數論-整除-整除的判定-3星題課程目標知識點考試要求具體要求考察頻率整除的判定C1、理解并掌握整除的一些基本性質。

2、熟練運用整除的基本性質解決基本的整除問題。

3、能夠結合數論的相關知識綜合應用。少考知識提要整除的判定整除的判定

1、末位判定法

一個數的末位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除；

一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除；

一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除；

2、數字求和法

一個數個位數字之和能被3整除，這個數就能被3整除；

一個數各位數字之和能被9整除，這個數就能被9整除；

3、奇偶位求差法

如果一個整數的奇數位上的數字之和與偶數位上的數字之和的差能被11整除，那么這個數能被11整除；

簡稱：奇位和與偶位和的差能被11整除，那么這個數能被11整除。

4、截斷作和

如果一個數從個位開始每兩位一截，得到的所有兩位數（最前面的可以是一位數）之和能被99整除，那么這個數就能被99整除。

5、截斷作差

對于位數較小數的數：如果一個整數的末三位與末三位以前的數字組成的數之差能被7、11或13整

除，那么這個數能被7、11或13整除；

對于位數較大數的數：如果一個整數，從個位開始每三位一截，奇數段之和與偶數段之和的差能被7、11或13整

除，那么這個數能被7、11或13整除。

整除的性質

性質1：如果a、b都能被c整除，那么它們的和與差也能被c整除。

性質2：如果b與c的積能整除a，那么b與c都能整除a。 性質3：如果b、c都能整除a，且b和c互質，那么b與c的積能整除a。 性質4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 精選例題整除的判定1.將從1開始到25的連續的自然數相乘，得到1×2×3×?×25．記為25!（讀作25的階乘）．用3除25!，顯然，25!被3整除，得到一個商：再用3除這個商，??，這樣一直用除下去，直到所得的商不能被3整除為止，那么，在這個過程中用3整除了

次．【答案】

10【分析】

求1×2×3×?×25中因數的個數，25÷3=8??1，8÷3=2??2，整除了8+2=10次．2.把三位數3ab接連重復寫下去，共寫1993個3ab，所得的數3ab3ab?3ab?1993個3ab恰是91的倍數，試求【答案】

64【分析】

因為91=7×13，所以73ab3ab?3ab?1993個3ab,133ab3ab?3ab?1993個3ab，由截斷法，最后轉化成3ab能被7和13都整除，即能被3.在小于5000的自然數中，能被11整除，并且數字和為13的數，共有

個．【答案】

18【分析】

按照位數分類討論，如下：（1）一位數：0個；（2）兩位數：11、22??99；0個；（3）三位數：設這個三位數為abc，有a+b+c=13和a+c-b=11，則a+c=12,b=1，所以符合的有913,814,715,616,517,418,319，共7個；（4）四位數：設這個四位數為abcd，①a+b+c+d=13和a+c-a+c=12,b+d=1,則a=3或a=4有2種組合，b和d有2種．共4個；②a+b+c+d=13和b+d-a+c=1,b+d=12,則只能a=1，c=0，b和d有7種組合，綜上所述，這樣的數有7+4+7=18個．4.在523后面寫出三個數字，使所得的六位數被7、8、9整除．那么這三個數字的和是

．【答案】

17或8【分析】

這個數能被7,8,9整除，相當于能被[7,8,9]=7×8×9=504整除，523999÷504=1039??343，所以所得六位數是523999-343=523656，或523656-504=523152，因此三個數字的和是17或8．5.在算式：2×???=???的六個方框中，分別填入2，3，4，5，6，7這六個數字，使算式成立，并且算式的積能被13整除，那么這個乘積是

．【答案】

546【分析】

先從個位數考慮，有2×2=4、2×3=6、2×6=12、2×7=14四種可能；再考慮乘數的百位只能是2或3，因此只有三種可能的填法：2×273=546，2×327=654，2×267=534，其中只有546能被13整除，所以這個積是546．6.若六位數a2016b能被12整除，則這樣的六位數有

個．【答案】

9【分析】

12=3×4.先考慮能被4整除，則b=0,4,8，再考慮能被三整除①b=0時，要使各位數字之和能被3整除a=3,6,9故有3種；②b=4時，要使各位數字之和能被3整除a=2,5,8故有3種；③b=8時，要使各位數字之和能被3整除a=1,4,7故有3種；綜上符合題意的六位數有：320160，620160，920160，220164，520164，820164，120168，420168，720168．共9個7.給定一個除數（不為0）與被除數，總可以找到一個商與一個余數，滿足被除數其中，0?余數<除數請寫出所有不超過88并且能夠被6整除的大于1的自然數有

．【答案】

6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．【分析】

能被6整除的數一定為6的倍數，并且要求不超過88．所以有6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84．8.能被5和6整除，并且數字中至少有一個6的三位數有

個．【答案】

6【分析】

能被5和6整除，也就是能被5、2、3整除，因此個位必須是0，且數字和是3的倍數，故這個三位數有：600，630，660，690，360，960，共6個．9.有一個三位數，百位數字是最小的質數，十位數字是算式(0.3+π×13)的結果中的小數點后第1位數字，個位數字是三位數中能被17整除的最小數的個位數字，則這個三位數是

．（π取3.14）【答案】

212【分析】

百位數字是最小的質數即2；0.3+π×13=41.12,即十位數字是1；能被17整除的最小三位數102，個位數字是2，所以這個三位數是212．10.一個五位數恰好等于它各位數字和的2007倍，則這個五位數是

．【答案】

36126或54189【分析】

設這個五位數為abcde，由題意abcde=2007(a+b+c+d+e)，由于9∣2007，可得9∣abcde，則有9∣(a+b+c+d+e)2007×9=18063，這個五位數是18063的倍數，只可能為：18063,36126,54189,72252,90315．經檢驗，36126和54189符合題意．11.如果一個五位數，它的各位數字乘積恰好是它的各位數字和的25倍．那么，這個五位數的前兩位的最大值是

．【答案】

75【分析】

5個數字分別為a、b、c、d、e，a×b×c×d×e=25(a+b+c+d+e),a、b、c、d、e中有兩個5，設d=e=5，則a×b×c=a+b+c+10.（1）如果a=9，則9bc=b+c+19，即b+c+19是9的倍數，b+c可以為8或17，若b+c=8，則bc=3，若b+c=17，則bc=4，這兩種情況下都沒有滿足條件的整數b、c；（2）如果a=8，則8bc=b+c+18，即b+c+18是8的倍數，b+c可以為6或14，若b+c=6，則bc=3，若b+c=14，則bc=4，這兩種情況下也沒有滿足條件的整數b、c；（3）如果a=7，則7bc=b+c+17，即b+c+17是7的倍數，b+c可以為4或11或18，若b+c=4，則bc=3，若b+c=11，則bc=4，若b+c=18，則bc=5，只有第一種情況下有滿足條件的整數b、c，此時b=1，c=3，組成五位數的5個數字分別為7，5，5，3，1，所以這個五位數的前兩位的最大值是75．12.從左向右編號為1至1991號的1991名同學排成一行．從左向右1至11報數，報數為11的同學原地不動，其余同學出列；然后留下的同學再從左向右1至11報數，報數為11的同學留下，其余的同學出列；留下的同學第三次從左向右1至11報數，報到11的同學留下，其余同學出列．那么最后留下的同學中，從左邊數第一個人的最初編號是

．【答案】

1331【分析】

第一次報數后留下的同學，他們最初編號都是11的倍數；第二次報數后留下的同學，他們最初編號都是112=121的倍數；第三次報數后留下的同學，他們最初編號都是11313.將最小的10個合數填到圖中所示表格的10個空格中，要求滿足以下條件：（1）填入的數能被它所在列的第一個數整除；（2）最后一行中每個數都比它上面那一格中的數大．那么，最后一行中5個數的和最小是

．【答案】

66【分析】

最小的10個合數分別是4，6，8，9，10，12，14，15，16，18．這10個合數當中10和15一定是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16一定是在2和4下面，其中14一定在2的下面；剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9一定在3的下面，對2和4所在的列和3和6所在的列分別討論．4、8、14、16，這四個數中最大的數16一定在最后一行，最小的數4一定在第二行，所以2和4所在的列中最后一行的數的和最小是16+8=24，當14、16在2下面，4和8在4下面時成立；6、9、12、18，這四個數中最大的數18一定在最后一行，最小的數6一定在第二行，所以3和6所在的列中最后一行的數的和最小是18+9=27，當12和18在6下面，6和9在3下面時成立．所以最后一行的5個數的和最小是24+15+27=66．14.已知一個五位回文數等于45與一個四位回文數的乘積（即abcba=45×deed），那么這個五位回文數最大的可能值是【答案】

59895【分析】

根據題意：abcba=45×deed，則abcba為45的倍數，所以a應為0或5，又a還在首位，所以a=5，現在要讓abcba盡可能的大，首先需要位數高的盡可能的大，所以令b=9，c=8，則a+b+c+b+a=36是9的倍數，用59895÷45=1331符合條件，所以，這個五位回文數最大的可能值是15.N是一個各位數字互不相等的自然數，它能被它的每個數字整除．N的最大值是

．【答案】

9867312【分析】

N不能含有0，因為0不能做除數．N不能同時含有5和偶數，因為此時N的個位將是0．如果含有5，則2,4,6,8都不能有，此時位數不會多．如果N只缺少5，則含有1,2,3,4,6,7,8,9，但是數字和為40，不能被9整除．所以必須再去掉一位，為了最大，應該保留9放到最高位，為了使數字和被9整除，還需要去掉4．此時由1,2,3,6,7,8,9組成，肯定被9整除，還需要考慮被7和8整除．前四位最大為9876，剩下三個數字組成的被8整除的三位數為312,9876312被7除余5；前四位如果取9873，剩下三個數字組成的被8整除的三位數為216,9873216被7除余3；前四位如果取9872，剩下三個數字組成的被8整除的三位數為136,9872136被7除余1；前四位如果取9871，剩下三個數字組成的被8整除的三位數為632,9871632被7除余1；前四位如果取9867，剩下三個數字組成的被8整除的三位數為312,9867312被7整除．16.222?2?2000個“2”【答案】

9【分析】

我們發現222222整除13，2000÷6余2，所以答案為22÷13余9．17.一個大于1的自然數去除300，243，205時，得到相同的余數，則這個自然數是

．【答案】

19【分析】

300-243=57，243-205=38，所以這個數是57，38的大于1的公約數，而57，38的公約數只有1和19，所以所求自然數為19．18.對于自然數N，如果在1?9這九個自然數中至少有六個數可以整除N，則稱N是一個“六合數”，則在大于2000的自然數中，最小的“六合數”是

．【答案】

2016【分析】

六合數肯定是1的倍數，所以剩余8個數中有5個可以整除六合數，2?9中有4個奇數，4個偶數，所以5個可以整除六合數的數字中至少有1個偶數，所以六合數也肯定是2的倍數。大于2000的偶數有2002，2004，2006，2008，2010，2012，2014，2016，??2002＝2×7×11×13,只能被1，2，2004＝22×3×167,只能被1，2，3，4，2006＝2×1003,只能被1，2008＝23×251只能被1，2，4，2010＝2×3×5×67,只能被1，2，3，5，2012＝22×503，只能被1，2，2014＝2×1007,只能被1，2016＝25×32×7,能被1，2，3，4，6，7，8，19.若十位數a2016b2017能被33整除，那么，這樣的十位數有

個．【答案】

3【分析】

被33整除，能拆成同時滿足被3和11整除，被3整除得到：a+b=2，5，8，11，14或17被11整除得到：a-b=1,所以共有a=3,這3種情況．20.老師讓菲菲從1?9這9個數字中選取4個不同的數字，組成一個四位數，使得這個四位數能被所有她沒有選中的數整除，但不能被選中的任意一個數字整除，那么，菲菲組成的四位數是

．【答案】

5936【分析】

設：改四位數為ABCD：①顯然ABCD不含1；②ABCD含5．若ABCD不含5，1?9除5外不能排列成5的倍數；所以ABCD含5③ABCD不含2．若ABCD含2．說明2不被ABCD整除，所以ABCD的四個數字為2,4,6,8組成的四位數必為偶數，矛盾；所以ABCD不含2．④ABCD含9．若ABCD不含9，說明9不被整除ABCD，則ABCD必須不含3,6，所以的四個數字為4,5,7,8,不可能被整9除；所以ABCD含9⑤ABCD不含4．若ABCD含4，說明4不被整除ABCD，則ABCD必須含8，所以ABCD的四個數字為5,4,8,9,不可能被3整除；所以ABCD必須不含4⑥ABCD含6若ABCD不含6，說明6不被整除必須不含3，所以ABCD的四個數字為5,7,8,9，不可能被3整除；所以ABCD必須不含4⑦ABCD含3若ABCD不含3，則ABCD的四個數字為5,7,6,9，能被9整除；所以ABCD必含3綜上所述．的四個數字為3、5、6、9．為使這個四位數能被8整除，個位必須為621.對于自然數N，如果在1～9這九個自然數中至少有六個數是N的因數，則稱N是一個“六合數”，則在大于2000的自然數中，最小的“六合數”是

．【答案】

2016【分析】

N為奇數，則2、4、6、8不是N的因數，所以N為偶數．當N不為3的倍數，則N不為6的倍數，N不為9的倍數，所以，必須滿足其他條件，是8、7、5的倍數，N>2000，最小是2240．當N為3的倍數．那么N為6的倍數．N>2000，當N=2004時，5不能整除2004，7不能整除2004，8不能整除2004，9不能整除2004，不滿足題意；當N=2010時，4不能整除2010，7不能整除2010，8不能整除2010，9不能整除2010，不滿足題意；則N最小為2016．22.abc是三位數，若a是奇數，且abc是3的倍數，則最小是

．【答案】

102【分析】

a為奇數，且要求最小，則a=1，b=0．又要求為3的倍數，則a+b+c為3的倍數，所以b=0，c=2．23.若六位數201ab7能被11和13整除，則兩位數ab=

【答案】

48【分析】

由11的整除特征可知：(7+a+0)-(2+1+b)=a+4-b=0若a+4-b=11,a-b=7,只有8-1=9-2=7,六位數201817、201927都不能被13整除．若a+4-b=0,則a+4=b,只有0+4=4，1+4=5，2+4=6，3+4=7，4+4=8，5+4=9等情況，構成的六位數201047，201157，201267，201377，201487，201597中只有201487能被13整除，則ab=4824.若四位數2AB7能被13整除，則兩位數AB的最大值是

．【答案】

97【分析】

13∣2007÷13??5,所以AB013∣利用數字謎或倒除法，可確定AB=97．數字謎方法如下：根據乘積的個位，可確定第二個因數的個位為5，因為構造最大值，所以十位為最大為7，積為97525.若四位數2ABC能被13整除，則A+B+C的最大值是

．【答案】

26【分析】

因1001=7×11×13,能被13整除的特征：“末三位數字組成的數”與“末三位以前的數字組成的數”之差能被13整除；ABC-2是13的倍數，ABC-2最大為988，ABC可以是990，977，964，??數字和比9+7+7大的有：9、7、8與9、8、8與9、8、9和9、9、9，百位是9的排除，百位是8有(899-2)÷13=897÷13=69,則8+9+9=26.26.有20個約數，且被42整除最小的自然數是

．【答案】

336【分析】

因為被42整除，所以一定含有質因數2，3，7．20=1×20=2×10=4×5=2×2×5,有20個約數的自然數有：因為必須含有3個不同的質因數，所以最小的只能是：2×2×2×2×3×7=336;所以有20個約數且被42整除的最小自然數是336．27.非零數字a，b，c能組成6個沒有重復數字的三位數，且這6個數的和是5994，則這6個數中的任意一個數都

被9整除（填”能”或“不能”）．【答案】

不能．【分析】

a，b，c組成的所有三位數都是由a，b，c三個數字組成，且a，b，c在個位、十位、百位都出現兩次，所以和應該為：(a+b+c)×2×1+(a+b+c)×2×10+(a+b+c)×2×100=5994,a+b+c=27,a=b=c=9,與題意矛盾，故不能．28.找出4個不同的自然數，使得對于其中任何兩個數，它們的和總可以被它們的差整除．如果要求這4個數中最大的數與最小的數的和盡可能的小，那么這4個數里中間兩個數的和是多少？【答案】

7【分析】

我們設這四個數中最小的一個數為a，要求4個最大的數與最小的數的和盡可能小，則先盡量讓a最小．當a=1，設4個數中另外三個數中某個數為b，有b+1b-1等必須為整數，而b+1b-1=1+2b-1，則2能被(b-1)整除，顯然(b-1)只能為2或1，對應b只能是3當a=2，設4個數中另外三個數中某個數為c，有c+2c-2必須為整數，而c+2c-2=1+4c-2，則4能被(c-2)整除，有(c-2)可以為4、2、1，對應c可以為6驗證6、4、3、2是滿足條件的數組，它們的中間兩個數的和為4+3=7即為題中條件下的和．29.已知整數1a2a3a4a5a能被11整除，求所有滿足著個條件的整數．【答案】

1323334353【分析】

因為11整除1a2a3a4a5a，所以根據能被11整除的數的特征可知： 1+2+3+4+5的和與5a之差應是11的倍數，5a-15是11的倍數，可以是0，11，-11，22，-22?只有當a=3時，11∣15-5a．符合題意的整數只有1323334353．30.（1）判斷下列各數，哪些能被4、8、25、125、3、9、11整除：437250、96255、42104、6875、752604、308；（2）判斷1027、45038，哪個能被13整除，哪個能被7整除？【答案】

（1）能被4整除的：42104、752604、308；能被8整除：42104；能被25整除的：437250、6875；能被125整除的：6875；能被3整除的：437250、96255、752604；能被9整除：96255；能被11整除的：6875、308；（2）1027能被13整除；45038能被7整除．【分析】

（1）能被4整除的：42104、752604、308；能被8整除：42104；能被25整除的：437250、6875；能被125整除的：6875；能被3整除的：437250、96255、752604；能被9整除：96255；能被11整除的：6875、308；（2）1027能被13整除；45038能被7整除．31.有一個四位數3aa1，它能被9整除，則a代表幾？【答案】

7【分析】

根據被9整除的數的性質： 9∣32.用1,2,3,4各一次組成四位數，使得它是11的倍數．有多少種不同的方法？【答案】

8．【分析】

用1,2,3,4各一次組成四位數，四個數字的和為10，若為11的倍數，則奇位和與偶位和的差只能為0，奇位填1,4，偶位填2,3，考慮到1,4可以互換，2,3可以互換，故共有2×2=4種填法，同理奇位填2,3，偶位填1,4，也有4種填法，共8種填法．33.用1,2,3,4,5,8,9組成不重復的七位數，其中有多少個能被11整除？【答案】

432．【分析】

能被11整除，說明這個七位數奇數位之和與偶數位之和的差是11的倍數，而奇數位之和與偶數位之和的和是1+2+3+4+5+8+9=32，那么奇數位之和與偶數位之和可以都是16，或者是27和5，后面這種情況不可能，偶數位有3個數字，和為16可能是9+5+2,9+4+3,8+5+3，那么一共可以組成A44×34.用數字6，7，8各兩個，組成一個六位數，使它能被168整除，這個六位數是多少？【答案】

768768【分析】

因為168＝8×3×7，所以組成的六位數可以被8、3、7整除，能夠被8整除的數的特征是末三位組成的數一定是8的倍數，末兩位組成的數定是4的倍數，末位為偶數，在題中條件下，驗證只有688、768是8的倍數，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍數，abcabc形式的數一定是7、11、13的倍數，所以768768一定是7的倍數，???688的?不管怎么填都得不到7的倍數．至于能否被3整除可以不驗證，因為整除3的數的規律是數字和為3的倍數，在題中給定的條件下，不管怎么填數字和都是定值，所以768768能被35.173?是個四位數，數學老師說：“我在這個?中先后填入3個數字，所得到的3個四位數，依次可被9、11、6整除，”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少？【答案】

19【分析】

用1730試除，1730÷9＝192?2，1730÷11＝157?3，1730÷6＝288?2，所以依次添上(9-2＝)7、(11-3＝)8、(6-2＝)4后得到的1737、36.三個連續自然數依次可以被5整除、被7整除、被11整除，那么這三個自然數最小為多少？【答案】

20；21；22【分析】

設這三個自然數分別為x-1，x，x不看三個數，只用兩個數做和諧．???5????7其倍數x-1???x其倍數2x-2??2x其倍數2x-7??2x-7所以2x-7既是5的倍數，又是7的倍數，那么2x-7是35的倍數．設2x-7＝35k，觀察當k是多少的時候，x＋1是11的倍數．從k＝1開始，x＝21，則x＋37.一個四位數各個數字都不相同，且這個數字能被13整除，則這個數最大是多少？【答案】

9867【分析】

最值思想，先找到最大的四位數9876，然后試除9876÷13??9,即最大的四位數為9876-9=9867.38.在所有各位數字之和等于34，且能被11整除的四位數中最大的一個是多少？最小的一個是多少？【答案】

9988；8899【分析】

最大9988，最小8899；abcd四位數，根據能被11整除的特征(d+b)-(c+a)能被11整除包括0．假設d+b=x?c+a=y?x+y=34,因為x跟y都是2個個位數之和，所以x跟y都是小于20的數．能夠看出x跟y都是17，既x-y=0可以假設x-y=11或者更大（比如22、33、44）結果得出都是不行的．自己可以算算看．17=8+9其他都不符．39.有八個連續三位數，第1個數被1整除、第2個數被2整除、第3個數被3整除、??依此類推；那么第7個數字是多少？【答案】

847【分析】

設第7個數也就是7的倍數的為N；N的前一個數N-1應是6的倍數，即必須是能被3整除的偶數，所以應考察的7的倍數為奇數；N的前面第二個數N-2應是被5整除的數，故N應是以7結尾的數；綜上，應從以7為結尾的7的倍數的三位數中找N，并且，由于N-1被6整除，而N以7結尾，故N的百位和十位數字組成的兩位數應被3整除；所以，所求的N應是217、427、637、847中的一個；而N+1被8整除，則排除218、428、638，只有848滿足；所以第七個數字是847．40.已知3a7×b0c是495的倍數，其中a、b、c分別代表不同的數字．請問：三位數【答案】

865【分析】

由495=5×9×11，得：3a7×b0c要同時能被5、9、11整除．由個位數字可以推斷，3a7不能被5整除；又由11的整除性質可以推斷，3a7不能被11整除．所以b0c既是5的倍數，又是11的倍數，只能是605．由于605不能被9整除，所以3a7必須能被9整除．由3+a+7是9的倍數，推出a=8，所以41.應當在?中填上哪一個數碼，才能使得所得的101位整數66?6?50個【答案】

2或9【分析】

由于111111=111×1001可被7整除，因此如果將所得的數的頭和尾各去掉48個數碼，并不改變其對7的整除性，于是還剩下“66?55”．從中減去63035，并除以10，即得“3?2”可被7整除．此時不難驗證，具有此種形式的三位數中，只有322和392可被7整除．所以?處應填2或9．42.20092009?2009?n個200909【答案】

5【分析】

20092009?2009?n個200909中奇位數減偶位數的差為(9-2)×n+9=7n+9，當n=5時，7n+9是1143.四位數1?2?既是3的倍數，還是5倍數，則這個四位數有幾種可能？【答案】

7【分析】

這個四位數為5的倍數，因此末位為0或5．末位數字是0時，1?20，要是3的倍數，方框內為3，6，9或0，即1020，1320，1620，1920；末位是5時，1?25，要是3的倍數，方框內1，4，7，也就是有1125，1425，1725．總共有七種可能．44.在865后面補上三個數字，組成一個六位數被3、4、5整除．且使這個數值盡可能的大，最大是多少？【答案】

856980【分析】

這個數能被3、4、5整除，則這個數能被[3,4,5]=60整除．865999÷60=14433??19，所以所得六位數的最大值是865999-19=865980．45.11個連續兩位數的乘積能被343整除，且乘積的末4位都是0，那么這11個數的平均數是多少？【答案】

45【分析】

（1）因為343=73，由于在11個連續的兩位數中，至多只能有2個數是7的倍數，所以其中有一個必須是49的倍數，那就只能是49或98；（2）因為乘積的末4位都是0，所以這連續的11個自然數至少應該含有4個因數5，連續的11個自然數中至多只能有3個是5的倍數，至多只能有1個是25的倍數，所以其中有一個必須是25的倍數，那么就只能是25、50或75；（3）所以這11個數中應同時有49和50，且除50外還有兩個是5的倍數，只能是40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50，它們的平均數即為它們的中間項46.從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個數字中選出五個不同的數字組成一個五位數，使它能被3、5、7、13整除，這個數最大是多少？【答案】

94185【分析】

本題采用試除法．因為3，5，7，13的最小公倍數為1365，100000÷1365=73??355,所以在100000之內最大的1365的倍數為99645但是不符合數字各不相同的條件，于是繼續減1365依次尋找第二大，第三大的數，看是否符合即可．有99645-1365=98280,所以，滿足題意的5位數最大為94185．47.在數列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些數能被4整除，哪些數能被3整除，哪些數能被11整除？【答案】

能被4整除的數有3124、312、5588；能被3整除的數有312、5289、7314；能被11整除的數有3124、5588．48.有一個四位數3aa1，它能被3整除，則a代表幾？【答案】

1，4，7【分析】

根據被3整除的數的性質： 3∣49.張經理給45名員工發完工資，將總錢數記在一張紙上，后來記賬的這張紙破了兩個洞，只剩下67?8?元，張經理只記得每位員工的工資都一樣，并且都是整數元，那么這45名員工的總工資可能是多少錢呢？【答案】

67680或67185【分析】

由于該數為45的倍數，則末位為5的倍數，所以末位能為0或者5．若末位為0，則令該五位數為：67a80，則數字和應為9的倍數，有：21+a應為9的倍數，所以a=6，這時的五位數為67680；若末位為5，則令該五位數為：67a85，則數字和應為9的倍數，有：26+a應為9的倍數，所以a=1這時的五位數為67185．50.{如果六位數1992??能被105整除，那么它的最后兩位數是多少？【答案】

90【分析】

因為105=3×7×5，所以這個六位數同時滿足能被3、7、5整除的數的特征即可，方法一：利用整除特征末位只能為0或5．①如果末位填入0，那么數字和為1+9+9+2+?+0=21+?，要求數字和是3的倍數，所以?可以為0，3，6，9，驗證200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有91是7的倍數，即199290是7的倍數，所以題中數字的末兩位為90，②如果末位填入5，同上解法，驗證沒有數同時滿足能被3、7、5整除的特征，所以題中數的末兩位只能是90．方法二：采用試除法用199200試除，199200÷105=1897??15，余15可以看成不足，105-15=90，所以補上90，即在末兩位的方格內填入90即可．51.有如下5個自然數：3124、3823、45235、5289、5588．其中能被11整除的有哪些？【答案】

3124，5588【分析】

簡答：判斷能否被11整除，看奇位和偶位和的差．52.在方框中填上兩個數字，可以相同也可以不同，使4?32?是9的倍數，（1）請隨便填出一種，并檢查自己填的是否正確；（2）一共有多少種滿足條件的填法？【答案】

（1）43326（答案不唯一）；（2）12【分析】

一個數是9的倍數，那么它的數字和就應該是9的倍數，即4+?+3+2+?是9的倍數，而4+3+2=9，所以只需要兩個方框中的數的和是9的倍數，（1）依次填入3、6，因為4+3+3+2+6=18是9的倍數，所以43326是9的倍數；（2）經過分析容易得到兩個方框內的數的和是9的倍數，如果和是9，那么可以是（9，0）；（8，1）；（7，2）；（6，3）；（5，4）；（4，5）；（3，6）；（2，7）；（1，8）；（0，9），共10種情況，還有（0，0）和（9，9），所以一共有12種不同的填法．53.一個六位數各個數字都不相同，且這個數字能被17整除，則這個數最小是多少？【答案】

102357【分析】

最值思想，先找到最小的六位數102345，然后試除102345÷17??5，即最小的六位數為102345+17-554.一個五位數8?25?，方格中的數未知．請問：（1）如果該數能被72整除，這個五位數是多少？（2）如果該數能被55整除，這個五位數是多少？【答案】

（1）86256；（2）85250【分析】

（1）能被72整除的數，即能被8和9整除．若8?25?能被8整除，個位應填6．再考慮能被9整除，千位應填6．因此這個五位數是86256．（2）能被55整除，即能被5和11整除．若8?25?能被5整除，個位應填0或5．當個位填0時，若能被11整除，千位應填5．當個位填5時，千位無論填幾都不能滿足條件，因此滿足條件的數為85250．55.把三位數5ab接連重復的寫下去，共寫2011個5ab，所得的數5ab5ab?5ab?2011個恰是77【答案】

39【分析】

因為77=7×11，且(7,11)=1．75ab5ab?5ab? 根據一個數能被7或11整除的特征可知： 原數5ab5ab?5ab?2011個能被7當且僅當5ab5ab?5ab?2010個-5ab也就是5ab5ab?5ab000?2009個5ab能被也就是5ab5ab?5ab?2009個能被7每次減兩組，依次下去，最終5ab能被7及11整除，也就是被77整除．77×7=539,所以可能的就是ab=3956.一位后勤人員買了72本筆記本，可是由于他吸煙不小心，火星落在帳本上，把這筆帳的總數燒去兩個數字，帳本是這樣的：72本筆記本，共?67.9?元（?為被燒掉的數字），請把?處數字補上，并求筆記本的單價．【答案】

3；2；5.11元【分析】

把?67.9?元作為整數?679?分，既然是72本筆記本的總線數，那就一定能被72整除，又因為72=8×9，(8,9)=1，所以8∣?679?，9∣?679?，根據能被8整除的數的特征，8∣79?，通過計算個位的?=2，又9∣?6792，根據能被9整除的數的特征，9∣(?+6+7+9+2)，顯然前面的?應是3，所以這筆帳筆記本的單價是：367.92÷72=5.11(元57.在?內填上合適的數字，使?679?能同時被8、9整除．【答案】

3；2【分析】

由被8整除的特征知最后一個?填2，由被9整除的特征知第一個?填3．58.173?是一個四位數．數學老師說：“我在其中的方框內先后填入3個數字，所得到的3個四位數：依次可被9，11，6整除．”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少？【答案】

19【分析】

9∣ 11∣ 6∣ 三數的和是4+7+8=19.59.六位自然數1082??能被23整除，末兩位數有多少種情況．【答案】

4【分析】

試除法．因為108200÷23=4704??8，把余8看做不足15．所以，方框中的數為15、38、61、84四種情況時，六位數能被23整除．所以末兩位數有4種情況．60.一個各位數字均不為0的三位數能被8整除，將其百位數字、十位數字和個位數字分別劃去后可以得到三個兩位數（例如，按此方法由247將得到47、27、24）．已知這些兩位數中一個是5的倍數，另一個是6的倍數，還有一個是7的倍數．原來的三位數多少？【答案】

656【分析】

設這個三位數為abc，則得到的三個兩位數為bc、ac和ab，由于a、b和c均不為0，且三個兩位數中有一個是5的倍數，則b或c為5．考慮到能被8整除，因此c不為5，這樣b一定為5．考慮到bc為4的倍數，則bc只能為52或56．其中52既不是6的倍數，也不是7的倍數，舍去．因此bc只能為56．再考慮ac為6的倍數只能為66．因此這個三位數為656．61.已知ABABAB是154的倍數，求AB的最小值．【答案】

22【分析】

事實上ABABAB而10101=3×7×13×37,所以只要保證AB能被22整除即可，又AB不能為0，所以AB的最小值為22．62.有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號．1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”??依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整數，1號作了一一驗證，只有編號相鄰的兩位同學說得不對，其余同學都對，問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？（2）如果告訴你，1號同學寫的數是五位數，請求出這個數．（寫出解題過程）【答案】

（1）編號為8和9；（2）60060【分析】

（1）首先可以斷定編號是2、3、4、5、6、7號的同學說的一定都對．不然，其中說得不對的編號乘以2后所有編號也將說得不對，這樣就與“只有編號相鄰的兩位同學說得不對”不符合．因此，這個數能被2、3、4、5、6、7都整除．其次利用整除性質可知這個數也能被2×5、3×4、2×7都整除，即編號為10、12、14的同學說得也對，從中斷定編號11、13、15的同學說得也對，不然，說得不對的編號不是連續的兩個自然數．現在我們可以斷定說得不對的兩個同學的編號只能是8和9．（2）這個數是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍數，由于上述十二個數的最小公倍數是[2,3,4,5,6,7,10,l1,12,13,14,15]=2因為60060是一個五位數，而十二個數的其他公倍數均不是五位數，所以1號同學寫的數就是60060．63.有一組密碼有7個數字組成，它們不是2就是1，并且數字2比數字1的數量多，已知這個密碼能被3和4整除，試求出這個密碼．【答案】

2122212【分析】

密碼中2比1多，所以2可能有4、5、6、或7個，經試驗2有5個的時候，數字和為12，且末兩位只能為12，所以這個密碼可能是2122212（答案不唯一）．64.在小于100的正整數中，能被2或3整除，且不能被6整除的數共有多少個？【答案】

50個．【分析】

小于100的正整數中，能被2整除的有49個，能被3整除的正整數有33個，能同時被2和3整除的有16個，則滿足條件的數有49+33-16×2=50個．65.一個四位數38a4，能夠被4整除，那么a可以是多少？如果這個數能夠被8整除，那么a可以是多少？【答案】

2或8．【分析】

被4整除，末兩位a4能夠被4整除．a可以是0，2，4，6，8． 被8整除，末三位8a4能被8整除，a可以是2，或者8．66.對任意的自然數n，證明A=2903n-【答案】

271【分析】

1897=7×271，7與271互質，因為2903≡5(?mod?7)，803≡5(?mod?7)，所以A故A能被7整除． 又因為2903≡193(?mod?271)，803≡261(?mod所以A故A能被271整除． 因為7與271互質，所以A能被1897整除．67.173?是一個四位數．數學老師說：“我在其中的方框內先后填入3個數字，所得到的3個四位數：依次可被9,11,6整除．”問：數學老師先后填入的3個數字的和是多少？【答案】

19【分析】

173?，設填入的數為a，由能被9整除知，1+7+3+a=11+a是9的倍數，由于a是一位數，所以a=7，即第一次填入的數是7；由能被11整除知，(7+a)-(1+3)=3+a是11的倍數，a=8，即第二次填入的數是8；由能被6整除知，這個數能被2、3同時整除，所以a是偶數且1+7+3+a=11+a是3的倍數，所以a=4，即第三次填入的數是4．三個數的和是7+8+4=19．68.某個七位數1993???能夠同時被2,3,4,5,6,7,8,9整除，那么它的最后三位數字依次是多少？【答案】

3,2,0【分析】

一個數能同時被2,3,4,5,6,7,8,9整除，相當于能被[2,3,4,5,6,7,8,9]=5×7×8×9=2520整除，1993999÷2520=791??679，所以1993999-679=1993320能被2520整除，即1993320為所求的這個數．69.求一個四位數，它的前兩位數字及后兩位數字分別相同，而該數本身等于一個整數的平方【答案】

7744【分析】

設所求的四位數為x=aabbx=1000a+100a+10b+b=11其中0<a?9，0?b?9．可見平方數x被11整除，從而x被112整除．因此，數100a+b=99a+a+b能被11整除，于是a+b能被11整除．但0<a+b?18，以a+b=11，于是x=112×9a+1，由此可知9a+1是某個自然數的平方．對a=1,2,3,……9，逐一檢驗，易知僅a=770.一個十位數，如果各位上的數字都不相同，那么就稱為“十全數”，例如，3785942160就是一個十全數．現已知一個十全數能被1，2，3，?，18整除，并且它的前四位數是4876，那么這個十全數是多少？【答案】

4876391520【分析】

這個十全數能被10整除，個位數字必為0；能被4整除，十位數字必為偶數，末兩位只能是20．設這個十全數為4876abcd20．由于它能被11整除，所以奇位數上的數字之和與偶位數上的數字之和的差能被11整除，即8+6+b+d+0-(4+7+a+c+2)=b+d+1-(a+c)被11整除，可能是b+d+1=a+c+11,由于a、b、c、d四個數分別為1、3、5、9中的一個，只能是b+d+1=a+c+11,即b+d=a+c+10.所以b、d是9和5；a、c是3和1，這個十全數只能是4876391520，4876351920，4876193520，4876153920中的一個．由于它能被7、13、17整除，經檢驗，只有4876391520符合條件．71.有如下9個三位數：452,387,228,975,525,882,715,775,837．這些數中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能被2整除？哪些能被5整除？哪些能被4整除？哪些能被25整除？【答案】

見解析．【分析】

能被3整除的數應為數字和為3的倍數，有：387,228,975,525,882,837；能被9整除的數應為數字和9的倍數，有：387,882,837；能被2整除的數應該末位能被2整除，有：452,228,882；能被5整除的數應該末位能被5整除，有：975,525,715,775；能被4整除的數應該末兩位能被4整除，有：452,228；能被25整除的數應該末兩位能被25整除，有：975,525,775．72.對于一個自然數N，如果具有這樣的性質就稱為“破壞數”：把它添加到任何一個自然數的右端，形成的新數都不能被N+1整除，那么在1至9這9個自然數中有多少個“破壞數”？【答案】

6【分析】

很明顯奇數一定是“破壞數”，4也是“破壞數”．0、2、6、8都不是“破壞數”，其中0添加到任何一個自然數的右端都能被1整除，2添加到自然數1的右端能被3整除，6添加到自然數5的右端能被7整除，8添加到自然數1的右端能被9整除．所以所求“破壞數”只有1、3、4、5、7、9這6個．73.六位數2009??能被99整除，它的最后兩位數是多少？【答案】

70【分析】

方法一：試除法 200999被99除商2020余29，所以這個六位數最后兩位是99-29=70時，它能被99整除； 方法二：99=9×11，2009??能被99整除，所以各位數字之和為9的倍數，所以方框中數字的和只能為7或16；又根據數被11整除的性質，方框中兩數字的差為7，所以它的最后兩位數是70．74.大約1500年前，我國偉大的數學家祖沖之，計算出π的值在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個把π的值精確到7位小數的人．現代人利用計算機已經將π的值計算到了小數點后515億位以上．這些數排列既無序又無規律．但是細心的同學發現：由左起的第一位3是質數，31也是質數，但314不是質數，那么在3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927中，哪些是質數？【答案】

314159【分析】

注意到3141，31415，3141592，31415926，31415927依次能被3，5，2，2，31整除，所以，質數是314159．75.從401到1000的所有整數中，被8除余數為1的數有幾個？【答案】

75【分析】

因為被8除余數為1的整數組成公差是8的等差數列，最小的是401，最大的是993，于是項數=(993-401)÷8+1=75．76.請寫出所有各位數字互不相同的三位奇數，使得它能被它的每一個數位上的數字整除．【答案】

135、315、175、735【分析】

依題意，組成這個三位奇數的數字是1、3、5、7、9中的三個不同的數字．因為除9以外的任意2個奇數之和都不是9的倍數，所以9不能在這個3位數中出現．那么，只有可能是135、137、157、357這4種數字組合，分別嘗試得到四個滿足題意的數為135、315、175、735．77.試說明一個5位數，原序數與反序數的差一定是99的倍數（如：12367為原序數，那么它對應的反序數為76321，它們的差63954=99×646是99的倍數．）【答案】

略【分析】

設原序數為abcde，則反序數為edcba，其中a?e，則abcde因為等式的右邊能被99整除，所以abcde-edcba能被78.六位數356a29能被3整除，數字a=？【答案】

2，5或8．【分析】

3+5+6+a+2+9=25+a使25+a能被3整除，數字a只能是2，5或8．即符合題意的a是2，5或8．79.三位數的百位、十位和個位的數字分別是5、a、b，將它連續重復寫2009次成為：5ab5ab?5ab?2009個5ab．如果此數能被【答案】

546【分析】

因為91=7×13，所以5ab5ab?5ab?2009個5ab也是7和13的倍數，因為能被7和13整除的特點是三位一段，用截斷法，由此可知5ab也是7和13的倍數，百位是5能被7和13即91整除的數字是：80.請將1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合適的順序寫成一行，使得這一行的數中的任意一個數都能整除它前面所有數之和．【答案】

6、1、7、2、8、3、9、4、10、5、11【分析】

構造方式不唯一，從最后思考，總和66，把11放到最后，剩55，放個5，剩50?找規律可得．81.用1、2、3、4、5、7這6個數字各一次組成六位數，并且使這個六位數是11的倍數．有多少種不同的方法？【答案】

72．【分析】

用1,2,3,4,5,7各一次組成六位數，六個數字的和為22，若為11的倍數，則奇位和與偶位和的差只能為0，奇位填1,3,7，偶位填2,4,5，考慮到1,3,7可以互換，2,4,5可以互換，故共有A33×A33=36種填法，同理奇位填2,4,582.試求6個不同的正整數，使得它們中任意兩數之積可被這兩個數之和整除．【答案】

27720，55440，83160，110880，138600及166320【分析】

取六個數1，2，3，4，5，6，并把它們兩兩相加得到15個和：1+2，1+3，?，5+6．這15個和的最小公倍數是：2把它依次乘所取的六個數得：27720，55440，83160，110880，138600及166320．這六個數就滿足題目的要求．83.求出所有正整數n，使得25+n能整除25×n．【答案】

100、600【分析】

依題意得25+n∣25n，變形得25+n∣25n+625-625,整理得25+n∣25(n+25)-625.由于25+n∣25(n+25),所以25+n∣625,寫出625所有的約數：1、625、5、125、25，符合的n為125-25=100和625-25=600．84.一個各位數字均不為0的三位數能被8整除，將其百位數字、十位數字和個位數字分別劃去后可以得到三個兩位數（例如，按此方法由247將得到47、27、24）．已知這些兩位數分別能被5、6、7整除，那么原來的三位數是多少？【答案】

656【分析】

由于尾數不可能是5，所以只能中間數是5，那么個位就是2或6，但52不能被6、7整除，則只能是56，被7整除，再結合百位和個位能被6整除判斷出三位數為656．85.判斷下面11個數的整除性：23487,3568,8875,6765,5880,7538,198954,6512,93625,864,407．（1）這些數中，有哪些數能被4整除？哪些數能被8整除？（2）哪些數能被25整除？哪些數能被125整除？（3）哪些數能被3整除？哪些數能被9整除？（4）哪些數能被11整除？【答案】

見解析．【分析】

（1）末兩位能被4整除，該數即能被4整除；末三位能被8整除，該數即能被8整除．所以，能被4整除的數有：3568,5880,6512,864；能被8整除的數有：3568,5880,6512,864；（2）末兩位是25的倍數，該數就能被25整除；末三位是125的倍數，該數就能被125整除．所以能被25整除的數有：8875,93625；能被125整除的數有：8875,93625；（3）數字和是3的倍數即能被3整除，數字和為9的倍數即能被9整除．所以，能被3整除的數有：23487,6765,5880,198954,864；能被9整除的數有：198954,864；（4）從末位開始，奇數位數字之和與偶數位數字之和的差如果為11的倍數，即為11的倍數．則為11的倍數的有：6765,6512,407．86.在下面的圓圈和方框中，分別填入適當的自然數，使等式成立．問在方框中應填多少？1【答案】

32或36．【分析】

記圓圈里填入的是a，方框里填入的是b，那么1即29由于29是個質數，故29∣11a-12，從而a除以29余9．于是29故b?36．另外，29b>29×即b?32．分別驗證b=32，33，34，35，36各種情況，可知只有當b=32和b=36時符合條件．87.如果(a+2b)是7的倍數，求證：(3a-b)也是7的倍數．（a、b都是自然數）．【答案】

見解析【分析】

法一：由于(a+2b)是7的倍數，所以3(a+2b)＝3a+6b也是所以3a-b＝3a+6b-7b是法二：設a+2b＝7k，則a＝所以(3a-b)也是7的倍數．88.已知n是正整數，規定n!=1×2×?×n，令m=1!×1+2!×2+3!×3+?+2007!×2007，則整數m除以2008的余數為多少？【答案】

2007【分析】

m= 2008能夠整除2008!，所以2008!-1的余數是2007．89.有15位同學，每位同學都有編號，他們是1號到15號．1號同學寫了一個自然數，2號說：“這個數能被2整除”，3號說：“這個數能被3整除”，??，依次下去，每位同學都說，這個數能被他的編號數整除．1號作了一一驗證：只有編號連續的兩位同學說得不對，其余同學都對．問：（1）說得不對的兩位同學，他們的編號是哪兩個連續自然數？（2）如果告訴你，1號寫的數是五位數，請求出這個數．【答案】

（1）8、9；（2）60060【分析】

（1）列出這14個除數：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15．注意到如果這個數不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10?等整除，顯然超過兩個自然數；類似這種情況的還有3～6、9?；4～8、12?；5～10、15?；6～12?；若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而這兩個自然數不連續；若不能被12整除，那么4和3中至少有一個不能整除1號所說的自然數，而12與3、4均不連續；類似這種情況的還有10（對應2和5）；14（對應2和7）；15（對應3和5）；這樣只剩下8、9、11、13，而連續的只有8、9．所以說的不對的兩位同學的編號為8、9這兩個連續的自然數．（2）由（1）知，這個五位數能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．所以[2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15]=所以1號寫出的五位數為60060．90.如果六位數2010??能被105整除，那么它的最后兩位數是多少？【答案】

75【分析】

采用試除法 用201000試除，201000÷105=1914??30,余30可以看成不足(105-30)=75．所以補上75，即在末兩位的方格內填入75即可．91.如果a+b+c是5的倍數，2a+3b+4c也是5的倍數，求證a-c是5的倍數．（a、b、c都是自然數）【答案】

見解析【分析】

a-c=3(a+b+c)-(2a+3b+4c)，所以a-c能被5整除．92.某個七位數1993???能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位數字依次是多少？【答案】

320【分析】

本題可采用整除數字的判定特征進行判斷，但是太過繁瑣，采用試除法比較方便，若使得7位數能夠同時被2，3，4，5，6，7，8，9整除，只要讓七位數是2，3，4，5，6，7，8，9最小公倍數的倍數即可，[2，3，4，5，6，7，8，9]＝2520，用1993000試除，1993000÷2520＝790??2200，余2200可以看成不足2520-220093.將4個不同的數字排在一起，可以組成24個不同的四位數．將這24個四位數按從小到大的順序排列的話，第二個是5的倍數；按從大到小排列的話，第二個是不能被4整除的偶數；按從小到大排列的第五個與第二十個的差在3000～4000之間．求這【答案】

7543【分析】

設這4個數字分別是a>b>c>d，那么從小到大的第2個就是dcab，它是5的倍數，因此b=0或5，注意到b>c>d，所以b=5；從大到小排列的第2個是abdc，它是不能被4整除的偶數；所以c是偶數，c<b=5，c=4或2；從小到大的第二十個是adbc，第五個是dacb，它們的差在3000到4000之間，所以a=d+4；因為a>b，所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4．而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍數，和條件矛盾．因此d=3，從而a=d+4=3+4=7這24個四位數中最大的一個顯然是abdc，我們求得了a=7,b=5,c=4,d=3,所以這24個四位數中最大的一個是7543．94.以多位數142857314275為例，說明被7、11、13整除的規律．【答案】

見解析．【分析】

142857314275=因為根據整除性質知，等式右邊第一個括號內的數能被7、11、13整除，再根據整除性質，要判斷142857314275能否被7、11、13整除，只需判斷857-142+275-314能否被7、11、13整除，因此結論得到說明．142857314275能被13整除，不能被7和11整除．95.下面五個自然數：128114、94146、64152、6139、491678，哪些能被7整除？哪些能被11整除？哪些能被13整除？【答案】

被7整除：128114,6139；被11整除：64152,491678；被13整除：94146．【分析】

因為128-114=14，146-94=52，152-64=88，139-6=133，678-491=187，所以能被7整除的有：128114,6139；能被11整除的有：64152,491678；能被13整除的有：94146．96.有些數既能表示成3個連續自然數的和，又能表示成4個連續自然數的和；還能表示成5個連續自然數的和．請你找出700至1000之間，所有滿足上述要求的數，并簡述理由．【答案】

750、810、870、930、960【分析】

3個連續自然數的和，一定能夠被3整除；4個連續自然數的和，一定能夠被2整除，且除以2所得的商是奇數，也就是說它不能被4整除，除以4所得余數為2；5個連續自然數的和，一定能夠被5整除．3、2、5的最小公倍數是30，所以滿足上述三個條件的最小的數是30．3、4、5的最小公倍數是60，所以60的整數倍加上30就可以滿足條件．700=60×11+40，所以第一個符合題意的數是750=60×12+30，最大的一個數是990=60×16+30，共計16-12+1=5個數，分別為750、810、870、930、960．97.已知兩個三位數abc與def的和abc+def能被37整除，試說明：六位數abcdef也能被【答案】

見解析【分析】

abcdef=abc×1000+def=abc×999+(abc+def)，因為999能被37整除，所以abc×999能被98.如果abcde能被6整除，那么2(a+b+c+d)-e也能被6整除．【答案】

見解析．【分析】

因為6=2×3，所以2∣abcde，所以2∣e，所以6∣3e 因為3∣abcde，所以3∣a+b+c+d+e，所以6∣2(a+b+c+d+e)，所以6∣2(a+b+c+d+e)-3e，所以6∣2(a+b+c+d)-e99.把三位數3ab接連重復的寫下去，共寫2011個3ab，所得的數3ab3ab?3ab?2011個恰是91【答案】

73【分析】

因為91=7×13，且(7,13)=1． 73ab3ab?3ab?2011 根據一個數能被7或13整除的特征可知： 原數3ab3ab?3ab?2011個能被7 當且