拓展提升01三角函數中的參數問題題型01已知單調性求參數【典例1】（24-25高一上·天津·期末）已知，函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】因為，，可得，函數在上單調遞增，得出，，即可求解．【詳解】，，，則，，當時，由，解得，又，故；當時，由，得無解，同理當時，無解．故選：B．【變式1】（24-25高一上·重慶·期末）若函數在區間上單調遞增，則正數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得，即可求出，再由的取值范圍求出的取值范圍，從而確定左端點的取值范圍，即可得到，解得即可.【詳解】函數在區間上單調遞增且，所以，解得，由，則，則，所以，解得，即正數的取值范圍為.故選：A【變式2】（24-25高一上·湖南常德·期末）已知函數在區間上單調遞增，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據可得，結合正弦函數的單調性即可求解.【詳解】由題意可得，當時，.由在區間上單調遞增，則，解得，即的最大值為.故選：B.【變式3】（24-25高一上·河北秦皇島·期末）已知直線是函數（其中）的圖象的一條對稱軸，且函數在區間上單調，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】由是函數的一條對稱軸，可得，再根據在區間上單調，則，可得，運算可求得的值.【詳解】由直線是函數的圖象的一條對稱軸，有，可得，又由函數在區間上單調，則，可得，有，有，可得，.故選：A.【變式4】（24-25高一上·天津·期末）已知點在銳角的終邊上，若函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據點在銳角的終邊上求出，根據在上進行最值分析，且在上進行單調分析即可.【詳解】因為點在銳角的終邊上，所以，，所以，所以，當時，因為，則，因為函數在上存在最值，則，解得，當時，，因為函數在上單調，則，所以，所以，解得，又因為，則．當時，；當時，；當時，．又因為，因此的取值范圍是．故選：C.【變式5】（24-25高一上·浙江寧波·期末）函數在區間上不單調，則實數m的取值范圍為．【答案】【分析】利用整體法即可結合正弦函數的性質求解.【詳解】時，則，由于在區間上不單調，則，故，故答案為：【變式6】（24-25高一上·福建漳州·期末）已知函數的圖象過點，且在區間單調遞增，則的取值范圍為．【答案】【分析】先根據已知點求出的值，再根據單調遞增區間列出關于的不等式求解.【詳解】因為函數的圖象過點，代入函數可得：，即.又因為，所以，則函數.對于余弦函數，其單調遞增區間為.那么對于函數，有.解不等式可得：.解不等式可得：.因為在區間單調遞增，所以.由可得：.由可得：.因為，所以，解得，所以.故答案為：.【變式7】（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是.【答案】【分析】分類討論，根據正弦函數性質求單調區間，再根據集合包含關系列不等式，解得的取值范圍.【詳解】設，，當時，則由已知，且，又，結合，，故，當時，則由已知，，又，結合，，故，當時，，綜上可得的范圍為故答案為：【變式8】（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，與x軸交于點，且平行四邊形EDCB的面積為.(1)求函數的解析式(2)若函數在區間上單調遞增，則實數m的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得，由平行四邊形的面積為得，由得，由此即可得函數表達式；（2）結合三角函數、復合函數單調性可列不等式組求解.【詳解】（1）由圖可知，又因為平行四邊形的面積為，所以，解得，所以，又的圖象過點，所以，所以，又因為，所以，所以.（2）若，則，若函數在區間上單調遞增，則由復合函數單調性可知，所以，解得.題型02已知最值、值域求參數【典例2】（24-25高一上·山西·期末）已知函數，若對任意，在區間上的值域均為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角恒等變換將函數化成正弦型函數，結合函數在上的值域和題設條件，可知區間長度必須大于一個周期，從而建立不等式，即可求得的范圍.【詳解】因為，當時，，故．因為，在上的值域均為，故區間長度必須大于一個周期，即，解得．故選：A.【變式1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函數在區間上的最大值為，則實數的取值個數最多為（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據，得到，再由，分，，由最大值為求解.【詳解】因為函數在區間上的最大值為，所以，解得，因為，所以，當，即時，，令，在同一坐標系中作出圖象：令，因為，，所以存在唯一，使得；當，即時，，即，解得.所以實數的取值個數最多為2.故選：B.【變式2】（24-25高三上·安徽合肥·階段練習）已知函數的圖象關于直線對稱，且在上沒有最小值，則的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】根據對稱軸，得到解得，再根據在上沒有最小值，得到，計算即可.【詳解】由的圖象關于直線對稱可得，，而，故，.若，則，故由可知在上有最小值.所以，.故選：A．【變式3】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習）已知函數的定義域為，值域為，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】由題可得，觀察函數圖象得出的最大值和最小值即可判斷.【詳解】的定義域為，值域為，則，則觀察函數圖象可得，的最大值為，的最小值為，，故可能是.故選：ABC.【變式4】（24-25高一上·河北石家莊·期末）已知函數在上有最大值，無最小值，則的取值范圍是.【答案】【分析】設，求出的范圍，結合正弦函數的圖象，依題意得到不等式組,解之即得.【詳解】因，設，當時，，作出在上的圖象如圖.要使區間上有最大值，無最小值，需使,解得，，即的取值范圍為.故答案為：.【變式5】（24-25高一上·江蘇無錫·階段練習）函數在區間上的值域為則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】由，結合函數在上的值域，列出不等式即可求出實數a的取值范圍．【詳解】當時，，由，可得，函數在區間上的值域為，根據正弦函數的圖象知，，解得，所以實數a的取值范圍是．故答案為：．【變式6】（24-25高三上·江蘇蘇州·期中）已知函數在區間上的值域為，且，則的值為.【答案】【分析】利用整體代入法，結合正弦函數的圖像求解即可.【詳解】，故，因為在區間上的值域為，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：【變式7】（23-24高一下·遼寧遼陽·期中）若函數在上的值域是，則m的取值范圍是．【答案】【分析】首先根據函數的定義域求的范圍，再根據函數的定義域確定右端點的取值范圍.【詳解】當，，由函數的值域為，可知，解得：.故答案為：【變式8】（23-24高一下·四川成都·期中）已知函數，且在區間上的最大值為，則的最小值為．【答案】【分析】利用整體法，求解，即可結合正弦函數的性質求解.【詳解】由于，則，由于在區間上的最大值為，則在區間上的最大值為1，故，解得，故的最小值為故答案為：【變式9】（23-24高一下·湖南邵陽·期末）已知函數在區間上有最大值，無最小值，則的取值范圍為．【答案】【分析】設，求出的范圍，結合正弦函數的圖象，依題意得到不等式組,解之即得.【詳解】因，設，當時，，作出在上的圖象如圖.要使區間上有最大值，無最小值，需使,解得，，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題主要考查正弦型函數的性質應用，屬于較難題.解題思路一般是將輻角看成整體角，求出其范圍，借助于正弦函數（或余弦函數）的圖象，即可求得.題型03已知對稱性求參數【典例3】（24-25高一上·江蘇常州·期末）若函數在區間上有且僅有5條對稱軸，則取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦函數的性質求解出對稱軸，再結合題意建立不等式組，求解參數范圍即可.【詳解】令，解得，若函數在區間上有且僅有5條對稱軸，則函數在上由小到大的第1條對稱軸為，第2條對稱軸為，第3條對稱軸為，第4條對稱軸為，第5條對稱軸為，第6條對稱軸為，由題意知，，解得，故D正確.故選：D【變式1】（24-25高一上·天津武清·期末）若函數在區間上有且僅有2條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意可得函數的對稱軸為，進而可得，即得.【詳解】又可得的對稱軸為，當時，，當時，，當時，，因，由題意，可得，故選：B【變式2】（24-25高三上·山東德州·階段練習）設函數（）在區間上恰好有3條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先求出函數的對稱軸方程，根據題意列出相應不等式，即可求得答案.【詳解】由函數（），令，即，因為（）在區間上恰好有3條對稱軸，顯然當時，為內最左側的對稱軸，故，解得，即的取值范圍是，故選：C【變式3】（23-24高一下·安徽·期末）函數的圖象在區間上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用正弦型函數的性質列出關于的不等式，求解即可．【詳解】由，設，則，由圖可知直線在線段之間，不含點，所以，得．故選：C.【變式4】（24-25高一上·全國·課后作業）已知函數，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷是函數的一條對稱軸，再根據的對稱軸列式求解.【詳解】由題知是函數的一條對稱軸，即，解得，又，則當時，取得最小值為．故選：B【變式5】（23-24高一下·山東臨沂·期中）已知函數圖象關于直線對稱，且關于點對稱，則的值可能是（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】利用余弦函數圖象的對稱性，由對稱軸和對稱中心方程求得的表達式，即可求得其取值.【詳解】根據圖象關于直線對稱可得，解得;又關于點對稱可得，解得；經檢驗當時，符合題意.故選：C【變式6】已知函數在區間上至少存在兩條對稱軸，則的最小值為（

）A．6 B．C． D．【答案】C【分析】化簡函數，根據題意，結合余弦型函數的性質，列出不等式，即可求解.【詳解】因為函數，由，可得，要使得函數在區間上至少存在兩條對稱軸，根據余弦型函數的性質，則滿足，解得，所以實數的最小值為.故選：C.題型04已知零點、最值點個數求參數【典例4】（24-25高一上·北京·期末）函數在區間上恰有2個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據得，即可得解出即可.【詳解】因為，因為在區間上恰有2個零點，所以，所以的取值范圍為，故選：B.【變式1】（24-25高一上·廣東揭陽·期末）函數在內恰有兩個最小值點，則的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據正弦型函數的最小值的性質，結合題意進行求解即可.【詳解】因為函數在內恰有兩個最小值點，，所以所以，所以.故選：B【變式2】（24-25高一上·廣西南寧·期末）設函數在區間恰有三個最值點和兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題中條件，求出，令，，依次列舉其最值點和零點，再由題意，得出，求解即可.【詳解】因為，，所以，令，，則函數中大于的最值點與零點依次是：又函數在區間恰有三個最值點和兩個零點，所以只需，解得；故選：C【變式3】（23-24高一下·北京·期中）已知函數，若關于x的方程在區間上有且僅有4個不相等的實數根，則正整數的取值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】利用換元法求出的取值范圍，再根據三角函數的圖象得到的不等式，即可得答案；【詳解】令，∵，∴，設，∵若關于x的方程在區間上有且僅有4個不相等的實數根，∴在上有且僅有4個不相等的實數根，∴，∴正整數的取值為.故選：B.【變式4】（24-25高一上·寧夏銀川·期末）已知函數在區間上單調遞增，且在區間上只取得一次最大值，則的取值范圍為【答案】【分析】因為根據在區間上只取得一次最大值，得，求的取值范圍，函數在區間上單調遞增，有，求的取值范圍，求出兩個范圍的交集即可.【詳解】當時，，因為函數在區間上只取得一次最大值，所以，解得①，當時，，因為函數在區間上單調遞增，結合①有，解得，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：【變式5】（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）若函數在區間上恰有兩個最大值，則實數的取值范圍是．【答案】【分析】求出，根據函數恰有兩個最大值，得到，得到答案.【詳解】因為，，所以，又上恰有兩個最大值，所以，解得.故答案為：題型05已知周期求參數【典例5】（23-24高一下·河南駐馬店·期末）函數的最小正周期為T，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用周期公式，代入解析式．再已知函數值，求角度即可【詳解】，則，即，即，即，則，又，則.故選：B.【變式1】（2025高一上·全國·專題練習）若函數的最小正周期是2，則的值為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據周期公式即可得到答案.【詳解】依題意．所以ω的值為，故選：B.【變式2】（24-25高二上·湖南·開學考試）已知函數圖象的兩個相鄰對稱中心為，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據兩相鄰對稱中心的距離為周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函數的中心對稱結論列式，根據求解即可.【詳解】由圖象的兩個相鄰對稱中心為，，可得，所以，故，又，則，結合，得.故選：A.【變式3】（23-24高一下·遼寧沈陽·期末）已知的最大值為，若存在不同的實數，使得對任意實數總有成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據解析式求出得的最小值為可得答案.【詳解】因為，所以，由題意得為最小值，為最大值，所以的最小值為，所以的最小值為.故選：A.【變式4】（23-24高一下·廣西欽州·期末）已知，是函數（）圖象與軸的兩個相鄰的交點，若，則（

）A．4 B．8 C．4或8 D．8或16【答案】C【分析】將問題轉化為的兩個相鄰的解之間距離為，由此列式求解，即可得答案.【詳解】由題意，是函數（）圖象與軸的兩個相鄰的交點，且，則的兩個相鄰的解之間距離為，而或，即或，則，或，解得或，故選：C【變式5】已知函數的周期不大于2，則正整數k的最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根據周期的公式求解分析即可.【詳解】由題設，,又，正整數k的最小值為13.故選：D題型6根據圖像變化求參數【典例6】（24-25高一上·湖南衡陽·期末）將函數的圖象向右平移個單位，所得函數圖象關于軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圖象平移之后的函數解析式，利用函數圖象關于軸對稱可求的最小值.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位，所得函數解析式為，即，∵函數的圖象關于軸對稱，∴函數為偶函數，∴，故，∵，∴當時，.故選：D.【變式1】（24-25高一下·全國·課后作業）已知函數的圖象向左平移個單位長度后與原圖象重合，則實數的最小值是（

）A． B． C． D．8【答案】B【分析】由題可知，是該函數的周期的整數倍，根據可得答案.【詳解】由題可知，是該函數的周期的整數倍，即，解得，又，故其最小值為．故選：B.【變式2】（24-25高一上·山西·期末）若函數在處取得最大值，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到的函數是奇函數，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的值，再根據平移變換求出的最小值.【詳解】因為時函數取得最大值，則，解得.所以，將函數的圖象向左平移個單位長度后得到，，函數為奇函數，則，所以，當時，有最小值.故選：D.【變式3】（24-25高一上·福建福州·期末）將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象關于原點對稱，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由三角函數的平移變換求出函數的圖象，然后利用函數的對稱性求得的關系式，即可得出答案.【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，所以，因為函數圖象關于原點對稱，，所以，所以的值可以是.故選：B.【變式4】（24-25高一上·北京大興·期末）將函數圖象上所有點的縱坐標保持不變，橫坐標變為原來的（）倍，得到函數的圖象，若，則正數的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用圖象變換得函數的解析式，再根據正切函數的圖象和周期公式即可得正數的最小值.【詳解】由題意，得，，設函數的最小正周期為，因為，所以，，又，，解得，，所以正數的最小值為6.故選：A.【變式5】（24-25高一上·山東菏澤·期末）已知函數，將的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若與的圖象關于原點對稱，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據函數圖象變換求函數的解析式，結合條件列方程求.【詳解】因為將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，所以，因為與的圖象關于原點對稱，函數的圖象關于原點對稱的圖象對應的函數解析式為，所以，即，所以，，所以，，又，所以，故選：D.【變式6】（24-25高一上·山西太原·期末）把函數的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標變為原來的（）倍，縱坐標不變得到的圖象，若函數在上沒有零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖象變換得到，再根據函數在上沒有零點，由或求解.【詳解】解：把函數的圖象向左平移個單位長度得到，再把所得圖象上各點的橫坐標變為原來的（）倍，縱坐標不變得到，因為函數在上沒有零點，所以或，解得或，當時，或，故選：B【變式7】（24-25高一上·福建莆田·期末）將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到函數的圖象．若函數為偶函數，則的最小值為．【答案】【分析】利用三角恒等變換得到，利