2024學年北京市龍文教育重點名校中考數學模試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖是二次函數y=ax?+bx+c的圖象，對于下列說法：①ac>0,?2a+b>0,③4ac<b，④a+b+c<0,⑤當x>0

時，y隨x的增大而減小，其中正確的是（）

B.①?④D.③?@

2.如圖，AB為。。的直徑，C、D為0O上的點，若AC=CD=DB,則cosNCAD=（）

D.走

2

4.如圖，中，￡是5C的中點，設AB=a,AD=b,那么向量AE用向量a、b表示為（）

c-1￡n-1r

C.-a+—bD.-ci——b

22

如圖，幾何體是由3個大小完全一樣的正方體組成的，它的左視圖是（）

6.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC+ZDCB=90°,且BC=2AD,分另U以AB、BC、DC為邊向外作正方

形，它們的面積分別為Si、S2、Si.若S2=48,SI=9,則&的值為（)

7.某校對初中學生開展的四項課外活動進行了一次抽樣調查（每人只參加其中的一項活動），調查結果如圖所示，根據圖

形所提供的樣本數據，可得學生參加科技活動的頻率是（）

A.0.15B.0.2C.0.25D.0.3

8.2017年，太原市GDP突破三千億元大關，達到3382億元，經濟總量比上年增長了426.58億元，達到近三年來增

量的最高水平，數據“3382億元”用科學記數法表示為（)

A.3382x108元B.3.382x10s元C.338.2x1（）9元D.3.382x10"元

9.如圖，在平面直角坐標系xOy中，△W用（7由4A6c繞點P旋轉得到，則點P的坐標為（）

A.(0,1)C.(0,-1)D.(1,0)

10.如圖，點P是菱形ABCD邊上的一動點，它從點A出發沿在ATBTC—D路徑勻速運動到點D,設△PAD的面

積為y,P點的運動時間為x,則y關于x的函數圖象大致為（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.已知函數產一-1,給出一下結論:

①y的值隨x的增大而減小

②此函數的圖形與x軸的交點為（1,。）

③當x>0時，y的值隨x的增大而越來越接近?1

④當爛：時，y的取值范圍是心1

以上結論正確的是（填序號）

12.己知關于x的方程、2-2褥一|<=。有兩個相等的實數根，則k的值為.

13.如圖，菱形ABCD的邊AD_Ly軸，垂足為點E,頂點A在第二象限，頂點B在y軸的正半軸上，反比例函數y

=-（k#,x>0）的圖象經過頂點C、D,若點C的橫坐標為5,BE=3DE,則k的值為.

14.已知一塊等腰三角形鋼板的底邊長為60cm,腰長為50cm,能從這塊鋼板上截得得最大圓得半徑為cm

15.如圖，。。的半徑為6,四邊形ABCD內接于。O,連接OB,OD,若NBOD=NBCD,則弧BD的長為

16.如圖，“人字梯”放在水平的地面上，當梯子的一邊與地面所夾的銳角a為60時，兩梯角之間的距離BC的長為3m.

周日亮亮幫助媽媽整理換季衣服，先使a為60，后又調整a為45，則梯子頂端離地面的高度AD下降了m（結

果保留根號）.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖，△ABC中，ZA=90c,AB=AC=4,D是BC邊上一點，將點D繞點A逆時針旋轉60。得到點E,連

接CE.

A

B

0

⑴當點E在BC邊上時，畫出圖形并求出的度數；

（2）當ACDE為等腰三角形時，求NB4U的度數；

⑶在點D的運動過程中，求CE的最小值.

（參考數值:s加7§。="十,cos7S°=,ta〃7S°=2+）

44

18.（8分）問題：將菱形的面積五等分.小紅發現只要將菱形周長五等分，再將各分點與菱形的對角線交點連接即可

解決問題,如圖，點。是菱形A8CD的對角線交點，AB=5t下面是小紅將菱形A/SCD面積五等分的操作與證明思路,

請補充完整.

AEB

"A'c

(1)在48邊上取點E,使AE=4,連接。4,OE；

(2)在8C邊上取點尸,使8尸=,連接。尸;

(3)在CD邊上取點G,使CG=,連接OG

(4)在DA邊上取點〃，使,連接由于A￡=++=+

.可證SAAOE=S四邊形EOFB=S四邊形FOGC=S四邊形（；〃/〃）=SAHOA.

19.(8分)為了提高學生書寫漢字的能力，增強保護漢子的意識，某校舉辦了首屆“漢字聽寫大賽”，學生經選拔后進

入決賽，測試同時聽寫100個漢字，每正確聽寫出一個漢字得1分，本次決賽，學生成績為、(分)，且50W;<100,

將其按分數段分為五組，繪制出以下不完整表格：

組別成績,(分)頻數(人數)頻率

—50<x<6020.04

二60^x<70100.2

三70<x<8014b

四80<x<90a0.32

五90^x<10080.16

請根據表格提供的信息，解答以下問題:

(1)本次決賽共有名學生參加；

(2)直接寫出表中a=,b=

(3)請補全下面相應的頻數分布直方圖;

A

2頻散（人）

10r

18F

16r

14r

12lg-

100成綾（分）

（4）若決賽成績不低于80分為優秀，則本次大賽的優秀率為.

20.（8分）如圖，AABC內接于。O,過點。作的垂線交。。于O,點月在8C的延長線上，RZDEC=ZBAC.求

證：OE是。。的切線；若AC//DE,當4B=8,CE=2時，求。。直徑的長.

21.（8分）某農場要建一個長方形ABCD的養雞場，雞場的一邊靠墻，（墻長25m）另外三邊用木欄圍成，木欄長40m.

（1）若養雞場面積為168m2,求雞場垂直于墻的一邊AB的長.

（2）請問應怎樣圍才能使養雞場面積最大？最大的面積是多少？

墻

AD

22.（10分）小明和小亮玩一個游戲：取三張大小、質地都相同的卡片，上面分別標有數字2、3、4（背面完全相同）,

現將標有數字的一面朝下.小明從中任意抽取一張，記下數字后放回洗勻，然后小亮從中任意抽取一張，計算小明和

小亮抽得的兩個數字之和.請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出這兩數和為6的概率.如果和為奇數，則小明勝；若

和為偶數，則小亮勝.你認為這個游戲規則對雙方公平嗎？做出判斷，并說明理由.

23.（12分）十八屆五中全會出臺了全面實施一對夫婦可生育兩個孩子的政策，這是黨中央站在中華民族長遠發展的

戰略高度作出的促進人口長期均衡發展的重大舉措.二孩政策出臺后，某家庭積極響應政府號召，準備生育兩個小孩（假

設生男生女機會均等，且與順序無關）.

⑴該家庭生育兩胎，假設每胎都生育一個小孩，求這兩個小孩恰好都是女孩的概率；

⑵該家庭生育兩胎，假設第一胎生育一個小孩，且第二胎生育一對雙胞胎，求這三個小孩中恰好是2女1男的概率.

24.如圖，在等邊△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD,將線段CD繞點C按順時針方向旋轉60。后得到CE,

連接AE.求證；AE〃BC.

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、C

【解題分析】

根據二次函數的圖象與性質即可求出答案.

【題目詳解】

解：①由圖象可知：a>0,c<0,

???acV0,故①錯誤；

②由于對稱軸可知：-幺VI,

2a

A2a+b>0,故②正確；

③由于拋物線與x軸有兩個交點，

/.△=b2-4ac>0,故③正確；

④由圖象可知：x=l時，y=a+b+cV0,

故④正確；

⑤當x>-二時，y隨著x的增大而增大，故⑤錯誤；

2a

故選：C.

【題目點撥】

本題考有二次函數，解題的關鍵是熟練運用二次函數的圖象與性質，本題屬于基礎題型.

2、D

【解題分析】

根據圓心角，弧，弦的關系定埋可以得出AC=CQ=5Q=§X180=60，根據圓心角和圓周角的關髓即可求出NC4Q

的度數，進而求出它的余弦值.

【題目詳解】

解：*.AC=CD=DB

AC=CO=BQ=；xl8()=6(),

ZCAD=lx60，=30°

2

cosZCAD=cos30=—

2

故選D.

【題目點撥】

本題考查圓心角，弧，弦，圓周角的關系，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

3、B

【解題分析】

把一個圖形繞著某一個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

【題目詳解】

解：根據中心對稱圖形的定義可知只有B選項是中心對稱圖形，故選擇B.

【題目點撥】

本題考察了中心對稱圖形的含義.

4、A

【解題分析】

根據AE=AB+BE，只要求出BE即可解決問題.

【題目詳解】

解：四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD//BC,AD=BC,

BC=AD=b，

???BE=CE,

BE=-b,

2

AE=AB+BE,AB=a,

-1-

AE=aH—b,

2

故選：A.

【題目點撥】

本題考查平面向量，解題的關鍵是熟練掌握三角形法則，屬于中考常考題型.

5、D

【解題分析】

試題分析：觀察幾何體，可知該幾何體是由3個大小完全一樣的正方體組成的，它的左視圖是一，故答案選D.

考點：簡單幾何體的三視圖.

6、D

【解題分析】

過A作A〃〃CO交5C于〃，根據題意得到N5AE=90。，根據勾股定理計算即可.

【題目詳解】

VS2=48,:.BC=46,過A作交5C于〃，貝ljNA〃"=NDC5.

*：AD//BCt，四邊形是平行四邊形，；.CH=BH=AD=26，AH=CD=l.

VZA^C+ZDCB=90°,,NA〃3+NA8C=90。,Z^A//=90°,工ABfH2?A*l,A5i=l.

故選D.

【題目點撥】

本題考查了勾股定理，正方形的性質，平行四邊形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

7、B

【解題分析】

讀圖可知：參加課外活動的人數共有(15+30+20+35)=100人,

其中參加科技活動的有20人，所以參卻科技活動的頻率是而二。.2,

故選B.

8、D

【解題分析】

科學記數法的表示形式為axion的形式，其中lW|a|V10,n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移

動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值＞10時，n是正數；當原數的絕對值VI時，n是負

數.

【題目詳解】

3382億=338200000000=3382x1.

故選：D.

【題目點撥】

此題考杳科學記數法的表示方法.科學記數法的表示形式為axlO"的形式，其中lW|a|V10,n為整數，表示時關鍵要

正確確定a的值以及n的值.

9、B

【解題分析】

試題分析：根據網格結構，找出對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心.

試題解析：由圖形可知，

3A

對應點的連線C。、AA，的垂直平分線過點（0,?1）,根據旋轉變換的性質，點（1,?1）即為旋轉中心.

故旋轉中心坐標是P（1,-1）

故選B.

考點：坐標與圖形變化一旋轉.

10、B

【解題分析】【分析】設菱形的高為h,即是一個定值，再分點P在AB上，在BC上和在CD上三種情況，利用三角

形的面積公式列式求出相應的函數關系式，然后選擇答案即可.

【題目詳解】分三種情況：

①當P在AB邊上時，如圖1,

設菱形的高為h,

y=1AP?h,

???AP隨x的增大而增大，h不變，

??.y隨X的增大而增大，

故選項C不正確；

②當P在邊BC上時，如圖2,

y=1AD-h,

AD和h都不變，

工在這個過程中,y不變.

故選項A不正確；

③當P在邊CD上時，如圖3,

y=^PD*h,

???PD隨x的增大而減小，h不變，

???y隨x的增大而減小，

TP點從點A出發沿A-B-C-D路徑勻速運動到點D,

???P在三條線段上運動的時間相同，

故選項D不正確，

故選B.

【題目點撥】本題考查了動點問題的函數圖象，菱形的性質，根據點P的位置的不同，運用分類討論思想，分三段求

出^PAD的面積的表達式是解題的關鍵.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

【解題分析】

(1)因為函數)，二1-1的圖象有兩個分支，在每個分支上y隨x的增大而減小，所以結論①錯誤；

x

(2)由，-1=0解得：x=\f

x

???的圖象與X軸的交點為(1,0),故②中結論正確；

X

(3)由y=可知當x>0時，y的值隨x的增大而越來越接近.1,故③中結論正確；

x

(4)因為在y=L-l中，當時，)，=-2,故④中結論錯誤；

x

綜上所述，正確的結論是②③.

故答案為：②③.

12、-3

【解題分析】

試題解析：根據題意得：△二(2\。)2-4xlx(-k)=0,即12+4k=0,

解得：k=-3,

13、”

4

【解題分析】

過點D作DF_LBC于點F,由菱形的性質可得BC=CD,AD〃BC,可證四邊形DEBF是矩形，可得DF=BE,DE

=BF,在RtADFC中，由勾股定理可求DE=LDF=3,由反比例函數的性質可求k的值.

【題目詳解】

???四邊形ABCD是菱形，

ABC=CD,AD/7BC,

VZDEB=90°,AD/7BC,

.*.ZEBC=90o,且NDEB=90。，DF1BC,

???四邊形DEBF是矩形，

ADF=BE,DE=BF,

???點C的橫坐標為5,BE=3DE,

ABC=CD=5,DF=3DE,CF=5-DE,

VCD2=DF2+CF2,

A25=9DE2+(5-DE)2,

/.DE=1,

ADF=BE=3,

設點C(5,m),點D(l,m+3),

??,反比例函數y=&圖象過點CD,

x

/.5m=lx(m+3),

.3

??n】=一,

4

-3

?:點C(5,—),

4

315

/.k=5x—=—,

44

故答案為：v

【題目點撥】

本題考查了反比例函數圖象點的坐標特征，菱形的性質，勾股定理，求出DE的長度是本題的關鍵.

14、15

【解題分析】

如圖，等腰△ABC的內切圓。O是能從這塊鋼板上截得的最大圓，則由題意可知：AD和BF是AABC的角平分線,

AB=AC=50cm,BC=60cm,

AZADB=90°,BD=CD=30cm,

/^0=^502-302=40(cm),

連接圓心O和切點E,貝IJNBEO=90。，

又?.?OD=OE,OB=OB,

AABEO^ABDO,

.?.BE=BD=3()cm,

AE=AB-BE=50-30=20cm,

設OD=OE=x,則AO=40?x,

在R3AOE中，由勾股定理可得：x2+202=(40-x)2,

解得：x=15(cm).

即能截得的最大圓的半徑為15cm.

故答案為：15.

點睛：（1）三角形中能夠裁剪出的最大的圓是這個三角形的內切圓；（2）若三角形的三邊長分別為a、b、c,面積為S,

2S

內切圓的半徑為r,則〃=—■—.

a+b+c

15^47r

【解題分析】

根據圓內接四邊形對角互補可得NBCD+NA=180。，再根據同弧所對的圓周角與圓心角的關系以及NBODnNBCD,

可求得NA=60。，從而得NBOD=120。，冉利用弧長公式進行計算即G得.

【題目詳解】

解:???四邊形ABCD內接于。O,

/.ZBCD+ZA=180°,

VZBOD=2ZA,ZBOD=ZBCD,

/.2ZA+ZA=180°,

解得：ZA=60°,

AZBOD=120°,

120萬x6

***BD的長二=4乃,

180

故答案為47r.

【題目點撥】

本題考查了圓周角定理、弧長公式等，求得NA的度數是解題的關鍵.

16、3卜”）

2

【解題分析】

根據題意畫出圖形，進而利用銳角三角函數關系得出答案.

【題目詳解】

解：如醫1所示:

過點A作AD_LBC于點D,

由題意可得：ZB=/C=60,

則_ABC是等邊三角形，

故BC=AB=AC=3m,

則AD=3sin60=—m,

2

過點A作AE_LBC于點E,

由題意可得：ZB=/C=60,

則一ABC是等腰直角三角形，BC=AB=3m,

35

則AE=3sin45=-----m,

2

故梯子頂端離地面的高度AI）下降了

2

故答案為：J〉一及）.

2

【題目點撥】

此題主要考查了解直角三角形的應用，正確畫出圖形利用銳角三角三角函數關系分析是解題關鍵.

三、解答題（共8題，共72分）

17、（1）ZBAD=15°；（2）NBAC=45。或NBAD=60。；（3）CE=R-O?

【解題分析】

（1）如圖1中，當點笈在8c上時.只要證明△A4O0△C4E,即可推出N84O=NC4￡=1（90。?60。）=15。；

2

（2）分兩種情形求解①如圖2中，當BD=DC時，易知AD=CD=DEt此時△DEC是等腰三角形.②如圖3中，當CD=CE

時，△DEC是等腰三角形；

（3）如圖4中，當&'在〃C上時，E記為ET。記為“，連接EE，.作CM_L@肥于"，肥N_LAC于MDE交AE'

于“首先確定點E的運動軌跡是直線石白（過點石與NC成60。角的直線上），可得KC的最小值即為線段CM的長

（垂線段最短）.

【題目詳解】

解：（1）如圖1中，當點E在BC上時.

圖1

VAD=AE,ZDAE=60°,

???△ADE是等邊三角形，

.\ZADE=ZAED=60°,

AZADB=ZAEC=120°,

VAB=AC,ZBAC=90°,

/.ZB=ZC=45°,

在AABD^AACE中，

ZB=ZC,ZADB=ZAEC,AB=AC,

/.△BAD^ACAE,

AZBAD=ZCAE=-(90°-60°)=15°.

2

(2)①如圖2中，當BD=DC時，易知AD=CD=DE,此時△DEC是等腰三角形，ZBAD=-ZBAC=45°.

2

圖2

②如圖3中，當CD=CE時，△DEC是等腰三角形.

VAD=AE,

???AC垂直平分線段DE,

???NACD=NACE=45。,

???ZDCE=90°,

/.ZEDC=ZCED=45°,

VZB=45°,

AZEDC=ZB,

ADE/7AB,

.\ZBAD=ZADE=60".

圖3

（3）如圖4中，當E在BC上時，E記為E，，D記為D。連接EEl作CM_LEE，于M,EN_LAC于N,DE交AE，

于O.

圖4

VZAOE=ZDOESZAErD=ZAEO,

.,.△AOE^ADOES

AAO:OD=EO:OE',

?'AO：EO=OD：OE',

VZAOD=ZEOES

.,.△AOD^AEOES

AZEErO=ZADO=60°,

???點E的運動軌跡是直線EE，（過點E與BC成60。角的直線上）,

???EC的最小值即為線段CM的長（垂線段最短），

設ErN=CN=a,貝1]AN=4-a,

在RtAANE'中，tan750=AN：NE',

A2+V3=—>

a

/.a=2--5/3,

3

.??CE，=、6CN=2后.

在RtACEM中，CM=CEr*cos30°=瓜一小，

???CE的最小值為6—友.

【題目點撥】

本題考查幾何變換綜合題、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判

定和性質、軌跡等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用垂線

段最短解決最值問題.屬于中考壓軸題.

18、(1)見解析；(2)3；(3)2；(4)1,EB、BF；FC、CG；GD、DH；HA

【解題分析】

利用菱形四條邊相等，分別在四邊上進行截取和連接，得出AE=EB+BF=FC+CG+GD+DH

=HA,進一步求得SAAOE=S四邊形行。尸8=S四邊形〃OGC=S四邊形GO“/)=SAHOA.艮口可.

【題目詳解】

(1)在.4〃邊上取點段使人厄=4,連接。1,OE,

(2)在BC邊上取點尸，使"=3,連接。尸；

(3)在C7)邊上取點G,使CG=2,連接OG；

(4)在D4邊上取點"，使。”=1,連接0".

由于AE=EB+BF=FC+CG=GD+DH=HA.

可證SAAOE=S四邊形四邊形FOGC=S西邊形G〃/〃)=SAHOA-

故答案為：3,2,1；EH.BF；/C、CG；GD、DH；HA.

【題目點撥】

此題考查菱形的性質，熟練掌握菱形的四條邊相等，對角線互相垂直是解題的關鍵.

19、(1)50；(2)a=16,b=0.28；(3)答案見解析；(4)48%.

【解題分析】

試題分析：(1)根據第一組別的人數和百分比得出樣本容量；(2)根據樣本容量以及頻數、頻率之旬的關系得出a和

b的值，(3)根據a的值將圖形補全；(4)根據圖示可得：優秀的人為第四和第五組的人，將兩組的頻數相加乘以100%

得出答案.

試題解析：(1)2-?0.04=50

(2)50x0.32=16144-50=0.28

(4)(032+0.16)xl00%=48%

考點：頻數分布直方圖

20、(1)見解析；(2)直徑的長是4石.

【解題分析】

(1)先判斷出BD是圓O的直徑，再判斷出BD_LDE,即可得出結論；

(2)先判斷出AC_LBD,進而求出BC=AB=8,進而判斷出△BDCs2XBED,求出BD,即可得出結論.

【題目詳解】

證明：(D連接80,交AC于尸，

?;DC1.BE,

：./BCD=NOC￡=90。,

???3。是0。的直徑，

:.NOEC+NCDE=90。，

丫NDEC=NBAC,

???NR4C+NCOE=90。,

;弧BC=MBC,

:?NBAC=/BDC,

：?NBDC+NCDE=90。,

：.BD±DEf

???&￡是?O切線；

解：（2）?JACZ/DE,BDA.DE,

：.BI）±AC.

???RO是?O直徑，

:?AF=CF,

：.AB=BC=8f

'：BDA.DE,DCA.BE,

:./BCD=N3O￡=90。，NDBC=NEBD,

：?4BDCS4BED,

.BD_BC

???BO?=BC?"￡=8x10=80,

工BD=4逐.

即直徑的長是4逐.

【題目點撥】

此題主要考查圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質，切線的判定和性質，第二問中求出BC=8是解本題

的關鍵.

21、（1）雞場垂直于墻的一邊AB的長為2米：（1）雞場垂直于墻的一邊AB的長為10米時，圍成養雞場面積最大，

最大值100米L

【解題分析】

試題分析：（1）首先設雞場垂直于墻的一邊的長為x米，然后根據題意可得方程x（40-lx）=168,即可求得x的

值，又由墻長15m,可得x=2,則問題得解；

（1）設圍成養雞場面積為S,由題意可得S與工的函數關系式，由二次函數最大值的求解方法即可求得答案；

解：（1）設雞場垂直于墻的一邊AB的長為x米，

則x（4。-lx）=168,

整理得：x1-10x+84=0,

解得：xi=2,xi=6,

,??墻長15m,

A0<BC<15,即0<40-lx<15,

解得：7.5<x<10,

/.x=2.

答：雞場垂直于墻的一邊AB的長為2米.

(1)圍成養雞場面積為S米I

則S=x(40-lx)

=-lx'+40x

=-1(x1-10x)

=-1(x1-lOx+101)+1x101

=-1(x-10)1+100,

V-1(x-10)1<0,

???當x=10時，S有最大值100.

即雞場垂直于墻的一邊AB的長為10米時，圍成養雞場面積最大，最大值100米L

點睛：此題考查了一元二次方程與二次函數的實際應用.解題的關鍵是理解題意，并根據題意列出一元二次方程與二

次函數解析式.

22、(1)列表見解析；(2)這個游戲規則對雙方不公平.

【解題分析】

(1)首先根據題意列表，然后根據表求得所有等可能的結果與兩數和為6