子空間直和的相關(guān)定理及其應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u摘要 1引言 21.預(yù)備知識(shí) 32.子空間直和的相關(guān)定理 63.子空間直和的相關(guān)應(yīng)用 143.1子空間直和在判斷矩陣是否可對(duì)角化中的應(yīng)用 143.2子空間直和在求最小多項(xiàng)式及其分解中的應(yīng)用 153.3子空間直和在求線性空間維數(shù)中的應(yīng)用 163.4子空間直和在判斷向量組線性無關(guān)中的應(yīng)用 163.5子空間直和在方程組解空間中的應(yīng)用 17結(jié)束語 18參考文獻(xiàn) 19摘要：本文首先給出了子空間直和的相關(guān)定義；其次從特征多項(xiàng)式、對(duì)角矩陣、最小多項(xiàng)式、零向量分解式以及子空間的交等方面闡述了有關(guān)子空間直和的相關(guān)定理；最后從判斷一個(gè)矩陣是否是對(duì)角矩陣、求線性變換最小多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式、求線性空間維數(shù)、判斷向量組線性無關(guān)以及判斷方程組解空間是否為直和這五個(gè)方面介紹了子空間直和的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：子空間直和；對(duì)角化；標(biāo)準(zhǔn)分解式；線性無關(guān)；解空間引言線性空間的直和分解思想是研究線性空間結(jié)構(gòu)的重要工具，它在判斷矩陣對(duì)角化、向量組線性無關(guān)以及求線性變換最小多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式、線性空間維數(shù)中都有重要的應(yīng)用.并且利用子空間的直和，可以簡(jiǎn)化判斷矩陣對(duì)角化以及判斷向量組線性無關(guān)的過程，起到事半功倍的效果.很多學(xué)者已經(jīng)對(duì)子空間直和及其應(yīng)用做了研究.文獻(xiàn)[3]介紹了多項(xiàng)式因式分解與線性空間直和分解之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[4]介紹了子空間直和的等價(jià)命題；文獻(xiàn)[7]討論了子空間直和在對(duì)角化中的應(yīng)用；文獻(xiàn)[8]討論了子空間直和在判斷方程組解空間是否為直和中的應(yīng)用.本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步總結(jié)了子空間直和的相關(guān)定理和相關(guān)應(yīng)用，并給出了子空間直和在判斷一個(gè)矩陣是否可對(duì)角化、求最小多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式、求線性空間維數(shù)、判斷向量組線性無關(guān)以及判斷方程組解空間是否為直和這五個(gè)方面介紹了子空間直和的應(yīng)用.預(yù)備知識(shí)定義1.1[1]形式為的矩陣，其中是數(shù)，稱為對(duì)角矩陣.定義1.2[1]形式為的矩陣，其中是矩陣，稱為準(zhǔn)對(duì)角矩陣.定義1.3[1]若數(shù)域中有不全為零的數(shù)，使，則稱向量組線性相關(guān).若不線性相關(guān)，則稱線性無關(guān).定義1.4[1]若齊次線性方程組的一組解滿足：1方程組的所有解都能被線性表出；2線性無關(guān).則稱這組解為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.定義1.5[1]若，且不能表成上的兩個(gè)次數(shù)比低的多項(xiàng)式的乘積，則稱為上的不可約多項(xiàng)式.定義1.6[1]任一多項(xiàng)式可分解為，其中為的首項(xiàng)系數(shù)，為互異的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式，.這種分解式稱為標(biāo)準(zhǔn)分解式.定義1.7[1]設(shè)，是數(shù)域.，都有；，，都有.若加法與數(shù)量乘法滿足：加法滿足下面四條規(guī)則1；2；3，，使得則為的零元；4，，使得稱為的負(fù)元素.數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則5；6；數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則7；8；則稱為上的線性空間.定義1.8[1]線性空間的一個(gè)變換稱為線性變換，若，，都有，.注：以下用表示為數(shù)域上的線性空間，表示的所有線性變換構(gòu)成的集合.定義1.9[1]設(shè)，，如，，有，則稱為的子空間.定義1.10[1]在線性空間中，一個(gè)齊次線性方程組的全部解向量所組成的子空間稱為該方程組的解空間.定義1.11[1]設(shè)，是線性空間的子空間，所謂與的和，是指由所有能表示成，而，的向量組成的子集合，記作.定義1.12[1]設(shè)，是線性空間的子空間，，若的分解式，，，唯一，則稱這個(gè)和為直和，記為.定義1.13[1]設(shè)，若對(duì)，，使得，則稱為的一個(gè)特征值，而為的屬于的一個(gè)特征向量.定義1.14[1]設(shè)為階矩陣且，為一個(gè)文字.矩陣的行列式稱為的特征多項(xiàng)式.定義1.15[1]設(shè)，是的子空間.若對(duì)，都有，那么為的不變子空間，簡(jiǎn)稱子空間.定義1.16[1]設(shè)，若，，使，則稱以為根.次數(shù)最低首項(xiàng)系數(shù)為1且以為根的多項(xiàng)式叫做的最小多項(xiàng)式.子空間直和的相關(guān)定理定理2.1[1]設(shè)的特征多項(xiàng)式能分解為一次因式的乘積，則可分解成不變子空間的直和，其中.證明令，及，則是的值域.又因?yàn)槭堑牟蛔冏涌臻g.顯然滿足.下面來證明.為此要證明兩點(diǎn)，第一，要證中每個(gè)向量都能表成，，.其次，向量的這種表示法是唯一的.顯然，因此有多項(xiàng)式，使.于是.這樣對(duì)中每個(gè)向量都有，其中，，這就證明了第一點(diǎn).為證明第二點(diǎn)，設(shè)有，其中滿足，.現(xiàn)在證明任一個(gè).因，所以.用作用于的兩邊，即得.又，所以有多項(xiàng)式使，于是.現(xiàn)在設(shè)，其中.當(dāng)然滿足，，所以，.再設(shè)有一向量的核.把表示成，，，即.令，，，則是滿足和的向量.所以，于是.這就證明了是的核，即，.定理2.2[1]設(shè)，可對(duì)角化有個(gè)線性無關(guān)的特征向量.證明設(shè)在基下有對(duì)角矩陣，這就是說，.因此，就是的個(gè)線性無關(guān)的特征向量.相反，若有個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則，.取為基，則的矩陣為.定理2.3[2]設(shè)，是的特征值且互不相等.又設(shè)是屬于的線性無關(guān)的特征向量，，則向量線性無關(guān).證明首先.現(xiàn)在設(shè)存在中的數(shù)，使得.令，.則.由上面所說的事實(shí)，若某一，則是的屬于特征值的特征向量.因?yàn)榛ゲ幌嗤瑒t，.即，.即線性無關(guān).定理2.4設(shè)，是的最小多項(xiàng)式.令是在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式，其中，互異且，，又設(shè)，.那么1每一個(gè)子空間都在之下不變；2；3令是在上的限制.那么的最小多項(xiàng)式是，.證明1令，，因?yàn)榛ゲ幌嗤适腔ニ氐亩囗?xiàng)式.于是存在多項(xiàng)式使.令，.那么.將線性變換代入這個(gè)等式得，這里是的單位變換.于是的每個(gè)向量可以寫成.令，.那么每一作為的多項(xiàng)式，都與可交換，因而每一在之下不變.表明，.2下面證明，，并且上面的和是直和.首先，所以對(duì)于中任意向量有.因此.反過來，設(shè)，如果，那么可以被整除，從而.于是由得.這樣，，而且.現(xiàn)在設(shè)是中任意向量，那么由，如果還可以表成，，，那么由上面的證明，我們有，而，若.因此，.所以中每一向量被表成的表示法是唯一的，從而是直和.3令.因?yàn)椋砸欢鼙坏淖钚《囗?xiàng)式整除，從而的最小多項(xiàng)式一定有的形式，這里，.然而兩兩互素，故的最小多項(xiàng)式為.由多項(xiàng)式不可約因式分解的唯一性得出，即是的最小多項(xiàng)式，.定理2.5設(shè)，和都是的不變子空間，若，并且，分別是，的最小多項(xiàng)式，則的最小多項(xiàng)式為，的最小公倍式.證明設(shè)維，維，；再設(shè)，分別為與的基，在基下的矩陣為，在基下的矩陣為，則的一組基為，，在此基下的矩陣為，且矩陣的最小多項(xiàng)式分別為，，.令，，則，因此.其次，，則有，，所以，.這就必有.故.若，就得到.定理2.6設(shè)、是線性空間的子空間，且，則以下命題等價(jià)：1；2零向量表示法唯一，即若，則，其中；3；4維維維，即維維維；5、的基湊成的基.證明12因?yàn)椋裕戳阆蛄勘硎痉ㄎㄒ?23任取向量，于是零向量可以表示成，其中，.所以.這就證明了.34因?yàn)榫S維維維，，則維，所以維維維.45設(shè)為的一組基，為的一組基.則是由生成的子空間.令，則.由此，.所以，.因此線性無關(guān).所以湊成的一組基.51設(shè)有兩個(gè)分解式，，.于是.因此，.即，，由此可知，向量的分解式唯一.所以.子空間直和的相關(guān)應(yīng)用3.1子空間直和在判斷矩陣是否可對(duì)角化中的應(yīng)用若將空間按特征值分解成若干個(gè)子空間的直和，在每一個(gè)子空間中取基，把它們湊成的一組基.則在這組基下，的矩陣具有準(zhǔn)對(duì)角形，其中是在基下的矩陣.由定理2.2和定理2.3知，若維維維維，則可對(duì)角化；若維維維維，則不可對(duì)角化.例1設(shè)，判斷是否可以對(duì)角化？解的特征多項(xiàng)式是，因此，是的特征值.把代入中得到對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)解系.把代入中得到對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)解系.顯然，的重?cái)?shù)等于的個(gè)數(shù)，7的重?cái)?shù)等于的個(gè)數(shù)，故可對(duì)角化.例2設(shè)，判斷是否可以對(duì)角化？解求出的特征值為，.把代入中得到對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)解系.把代入中得到對(duì)應(yīng)基礎(chǔ)解系.由于1的重?cái)?shù)不等于的個(gè)數(shù)，故不可對(duì)角化.3.2子空間直和在求最小多項(xiàng)式及其分解中的應(yīng)用定理2.4中利用線性變換的最小多項(xiàng)式的因式分解，得到了線性空間中線性變換的不變子空間的直和分解.反過來，由線性空間的任一線性變換的不變子空間直和分解，也能得到最小多項(xiàng)式的因式分解.由定理2.5易求出最小多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式.例3令是實(shí)數(shù)域上一個(gè)三維向量空間，，它在的某個(gè)基下的矩陣為，求出的最小多項(xiàng)式，并把在內(nèi)分解為兩個(gè)最高項(xiàng)系數(shù)是1的不可約多項(xiàng)式與的乘積.解的特征多項(xiàng)式為.因?yàn)椋缘玫降淖钚《囗?xiàng)式為，且，.3.3子空間直和在求線性空間維數(shù)中的應(yīng)用定理2.6給出了子空間直和的等價(jià)命題，根據(jù)等價(jià)命題4可知，求出子空間的維數(shù)，再將所有子空間的維數(shù)相加就很容易得到線性空間的維數(shù).例4設(shè)，，求由向量與生成的線性空間的維數(shù).解容易看出維，維.首先判斷向量與生成的子空間是否為直和.假設(shè)交的向量，則有，即.因，故交的維數(shù)為0.因此向量與生成的子空間為直和.所以維維維.3.4子空間直和在判斷向量組線性無關(guān)中的應(yīng)用根據(jù)定理2.6中的子空間直和的等價(jià)命題2可以從子空間向量組的線性無關(guān)來判斷線性空間向量組的線性無關(guān).例5設(shè)，為的子空間，，且與線性無關(guān).證明：也線性無關(guān).解設(shè).由知，用定理2.6的等價(jià)命題2“零向量表法唯一”.由，，得，，由，是兩個(gè)線性無關(guān)的向量組，則有.所以，向量組也線性無關(guān).3.5子空間直和在方程組解空間中的應(yīng)用根據(jù)定理2.6給出的子空間直和的等價(jià)命題34，如果知道了解空間和與交的情況，那么就可以判斷方程組解空間是否為直和.例6設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，且.記、分別是方程組與的解空間.證明：.解，有，由，易驗(yàn)證，，所以，.又若，有，及，則.所以，.于是，.例7設(shè)為階實(shí)可逆矩陣，、分別為，的解空間.證明：.解因是的解空間，即的解空間.為階實(shí)可逆矩陣，故只有零解，即.其次，由及維數(shù)公式，得維維維，設(shè)秩，則秩.于是有維，維.因此維維.所以，.結(jié)束語本文由相關(guān)定義出發(fā)，闡述了子空間直和與特征多項(xiàng)式、對(duì)角矩陣、最小多項(xiàng)式、零向量分解式之間關(guān)系的相關(guān)定理，并給出了一些相關(guān)應(yīng)用，如在判斷矩陣對(duì)角化、向量組線性無關(guān)以及求最小多項(xiàng)式及其分解等方面的應(yīng)用.通過本文，我們可以對(duì)直和分解思想有更深刻的理解，并且如果我們多去注意這些應(yīng)用，很多時(shí)候會(huì)給我們解決問題帶來方便.當(dāng)然，本文只是總結(jié)出了子空間直和部分簡(jiǎn)單的應(yīng)用，更多其他方面的應(yīng)用還需要我們繼續(xù)探索.參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編.高等代數(shù)[M].4版.高等教育出版社，2013，8：142-313.[2]張禾瑞等編.高等代數(shù)[M].4版.高等教育出版社，2002，3:301-417.[3]余興民.多項(xiàng)式因式分解與線性空間直和分解的關(guān)系[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，28（2）：3-4.[4]徐新萍.關(guān)于子空間直和的教學(xué)思考和探究[J].江蘇教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，28（1）：20-22.[5]林記，姚云飛.線性空間的直和分解思想的地位和作用[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，26（12）：62-65.[6]劉紅旭.關(guān)于“不變子空間”的再探討[J].遼寧師專學(xué)報(bào)，2003，5（1）：2-3.[7]張教森.不變子空間直和的一個(gè)補(bǔ)充[J].固原師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，1999，20（3）:55-57.[8]楊聞起，李嬌嬌，趙婷.高等代數(shù)中子空間直和的證明方法及應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2019，39（8）：9-11.[9]鄧貴新.線性空間直和分解定理的一點(diǎn)思考[J].內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大