2024-2025學年江蘇省南京市棲霞區九年級（下）期初數學試卷（3月份）一、選擇題：共6小題，每小題2分，共12分．1．（2分）用配方法解方程時，配方后正確的是A． B． C． D．2．（2分）某快遞員十二月份送餐統計數據如下表：送餐距離小于等于3公里大于3公里占比送餐費4元單6元單則該快遞員十二月份平均每單送餐費是A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元3．（2分）如圖，小杰從燈桿的底部點處沿水平直線前進到達點處，他在燈光下的影長米，然后他轉身按原路返回到點處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米4．（2分）如圖，在中，點在邊上，若，，且，則線段的長為A．2 B． C．3 D．5．（2分）如圖，，，則下列等式一定成立的是A． B． C． D．6．（2分）如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時，另一端到地面的高度為；當的一端碰到地面時，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點到地面的高度是A． B． C． D．二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分．7．（2分）二次函數圖象的頂點坐標為．8．（2分）若一組數據2，3，4，5，的方差比另一組數據5，6，7，8，9的方差小，則可以為．（列舉一個滿足條件的值）9．（2分）方程的兩個根為，．若，則．10．（2分）已知圓錐的底面半徑為，側面積為，則該圓錐的母線長為．11．（2分）如圖，，，，是上的四個點，，的延長線相交于點，，相交于點．若，，則的度數是．12．（2分）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點，，在網格線的交點上，則的值是．13．（2分）如圖，在矩形中，，，為中點，，垂足為，交邊于點，則的長為．14．（2分）如圖，在正六邊形中，經過點，的與邊，分別相切于點，，與邊交于點，連接，交于點，則的度數為．15．（2分）已知二次函數，函數與自變量的部分對應值如表：042若，則的取值范圍為．16．（2分）如圖，在中，，是高．若，則的長的最小值為．三、解答題：本題共11小題，共88分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（8分）計算求解：（1）；（2）；（3）．18．（8分）甲城市有2個景點，，乙城市有3個景點，，．從中隨機選取景點游覽，求下列事件的概率．（1）選取1個景點，恰好在甲城市；（2）選取2個景點，恰好在同一個城市．19．（8分）周老師平時上班有，兩條路線可以選擇，她記錄了兩周共十天的上班路上所用的時間并繪制了如下統計圖：（1）這十天中周老師上班路上所用時間最多相差．（2）哪一條上班路線用時更穩定？請通過計算說明．（3）你建議周老師應如何選擇上班路線？20．（8分）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛紅塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹，發現水平地面上點，樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測得米，，之間有一個花圃距離無法測量；在點處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿所在直線后退，退到點處恰好在平面鏡中看到樹頂的像，米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米．已知，，，且點，，，在同一水平線上．求飛虹塔的高度．21．（8分）如圖，在中，，，平分交于．（1）求證：．（2）若，求的長．22．（8分）為測量某建筑物的高度，在坡腳處測得頂端的仰角為，沿著傾斜角為的斜坡前行到達處，此時測得頂端的仰角為，求建筑物的高度．（參考數據：，，，，，23．（8分）已知二次函數是常數）．（1）求證：不論為何值，該函數圖象與軸總有兩個公共點；（2）求證：當時，該函數圖象與軸的交點總在軸的下方．24．（8分）用直尺和圓規完成下列作圖．（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（1）如圖（1），過內一點作直線交于點，，使；（2）如圖（2），過外一點作直線交于點，，使．25．（8分）在平面直角坐標系中，，，，是拋物線上任意兩點，設拋物線的對稱軸為直線．（1）若對于，，有，求的值；（2）若對于，，都有，求的取值范圍．26．（8分）如圖，在△的邊上取一點，以為圓心，為半徑畫與邊相切于點，，連接交于點，連接，并延長交線段于點．（1）求證：是切線；（2）若，，求的半徑；（3）若是中點，直接寫出、與的數量關系．27．（8分）綜合與實踐【問題提出】我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓．那么，過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？【實驗探究】（1）獲得猜想觀察圖①至圖④，分別過菱形、矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個直角三角形的三個頂點作圓，提出猜想：過的四邊形的四個頂點能作一個圓．（請填寫序號）①對邊相等；②一組對邊平行；③對角線相等；④對角互補；（2）推理證明已知：在四邊形中，求證：過點，，，可作一個圓．證明：假設過點，，，不能作一個圓．如圖⑤，過，，三點作，點不在圓上．若點在外，與交于點，連接，則①，而是△的外角，②．出現矛盾，故假設不成立．所以點在過，，三點的圓上．同理可證點在內的情況．【應用結論】（3）如圖⑥，四邊形中，對角線，交于點，，平分．①若，求的度數．②若，，求線段的長．

參考答案題號123456答案CBDBDA一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2分）用配方法解方程時，配方后正確的是A． B． C． D．解：，，即．故選：．2．（2分）某快遞員十二月份送餐統計數據如下表：送餐距離小于等于3公里大于3公里占比送餐費4元單6元單則該快遞員十二月份平均每單送餐費是A．4.4元 B．4.6元 C．4.8元 D．5元解：該快遞員十二月份平均每單送餐費是：（元，故選：．3．（2分）如圖，小杰從燈桿的底部點處沿水平直線前進到達點處，他在燈光下的影長米，然后他轉身按原路返回到點處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米解：設返回過程中小杰身高為，由，得，由，得．故選：．4．（2分）如圖，在中，點在邊上，若，，且，則線段的長為A．2 B． C．3 D．解：，，，，，，，，．故選：．5．（2分）如圖，，，則下列等式一定成立的是A． B． C． D．解：，，與是對應邊，相似比為，的對應邊為，由圖可知：，，選項不成立；，且和是對應角，，，選項不成立；，，選項不成立；，，選項成立．故選：．6．（2分）如圖，不等臂蹺蹺板的一端碰到地面時，另一端到地面的高度為；當的一端碰到地面時，另一端到地面的高度為，則蹺蹺板的支撐點到地面的高度是A． B． C． D．解：如圖：過點作，垂足為，，，，，，，，如圖：過點作，垂足為，，，，，，，，，，，解得：，蹺蹺板的支撐點到地面的高度是，故選：．二、填空題：本題共10小題，每小題2分，共20分．7．（2分）二次函數圖象的頂點坐標為．解：，二次函數圖象的頂點坐標為，故答案為：．8．（2分）若一組數據2，3，4，5，的方差比另一組數據5，6，7，8，9的方差小，則可以為2（答案不唯一）．（列舉一個滿足條件的值）解：數據5，6，7，8，9中，每2個數相差1，一組數據2，3，4，5，前4個數據也是相差1，若或時，兩組數據方差相等，而數據2，3，4，5，的方差比另一組數據5，6，7，8，9的方差小，則（答案不唯一），故答案為：2（答案不唯一）．9．（2分）方程的兩個根為，．若，則．解：，是方程的兩根，，，解得：，故答案為：．10．（2分）已知圓錐的底面半徑為，側面積為，則該圓錐的母線長為5．解：設圓錐的母線長為，圓錐的底面周長，則，解得，，故答案為：5．11．（2分）如圖，，，，是上的四個點，，的延長線相交于點，，相交于點．若，，則的度數是21．解：是的外角，，，由圓周角定理得：，，是的外角，，，，故答案為：21．12．（2分）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長都是1，是的外接圓，點，，在網格線的交點上，則的值是．解：如圖，連接并延長交于，由圓周角定理得：，由勾股定理得：，，故答案為：．13．（2分）如圖，在矩形中，，，為中點，，垂足為，交邊于點，則的長為．解：四邊形都是矩形，，，，，，，，，，在中，，，，，，故答案為．14．（2分）如圖，在正六邊形中，經過點，的與邊，分別相切于點，，與邊交于點，連接，交于點，則的度數為60．解：連接、、，如圖，與邊，分別相切于點，，，，，，，五邊形的內角和為，，，在圓內接四邊形中，，，．故答案為：60．15．（2分）已知二次函數，函數與自變量的部分對應值如表：042若，則的取值范圍為．解：由題意可知，，，，當，時，，解得，當，時，，解得，當，時，，解得，若，則的取值范圍為．故答案為：．16．（2分）如圖，在中，，是高．若，則的長的最小值為．解：取中點，過作，過點作，交于，則，，，，，是的高，，，，，則，為中點，，是的垂直平分線，，由三角形三邊關系可知，，當、、三點共線時取等號，即：的最小值為；故答案為：．三、解答題：本題共11小題，共88分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（8分）計算求解：（1）；（2）；（3）．解：（1），，，，；（2），即，或，，；（3）原式．18．（8分）甲城市有2個景點，，乙城市有3個景點，，．從中隨機選取景點游覽，求下列事件的概率．（1）選取1個景點，恰好在甲城市；（2）選取2個景點，恰好在同一個城市．解：（1）選取1個景點，恰好在甲城市的概率為；（2）列表如下：由表知共有20種等可能結果，其中選取2個景點，恰好在同一個城市有8種結果，所以選取2個景點，恰好在同一個城市的概率為．19．（8分）周老師平時上班有，兩條路線可以選擇，她記錄了兩周共十天的上班路上所用的時間并繪制了如下統計圖：（1）這十天中周老師上班路上所用時間最多相差22．（2）哪一條上班路線用時更穩定？請通過計算說明．（3）你建議周老師應如何選擇上班路線？解：（1）這十天中周老師上班路上所用時間最多相差，故答案為：22．（2）路線所用時間的平均數為，方差為，路線所用時間的平均數為，方差為，，上班路線用時更穩定；（3）由用時的平均數知，路線平均用時更少，所以建議選擇路線（答案不唯一，合理即可）．20．（8分）《黑神話：悟空》在全球上線迅速吸引了全球游戲愛好者的目光，游戲中選取的27處山西極具代表性的古建筑，展示了山西深厚的文化底蘊．飛虹塔是山西省非常有名的一座塔樓，某實踐小組欲測量飛紅塔的高度．如圖，塔前有一棵高4米的小樹，發現水平地面上點，樹頂和塔頂恰好在一條直線上，測得米，，之間有一個花圃距離無法測量；在點處放置一平面鏡（平面鏡的大小忽略不計），沿所在直線后退，退到點處恰好在平面鏡中看到樹頂的像，米，測量者眼睛到地面的距離為1.6米．已知，，，且點，，，在同一水平線上．求飛虹塔的高度．解：，，△△，，，米，米，，，△△，，，米，答：飛虹塔的高度為47米．21．（8分）如圖，在中，，，平分交于．（1）求證：．（2）若，求的長．【解答】（1）證明：，，，平分，，，，．（2）解：．，，，解得或（舍去）．的長為．22．（8分）為測量某建筑物的高度，在坡腳處測得頂端的仰角為，沿著傾斜角為的斜坡前行到達處，此時測得頂端的仰角為，求建筑物的高度．（參考數據：，，，，，解：過點作，垂足為，延長交于點，由題意得：，，，在中，，，，，，設，，在中，，，在中，，，，，解得：，，建筑物的高度約為．23．（8分）已知二次函數是常數）．（1）求證：不論為何值，該函數圖象與軸總有兩個公共點；（2）求證：當時，該函數圖象與軸的交點總在軸的下方．【解答】證明：（1）△，而，△，不論為何值，該函數圖象與軸總有兩個公共點；（2）當時，，二次函數圖象與軸的交點坐標為，，，二次函數圖象與軸的交點在軸的負半軸上，即當時，該函數圖象與軸的交點總在軸的下方．24．（8分）用直尺和圓規完成下列作圖．（要求：保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）（1）如圖（1），過內一點作直線交于點，，使；（2）如圖（2），過外一點作直線交于點，，使．解：（1）如圖，直線即為所求；（2）如圖，直線即為所求．25．（8分）在平面直角坐標系中，，，，是拋物線上任意兩點，設拋物線的對稱軸為直線．（1）若對于，，有，求的值；（2）若對于，，都有，求的取值范圍．解：（1）對于，，有，，，．對稱軸為直線，．（2），，，，，，，離對稱軸更近，，則，與，的中點在對稱軸的右側，，即．26．（8分）如圖，在△的邊上取一點，以為圓心，為半徑畫與邊相切于點，，連接交于點，連接，并延長交線段于點．（1）求證：是切線；（2）若，，求的半徑；（3）若是中點，直接寫出、與的數量關系．【解答】（1）證明：連，如圖1，在△和△中，，△△，，與相切，，，，，為半徑，是切線；（2）解：連接，如圖2，，設，則，，，，設，則，，，，，，半徑為；（3）解：，理由如下：連接，，如圖3，由（1）可知：△△，，，在△和△中，，△△，，，，，，點是中點，，，，，，，．27．（8分）綜合與實踐【問題提出】我們知道，過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓．那么，過任意一個四邊形的四個頂點能作一個圓嗎？【實驗探究】（1）獲得猜想觀察圖①至圖④，分別過菱形、矩形、等腰梯形、共斜邊的兩個直角三角形的三個頂點作圓，提出猜想：過④的四邊形的四個頂點能作一個圓．（請填寫序號）①對邊相等；②一組對邊平行；③對角線相等；④對角互補；（