n

站概率為匕.

（1）求玲，R,6的值：

（2）求證：匕一？_1=一;（匕_1一匕_2），其中,2領%99；

（3）求心及小0的值.

4.（2022.太原二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓練

中的兩個重要訓練項目.

（1）假設發點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三

個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時有5的可能將球撲出球門外.在一次點球戰中，求守門員在

前三次點球中，把球撲出球門外的個數x的分布列和數學期望：

（2）某次傳球訓練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進行傳接球訓練，從甲開始傳球，等可能地

傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進行.假設每個球都能

被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為求證：數列［匕-；、為等比數列，并求匕.

5.（2022.湖北模擬）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊敗韓國女足，

成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰6:5驚險戰勝日本女足，其中門將朱

鋒兩度撲出日本隊員的點球，表現神勇.

（1）撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門,

門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有不的

可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰中，求門將在前三次撲出點球的個數X的分布列和

期望：

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從

甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中

的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為p“，易知

Pl=l，“2=0.

①試證明（〃“一；,為等比數列：

②設第〃次傳球之前球在乙腳下的概率為%,比較回。與的大小.

題組二與函數綜合

1.（2022北京）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現了“一

墩難求”的現象.主辦方現委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款

紀念品的生產成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下

把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，井洛收集的10（）名消費者的心理價位

整理如下:

心理價位（元/件）90100110120

人數10205020

假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念

品.公司為了滿足更多消費者的需求，規定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售

價格為x（單位：元/件），90cxe20,且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布

估計總體的分布，頻率視為概率.

（1）若x=100,試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段

該紀念品的購買人數，試求X的分布列和數學期望￡（X）：

（2）假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷

售價格x定為多少時，Y的數學期里七”）達到最大值？

2.（2022高三上?濰坊期中）2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻

團隊迎來了海水稻的測產收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測產，畝產超過648.，公

斤，通過推廣種植海水稻，實現億畝荒灘變糧倉，大大提高了當地居民收入.某企業引進?條先進食品

生產線，以海水稻為原料進行深加工，發明了一種新產品，若該產品的質量指標值為/?（/nG[70,100]）,

其偵量指標等級劃分如下表:

質量指標值,n[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

質量指標等級良好優秀良好合格廢品

為了解該產品的經濟效益并及時調整生產線，該企業先進行試生產.現從試生產的產品中隨機抽取了

IOOO件，將其質量指標值〃1的數據作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖:

（1）若將頻率作為概率，從該產品中隨機抽取3件產品，記”抽出的產品中至少有1件不是廢品”為事

件A，求事件A發生的概率；

（2）若從質量指標值//?>85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產品，然后從這7件產品中任取

3件產品，求質量指標值［90,95）的件數X的分布列及數學期望；

（3）若每件產品的質量指標值胴與利潤（單位：元）的關系如下表（1</<4）：

質量指標值1,1[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

5,

利潤y（元）6/8;4/It——e

3

試分析生產該產品能否盈利？若不能，請說明理由：若能，試確定t為何值時，每件產品的平均利潤

達到最大（參考數值：In2?0.7,In5?1.6）.

3.（2021高三上?通州期中）某蔬菜批發商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不

影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價處理，每噸虧損100元.現分別統十該

蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量，制成頻數分布條形圖如下：

甲市場乙市場

以市場需求量的頻率代替需求量的概率.設批發商在下個銷售周期購進〃噸該蔬菜，在甲、乙兩

個市場同時銷售，以X（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總需求量，T（單位：元）表

示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤.

（1）求變量X概率分布列；

（2）當〃=19時，求7與X的函數解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；

（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據，判斷〃=19與〃=18應選用哪一個.

題組三與導數綜合

1.（2022.湖南模擬）中國國家統計局2019年9月30日發布數據顯示，2019年9月中國制造業采購經

理指數（月以）為49.8%,反映出中國制造業擴張步伐有所加快.以新能源汽車、機器人、增材制造、醫療

設備、高鐵、電力裝備、船舶、無人機等為代表的高端制造業突飛猛進，則進一步體現了中國制造目前的

跨越式發展.已知某精密制造企業根據長期檢測結果，得到生產的產品的質量差服從正態分布

N(p,o"),并把質量差在日+。)內的產品稱為優等品，度量差在3+。,N+2o)內的產品稱

為一等品，優等品與一等品統稱為正品，其余范圍內的產品作為廢品處理.現從該企業生產的正品中隨

機抽取1()00件，測得產品質量差的樣本數據統計如下：

(I)根據大量的產品檢測數據，檢查樣本數據的方差的近似值為100,用樣本平均數元作為卜I的近似

值，用樣本標準差S作為。的估計值，記質量差X~N(R/)，求該企業生產的產品為正品的概率P；

(同一組中的數據用該組區間的中點值代表)

(2)假如企業包裝時要求把2件優等品和〃(〃22,且“eN”)件?等品裝在同一個箱子中，質檢員從

某箱子中摸出兩件產品進行檢驗，若抽取到的兩件產品等級相同則該箱產品記為A,否則該箱產品記

為B.

①試用含〃的代數式表示某箱產品抽檢被記為B的概率P；

②設抽檢5箱產品恰有3箱被記為B的概率為/(〃)，求當〃為何值時，/(〃)取得最大值，并求出最

大值.

參考數據：若隨機變量自服從正態分布N仙6),則：P(|X-O<^<|4+O)?0.6827,

PQI-2Gv4<卜1+2a)?0.9545,P(p-3a<^<j,i+3c)=0.9973.

2(2022.齊齊哈爾二模)為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒

乓球比賽，其中參加男了?乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區,三個校區的隊員人數分別是3,4,

5.本次決賽的比賽賽制采取單循環方式，即每名隊員進行11場比賽(每場比賽都采取5局3勝制)，最

后根據積分選出最后的冠軍.積分規則如下：比賽中以3:0或3:1取勝的隊員枳3分，失敗的隊員積。分；

而在比賽中以3:2取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比

賽張三取勝的概率均為〃（OV〃V1）.

（1）比賽結束后冠亞軍（沒有并列）恰好來自不同校區的概率是多少？

（2）第10輪比賽中，記張三3：1取勝的概率為了（〃）.

①求出/（p）的最大值點P。；

②若以Po作為P的值，這輪比賽張三所得積分為X,求X的分布列及期望.

3.（2022.胡蘆島模擬）葫蘆島市礦產資源豐富，擁有煤、鋁、鋅、鉗等51種礦種，采礦業歷史悠久，

是葫蘆島市重要產業之一.某選礦場要對即將交付客戶的一批200袋銅礦進行品位（即純度）檢驗，

如檢驗出品位不達標，則更換為達標產品，檢驗時；先從這批產品中抽20袋做檢驗，再根據檢驗結果

決定是否對余下的所有鉗礦做檢驗，設每袋鉗礦品位不達標的概率都為〃（（）<〃<1）,且每袋鉗礦品位

是否達標相互獨立.

（1）若20袋銅礦中恰有2袋不達標的概率為/（〃），求/（〃）的最大值點P。；

（2）已知每袋銅礦的檢驗成本為10元，若品位不達標銅礦不慎出場，對于每袋不達標銅礦要賠付客

戶110元.現對這批銅礦檢驗了20袋，結果恰有兩袋品位不達標.

①若剩余銅礦不再做檢驗，以（1）中確定的Po作為P的值.這批銅礦的檢驗成本與賠償費用的和記

作自,求七代）：

②以①中檢驗成本與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對余下的所有鋁礦進行檢驗？

4.（2022?河南月考）隨著中國經濟的迅速發展，市場石料需求急增.西部某縣有豐富的優質石料，當

地政府決定有序開發本縣石料資源.因建立石料廠會破壞生態，該縣決定石料開發走“開發治理結合，

人類生態友好”的路線.當地政府請國家環保機構每年對該縣與石料開發相關的生態（以下簡稱生態）進

行評估.若生態開始變差，則下一年石料廠將停產（本問題中，時間以整數年為單位），生態友好后復

產.該縣在建石料廠之初投入巨資進行與之有關的生態建設，考慮到可持續發展，這種生態投入（以

下簡稱生態投入）將逐年減少（4/〃。一。2-2〃+10）（a是常數，0<a<e）億元.該縣從2021年起,

若某年生態友好，則下一年生態變差的概率是：；若某年生態變差，則下一年生態友好的概率為，.模

OO

型顯示，生態變差的概率不大于0.16683時，該縣生態將不再變差，生態投入結束.

（1）若2021年該縣生態變差的概率為g,求該縣2022年生態友好的概率；

（2）若2021年該縣生態變差概率為g,生態投入是40億元，a為何值時，從2021年開始到生態投入

結束，對該縣總生態投入額最小？并求出其最小值.

5.（2022?濰坊模擬）某學校組織數學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了100個相同的箱子，其中第

女（4=1,2,,100）個箱子中有k個數學題，|（X）-Z個物理題.每一輪競賽活動規則如下：任選一個箱子，

依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題目全部

答對獲得一個獎品.

（1）已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數學題，1個物理題，且甲答對每一個數學題的概率為/?,

答對每一個物理題的概率為4.

①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率：

②己知〃+4=1,學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時〃、9的值.

(2)若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率.

題組四與其他知識綜合

1.(2021高三上?濰坊期中)2021年7月18日第30屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重

舉行.為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現從中隨機抽取了50名學生的成績,

經統計，這批學生的成績全部介于40至100之間，將數據按照[40,50),[50,60),[60,70),

[70,SO),[80,90),[90,100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中〃7的值，并估計這50名學生成績的中位數：

（2）在這50名學生中用分層抽樣的方法從成績在，［70,80）,［80,90）,［90,100］的三組中抽

取了II人，再從這11人中隨機抽取3人，記J的分布列和數學期望；

（3）轉化為百分制后，規定成績在［90,100］的為A等級，成績在［70,90）的為B等級，其它為

C等級.以樣本估計總體，用頻率代替概率，從所有參加生物競賽的同學中隨機抽取100人，其中獲

得B等級的人數設為〃，記8等級的人數為k的概率為P（"二4）,寫出P（，7=k）的表達

式，并求出當k為何值時，P3=k）最大？

2.（2022.福州模擬）某種疾病可分為A,8兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關，在

某地區隨機抽取了若干名該疾病的患者進行調查，發現女性患者人數是男性患者的2倍，男性患4型

疾病的人數占男性患者的?，女性患A型疾病的人數占女性患者的!.

63

n(ad-bc)2

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+4)

P（K?次）0.100.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

(I)若本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為，所患疾病的類型'與，性別'有關''的結

論，求被調查的男性患者至少有多少人？

(2)某團隊進行預防A型疾病的疫苗的研發試驗，試驗期間至多安排2個周期接種疫苗，每人每個周

期接種3次，每次接種費用為"?(〃〉0)元.該團隊研發的疫苗每次接種后產生抗體的概率為

p(O<p<l),如果一個周期內至少2次出現抗體.則該周期結束后終止試驗,否則進入第一個周期.

2

若〃=§，試驗人數為1000人，試估計該試驗用于接種疫苗的總費用.

3.(2022.潮州二模)我國在芯片領域的短板有光刻機和光刻膠，某風險投資公司準備投資芯片領域，

若投資光刻機項目，據預期，每年的收益率為30%的概率為〃，收益率為-10%的概率為1-〃；若投

資光刻膠項目，據預期，每年的收益率為30%的概率為0.4,收益率為-20%的概率為0.1,收益率為零

的概率為0.5.

￡(%-可(K-到￡X-宙

附：收益=投入的資金x獲利的期望：線性回歸?=去+4中，〃=J------------=-4---------,

￡(七-滅)2夕_行2

r-lr-l

a=y-bx.

（1）已知投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，請你從風險角度考慮為該公司選擇一個較穩妥的

項目：

（2）若該風險投資公司準備對以上你認為較穩妥的項目進行投資，4年累計投資數據如下表:

年份X2018201920202021

卜11234

累計投資金額y（單位：億元）2356

請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于N的線性回歸方程￡'=尻1+4，并預測到哪?年年末,

該公司在芯片領域的投資收益預期能達到0.75億元.

8.6分布列與其他知識綜合運用（精練）（提升版）

題組一與數列綜合

1.（2022.重慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據相關法律宣布

從202（）年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測

結果為陽性的旅客人數達到一定數量的民航局對其發出“熔斷”指令，暫停該公司該航線

的運行（達到5個暫停運行1周.達到10個暫停運行4周）,并規定“熔斷期”的航班量

不得調整用于其他航線，“熔斷期”結束后，航空公司方可恢復每周1班航班計劃.已知某

國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是!，

且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是上，未被熔斷的一次航班的下一次

2

航班也未被熔斷的概率是一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班

次數，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為P“.

（1）求P2；

（2）證明：［“一|卜播比數列；

（3）求數列｛%｝的前〃項和前,并說明7；的實際意義.

【答案】見解析

【解析】⑴解：P2=^X1+1X1=A;

⑵證明：由題得〃“=（i-〃"_）!+〃”_］?；=:+:〃“一］，

3ZJo

21（2、

***P--=-Pn-\--，

n56v5

21\2111

又=/°，?'?數列VP”一工是以77為首項、二為公比的等比數列；

5105J106

1

36

從而Tn=一〃H-----一〃+一

由「P”可以理解為第〃次航班平均被熔斷的次數,

???Tn表示前〃次航班一?共被熔斷的次數.

2.（2021.高州模擬）為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善

學校體育“健康知識+基本運動技能+專項運動技能”教學模式，建立“校內競賽一校級

聯賽一選拔性競賽一國際交流比賽”為一體的競賽體系，構建校、縣（區）、地（市）、

省、國家五級學校體育競賽制度.某校開展“陽光體育節”活動，其中傳統項目“定點踢

足球''深受同學們喜愛.其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為

一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人

有1人命中，命中者得1分，未命中者得T分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0

12

分，設甲每次踢球命中的概率為-,乙每次踢球命中的概率為-，且各次踢球互不

23

影響.

（I）經過1輪踢球，記甲的得分為X,求X的數學期望；

（2）若經過〃輪踢球，用P,表示經過第i輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的

概率.

①求Pi，%，小；

②規定Po=0,且有Pi=Apj.]+Bpz，請根據①中A,p2,P3的值求出

A、8,并求出數列｛凡｝的通項公式.

【答案】見解析

【解析】（1）記一輪踢球，甲命中為事件A,乙命中為事件B,A,B相互獨

立.

1,2

由題意P（A）=-,P（B）=-,甲的得分X的可能取值為一1,0,1.

P（X=-l）=P（^）=P（A）P（B）=h-ljx|=

3

____]2（]\（711

P（X=O）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（^）+P（A）P（B）=-x-+1--x1--=-

__1/9\1

P（X=l）=P（^）=P（A）xP（B）=-xp--j=-,

AX的分布列為：

X-101

]_

P

326

E（X）=-lxl+（）xl+lxl=-l

266

（2）①由（1）Q=-,

6

/?2=P（X=0）P（X=i）+P（X=l）（P（X=0）+P（X=l|）

經過三輪踢球，甲累計得分高于乙有四種情況：甲3輪各得1分；甲3輪中有2輪各得

1分，1輪得。分；甲3輪中有1輪得1分，2輪各得0分；甲3輪中有2輪各得1分,

1輪得-1分.

②???規定=0,目有=+?

Pi+AW61

代入得:Pi=-PM+yPi-\?

Pl=+BPI

???/〃一凡二:（化一〃1），,數列｛〃“一〃1｝是等比數列，

O

公比為q=:,首項為P,-Pn=7,.

（1Y（\丫111（1A

???匕=（幾一〃,-）+（〃“_「P”2）+,.+（Pi-A））=^-J+（jJ+…+[=《1一'1

3.（2022.廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現正反面為等可能性事件，

棋盤上標有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第。站，棋手每

擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到攵+1）,若擲

出反面，棋向前跳兩站（從k到k+2）,直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳

到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為P?.

（1）求玲，R,P2的值；

（2）求證：勺一-七2），其中〃tN,2效力99；

（3）求&及%的值.

【答案】見解析

【解析】（1）解：棋子開始在第0站為必然事件，，兄=1.

第一次擲硬幣出現正面，棋子跳到第1站，其概率為［，???《=1.

22

棋子跳到第2站應從如下兩方面考慮：

①前兩次擲硬幣都出現正面，其概率為7：

4

②第一次擲硬幣出現反面，其概率為!.

2

???T+U.

-424

（2）證明：棋子跳到第n（2都799）站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：

①棋子先到第〃—2站，乂擲出反面，其概率為；%；

②棋子先到第n-l站，又擲出正面，其概率為；匕_1.

Ri.

（3）解：由（2）知，當掇N9時，數列｛『%｝是首項為仁兄=_；，公

比為-工的等比數列.

2

1（1y

??.k1二一5，，

/?\3/?\?

???4=前七；，

[△/=_!■.2|_1_（_邛]」|"1+（邛

10029823）_\2）\3|_\2）

4.（2022.太原二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳

球是足球訓練中的兩個重要訓練項目.

（1）假設發點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選

擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時有g的可能將球撲出球門外.在

一次點球戰中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數X的分布列和數學期

望：

（2）某次傳球訓練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進行傳接球訓練，從甲開始

傳球，等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如

此一直進行.假設每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為巴.求

證：數列｛匕-：｝為等比數列，并求匕.

【答案】見解析

【解析】（1）解：每個點球能被守門員撲出球門外的概率為尸=3X2XGX!=!，

3339

（1）

由題知X~B3,-,

P（X=0）=C：m、壬，P（x=1）=c.flW=192>

'7\9j729'7（9人9）729

P（X=2）=C仲性2P（x=3）=Cp],，

X的分布列為：

X0123

512192241

P

729729729729

???E（X）=3xl=l

V793

（2）證明：由已知第〃-1次傳球后球又回到甲腳下的概率為

???〃之2時

???,一1是首項為上卜一?公比為t的等比數列,

5.（2022?湖北模擬）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊

敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰6:5驚

險戰勝日本女足，其中門將朱鈕兩度撲出日本隊員的點球，表現神勇.

（1）撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、

右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且

門將即使方向判斷正確也有;的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰中，

求門將在前三次撲出點球的個數X的分布列和期望：

（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的

訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等

可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n

次傳球之前球在甲腳下的概率為以，易知乃=1，〃2=0.

①試證明，〃“一（｝為等比數列；

②設第〃次傳球之前球在乙腳卜的概率為公，比較巧。與久的大小.

【答案】見解析

【解析】（1）解：依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為P=；xgx3xg=，，

門將在前三次撲出點球的個數X可能的取值為0，1,2,3

P（x=0）YJ。xg；巴P（X=1）=c；二巴

316yll6j2163（6八6）72

P（X=2）=C；x（‘]xf-1=—,P（X=3）=C>f-lxf-1=—,

316；W72316；W216

X的分布列為：

X0123

1252551

P

2167272216

125125r5,11

期望石（X）=0x」4-1x---F2X---i-3x---=—.

21672722162

'】將每次可以撲出點球的概率為P=(x；x3x；=：,

另解：依題意可得，

球的個數X可能的取值為0,123，易知x~8(3,3),

門將在前三次撲出點:

（\\

p（X=A：）=C*x^-x—,%=0,1,23

X的分布列為:

X0123

1252551

P

2167272216

期望E（X）=3x，=2.

62

（2）解：①第〃次傳球之前球在甲腳下的概率為幾，則當，?N2時，第〃-1次傳球之

前球在甲腳下的概率為凡T，第〃-1次傳球之前球不在甲腳下的概率為則

八八\111-1V1)

Pn=Pn-\-0+(1-/>?-1)'7=-7Pn-\+T?從H而〃“一公二一1Pn-\~~7，

13

—.-

又Pl4~4

131

->%-wj是以I為首項，公比為的等比數列.

②由①可知pn

3/]y1111

四。七匕卜方屋廿”外）故％<三

題組二與函數綜合

1.（2022北京）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不

斷，出現了“一墩難求”的現象主辦方現委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品

在專賣店進行售賣.一知這款紀念品的生產成本為80兀/件，為了確定其銷售價格，調查

了對這款紀念品有購買意向的消費者(以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消

費者)的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：

心理價位(元/件)90100110120

人數10205020

假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小了或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就

會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規定每位消費者最多只能購買一件該

紀念品.設這款紀念品的銷售價格為X(單位：元/件)，90<x<120,且每位消費者是

否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.

(1)若x=100,試估計消費者購買該紀念品的概率：已知某時段有4名消費者進店,

X為這一時段該紀念品的購買人數，試求X的分布列和數學期望E(X)；

(2)假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y(單位：元),

當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數學期望七(丫)達到最大值？

【答案】見解析

90

【解析】(1)解：x=100時，消費者購買該紀念品的概率Pt；；京=0.9,

10()

由題意X~8(409),P(X=i)=C；09(1-0.9)1,i=0,[,2,3,4,

p(X=0)=0.14=—,同理P(X=1)=—^―,P(X=2)=^",

1000025005000

7296561

P(X=3)=,P(X=4)=

250010000

X的分布列為:

X01234

192437296561

P

l()0(X)250050002500KXXX)

E(X)=4xO.9=3.6；

90

(2)解：由⑴知90vx41(X)時，E(K)=X—x(x-80)<18/W(x=100時等

號成立),

70

100<310時,E(r)=Mx—x(x-80)<21M(x=110時等號成立),

20

110<E20時,E(Y)=Mx—x(x-S0)<SM(x=120時等號成立),

100

M>0.因此以丫）=21股最大，此時x=110.

所以當該紀念品的銷售價格定為110元多少時，Y的數學期里￡（丫）達到最大值21M.

2.（2022高三上?濰坊期中）2020年10月16日，是第4（）個世界糧食日.中國工程院院士

袁隆平海水稻團隊迎來了海水稻的測產收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地

YC-801測產，畝產超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實現億畝荒灘變糧倉，大大

提高了當地居民收入.某企業引進一條先進食品生產線，以海水稻為原料進行深加工，發

明了一種新產品，若該產品的質量指標值為"?（，〃￡［70,100］）,其質量指標等級劃分

如下表：

質量指標值加[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

質量指標等級良好優秀良好合格廢品

為了解該產品的經濟效益并及時調整生產線，該企業先在行試生產.現從試生產的產

品中隨機抽取了1000件，將其質量指標值〃？的數據作為樣本，繪制如下頻