《數學分析III》課程教學大綱一、課程基本信息MathematicalAnalys004〇通識教育課課〇教師教育課〇綜合實踐課必修課〇選修課考試〇考查數學分析III是數學與應用數學專業最主要的專業基礎課,是學習數學分析Ⅳ、復變函數、實變函數與泛函分析等后繼課程的階梯，是數學類碩士研究生必考基礎課之一。課程內容:級數理論、多元函數極限與連續、多元函數微分學及應用。它與先導課程《數學分析I》和《數學分析II》和后續課程《數學分析III》一起，構成完整的數學分析課程。用極限的思想與方法研究級數、多元函數的連續性、可微性。通過本課程的教學，要求學生掌握數學分析的基本概念、基本理論、基本思想與方法；增強學生的抽象思維、邏輯推理與運算能力，提高學生的數學修養與素質，為學生今后學習其它專業課程打下良好的基礎；同時增強學生克服困難的勇氣與自信，學會利用馬克思主義哲學原理分析問題，堅持辯證的唯物主義體驗知識的連貫性。1.理解（函）數項級數、冪級數、傅里葉級數、多元函數的微分學的基本性質、基本理論、基本思想方法。2.用數學分析課程知識解決問題的能力：會級數中簡單定理的證明、會判別級數的收斂、一致收斂、會求級數的收斂區間、收斂域、會求解冪級數展開式；會求多元函數的極限、會判別一致連續；能理解多元函數可微與可導的關系，會求多元函數的復合函數的偏導數與全微分，掌握方向導數和梯度的概念和求法，會用導數作為工具解決多元函數極值問題。提升學生嚴謹的邏輯思維與推理論證能力。3.提升終身學習的意識，了解國內外數學發展，并能夠根據時代發展需求，結合自身實際，通過各種渠道進行自主學習。二、課程目標與畢業要求的對應關系3.1【專業知識】了解數學學科知識體系的內在聯系，了解數學學科發展的歷史、現狀和趨勢，掌握數學學科的基本知識、基本原理和基本技能。H13.2【專業能力】具有良好的數學抽象、邏輯推理、空間想象、數學建模等數學學科專業能力，初步具備數學研究或運用數學知識分析和解決實際問題的能力。H27.1【終身學習】具有終身學習和數學專業發展意識，了解國內外數學基礎教育改革發展動態，并能根據時代和數學教育教學的發展需求，結合自身實際，通過各種渠道進行學習，做好職業發展規劃。M3（注：數學分析Ⅰ至Ⅳ支撐畢業要求指標點3.1，3.2，4.1，7.1，根據內容特點，數學分析Ⅲ支撐其中的3.1，3.2，7.1）三、課程教學安排：教學目標、教學內容、重難點與學時分配章節項目內容學時分配支撐課程目標第十二章數項級數教學目標1.理解級數的收斂、發散等概念及其收斂級數的基本性質；2.熟練掌握正項級數斂散性的判別法；3.掌握交錯級數與萊布尼茲判別法；4.熟悉幾何級數與P級數的斂散性，會用在比較判別法；5.熟悉絕對收斂與條件收斂的概念及相關定理，會判定級數的絕對收斂與條件收斂；6.了解積分判別法、阿貝耳判別法與狄利克雷判別。121、2教學內容1.級數的收斂性2.正項級數3.一般項級數教學重、難點重點：級數收斂定義以及級數收斂判別法。難點：用收斂定義和柯西準則判斷級數的斂散性；絕對收斂與條件收斂的判別。第十三章函數列與函數項級數教學目標1.熟悉函數列與函數項級數收斂與一致收斂的概念、函數列一致收斂的充要條件定理；2.掌握函數項級數一致收斂的維爾斯特拉斯優級數判別法；3.熟悉函數項級數和函數的分析性質及其證明，了解一致收斂柯西準則、阿貝耳判別法與狄利克雷判別法；4.會利用一致收斂函數項級數的逐項可微性和可積性求級數的和。教學內容1.一致收斂性2.一致收斂函數列與函數項級數的性質教學重、難點重點：函數項級數和函數列一致收斂的概念及其判別方法。難點：函數項級數和函數列一致收斂的概念，判別法及其應用。第十四章冪級數教學目標1.掌握冪級數收斂半徑和收斂區間的求法；2.了解冪級數在收斂區間內的分析性質及運算；3.會用直接和間接法將初等函數展開成冪級數；4.會利用冪級數性質求簡單的和函數。8教學內容1.冪級數2.函數的冪級數展開*3.復變量的指數函數、歐拉公式教學重、難點重點：求冪級數得收斂域、冪級數求和，將函數展成為冪級數。難點：函數的冪級數展開，利用冪級數的性質求和。第十五章傅里葉級數教學目標1.了解傅里葉級數收斂定理的條件與結論及證明；2.能熟練地將函數展開為傅里葉級數。3教學內容1.傅里葉級數2.以2l為周期的函數的展開式*3.收斂定理的證明教學重、難點重點：將函數展開為傅里葉級數。難點：傅里葉級數收斂定理。第十六章多元函數的極限與連續教學目標1.掌握平面點集和多元函數的有關概念，了解R2上的完備性定理；2.弄清二重極限與累次極限之間的區別和聯系，會求二元函數的極限；3.理解二元函數的連續性，熟悉有界閉域上連續函數性質。教學內容1.平面點集與多元函數2.二元函數的極限3.二元函數的連續性教學重、難點重點：二元函數極限、有界閉域上連續函數性質。難點：有界閉域上連續函數性質。第十七章多元函數微分學教學目標1.理解并掌握偏導數、全微分、方向導數和梯度等概念；2.能熟練地計算多元函數偏導數和全微分；3.弄清多元函數的偏導數存在、可微、連續三者之間的關系；4.記住混合偏導數與求導順序無關的條件；5.會求二元函數極值。3教學內容1.可微性2.復合函數微分法3.方向導數與梯度*4.泰勒公式與極值問題教學重、難點重點：偏導數、全微分、方向導數和梯度的概念和計算，求多元函數的極值。難點：復合函數的偏導數計算，可微的相關定理、泰勒公式與極值。四、課程實踐（實驗）教學安排五、課程思政教學要點思政內容目標要求關聯的主要內容或環節樂于奉獻掌握量變與質變的辯證關系，倡導樂于奉獻的人文情懷，提升集體主義榮譽感；倡導社會主義核心價值觀之和諧。級數前n項和與級數的和的關系科學精神、學習信念教育運用特殊與一般關系的規律，培養發現問題與解決問題的科學精神，養成善于思考與總結的學習習慣。函數項級數與數項級數對比勞動觀念運用整體與部分的關系，培養勤于動手，熱愛勞動的勞動觀念。冪級數與函數項級數之間的關系終身學習觀念引導學生自主探究一些級數，如傅里葉級數的內涵，提升運用網絡資源自主學習的能力。數項級數（奇偶函數的）傅里葉級數六、課程實施建議數學分析是數學與應用數學專業最主要的專業基礎課之一,是學習復變函手段；利用網絡資源（如bilibiliAPP、中國大學慕課網絡等）進行自學；在七、課程考核內容、考核方式與成績評定方式（一）考核內容、考核方式與課程目標的關系課程目標考核內容考核方式課程目標11.理解（函）數項級數、冪級數、傅里葉級數、多元函數的微分學的基本性質、基本理論、基本思想方法。課堂參與課后作業課后討論期末考試課程目標22.用數學分析課程知識解決問題的能力：會級數中簡單定理的證明、會判別級數的收斂、一致收斂、會求級數的收斂區間、收斂域、會求解冪級數展開式；會求多元函數的極限、會判別一致連續；能理解多元函數可微與可導的關系，會求多元函數的復合函數的偏導數與全微分，掌握方向導數和梯度的概念和求法，會用導數作為工具解決多元函數極值問題。課堂參與課后作業課后討論期末考試課程目標33.一致收斂函數列與函數項級數的性質，冪級數、傅里葉級數的展開。課堂參與課后作業課后討論期末考試（二）成績評定方式考核方式比例評分依據（百分制）過核依據課堂表現、實踐環節的主動性和準確性評分。包括：紀律、回答問題及討論發言的主動性和準確性等表現評分。(共100分)1.課堂上積極發言探討問題，回答老師提問，正確性高，記90-100分；2.老師提問時能夠回答，回答問題較準確，記70-89分；3.參與課堂活動不積極，記60-69分；4.拒絕回答老師提問，記30-59分。滿分值100分，依平時作業（6次）平均分計。滿分值100分，依討論（2次）次數平均分計。卷面分值100分，依期末閉卷考試試題參考答案及評分標準進行評分。課堂參與15%+課后作業20%+課外討論5%+期末考核60%八、課程目標達成情況定量評價方式課程目標及權重課堂參與課后作業課后討論期末考核目標權重分值權重分值權重分值權重分值權重12320九、課程評分標準課程目標評分標準優（90-100）良（80-89）中/及格（60-79）不及格（0-59）1.全面掌握級數、多元函數的微分學的基本性質、基本理論、基本思想方法。2.課堂參與度高，能夠很及時完成課前預習和課后作業、課后討論任務，并且作業正確率很高。1.較好掌握級數、多元函數的微分學的基本性質、基本理論、基本思想方法。2.課堂參與度較高，能夠及時完成課前預習和課后作業、課后討論任務，并且作業正確率高。1.基本掌握級數、多元函數的微分學的基本性質、基本理論、基本思想方法。2.課堂參與度一般，能夠比較及時完成課前預習和課后作業、課后討論任務，并且作業正確率一般。1.基本沒掌握級數、多元函數的微分學的基本性質、基本理論、基本思想方法。2.基本不參與課堂活動，不能及時完成課前預習和課后作業、課后討論任務，并且作業正確率較低。1.用數學分析課程知識解決問題的能力相當強：完全掌握級數中簡單定理的證明、會判別級數的收斂、一致收斂、會求級數的收斂區間、收斂域、會求解冪級數展開式；會求多元函數的極限、會判別一致連續；能很好理解多元函數可微與可導的關系，會求多元函數的復合函數的偏導數與全微分，掌握方向導數和梯度的概念和求法，會用導數作為工具解決多元函數極值問題。2.課堂參與度高，能夠很及時完成課后作業、課后討論任務，并且作業正確率很高。1.用數學分析課程知識解決問題的能力很強：能很好的掌握級數中簡單定理的證明、會判別級數的收斂、一致收斂、會求級數的收斂區間、收斂域、會求解冪級數展開式；會求多元函數的極限、會判別一致連續；能很好理解多元函數可微與可導的關系，會求多元函數的復合函數的偏導數與全微分，掌握方向導數和梯度的概念和求法，會用導數作為工具解決多元函數極值問題。2.課堂參與度較高，能夠及時完成課后作業、課后討論任務，并且作業正確率較高。1.用數學分析課程知識解決問題的能力較強：能較好的掌握級數中簡單定理的證明、判別級數的收斂、一致收斂、會求級數的收斂區間、收斂域、會求解冪級數展開式；會求多元函數的極限、會判別一致連續；能很好理解多元函數可微與可導的關系，會求多元函數的復合函數的偏導數與全微分，掌握方向導數和梯度的概念和求法，會用導數作為工具解決多元函數極值問題。2.課堂參與度一般，能夠比較及時完成課后作業、課后討論任務，并且作業正確率一般。1.用數學分析課程知識解決問題的能力較弱：對如下級數中簡單定理的證明、會判別級數的收斂、一致收斂、會求級數的收斂區間、收斂域、會求解冪級數展開式；會求多元函數的極限、會判別一致連續；能很好理解多元函數可微與可導的關系，會求多元函數的復合函數的偏導數與全微分，掌握方向導數和梯度的概念和求法，會用導數作為工具解決多元函數極值問題都掌握的不好。2.基本不參與課堂活動，不能及時完成課后作業、課后討論任務，并且作業正確率較低。1.具有很強的終身學習意識，非常了解國內外數學發展，并能夠根據時代發展需求，結合自身實際，通過各種渠道進行自主學習。2.課程參與度很高，能夠很及時完成課后作業、課后討論任務任務，并且作業正確率很高。3.課堂筆記質量很高，發言主動積極，思路很清晰。1.具有較強的終身學習意識，比較了解國內外數學發展，可以根據時代發展需求，結合自身實際，通過一些常用渠道進行自主學習。2.課程參與度較高，能夠及時完成課后作業、課后討論任務，并且作業正確率較高。3.課堂筆記質量較高，發言較主動積極，思路較清晰。1.具有基本的終身學習意識，了解基本的國內外數