知識點第一章隨機事件與概率一、教學要求1．理解隨機事件的概念，了解隨機試驗、樣本空間的概念，掌握事件之間的關系與運算．2．了解概率的各種定義，掌握概率的基本性質并能運用這些性質進行概率計算．3．理解條件概率的概念，掌握概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式，并能運用這些公式進行概率計算．4．理解事件的獨立性概念，掌握運用事件獨立性進行概率計算．5．掌握貝努里概型及其計算，能夠將實際問題歸結為貝努里概型，然后用二項概率計算有關事件的概率．本章重點：隨機事件的概率計算．二、知識要點1．隨機試驗與樣本空間具有下列三個特性的試驗稱為隨機試驗：(1)試驗可以在相同的條件下重復地進行；·(2)每次試驗的可能結果不止一個，但事先知道每次試驗所有可能的結果；(3)每次試驗前不能確定哪一個結果會出現．試驗的所有可能結果所組成的集合為樣本空間，用表示，其中的每一個結果用表示，稱為樣本空間中的樣本點，記作．2．隨機事件在隨機試驗中，把一次試驗中可能發生也可能不發生、而在大量重復試驗中卻呈現某種規律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件)．通常把必然事件(記作)與不可能事件(記作)看作特殊的隨機事件．3．**事件的關系及運算(1)包含：若事件發生，一定導致事件發生，那么，稱事件包含事件，記作(或)．(2)相等：若兩事件與相互包含，即且，那么，稱事件與相等，記作．(3)和事件：“事件A與事件B中至少有一個發生”這一事件稱為A與B的和事件，記作；“n個事件中至少有一事件發生”這一事件稱為的和，記作（簡記為）．(4)積事件：“事件A與事件B同時發生”這一事件稱為A與B的積事件，記作(簡記為)；“n個事件同時發生”這一事件稱為的積事件，記作（簡記為或)．(5)互不相容：若事件A和B不能同時發生，即，那么稱事件A與B互不相容(或互斥)，若n個事件中任意兩個事件不能同時發生，即(1≤i<j≤幾)，那么，稱事件互不相容．(6)對立事件：若事件A和B互不相容、且它們中必有一事件發生，即且，那么，稱A與B是對立的．事件A的對立事件(或逆事件)記作．(7)差事件：若事件A發生且事件B不發生，那么，稱這個事件為事件A與B的差事件，記作(或)．(8)交換律：對任意兩個事件Ａ和B有，．(9)結合律：對任意事件A，B，C有，．(10)分配律：對任意事件A，B，C有，．(11)德摩根（DeMorgan）法則：對任意事件A和B有,.4．頻率與概率的定義(1)頻率的定義設隨機事件A在n次重復試驗中發生了次，則比值／n稱為隨機事件A發生的頻率，記作，即.(2)概率的統計定義在進行大量重復試驗中，隨機事件A發生的頻率具有穩定性，即當試驗次數n很大時，頻率在一個穩定的值(0<<1)附近擺動，規定事件A發生的頻率的穩定值為概率，即．(3)**古典概率的定義具有下列兩個特征的隨機試驗的數學模型稱為古典概型：(i)試驗的樣本空間是個有限集，不妨記作;(ii)在每次試驗中，每個樣本點(）出現的概率相同，即．在古典概型中，規定事件A的概率為．(4)幾何概率的定義如果隨機試驗的樣本空間是一個區域(可以是直線上的區間、平面或空間中的區域)，且樣本空間中每個試驗結果的出現具有等可能性，那么規定事件Ａ的概率為·(5)概率的公理化定義設隨機試驗的樣本空間為，隨機事件A是的子集，是實值函數，若滿足下列三條公理：公理1(非負性)對于任一隨機事件Ａ，有≥0；公理2(規范性)對于必然事件，有；公理3(可列可加性)對于兩兩互不相容的事件，有，則稱為隨機事件Ａ的概率．5．**概率的性質由概率的三條公理可導出下面概率的一些重要性質(1)．(2)(有限可加性)設n個事件兩兩互不相容，則有．(3)對于任意一個事件A：．(4)若事件A，B滿足，則有,．(5)對于任意一個事件A，有．(6)(加法公式)對于任意兩個事件A，B，有.對于任意n個事件，有.6．**條件概率與乘法公式設A與B是兩個事件．在事件B發生的條件下事件A發生的概率稱為條件概率，記作．當，規定.在同一條件下，條件概率具有概率的一切性質．乘法公式：對于任意兩個事件A與B，當,時，有.7．*隨機事件的相互獨立性如果事件A與B滿足，那么，稱事件A與B相互獨立．關于事件A，月的獨立性有下列兩條性質：(1)如果，那么，事件A與B相互獨立的充分必要條件是；如果，那么，事件A與B相互獨立的充分必要條件是．這條性質的直觀意義是“事件A與B發生與否互不影響”．(2)下列四個命題是等價的：(i)事件A與B相互獨立；(ii)事件A與相互獨立；(iii)事件與B相互獨立；(iv)事件與相互獨立．對于任意n個事件相互獨立性定義如下：對任意一個，任意的，若事件總滿足，則稱事件相互獨立．這里實際上包含了個等式．8．*貝努里概型與二項概率設在每次試驗中，隨機事件Ａ發生的概率，則在n次重復獨立試驗中．，事件Ａ恰發生次的概率為，稱這組概率為二項概率．9．**全概率公式與貝葉斯公式全概率公式：如果事件兩兩互不相容，且，，，則．第二章離散型隨機變量及其分布一、教學要求1．理解離散型隨機變量及其概率函數的概念并掌握其性質，掌握0-1分布、二項分布、泊松(Poisson)分布、均勻分布、幾何分布及其應用．２．理解二維離散型隨機變量聯合概率函數的概念及性質；會利用二維概率分布計算有關事件的概率．３．理解二維離散型隨機變量的邊緣分布，了解二維隨機變量的條件分布．4．掌握離散型隨機變量獨立的條件．5.會求離散型隨機變量及簡單隨機變量函數的概率分布．本章重點：離散型隨機變量的分布及其概率計算．二、知識要點1．一維隨機變量若對于隨機試驗的樣本空間中的每個試驗結果，變量都有一個確定的實數值與相對應，即，則稱是一個一維隨機變量．概率論主要研究隨機變量的統計規律，也稱這個統計規律為隨機變量的分布．2．**離散型隨機變量及其概率函數如果隨機變量僅可能取有限個或可列無限多個值，則稱為離散型隨機變量．設離散型隨機變量的可能取值為，若，則稱離散型隨機變量的概率函數，概率函數也可用下列表格形式表示：３．*概率函數的性質(1)，(2)．由已知的概率函數可以算得概率，其中，是實數軸上的一個集合．４．*常用離散型隨機變量的分布(1)0—1分布，它的概率函數為，其中，或1，．(2)二項分布，它的概率函數為，其中，，．(４)泊松分布，它的概率函數為，其中，，．(５)均勻分布，它的概率函數為，其中，．５．二維隨機變量若對于試驗的樣本空間中的每個試驗結果，有序變量都有確定的一對實數值與e相對應，即，，則稱為二維隨機變量或二維隨機向量．6．*二維離散型隨機變量及聯合概率函數如果二維隨機變量僅可能取有限個或可列無限個值，那么，稱為二維離散型隨機變量．二維離散型隨機變量的分布可用下列聯合概率函數來表示：其中，．7．二維離散型隨機變量的邊緣概率函數設為二維離散型隨機變量，為其聯合概率函數（），稱概率為隨機變量的邊緣概率函數，記為并有，稱概率為隨機變量Y的邊緣概率函數，記為，并有=.8．隨機變量的相互獨立性．設為二維離散型隨機變量，與相互獨立的充分必要條件為多維隨機變量的相互獨立性可類似定義．即多維離散型隨機變量的獨立性有與二維相應的結論．9．隨機變量函數的分布設是一個隨機變量，是一個已知函數，是隨機變量的函數，它也是一個隨機變量．對離散型隨機變量，下面來求這個新的隨機變量的分布．設離散型隨機變量的概率函數為則隨機變量函數的概率函數可由下表求得但要注意，若的值中有相等的，則應把那些相等的值分別合并，同時把對應的概率相加．第三章連續型隨機變量及其分布一、教學要求1．理解連續型隨機變量及其概率密度的概念，并掌握其性質，掌握均勻分布、指數分布、正態分布及其應用．2．理解二維隨機變量的聯合分布的概念、性質以及連續型隨機變量聯合概率密度；會利用二維概率分布計算有關事件的概率．3．理解二維隨機變量的邊緣分布，了解二維隨機變量的條件分布．4．理解隨機變量的獨立性概念，掌握連續型隨機變量獨立的條件．5．掌握二維均勻分布；了解二維正態分布的密度函數，理解其中參數的概率意義．(不考)6．會求兩個獨立隨機變量的簡單函數的分布，會求兩個獨立隨機變量的簡單函數的分布，會求兩個隨機變量之和的概率分布．(不考)７．會求簡單隨機變量函數的概率分布．本章重點：一維及二維隨機變量的分布及其概率計算,邊緣分布和獨立性計算．二、知識要點1．*分布函數隨機變量的分布可以用其分布函數來表示，隨機變量取值不大于實數的概率稱為隨機變量的分布函數，記作,即．2．分布函數的性質(1)(２)是非減函數，即當時，有；(3);(4)是右連續函數，即．由已知隨機變量的分布函數，可算得落在任意區間內的概率也可以求得．3．聯合分布函數二維隨機變量的聯合分布函數規定為隨機變量取值不大于實數的概率，同時隨機變量取值不大于實數的概率，并把聯合分布函數記為，即．4．聯合分布函數的性質(1)；(2)是變量(固定)或(固定)的非減函數；(3)，；(4)是變量(固定)或(固定)的右連續函數；(5)．5．**連續型隨機變量及其概率密度設隨機變量的分布函數為，如果存在一個非負函數，使得對于任一實數，有成立，則稱X為連續型隨機變量，函數稱為連續型隨機變量的概率密度．6．**概率密度及連續型隨機變量的性質（１）（２）；（３）連續型隨機變量的分布函數為是連續函數，且在的連續點處有；（4）設為連續型隨機變量，則對任意一個實數c，；(5)設是連續型隨機變量的概率密度，則有＝．7．**常用的連續型隨機變量的分布(1)均勻分布，它的概率密度為其中，．(2)指數分布，它的概率密度為其中，．(3)正態分布，它的概率密度為，其中，，當時，稱為標準正態分布，它的概率密度為，標準正態分布的分布函數記作，即，當出時，可查表得到；當時，可由下面性質得到．設，則有；．８．**二維連續型隨機變量及聯合概率密度對于二維隨機變量(X，Y)的分布函數，如果存在一個二元非負函數，使得對于任意一對實數有成立，則為二維連續型隨機變量，為二維連續型隨機變量的聯合概率密度．９．二維連續型隨機變量及聯合概率密度的性質(1)；(2)；(3)設為二維連續型隨機變量，則對任意一條平面曲線，有；’(4)在的連續點處有;(5)設為二維連續型隨機變量，則對平面上任一區域有．1０，**二維連續型隨機變量的邊緣概率密度設為二維連續型隨機變量的聯合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為．11．常用的二維連續型隨機變量(1)均勻分布如果在二維平面上某個區域G上服從均勻分布，則它的聯合概率密度為(2)二維正態分布如果的聯合概率密度則稱服從二維正態分布，并記為.如果，則，，即二維正態分布的邊緣分布還是正態分布．12．**隨機變量的相互獨立性．如果與的聯合分布函數等于的邊緣分布函數之積，即，那么，稱隨機變量與相互獨立．設為二維連續型隨機變量，則與相互獨立的充分必要條件為如果．那么，與相互獨立的充分必要條件是．多維隨機變量的相互獨立性可類似定義．即多維隨機變量的聯合分布函數等于每個隨機變量的邊緣分布函數之積，多維連續型隨機變量的獨立性有與二維相應的結論．13．隨機變量函數的分布**一維隨機變量函數的概率密度設連續型隨機變量的概率密度為，則隨機變量的分布函數為其中，與是相等的隨機事件，而是實數軸上的某個集合．隨機變量的概率密度可由下式得到：．連續型隨機變量函數有下面兩條性質：(i)設連續型隨機變量的概率密度為，是單調函數，且具有一階連續導數，是的反函數，則的概率密度為．(ii)設，則當時，有，特別當時，有，．特別有下面的結論：設，，且與相互獨立，則．第四章隨機變量的數字特征一、教學要求1．理解隨機變量的數學期望、方差的概念，并會運用它們的基本性質計算具體分布的期望、方差，2．掌握二項分布、泊松分布、均勻分布、指數分布、正態分布的數學期望和方差．3．會根據隨機變量的概率分布計算其函數的數學期望；會根據隨機變量的聯合概率分布計算其函數的數學期望正．(不考)4．理解協方差、相關系數的概念，掌握它們的性質，并會利用這些性質進行計算，了解矩的概念。本章重點：隨機變量的期望。方差的計算．二、知識要點1．**數學期望設是離散型的隨機變量，其概率函數為如果級數絕對收斂，則定義的數學期望為；設為連續型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對可積，則定義的數學期望為．2．*隨機變量函數的數學期望設為離散型隨機變量，其概率函數如果級數絕對收斂，則的函數的數學期望為設為二維離散型隨機變量，其聯合概率函數如果級數絕對收斂，則的函數的數學期望為；特別地.設為連續型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分絕對收斂，則的函數的數學期望為．設為二維連續型隨機變量，其聯合概率密度為，如果廣義積分絕對收斂，則的函數的數學期望為；特別地,.3．**數學期望的性質(1)(其中c為常數)；(2)(為常數)；(3)；(4)如果與相互獨立，則.4．**方差與標準差隨機變量的方差定義為．計算方差常用下列公式：’當為離散型隨機變量，其概率函數為如果級數收斂，則的方差為；當為連續型隨機變量，其概率密度為，如果廣義積分收斂，則的方差為.隨機變量的標準差定義為方差的算術平方根.5．**方差的性質(1)(c是常數)；(2)(為常數)；(3)如果與獨立，則.6．原點矩與中心矩隨機變量的階原點矩定義為；隨機變量的階中心矩定義為]；隨機變量的階混合原點矩定義為；隨機變量的階混合中心矩定義為．一階原點矩是數學期望；二階中心矩是方差D(X)；階混合中心矩為協方差.7．**常用分布的數字特征(1)當服從二項分布時，．(2)當服從泊松分布時，，(3)當服從區間上均勻分布時，(4)當服從參數為的指數分布時，(5)當服從正態分布時，．(6)當服從二維正態分布時，；；第五章

數理統計的基本概念一、基本教學要求與主要內容(一)教學要求

1．理解總體、個體、簡單隨機樣本和統計量的概念，掌握樣本均值、樣本方差及樣本矩的計算。

2．了解分布、t分布和F分布的定義和性質，了解分位數的概念并會查表計算。3．掌握正態總體的某些常用統計量的分布。

本章重點：統計量的概念及其分布。

(二)主要內容

1．總體、個體

我們把研究對象的全體稱為總體(或母體)，把組成總體的每個成員稱為個體。在實際問題中，通常研究對象的某個或某幾個數值指標，因而常把總體的數值指標稱為總體。設x為總體的某個數值指標，常稱這個總體為總體X。X的分布函數稱為總體分布函數。當X為離散型隨機變量時，稱X的概率函數為總體概率函數。當X為連續型隨機變量時，稱X的密度函數為總體密度函數。當X服從正態分布時，稱總體X為正態總體。正態總體有以下三種類型：

(1)未知，但已知；

(2)未知，但已知；

(3)和均未知。

2．簡單隨機樣本

數理統計方法實質上是由局部來推斷整體的方法，即通過一些個體的特征來推斷總體的特征。要作統計推斷，首先要依照一定的規則抽取n個個體，然后對這些個體進行測試或觀察得到一組數據，這一過程稱為抽樣。由于抽樣前無法知道得到的數據值，因而站在抽樣前的立場上，設有可能得到的值為，n維隨機向量()稱為樣本。n稱為樣本容量。(）稱為樣本觀測值。

如果樣本()滿足

（1）相互獨立；

(2)服從相同的分布，即總體分布；

則稱()為簡單隨機樣本。簡稱樣本。

設總體X的概率函數(密度函數)為，則樣本（)的聯合概率函數(聯合密度函數為)

3.統計量

完全由樣本確定的量，是樣本的函數。即：設是來自總體X的一個樣本，是一個n元函數，如果中不含任何總體的未知參數，則稱為一個統計量，經過抽樣后得到一組樣本觀測值，則稱為統計量觀測值或統計量值。4.**常用統計量（1）樣本均值：（2）樣本方差：觀察值仍分別稱為樣本均值、樣本方差5.**三個重要分布（1）分布設為獨立標準正態變量，稱隨機變量的分布為自由度為n的分布，記為。稱滿足：的點為分布的分位點。（2）t分布設隨機變量X與Y獨立，，則稱的分布為自由度n的t分布，記為。稱滿足：的點為t分布的分位點。（3）F分布設隨機變量U與V相互獨立，，則稱的分布為自由度的F分布，記為。稱滿足：的點為F分布的分位點，且有6.**正態總體的抽樣分布統計量的分布稱為抽樣分布，設是來自正態總體的一個簡單隨機樣本，與分別為樣本的均值和樣本方差，則有（1）；（2）與相互獨立；（3）

學習要點1，統計學的核心問題是由樣本推斷總體，因此理解統計量的概念非常重要。它是樣本的函數，統計量的選擇和運用在統計推斷中占據核心地位。2，樣本均值、樣本方差以及其他樣本矩都是一些常用的統計量，必須熟悉它們的計算方法及其有關性質。3，統計量的分布稱為抽樣分布，其中分布、t分布、F分布即是本章的重點，必須熟悉它們的定義、性質及其上分位點的查表方法；4，正態總體抽樣分布是統計學中最重要的一個理論結果，必須弄清它的條件及結論，并能運用判斷一些常用統計量的分布。

第六章

參數估計一、教學基本要求與主要內容(一)教學基本要求

1．理解點估計的概念。

2．掌握矩估計法(一階、二階)和極大似然估計法。

3．了解估計量的評選標準(無偏性、有效性)。

4．理解區間估計的概念。

5．會求單個正態總體的均值和方差的置信區間。

不考6．會求兩個正態總體的均值差和方差比的置信區間。

本章重點：未知參數的矩估計，極大似然估計及正態總體未知參數的區間估計。(二)主要內容

1.**點估計方法設是來自總體X的樣本，是總體的未知參數，若用一個統計量來估計，則稱為參數的估計量，在抽樣后，稱為參數的估計值。這種估計稱為點估計。矩估計和最大似然估計是兩種常用的點估計法。（1）**矩估計法用樣本的各階原點矩去估計對應的各階總體的原點矩，這就是矩估計的基本方法。\（2）**最大似然估計法設總體X的密度函數（其中為未知參數），已知為總體X的樣本的觀察值，則求的最大似然估計值的步驟如下：①

寫出似然函數②

似然函數取對數(3)建立并求似然方程(4)最大似然估計值可以由解對數似然方程得到。2.點估計的優良性評判準則（1）無偏性設是的一個估計量，若，對每一成立則稱是的一個無偏估計。（2）有效性設是的兩個無偏估計，如對每一，有且至少對某個使之成立嚴格不等式，則稱比有效。稱在所有的無偏估計中，方差最小的那一個為一致最小方差無偏估計。3.**單正態總體下的置信區間設是取自正態總體的一個樣本，置信水平為，樣本均值，樣本方差。（1）均值的置信區間

若已知，取，故的雙側置信區間為：

若未知，取，故的雙側置信區間為：（2）方差的置信區間

若已知，取，故的雙側置信區間為：

若未知，取，故的雙側置信區間為：學習要點1本章的要點是理解參數點估計的概念，掌握參數點估計的評判標準，會能實際應用。特別是要掌握矩估計法和最大似然估計法這二種點估計的常用方法，并能熟練地運用這二種點估計的常用方法去求參數的估計量.2本章的另一要點是理解參數區間估計的概念和置信水平、置信區間的概念及其意義，熟悉對單正態總體的均值與方差和兩正態總體的均值差進行區間估計的方法及步驟，并能熟練地運用以上方法求各種置信區間。

第七章

假設檢驗

一.教學基本要求

1．理解顯著性檢驗的基本思想，了解假設檢驗可能產生的兩類錯誤。知道兩類錯誤概率，并在較簡單的情況能計算兩類錯誤概率，掌握假設檢驗的基本步驟。

2．理解單個及正態總體的均值和方差的假設檢驗。

3．(不考)了解總體分布假設的擬合優度檢驗法。

本章重點：單個正態總體的參數的假設檢驗。

二.內容提要1．假設檢驗的基本概念假設檢驗是基于樣本判定一個關于總體分布的理論假設是否成立的統計方法。方法的基本思想是當觀察到的數據差異達到一定程度時，就會反映與總體理論假設的真實差異，從而拒絕理論假設。原假設與備選假設是總體分布所處的兩種狀態的刻畫，一般都是根據實際問題的需要以及相關的專業理論知識提出來的。通常，備選假設的設定反映了收集數據的目的。檢驗統計量是統計檢驗的重要工具，其功能在用之于構造觀察數據與期望數之間的差異程度。要求在原假設下分布是完全已知的或可以計算的。檢驗的名稱是由使用什么統計量來命名的。否定論證是假設檢驗的重要推理方法，其要旨在：先假定原假設成立，如果導致觀察數據的表現與此假定矛盾，則否定原假設。通常使用的一個準則是小概率事件的實際推斷原理。2．兩類錯誤概率。第一類錯誤概率即原假設成立，而錯誤地加以拒絕的概率；第二類錯誤概率即原假設不成立，而錯誤地接受它的概率。3．顯著水平檢驗。在收集數據之前假定一個準則，即文獻上稱之為拒絕域，