應用題-經典應用題-方陣問題基本知識-2星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率方陣問題基本知識B1.明確空心方陣和實心方陣的概念及區別

2.掌握空心方陣和實心方陣的變化規律少考知識提要方陣問題基本知識概述

在日常生活中，我們常把人或物排成正方形的形狀，在數學上我們把研究這樣的問題稱為方陣問題。

在擺放的方陣中如果是實心的，我們叫它實心方陣，也叫中實方陣；如果這個方陣是空心的，我們叫它空心方陣，也叫中空方陣。 實心方陣的特點

總人（或物）數=每邊人（或物）數×每邊人（或物）數 空心方陣的特點

總人（或物）數=（最外層每邊人（或物）數-層數）×層數×4

奇數層：總人數=中間層總數×層數

偶數層：總人數=（外層+內層）×層數÷2

若最外層每邊有a人，內部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共有(a2變化規律

相鄰兩邊之間相差2；

相鄰兩層之間相差8；

每層人（或物）數=每邊人（或物）數×4-4=[每邊人（或物）數-1]×4 精選例題方陣問題基本知識1.一個實心方陣，最外一層每邊18人，（1）那么整個方陣一共

人；（2）最外面一層有

人；（3）從外向內數，第2層每邊有

人，一共有

人；（4）如果考慮最外面三層，那么這三層共有

人．【答案】

324；68；16，60；180【分析】

（1）182（2）17×4=68或18×4-4=68；（3）18-2=16；15×4=60或68-8=60；（4）60×3=180．2.運動會上，五年級學生排成一個方隊（橫豎行人數相等），已知最外層為60人，這個方隊共有

人．【答案】

256【分析】

最外層每邊有60÷4+1=16(人)，共有16×16=2563.一個長方形隊列，如果增加一橫行和一豎行，就要增加13人．這個長方形隊列原來最少有

人．【答案】

11【分析】

增加一橫行和一豎行，就要增加13人，那么原方陣的長與寬的和為13-1=12，所以人數最少時，12=1+11，有1×11=11(人)4.小朋友們排成方陣做廣播體操，小明恰好站在方陣的正中心，此時無論是從前往后或者從后往前數他都排在第5個，無論是從左往右或者從右往左數時他都排在第6個，則這個方陣中一共有

位小朋友．【答案】

99【分析】

小明前后各有5-1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6-1=5(人)，那么每行就有5+1+5=115.有196枚圍棋子，擺成一個14×14的正方形．甲、乙兩人依次從最外一層起取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了

枚棋子．【答案】

28【分析】

196枚圍棋子圍成的方陣，最外層棋子數為14×4-4=52，相鄰兩層棋子數相差8，從外向內每一層棋子數為：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了6.一個正方形方陣，其中的4行5列的人數總和為250人，那么如果將這個方陣去掉一行一列還剩

人．【答案】

841【分析】

4行5列，包括重復計算的：250＋20＝270人，每行：7.有一些人組成2個正方形方陣，2個正方形方陣之間相差97個人，那么這2個正方形方陣一共有

人．【答案】

4705【分析】

假設A方陣有a人，B方陣有b人，那么應該有b2-a2=978.小虎在19×19的圍棋盤的格點上擺棋子，先擺成了一個長方形的實心點陣．然后再加上45枚棋子，就正好擺成一邊不變的較大的長方形的實心點陣．那么小虎最多用了

枚棋子．【答案】

285【分析】

45=3×3×5，它小于19的最大約數為15，所以不變的邊長應為15，另一邊最長為19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．9.東風小學儀仗隊的同學們排隊，若排成正方形，則多余12名同學，如果把這個正方形擴大，縱橫每排各增加一人，則缺少9人

．【答案】

112【分析】

增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原來排成的正方形的每條邊上有(21-1)÷2=10(人)，東風小學儀仗隊有學生10.有大小相同的正方形白石和黑石各n個．首先，將黑石不留空隙地擺成一個正方形，然后在其外圍擺一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外圍擺一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外圍再擺一圈，正好將所有石子用完（如下圖所示）．那么2n=

．【答案】

144個【分析】

如上圖所示，記最外層的一圈白石為a個，它里面的一圈黑石為b個，再里邊的一圈白石為c個，最中間的黑石組成的正方形再分成外面一圈(d個)和里面的正方形注意到a-b=b-c=c-d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因為黑石的總數=白石的總數，所以最大的正方形的每一邊有4+4×2=12（個）石子，所以石子的總數為12×12=144（個）．11.一個實心體操方陣，最外層有72人．這個體操方陣有多少人？【答案】

361【分析】

最外層每邊人數：(72＋4)÷4＝答：這個體操方陣有361人．12.如圖所示，小剛在用棋子擺好的實心方陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了大一點的實心方陣，求原來的實心方陣有多少枚棋子？【答案】

64【分析】

填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此時每條邊有(17-1)÷2+1=9那么原來的方陣每條邊有91-1=8原來實心方陣的總棋子數：8×8=6413.某學校三年級同學180人，排成個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數為180÷3=60則每邊有60÷4+1=16所以最外層每邊有16+2=1814.一個實心體操方陣，最外層有32人．這個體操方陣有多少人？【答案】

81【分析】

最外層每邊人數：(32＋4)÷4＝答：這個體操方陣有81人．15.三年級學生排成一個實心方陣進行體操表演，最外一層的人數為32人，問這個方陣最外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學生多少人？【答案】

每邊9人，共81人．【分析】

每邊有32÷4+1=9共916.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊有10人，共有多少層？1～3層一共有多少人？【答案】

5；36【分析】

10÷2＝5（層），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有17.小明用一些棋子擺成了一個兩層的空心方陣，后來他又用28枚棋子擺成了另外一個單層的空心方陣，擺完后他發現兩個方陣正好可以拼在一起，組成一個新的三層空心方陣，那么他原來用了多少枚棋子？【答案】

32或80【分析】

如果單層空心方陣放在雙層空心方陣的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋18.有一個6層的空心方陣，最外層每邊25人，問要多少學生才能排出這個空心方陣？【答案】

456人【分析】

(25-6)×6×4＝答：要456個學生才能排出這個空心方陣．19.用紅、綠兩種顏色的小正方形瓷磚400塊鋪成一塊正方形墻面，這個墻面最外圈鋪的是紅色瓷磚，由外到內的第二圈是綠色瓷磚，第三圈是紅色瓷磚，第四圈又是綠色瓷磚……這樣依次鋪下去．請問這個墻面上哪種顏色的瓷磚更多？兩種瓷磚相差多少塊？【答案】

紅色；40塊．【分析】

共有400塊瓷磚，所以整個方陣是一個20×20的方陣，共有10層，從外向里依次為紅、綠兩種顏色相間排列，最里一層為綠色；從外向里，每層紅色瓷磚都比它里面相鄰的那層綠色瓷磚多8塊，所以紅色比綠色多5×8=40塊．20.用64枚棋子擺成一個兩層中空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？【答案】

44【分析】

方陣相鄰兩層棋子數差為8，又知兩層棋子數和為64，由和差問題，外層有(64+8)÷2=36如果再增加一層，需要增加36+8=4421.在一個實心學生方陣中加入9人，可將原來的方陣變成一個多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

16【分析】

(9－1)÷2＝22.在一個實心學生方陣中加入若干人，原來的方陣變成一個多一行，多一列的方陣；若原來的方陣減少13人，可將原來的方陣變成一個少一行，少一列的方陣，問后來加入的學生有多少人？【答案】

15【分析】

(13+1)÷2＝7（人），7×2＋23.一批同學站成一個10×10的方陣，請問：最外一層共有多少人？從外向里的第3層有多少人？【答案】

36人；20人．【分析】

最外層每邊10人，共有10×4-4=36人．從外向里的第3層有：36-8×2=20人．24.用黑、白兩種顏色的正方形瓷磚共256塊鋪滿一面正方形的墻，最外一層是黑色，第二層是白色，第三層是黑色……這樣下去，那么整面墻上共有黑色瓷磚多少塊？【答案】

144．【分析】

256=16×16，所以最外層每邊16塊，從外往里共有8層，所以黑的共有：60+44+28+12=144塊．25.同學們參加了廣播操比賽，排成每行9人，每列9人的實心方陣，問方陣中共有多少學生？【答案】

81【分析】

可以根據“實心方陣總人數得到9行9列的實心方陣人數為：9×9=8126.士兵排成一個實心方陣，最外一層一周的人數為80人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有多少士兵？【答案】

21；441人【分析】

80÷4＋1＝答：方陣外層每邊有21人，這個方陣共有441士兵．27.一個13×13的方陣中，最外一層一共有多少人？從里向外的第3層有多少人？【答案】

48人；16人．【分析】

最外層共有：13×4-4=48人；最里邊一層只有1人，里邊第二層有8人．所以從里向外第3層有16人．28.在一個實心學生方陣中加入13人，可將原來的方陣變成一個多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

36【分析】

(13－1)÷2＝29.在一個實心學生方陣中減少11人，可將原來的方陣變成一個少一行，少一列的方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

36【分析】

(11+1)÷2＝6（人），所以原來的方陣有30.若干名同學站成一個15×15的方陣，請問：最外層一共有多少人？這個方陣一共有多少層？從里向外的第七層有多少人？【答案】

56；8；48．【分析】

最外層每邊15人，但角落上的4個人每人都同時位于兩條邊上，所以最外層共有：15×4-4=56人；每人往里一層，每邊人數會減少2個，最里層的每邊應該有：15-2×7=1人，共有7+1=8層；從里向外第7層每邊有：1+2×(7-1)=13人，所以這一層共有：13×4-4=48人．31.共有240人排成一個5層空心方陣，這個方陣最里面一層每邊多少人？如果要在內部加一層，變成6層空心方陣，還需要增加多少人？【答案】

32；24．【分析】

5層中間一層共有：240÷5=48人，所以最內一層共有：48-8×2=32人，每邊32÷4+1=9人，內部增加一層需要32-8=24人．32.一個實心方陣，最外面一層共有56人，那么這個方陣一共有多少人？【答案】

225．【分析】

最外層每邊有：56÷4+1=15人，所以共有15×15=225人．33.共有200人排成一個5層空心方陣，這個方針最外面一層每邊多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】

15；31．【分析】

中間層共有：200÷5=40人，所以最外層共有：40+8×2=56人，每邊有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16-15×15=31人．34.有一個240人排成的5層空心方陣，再增加多少人在最內層，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣？【答案】

24【分析】

240÷4÷5＋5＝12＋答：再增加24人在內部，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣．35.一個實心方陣，最外面一層共有36人，如果要讓這個方陣增加一行一列，需要增加多少人？【答案】

21人．【分析】

最外層36人，每邊36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11-10×10=21人．36.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣，如果最外層每邊有20個學生，問這個空心方陣最內層共有多少個學生？這個四層空心方陣共有多少個學生？【答案】

52；256【分析】

20-2-2-2＝14（人）；14×4-4＝56-4＝所以這個空心方陣最內層共有52個學生，這個四層空心方陣共有256個學生．37.在學校的運動會上，同學們集體表演一個節目，站成了一個空心的正六邊形陣列，與圖中的陣列類似．從外向內一共8層，分別站著兩層六年級的同學、兩層五年級的同學、兩層四年級的同學以及兩層三年級的同學．已知參加表演的六年級同學有126名，那么：（1）最外層有多少人？（2）現在陣列中一共有多少人？（3）如果想要讓一、二年級的同學把這個空心陣列填滿，還需要多少人？（最里層可站1個人）【答案】

（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】

（1）六邊形陣列中，相鄰兩層相差6人，所以最外層共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）還需要：18+12+6+1=37人．38.若干學生排成一個實心方陣，倒數第二層每邊比第二層多10人，共有多少層？【答案】

8【分析】

(10÷2)+1＋2＝39.一個實心方陣，最外面一層共有44人，請問：（1）這個方陣共有多少人？（2）如果讓這個方陣減少一行一列，一共需要減少多少人？【答案】

（1）144；（2）23．【分析】

（1）“最外一層共有44人”，說明最外層每邊有：44÷4+1=12人，所以，這個方陣是一個12×12的方陣，共有12×12=144人．（2）減少一行一列，也就是變成一個11×11的方陣，需要減少144-11×11=23人．40.節日來臨，同學們用盆花在操場上擺了一個空心方陣花壇，最外面的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少盆花？【答案】

108【分析】

方法一：最外層共有12×4-4=44第二層共有44-8=36第三層共有36-8=28所以共有44+36+28=108方法二：第二層每邊有12-2=10第二層共有10×4-4=36所以共有36×3=10841.曉曉愛好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，如圖所示，外層每邊有14個棋子，你知道他一共用了多少個棋子嗎？【答案】

96【分析】

方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個．知道最外面一層每邊放14個棋子，就可以求出第二層每邊的個數．知道各層每邊的個數，就可以求出總數．(14-1)×4=52(14-2-1)×4=4452+44=96一共用了96個棋子．42.某學校三年級同學180人，排成一個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數為180÷3＝60（人），則每邊有60÷4+1=16（人），所以最外層每邊有43.120個棋子擺成一個三層空心方陣，最外層每邊有多少棋子？【答案】

13個【分析】

中間層總數為120÷3=40（人），則每邊有40÷4+1=11（人），所以最外層每邊有11+2=13（人）．44.如圖所示，用10枚棋子可以擺出一個正三角形點陣，每邊4枚棋子；用9枚棋子可以擺成一個正方形點陣，每邊3枚棋子．今有一堆棋子，棋子總數小于100，用這堆棋子既可以擺出一個正三角形點陣，也可以擺出一個正方形點陣，問這堆棋子共有多少枚？【答案】

36【分析】

100以內的平方數，只有6所以36既可以組成邊長為6的方陣，也能組成邊長為8的正三角形點陣．45.有225枚棋子，擺成一個15×15的正方形，甲、乙兩人從最外一層起，輪流取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了多少沒枚棋子？【答案】

31【分析】

甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．46.劉老師把一些樹苗栽種成一個盡量大的實心方陣，結果還多出了6棵樹苗；后來又運來了34棵樹苗，恰好能補成一個更大的實心方陣．那么后來的方陣最外層每邊有多少棵樹？【答案】

11或7【分析】

若增加了1層，則現在最外層共有40棵樹，所以最外層每邊共有：40+4÷4=11若增加了2層，則40=16+24，此時最外層有：24+4÷4=747.三年級廣播體操比賽采用了方陣的形式，每個方陣有5行，每行8人，3個這樣的方陣有多少人？【答案】

120人【分析】

5×8×3＝120（人），答：3個這樣的方陣有48.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊有12人，共有多少層？1～4層一共有多少人？【答案】

6；64【分析】

12÷2＝6（層），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有49.一隊戰士排成一個三層空心方陣多出16人，如果在空心部分再增加一層又缺28人，這隊戰士共有多少人？【答案】

196【分析】

16+28=44（人），所以空心部分新增一層每邊有44÷4+1=12（人），所以最外層每邊有12+2×3=18（人），所以排好的三層共182-1250.某班所有學生恰好可以排成一個每邊為8人的三角陣，請問：這個班共有多少人？【答案】

36人．【分析】

每邊為8人的三角陣共有：1+2+3+?+8=36人．51.176個棋子擺成一個四層空心方陣，最內層每邊有多少棋子？【答案】

9個【分析】

最內層與最外層總數和為176÷4×2＝88（個），則則最內層有(88-3×8)÷2=32（個），則每邊有52.學而思運動會上，五年級的女生們準備出一個團體操的節目．現在的人數剛好排成一個方陣（每一行人數和每一列人數相等）．后來又加入了23個女生，恰好還可以組成一個方陣．那么你能算出加入23人之前，方陣共有多少人嗎？【答案】

121人【分析】

依題意，前后兩次的學生總人數都是完全平方數．不妨設前者人數是B2，后者人數是A2.那么根據平方差式，A2-B2=A+BA+B則加入23人之前，方陣有11×11=121人．53.同學們用64盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？【答案】

44【分析】

對于兩層方陣，外層比內層多8盆，兩層共64盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數是(64+8)÷2=36（盆），從而得出需增加的盆數，36+8=44（盆）．54.如圖，一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個水池構成．現在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點都種上（即圖中的A、B、C點），且每塊草地上的花朵排成了一個三角形點陣，且每條邊上有10朵花．請問：整個綠地一共要種多少朵花？【答案】

162朵．【分析】

每個三角形草地里每邊都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但這樣算，三角形的連接處都被算了2次，多算1次，所以整個綠地一共種花165-3=162朵．55.用白、藍兩種顏色的正方形瓷磚鋪滿一面正方形的墻，共用了324塊，最里面一層是藍色的，第二層是白色，第三層是藍色……這樣下去，最外面一層是什么顏色？整面墻上共有白色瓷磚多少塊？【答案】

藍色；144．【分析】

324=18×18，共有9層，所以最外層是藍色的；共有白色瓷磚：12+28+44+60=144塊．56.在一次運動會開幕式上，有一大一小兩個方陣合并變換成一個10行10列的方陣，求較小方陣有多少人？【答案】

36【分析】

10行10列的方陣由100人組成，原來的小方陣每行或每列人數都不會超過10人，大方陣人數應該在50～100之間，可取64或81，運用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有64人，小方陣有36人．57.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊比最內一層多10人，共有多少層？【答案】

6【分析】

(10÷2)+1＝6（層），所以共有58.有大小一樣，張數相同的黑白兩種顏色的正方形紙片．小高用白色紙片拼成中間沒有縫隙的長方形，然后用黑色紙片圍繞已經拼成的白色長方形繼續拼成更大的長方形，之后有用白色紙片拼下去，……，這樣重復拼．當小高用黑色紙片拼過5次以后，黑、白紙片正好用完．請問：黑色紙片至少有多少張？【答案】

350張．【分析】

不妨設每張小紙片的邊長為1．從外往內，每次同時“剝開”一層黑紙片和一層白紙片，剝了5次之后，就只剩下中心的一個由白紙片組成的長方形．每次“剝開”的過程，黑紙片比白紙片多8張．由于一共有5層黑紙片，所以一共可以剝除5次，所有被剝除的黑紙片比所有被剎除的白紙片多40張，而總共的黑白紙片數量相同，所有最后剩余的只有白紙片構成的長方形中有40張白紙片．這個長方形的長和寬都是整數，它的長與寬的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部紙片鋪成的大長方形的長和寬比被“剝除”五次之后剩下的長方形的長和寬都大20，所以大長方形的面積可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25=700，其中最小的面積是700．而黑紙片的張數是這個面積的一半，所以最少有黑紙片350張．59.某小學三年級共有學生120人，排成一個三層的空心方陣．這個方陣最外層每邊有多少人？如果在外面加一層，變成一個四層的空心方陣，那應該增加幾個人？如果在內部再加一層，變成一個五層的空心方陣，那么還需要增加幾個人？【答案】

13；56；24．【分析】

一個三層方陣，外層比中層多8人，中層比內層多8人，所以中層有：120÷3=40人，最外層共有40+8=48人，所以，最外層每邊48÷4+1=13人；外面加一層需要有48+8=56人；內部加一層需要40-8-8=24人．應用題-經典應用題-方陣問題基本知識-3星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率方陣問題基本知識B1.明確空心方陣和實心方陣的概念及區別

2.掌握空心方陣和實心方陣的變化規律少考知識提要方陣問題基本知識概述

在日常生活中，我們常把人或物排成正方形的形狀，在數學上我們把研究這樣的問題稱為方陣問題。

在擺放的方陣中如果是實心的，我們叫它實心方陣，也叫中實方陣；如果這個方陣是空心的，我們叫它空心方陣，也叫中空方陣。 實心方陣的特點

總人（或物）數=每邊人（或物）數×每邊人（或物）數 空心方陣的特點

總人（或物）數=（最外層每邊人（或物）數-層數）×層數×4

奇數層：總人數=中間層總數×層數

偶數層：總人數=（外層+內層）×層數÷2

若最外層每邊有a人，內部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共有(a2變化規律

相鄰兩邊之間相差2；

相鄰兩層之間相差8；

每層人（或物）數=每邊人（或物）數×4-4=[每邊人（或物）數-1]×4 精選例題方陣問題基本知識1.一個正方形方陣，其中的4行5列的人數總和為250人，那么如果將這個方陣去掉一行一列還剩

人．【答案】

841【分析】

4行5列，包括重復計算的：250＋20＝270人，每行：2.東風小學儀仗隊的同學們排隊，若排成正方形，則多余12名同學，如果把這個正方形擴大，縱橫每排各增加一人，則缺少9人

．【答案】

112【分析】

增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原來排成的正方形的每條邊上有(21-1)÷2=10(人)，東風小學儀仗隊有學生3.有大小相同的正方形白石和黑石各n個．首先，將黑石不留空隙地擺成一個正方形，然后在其外圍擺一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外圍擺一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外圍再擺一圈，正好將所有石子用完（如下圖所示）．那么2n=

．【答案】

144個【分析】

如上圖所示，記最外層的一圈白石為a個，它里面的一圈黑石為b個，再里邊的一圈白石為c個，最中間的黑石組成的正方形再分成外面一圈(d個)和里面的正方形注意到a-b=b-c=c-d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因為黑石的總數=白石的總數，所以最大的正方形的每一邊有4+4×2=12（個）石子，所以石子的總數為12×12=144（個）．4.運動會上，五年級學生排成一個方隊（橫豎行人數相等），已知最外層為60人，這個方隊共有

人．【答案】

256【分析】

最外層每邊有60÷4+1=16(人)，共有16×16=2565.小朋友們排成方陣做廣播體操，小明恰好站在方陣的正中心，此時無論是從前往后或者從后往前數他都排在第5個，無論是從左往右或者從右往左數時他都排在第6個，則這個方陣中一共有

位小朋友．【答案】

99【分析】

小明前后各有5-1=4(人)，那么每列就有4+1+4=9(人)；小明左右有6-1=5(人)，那么每行就有5+1+5=116.一個實心方陣，最外一層每邊18人，（1）那么整個方陣一共

人；（2）最外面一層有

人；（3）從外向內數，第2層每邊有

人，一共有

人；（4）如果考慮最外面三層，那么這三層共有

人．【答案】

324；68；16，60；180【分析】

（1）182（2）17×4=68或18×4-4=68；（3）18-2=16；15×4=60或68-8=60；（4）60×3=180．7.有196枚圍棋子，擺成一個14×14的正方形．甲、乙兩人依次從最外一層起取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了

枚棋子．【答案】

28【分析】

196枚圍棋子圍成的方陣，最外層棋子數為14×4-4=52，相鄰兩層棋子數相差8，從外向內每一層棋子數為：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了8.五年級學生分成兩隊參加學校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個方陣，其中甲方陣每邊的人數等于8，如果兩隊合并，可以另排成一個空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數比乙方陣每邊的人數多4人，甲方陣的人數正好可以填滿丙方陣的空心，那么，五年級參加廣播操比賽的一共有

人．【答案】

260【分析】

根據題意，乙方陣加上兩個甲方陣的人數128人可以構成實心的丙方陣，且丙方陣每邊人數比乙方陣多4人，所以由b+42-b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b9.有一些人組成2個正方形方陣，2個正方形方陣之間相差97個人，那么這2個正方形方陣一共有

人．【答案】

4705【分析】

假設A方陣有a人，B方陣有b人，那么應該有b2-a2=9710.小虎在19×19的圍棋盤的格點上擺棋子，先擺成了一個長方形的實心點陣．然后再加上45枚棋子，就正好擺成一邊不變的較大的長方形的實心點陣．那么小虎最多用了

枚棋子．【答案】

285【分析】

45=3×3×5，它小于19的最大約數為15，所以不變的邊長應為15，另一邊最長為19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．11.一個長方形隊列，如果增加一橫行和一豎行，就要增加13人．這個長方形隊列原來最少有

人．【答案】

11【分析】

增加一橫行和一豎行，就要增加13人，那么原方陣的長與寬的和為13-1=12，所以人數最少時，12=1+11，有1×11=11(人)12.如圖所示，用10枚棋子可以擺出一個正三角形點陣，每邊4枚棋子；用9枚棋子可以擺成一個正方形點陣，每邊3枚棋子．今有一堆棋子，棋子總數小于100，用這堆棋子既可以擺出一個正三角形點陣，也可以擺出一個正方形點陣，問這堆棋子共有多少枚？【答案】

36【分析】

100以內的平方數，只有6所以36既可以組成邊長為6的方陣，也能組成邊長為8的正三角形點陣．13.有大小一樣，張數相同的黑白兩種顏色的正方形紙片．小高用白色紙片拼成中間沒有縫隙的長方形，然后用黑色紙片圍繞已經拼成的白色長方形繼續拼成更大的長方形，之后有用白色紙片拼下去，……，這樣重復拼．當小高用黑色紙片拼過5次以后，黑、白紙片正好用完．請問：黑色紙片至少有多少張？【答案】

350張．【分析】

不妨設每張小紙片的邊長為1．從外往內，每次同時“剝開”一層黑紙片和一層白紙片，剝了5次之后，就只剩下中心的一個由白紙片組成的長方形．每次“剝開”的過程，黑紙片比白紙片多8張．由于一共有5層黑紙片，所以一共可以剝除5次，所有被剝除的黑紙片比所有被剎除的白紙片多40張，而總共的黑白紙片數量相同，所有最后剩余的只有白紙片構成的長方形中有40張白紙片．這個長方形的長和寬都是整數，它的長與寬的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部紙片鋪成的大長方形的長和寬比被“剝除”五次之后剩下的長方形的長和寬都大20，所以大長方形的面積可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25=700，其中最小的面積是700．而黑紙片的張數是這個面積的一半，所以最少有黑紙片350張．14.120個棋子擺成一個三層空心方陣，最外層每邊有多少棋子？【答案】

13個【分析】

中間層總數為120÷3=40（人），則每邊有40÷4+1=11（人），所以最外層每邊有11+2=13（人）．15.在一次運動會開幕式上，有一大一小兩個方陣合并變換成一個10行10列的方陣，求較小方陣有多少人？【答案】

36【分析】

10行10列的方陣由100人組成，原來的小方陣每行或每列人數都不會超過10人，大方陣人數應該在50～100之間，可取64或81，運用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有64人，小方陣有36人．16.劉老師把一些樹苗栽種成一個盡量大的實心方陣，結果還多出了6棵樹苗；后來又運來了34棵樹苗，恰好能補成一個更大的實心方陣．那么后來的方陣最外層每邊有多少棵樹？【答案】

11或7【分析】

若增加了1層，則現在最外層共有40棵樹，所以最外層每邊共有：40+4÷4=11若增加了2層，則40=16+24，此時最外層有：24+4÷4=717.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣，如果最外層每邊有20個學生，問這個空心方陣最內層共有多少個學生？這個四層空心方陣共有多少個學生？【答案】

52；256【分析】

20-2-2-2＝14（人）；14×4-4＝56-4＝所以這個空心方陣最內層共有52個學生，這個四層空心方陣共有256個學生．18.在一個實心學生方陣中加入13人，可將原來的方陣變成一個多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

36【分析】

(13－1)÷2＝19.在一個實心學生方陣中加入若干人，原來的方陣變成一個多一行，多一列的方陣；若原來的方陣減少13人，可將原來的方陣變成一個少一行，少一列的方陣，問后來加入的學生有多少人？【答案】

15【分析】

(13+1)÷2＝7（人），7×2＋20.一隊戰士排成一個三層空心方陣多出16人，如果在空心部分再增加一層又缺28人，這隊戰士共有多少人？【答案】

196【分析】

16+28=44（人），所以空心部分新增一層每邊有44÷4+1=12（人），所以最外層每邊有12+2×3=18（人），所以排好的三層共182-1221.用黑、白兩種顏色的正方形瓷磚共256塊鋪滿一面正方形的墻，最外一層是黑色，第二層是白色，第三層是黑色……這樣下去，那么整面墻上共有黑色瓷磚多少塊？【答案】

144．【分析】

256=16×16，所以最外層每邊16塊，從外往里共有8層，所以黑的共有：60+44+28+12=144塊．22.在一個實心學生方陣中減少11人，可將原來的方陣變成一個少一行，少一列的方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

36【分析】

(11+1)÷2＝6（人），所以原來的方陣有23.一個實心體操方陣，最外層有32人．這個體操方陣有多少人？【答案】

81【分析】

最外層每邊人數：(32＋4)÷4＝答：這個體操方陣有81人．24.共有200人排成一個5層空心方陣，這個方針最外面一層每邊多少人？如果要在最外面增加一行一列，那么需要增加多少人？【答案】

15；31．【分析】

中間層共有：200÷5=40人，所以最外層共有：40+8×2=56人，每邊有56÷4+1=15人；增加一行一列需要：16×16-15×15=31人．25.一個實心方陣，最外面一層共有44人，請問：（1）這個方陣共有多少人？（2）如果讓這個方陣減少一行一列，一共需要減少多少人？【答案】

（1）144；（2）23．【分析】

（1）“最外一層共有44人”，說明最外層每邊有：44÷4+1=12人，所以，這個方陣是一個12×12的方陣，共有12×12=144人．（2）減少一行一列，也就是變成一個11×11的方陣，需要減少144-11×11=23人．26.某學校三年級同學180人，排成一個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數為180÷3＝60（人），則每邊有60÷4+1=16（人），所以最外層每邊有27.如圖所示，小剛在用棋子擺好的實心方陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了大一點的實心方陣，求原來的實心方陣有多少枚棋子？【答案】

64【分析】

填上17枚棋子，正好可以增加一排一列，此時每條邊有(17-1)÷2+1=9那么原來的方陣每條邊有91-1=8原來實心方陣的總棋子數：8×8=6428.小明用一些棋子擺成了一個兩層的空心方陣，后來他又用28枚棋子擺成了另外一個單層的空心方陣，擺完后他發現兩個方陣正好可以拼在一起，組成一個新的三層空心方陣，那么他原來用了多少枚棋子？【答案】

32或80【分析】

如果單層空心方陣放在雙層空心方陣的里面，那么原有棋子(28＋8)＋(28＋8＋29.同學們用64盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？【答案】

44【分析】

對于兩層方陣，外層比內層多8盆，兩層共64盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數是(64+8)÷2=36（盆），從而得出需增加的盆數，36+8=44（盆）．30.一個實心方陣，最外面一層共有36人，如果要讓這個方陣增加一行一列，需要增加多少人？【答案】

21人．【分析】

最外層36人，每邊36÷4+1=10人，增加一行一列需要11×11-10×10=21人．31.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊有12人，共有多少層？1～4層一共有多少人？【答案】

6；64【分析】

12÷2＝6（層），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有32.一個實心體操方陣，最外層有72人．這個體操方陣有多少人？【答案】

361【分析】

最外層每邊人數：(72＋4)÷4＝答：這個體操方陣有361人．33.在學校的運動會上，同學們集體表演一個節目，站成了一個空心的正六邊形陣列，與圖中的陣列類似．從外向內一共8層，分別站著兩層六年級的同學、兩層五年級的同學、兩層四年級的同學以及兩層三年級的同學．已知參加表演的六年級同學有126名，那么：（1）最外層有多少人？（2）現在陣列中一共有多少人？（3）如果想要讓一、二年級的同學把這個空心陣列填滿，還需要多少人？（最里層可站1個人）【答案】

（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】

（1）六邊形陣列中，相鄰兩層相差6人，所以最外層共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）還需要：18+12+6+1=37人．34.士兵排成一個實心方陣，最外一層一周的人數為80人，問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有多少士兵？【答案】

21；441人【分析】

80÷4＋1＝答：方陣外層每邊有21人，這個方陣共有441士兵．35.用64枚棋子擺成一個兩層中空方陣，如果想在外面再增加一層，問需要增加多少枚棋子？【答案】

44【分析】

方陣相鄰兩層棋子數差為8，又知兩層棋子數和為64，由和差問題，外層有(64+8)÷2=36如果再增加一層，需要增加36+8=4436.曉曉愛好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，如圖所示，外層每邊有14個棋子，你知道他一共用了多少個棋子嗎？【答案】

96【分析】

方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個．知道最外面一層每邊放14個棋子，就可以求出第二層每邊的個數．知道各層每邊的個數，就可以求出總數．(14-1)×4=52(14-2-1)×4=4452+44=96一共用了96個棋子．37.同學們參加了廣播操比賽，排成每行9人，每列9人的實心方陣，問方陣中共有多少學生？【答案】

81【分析】

可以根據“實心方陣總人數得到9行9列的實心方陣人數為：9×9=8138.有一個6層的空心方陣，最外層每邊25人，問要多少學生才能排出這個空心方陣？【答案】

456人【分析】

(25-6)×6×4＝答：要456個學生才能排出這個空心方陣．39.若干名同學站成一個15×15的方陣，請問：最外層一共有多少人？這個方陣一共有多少層？從里向外的第七層有多少人？【答案】

56；8；48．【分析】

最外層每邊15人，但角落上的4個人每人都同時位于兩條邊上，所以最外層共有：15×4-4=56人；每人往里一層，每邊人數會減少2個，最里層的每邊應該有：15-2×7=1人，共有7+1=8層；從里向外第7層每邊有：1+2×(7-1)=13人，所以這一層共有：13×4-4=48人．40.在一個實心學生方陣中加入9人，可將原來的方陣變成一個多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

16【分析】

(9－1)÷2＝41.若干學生排成一個實心方陣，倒數第二層每邊比第二層多10人，共有多少層？【答案】

8【分析】

(10÷2)+1＋2＝42.如圖，一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個水池構成．現在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點都種上（即圖中的A、B、C點），且每塊草地上的花朵排成了一個三角形點陣，且每條邊上有10朵花．請問：整個綠地一共要種多少朵花？【答案】

162朵．【分析】

每個三角形草地里每邊都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但這樣算，三角形的連接處都被算了2次，多算1次，所以整個綠地一共種花165-3=162朵．43.某學校三年級同學180人，排成個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？【答案】

18【分析】

中間層總數為180÷3=60則每邊有60÷4+1=16所以最外層每邊有16+2=1844.某小學三年級共有學生120人，排成一個三層的空心方陣．這個方陣最外層每邊有多少人？如果在外面加一層，變成一個四層的空心方陣，那應該增加幾個人？如果在內部再加一層，變成一個五層的空心方陣，那么還需要增加幾個人？【答案】

13；56；24．【分析】

一個三層方陣，外層比中層多8人，中層比內層多8人，所以中層有：120÷3=40人，最外層共有40+8=48人，所以，最外層每邊48÷4+1=13人；外面加一層需要有48+8=56人；內部加一層需要40-8-8=24人．45.三年級學生排成一個實心方陣進行體操表演，最外一層的人數為32人，問這個方陣最外層每邊有多少人？這個方陣共有三年級學生多少人？【答案】

每邊9人，共81人．【分析】

每邊有32÷4+1=9共946.節日來臨，同學們用盆花在操場上擺了一個空心方陣花壇，最外面的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少盆花？【答案】

108【分析】

方法一：最外層共有12×4-4=44第二層共有44-8=36第三層共有36-8=28所以共有44+36+28=108方法二：第二層每邊有12-2=10第二層共有10×4-4=36所以共有36×3=10847.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊比最內一層多10人，共有多少層？【答案】

6【分析】

(10÷2)+1＝6（層），所以共有48.有225枚棋子，擺成一個15×15的正方形，甲、乙兩人從最外一層起，輪流取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了多少沒枚棋子？【答案】

31【分析】

甲取走的是56,40,24,8，乙取走的是48,32,16,1，甲比乙多取31枚．49.用白、藍兩種顏色的正方形瓷磚鋪滿一面正方形的墻，共用了324塊，最里面一層是藍色的，第二層是白色，第三層是藍色……這樣下去，最外面一層是什么顏色？整面墻上共有白色瓷磚多少塊？【答案】

藍色；144．【分析】

324=18×18，共有9層，所以最外層是藍色的；共有白色瓷磚：12+28+44+60=144塊．50.有一個240人排成的5層空心方陣，再增加多少人在最內層，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣？【答案】

24【分析】

240÷4÷5＋5＝12＋答：再增加24人在內部，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣．51.共有240人排成一個5層空心方陣，這個方陣最里面一層每邊多少人？如果要在內部加一層，變成6層空心方陣，還需要增加多少人？【答案】

32；24．【分析】

5層中間一層共有：240÷5=48人，所以最內一層共有：48-8×2=32人，每邊32÷4+1=9人，內部增加一層需要32-8=24人．52.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊有10人，共有多少層？1～3層一共有多少人？【答案】

5；36【分析】

10÷2＝5（層），2×3＝6（人），6×6＝36（人），所以共有53.用紅、綠兩種顏色的小正方形瓷磚400塊鋪成一塊正方形墻面，這個墻面最外圈鋪的是紅色瓷磚，由外到內的第二圈是綠色瓷磚，第三圈是紅色瓷磚，第四圈又是綠色瓷磚……這樣依次鋪下去．請問這個墻面上哪種顏色的瓷磚更多？兩種瓷磚相差多少塊？【答案】

紅色；40塊．【分析】

共有400塊瓷磚，所以整個方陣是一個20×20的方陣，共有10層，從外向里依次為紅、綠兩種顏色相間排列，最里一層為綠色；從外向里，每層紅色瓷磚都比它里面相鄰的那層綠色瓷磚多8塊，所以紅色比綠色多5×8=40塊．54.176個棋子擺成一個四層空心方陣，最內層每邊有多少棋子？【答案】

9個【分析】

最內層與最外層總數和為176÷4×2＝88（個），則則最內層有(88-3×8)÷2=32（個），則每邊有55.學而思運動會上，五年級的女生們準備出一個團體操的節目．現在的人數剛好排成一個方陣（每一行人數和每一列人數相等）．后來又加入了23個女生，恰好還可以組成一個方陣．那么你能算出加入23人之前，方陣共有多少人嗎？【答案】

121人【分析】

依題意，前后兩次的學生總人數都是完全平方數．不妨設前者人數是B2，后者人數是A2.那么根據平方差式，A2-B2=A+BA+B則加入23人之前，方陣有11×11=121人．應用題-經典應用題-方陣問題基本知識-4星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率方陣問題基本知識B1.明確空心方陣和實心方陣的概念及區別

2.掌握空心方陣和實心方陣的變化規律少考知識提要方陣問題基本知識概述

在日常生活中，我們常把人或物排成正方形的形狀，在數學上我們把研究這樣的問題稱為方陣問題。

在擺放的方陣中如果是實心的，我們叫它實心方陣，也叫中實方陣；如果這個方陣是空心的，我們叫它空心方陣，也叫中空方陣。 實心方陣的特點

總人（或物）數=每邊人（或物）數×每邊人（或物）數 空心方陣的特點

總人（或物）數=（最外層每邊人（或物）數-層數）×層數×4

奇數層：總人數=中間層總數×層數

偶數層：總人數=（外層+內層）×層數÷2

若最外層每邊有a人，內部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共有(a2變化規律

相鄰兩邊之間相差2；

相鄰兩層之間相差8；

每層人（或物）數=每邊人（或物）數×4-4=[每邊人（或物）數-1]×4 精選例題方陣問題基本知識1.五年級學生分成兩隊參加學校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個方陣，其中甲方陣每邊的人數等于8，如果兩隊合并，可以另排成一個空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數比乙方陣每邊的人數多4人，甲方陣的人數正好可以填滿丙方陣的空心，那么，五年級參加廣播操比賽的一共有

人．【答案】

260【分析】

根據題意，乙方陣加上兩個甲方陣的人數128人可以構成實心的丙方陣，且丙方陣每邊人數比乙方陣多4人，所以由b+42-b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b2.有一些人組成2個正方形方陣，2個正方形方陣之間相差97個人，那么這2個正方形方陣一共有

人．【答案】

4705【分析】

假設A方陣有a人，B方陣有b人，那么應該有b2-a2=973.有196枚圍棋子，擺成一個14×14的正方形．甲、乙兩人依次從最外一層起取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比乙多取了

枚棋子．【答案】

28【分析】

196枚圍棋子圍成的方陣，最外層棋子數為14×4-4=52，相鄰兩層棋子數相差8，從外向內每一層棋子數為：52、44、36、28、20、12、4．所以甲取走了52+36+20+4=112(枚)棋子，乙取走了44+28+12=84(枚)棋子，甲比乙多取了4.東風小學儀仗隊的同學們排隊，若排成正方形，則多余12名同學，如果把這個正方形擴大，縱橫每排各增加一人，則缺少9人

．【答案】

112【分析】

增加的一行一列有12+9=21(人)，那么原來排成的正方形的每條邊上有(21-1)÷2=10(人)，東風小學儀仗隊有學生5.一個正方形方陣，其中的4行5列的人數總和為250人，那么如果將這個方陣去掉一行一列還剩

人．【答案】

841【分析】

4行5列，包括重復計算的：250＋20＝270人，每行：6.有大小相同的正方形白石和黑石各n個．首先，將黑石不留空隙地擺成一個正方形，然后在其外圍擺一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外圍擺一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外圍再擺一圈，正好將所有石子用完（如下圖所示）．那么2n=

．【答案】

144個【分析】

如上圖所示，記最外層的一圈白石為a個，它里面的一圈黑石為b個，再里邊的一圈白石為c個，最中間的黑石組成的正方形再分成外面一圈(d個)和里面的正方形注意到a-b=b-c=c-d=8，所以c=d+8,b=d+16,a=d+24．因為黑石的總數=白石的總數，所以最大的正方形的每一邊有4+4×2=12（個）石子，所以石子的總數為12×12=144（個）．7.小虎在19×19的圍棋盤的格點上擺棋子，先擺成了一個長方形的實心點陣．然后再加上45枚棋子，就正好擺成一邊不變的較大的長方形的實心點陣．那么小虎最多用了

枚棋子．【答案】

285【分析】

45=3×3×5，它小于19的最大約數為15，所以不變的邊長應為15，另一邊最長為19，所以小虎最多用了15×19=285（枚）棋子．8.在一個實心學生方陣中加入13人，可將原來的方陣變成一個多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

36【分析】

(13－1)÷2＝9.用白、藍兩種顏色的正方形瓷磚鋪滿一面正方形的墻，共用了324塊，最里面一層是藍色的，第二層是白色，第三層是藍色……這樣下去，最外面一層是什么顏色？整面墻上共有白色瓷磚多少塊？【答案】

藍色；144．【分析】

324=18×18，共有9層，所以最外層是藍色的；共有白色瓷磚：12+28+44+60=144塊．10.在一個實心學生方陣中加入若干人，原來的方陣變成一個多一行，多一列的方陣；若原來的方陣減少13人，可將原來的方陣變成一個少一行，少一列的方陣，問后來加入的學生有多少人？【答案】

15【分析】

(13+1)÷2＝7（人），7×2＋11.在一個實心學生方陣中減少11人，可將原來的方陣變成一個少一行，少一列的方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

36【分析】

(11+1)÷2＝6（人），所以原來的方陣有12.有大小一樣，張數相同的黑白兩種顏色的正方形紙片．小高用白色紙片拼成中間沒有縫隙的長方形，然后用黑色紙片圍繞已經拼成的白色長方形繼續拼成更大的長方形，之后有用白色紙片拼下去，……，這樣重復拼．當小高用黑色紙片拼過5次以后，黑、白紙片正好用完．請問：黑色紙片至少有多少張？【答案】

350張．【分析】

不妨設每張小紙片的邊長為1．從外往內，每次同時“剝開”一層黑紙片和一層白紙片，剝了5次之后，就只剩下中心的一個由白紙片組成的長方形．每次“剝開”的過程，黑紙片比白紙片多8張．由于一共有5層黑紙片，所以一共可以剝除5次，所有被剝除的黑紙片比所有被剎除的白紙片多40張，而總共的黑白紙片數量相同，所有最后剩余的只有白紙片構成的長方形中有40張白紙片．這個長方形的長和寬都是整數，它的長與寬的所有可能是：40×1、20×2、10×4、8×5．由于全部紙片鋪成的大長方形的長和寬比被“剝除”五次之后剩下的長方形的長和寬都大20，所以大長方形的面積可以是60×21=1260、40×22=880、30×24=720、28×25=700，其中最小的面積是700．而黑紙片的張數是這個面積的一半，所以最少有黑紙片350張．13.如圖，一塊綠地由3塊相同的等邊三角形草地和一個水池構成．現在要在草地上種花，要求在草地與草地的公共點都種上（即圖中的A、B、C點），且每塊草地上的花朵排成了一個三角形點陣，且每條邊上有10朵花．請問：整個綠地一共要種多少朵花？【答案】

162朵．【分析】

每個三角形草地里每邊都有10朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55朵花，三片草地共有：55×3=165朵花．但這樣算，三角形的連接處都被算了2次，多算1次，所以整個綠地一共種花165-3=162朵．14.某小學三年級共有學生120人，排成一個三層的空心方陣．這個方陣最外層每邊有多少人？如果在外面加一層，變成一個四層的空心方陣，那應該增加幾個人？如果在內部再加一層，變成一個五層的空心方陣，那么還需要增加幾個人？【答案】

13；56；24．【分析】

一個三層方陣，外層比中層多8人，中層比內層多8人，所以中層有：120÷3=40人，最外層共有40+8=48人，所以，最外層每邊48÷4+1=13人；外面加一層需要有48+8=56人；內部加一層需要40-8-8=24人．15.某校少先隊員可以排成一個四層空心方陣，如果最外層每邊有20個學生，問這個空心方陣最內層共有多少個學生？這個四層空心方陣共有多少個學生？【答案】

52；256【分析】

20-2-2-2＝14（人）；14×4-4＝56-4＝所以這個空心方陣最內層共有52個學生，這個四層空心方陣共有256個學生．16.在學校的運動會上，同學們集體表演一個節目，站成了一個空心的正六邊形陣列，與圖中的陣列類似．從外向內一共8層，分別站著兩層六年級的同學、兩層五年級的同學、兩層四年級的同學以及兩層三年級的同學．已知參加表演的六年級同學有126名，那么：（1）最外層有多少人？（2）現在陣列中一共有多少人？（3）如果想要讓一、二年級的同學把這個空心陣列填滿，還需要多少人？（最里層可站1個人）【答案】

（1）66人；（2）360人；（3）37人．【分析】

（1）六邊形陣列中，相鄰兩層相差6人，所以最外層共有：(126+6)÷=66人．（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360人（3）還需要：18+12+6+1=37人．17.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊有12人，共有多少層？1～4層一共有多少人？【答案】

6；64【分析】

12÷2＝6（層），2×4＝8（人），8×8＝64（人），所以共有18.120個棋子擺成一個三層空心方陣，最外層每邊有多少棋子？【答案】

13個【分析】

中間層總數為120÷3=40（人），則每邊有40÷4+1=11（人），所以最外層每邊有11+2=13（人）．19.若干學生排成一個實心方陣，最外一層每邊比最內一層多10人，共有多少層？【答案】

6【分析】

(10÷2)+1＝6（層），所以共有20.同學們用64盆花排出一個兩層空心方陣，后來又決定在外面再增加一層成為三層方陣，還需多少盆花？【答案】

44【分析】

對于兩層方陣，外層比內層多8盆，兩層共64盆，利用和差問題的解法，可以求出外層盆數是(64+8)÷2=36（盆），從而得出需增加的盆數，36+8=44（盆）．21.劉老師把一些樹苗栽種成一個盡量大的實心方陣，結果還多出了6棵樹苗；后來又運來了34棵樹苗，恰好能補成一個更大的實心方陣．那么后來的方陣最外層每邊有多少棵樹？【答案】

11或7【分析】

若增加了1層，則現在最外層共有40棵樹，所以最外層每邊共有：40+4÷4=11若增加了2層，則40=16+24，此時最外層有：24+4÷4=722.在一個實心學生方陣中加入9人，可將原來的方陣變成一個多一行，多一列的大方陣，則原來的方陣有學生多少人？【答案】

16【分析】

(9－1)÷2＝23.在一次運動會開幕式上，有一大一小兩個方陣合并變換成一個10行10列的方陣，求較小方陣有多少人？【答案】

36【分析】

10行10列的方陣由100人組成，原來的小方陣每行或每列人數都不會超過10人，大方陣人數應該在50～100之間，可取64或81，運用枚舉法，可求出滿足條件的是：大方陣有64人，小方陣有36人．24.用黑、白兩種顏色的正方形瓷磚共256塊鋪滿一面正方形的墻，最外一層是黑色，第二層是白色，第三層是黑色……這樣下去，那么整面墻上共有黑色瓷磚多少塊？【答案】

144．【分析】

256=16×16，所以最外層每邊16塊，從外往里共有8層，所以黑的共有：60+44+28+12=144塊．25.一隊戰士排成一個三層空心方陣多出16人，如果在空心部分再增加一層又缺28人，這隊戰士共有多少人？【答案】

196【分析】

16+28=44（人），所以空心部分新增一層每邊有44÷4+1=12（人），所以最外層每邊有12+2×3=18（人），所以排好的三層共182-1226.如圖所示，用10枚棋子可以擺出一個正三角形點陣，每邊4枚棋子；用9枚棋子可以擺成一個正方形點陣，每邊3枚棋子．今有一堆棋子，棋子總數小于100，用這堆棋子既可以擺出一個正三角形點陣，也可以擺出一個正方形點陣，問這堆棋子共有多少枚？【答案】

36【分析】

100以內的平方數，只有6所以36既可以組成邊長為6的方陣，也能組成邊長為8的正三角形點陣．27.有一個240人排成的5層空心方陣，再增加多少人在最內層，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣？【答案】

24【分析】

240÷4÷5＋5＝12＋答：再增加24人在內部，就可以使該方陣變成一個6層空心方陣．28.曉曉愛好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，如圖所示，外層每邊有14個棋子，你知道他一共用了多少個棋子嗎？【答案】

96【分析】

方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個．知道最外面一層每邊放14個棋子，就可以求出第二層每邊的個數．知道各層每邊的個數，就可以求出總數．(14-1)×4=52(14-2-1)×4=4452+44=96一共用了96個棋子．應用題-經典應用題-方陣問題基本知識-5星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率方陣問題基本知識B1.明確空心方陣和實心方陣的概念及區別

2.掌握空心方陣和實心方陣的變化規律少考知識提要方陣問題基本知識概述

在日常生活中，我們常把人或物排成正方形的形狀，在數學上我們把研究這樣的問題稱為方陣問題。

在擺放的方陣中如果是實心的，我們叫它實心方陣，也叫中實方陣；如果這個方陣是空心的，我們叫它空心方陣，也叫中空方陣。 實心方陣的特點

總人（或物）數=每邊人（或物）數×每邊人（或物）數 空心方陣的特點

總人（或物）數=（最外層每邊人（或物）數-層數）×層數×4

奇數層：總人數=中間層總數×層數

偶數層：總人數=（外層+內層）×層數÷2

若最外層每邊有a人，內部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共有(a2變化規律

相鄰兩邊之間相差2；

相鄰兩層之間相差8；

每層人（或物）數=每邊人（或物）數×4-4=[每邊人（或物）數-1]×4 精選例題方陣問題基本知識1.五年級學生分成兩隊參加學校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個方陣，其中甲方陣每邊的人數等于8，如果兩隊合并，可以另排成一個空心的丙方陣，丙方陣每邊的人數比乙方陣每邊的人數多4人，甲方陣的人數正好可以填滿丙方陣的空心，那么，五年級參加廣播操比賽的一共有

人．【答案】

260【分析】

根據題意，乙方陣加上兩個甲方陣的人數128人可以構成實心的丙方陣，且丙方陣每邊人數比乙方陣多4人，所以由b+42-b2=128，得到：4×(2×b+4)=128，所以b應用題-經典應用題-方陣問題基本知識-0星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率頁碼問題基本知識C1.學會區分數和數字

2.利用奇偶性解決頁碼問題

3.解決簡單的與頁碼數字有關的問題少考知識提要頁碼問題基本知識概述

頁碼問題是根據書的頁碼而編制出來的一類應用題．編一本書的頁碼，計算一共需要多少個數碼；反過來，知道編一本書的頁碼所需的數碼數量，求這本書的頁數．這是頁碼問題中的兩個基本內容．

數是由數字組成的，數由無數個，但數字只有10種，即0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，數字也稱為數碼。

頁碼也可稱為頁數，它是由數字組成，一個數字組成一位數，兩個數字組成兩位數?頁碼（頁數）的個數是無限的。

為了順利地解答頁碼問題，我們先看一下“數”與“組成它的數碼個數”之間的關系．一位數共有9個，組成所有的一位數需要9個數碼；兩位數共有90個，組成所有的兩位數需要2×90＝180（個）數碼；三位數共有900個，組成所有的三位數需要3×900＝2700（個）數碼……為了清楚起見，我們將n位數的個數、組成所有n位數需要的數碼個數、組成所有不大于n位的數需要的數碼個數之間的關系列表如下：由上表看出，如果一本書不足100頁，那么排這本書的頁碼所需的數碼個數不會超過189個；如果某本書排的頁碼用了10000個數碼，因為2889＜10000＜38889，所以這本書肯定是上千頁．一本書的頁碼有以下規律：1、同一張紙的正反面頁碼是先奇后偶的兩個相鄰自然數．2、任意翻開的兩頁頁碼是先偶后奇的兩個相鄰自然數．3、任意翻開的兩頁的頁碼和除以4余1．4、同一張紙的頁碼和除以4余3． 精選例題頁碼問題基本知識1.一套數學書分上下兩冊，編頁碼時共用了2010個數碼．又知上冊比下冊多28頁，那么上冊有

頁．【答案】

385【分析】

每冊書從第1頁到第99頁有數碼9+90×2=189（個），兩冊書共有189×2=378（個）．三位數頁碼的數碼共2010-378=1632（個），含1632÷3=544（頁）．兩冊書共有99×2+544=742（頁），上冊書共有(742+28)÷2=385（頁）．2.有一本科幻小說書，它的任意連續15頁中必有一頁是圖畫，另外14頁是文字，已知這本書一共有10頁圖畫，那么這本書最少一共有

頁，最多一共

頁