中學數列解題方法與應用研究目錄TOC\o"1-3"\h\u7346第1章緒論 4300581.1研究的背景 4243441.2研究意義和價值 445411.2.1研究意義 4257611.2.2研究價值 4302521.3研究方法 57271.3.1文獻研究法 5247571.3.2比較研究法 5240291.3.3案例分析法 5322181.4目前研究情況 5199141.4.1在研究解題方法方面 5242251.4.2在研究教學方法方面 5242251.4.3在研究綜合問題方面 56233第2章中學數列問題的常見解題方法 671402.1求數列通項公式 6242792.1.1觀察、歸納法 6200212.1.2公式法 8134832.1.3由前項和求通項 930832.1.4迭代法求通項 11113502.1.5累加法求通項 11174462.1.6累乘法求通項 1337932.1.7由變形公式求通項 13173872.1.8構造法求通項 14171472.1.9取對數法求通項 174516第3章數列綜合問題的解題研究 1734073.1數列與函數結合 17168473.2數列與不等式結合 1926594第4章數列在社會生活中的應用 2170624.1數列在分期貸款中的應用（復利） 2115824.2數列在購房估算中的應用（單利） 2220732第5章結束語 2315808參考文獻 23摘要：由于數列問題在我國中學的數學中一直占有很大章節,因為隨著新課標改革和內容的不斷更新,中學數學教師也逐漸意識到了教學方式改變的意義和必要性,傳統的古板課堂和教條式的教學模式已經越來越不能滿足和超出了中學生的要求。對于一個數列的題目來說,種類不多,關鍵就是其解題的思路,可以將同一個問題型的其他幾個題目進行綜合性的思考和總結,加以分析、歸類、解答,并在實踐中總結出相應的解題思路和方法,舉一反三,便提富解題能力。通過深入系統地研究了數列試題的解答思路及其解答方法,對其中的解答技術和方法進行了相應地闡述,目的是為了引導學生們進行一次較為有效、更加系統地的學習。關鍵詞：中學教育；數列問題；解題方法與技巧第1章緒論1.1研究的背景數列是一個綜合性極強的章節，所涉及到的領域極廣，發展性極強，同時與數學中的其他章節也有密切的聯系，并且具有自己的特征。因此,數列多年來始終是我國高考數學課程的研究熱點、重要性和難度。數列的學習不僅僅在中學階段十分重要,同時在大學的高等數學中也涉及廣泛,例如級數的應用。在我們的工作和日常生活中,數列也被廣泛地應用于各種領域,例如經濟增長率、投資優化以及分期貸款等等,對于我們大學生進行數列的研究和教育也是起著至關重要的促進作用。1.2研究意義和價值1.2.1研究意義中學數列是高考的重要考點。同時也是學生容易丟分的一個難點內容。所以，學生在學習過程中，只有真正理解清楚，才能靈活運用。在講解數列題目時，學生應遵循老師的想法并理解解題的步驟，這是學習數列的重要組成部分。綜合類型的題目是數列問題的關鍵和難點。大多數類型的問題不僅僅涉及數列，依托數列為背景，以徹底考察學生的語言理解能力以及有關等式、不等式和函數的知識的具體應用。從長遠來看，數列將是未來數學學習的基礎。作為一種特殊的函數，數列可以提高學生的思維能力與抽象概括能力。因此，如果想繼續進行數學的學習，數列是一塊重要的“基石”。1.2.2研究價值在高考數學中數列的分值占比較大，通常每年都至少有一道大題來專門考察。只有學生對數列有透徹的了解，他們才能吃透這類題，進而提高自身的成績。因此，當教師指導學生學習一系列問題的解決方案和技能時，更應該訓練學生學習如何解決問題、運用知識的能力。數列是高中數學的單獨且重要的章節。在學習本章的過程中，教師應該詳細解釋數列的相關知識點。在教學過程中根據數列的特點加上結合對學生知識的掌握。在引導學生學習時，應廣泛采用各種教學方法，使學生可以通過學習問題解決能力和數列解決能力來獲得適當的數學技能，以便他們可以使用自己的知識系統通過解決問題來解決實際問題。1.3研究方法1.3.1文獻研究法研究和總結數列相關文獻，了解數列的過去，當前狀況并預測數列的未來，結合當前理論和如何教授數列研究理論，加深對數列的知識和理解。1.3.2比較研究法對各類數列例題進行比較分析，總結出其常考的題型，以及考察方式方法，最終探討出適合學生的學習的解題方法1.3.3案例分析法通過對數列教學中的案例進行分析，總結數列的可能出現的題型，研究其內在的出題本質與規律，再結合課堂教學案例來得出數列教法的得失。1.4目前研究情況1.4.1在研究解題方法方面金株萌在《高中數學數列的解題常規方法分析》[1]中大致探討了數列的解題常規思路，對學生的學習可以起到點撥作用。郭繼宏在《高考數學數列常見題型及解答對策》[2]中用拋磚引玉的方法引導學生學習，對高考數列復習具有實用性。趙曉晗在《基于新課標下高中數學數列問題分析》[3]中探討了如何進行數列教學的創新以及生活的實際聯系，以提高教學的質量。丁托弟在《淺談數列的解題思路與技巧》8]中用不同方法分析數列類型，追求學生的深層次理解。1.4.2在研究教學方法方面高麗芳在《高中數學新課程“數列”單元的教學設計中》[4]明確了傳統經驗的轉向的重要性，應該注重學生的遷移學習。賀育斌在《高中數列教學研究中》[5]中重點分析了數學文化融入數列教學的重要性以提高學生的學習興趣。1.4.3在研究綜合問題方面吳香然在《數列綜合問題教學探討》[6]中介紹了一種新方法“三字訣”，通過思路、思想、思辨三個維度來解決數列綜合問題。劉翔新在《析高考中數列與其他知識的完美結合》[10]中探討了數列與函數、方程、不等式、復數相聯系，以幫助學生加快解題速度。第2章中學數列問題的常見解題方法2.1求數列通項公式數列的通項公式是數列問題的核心，就像是在研究函數問題時它的解析式對于其的重要性，探討數列的性質時，找到數列的前項和非常重要。通常，在面對不同的問題時，我們要靈活選擇不同的方法進行解題。下面總結了一些適用于數列一般概念的常用公式類型和方法。2.1.1觀察、歸納法普遍來說，會通過和的關系求得通項公式后，使用數學歸納法進行猜想出后得到通項公式，然后對其進行證明，最后使用遞歸公式來找到通項。當我們使用這種觀察歸納法后，一定要記住對得到的式子進行檢驗，這樣才能確保通項公式可以滿足每一個通項。一般來說可以找出數列中的元素與其位置編號之間的等量關系。通常使用觀察、分析、歸納和猜想之類的方法（對于隔行序列，總和通常用和于區分偶數和奇數項的符號）。例1是否能夠通過前幾項通項，來寫出其對應的通項公式。（1）（2）（3）（4）（5）思路分析：對于這種常見的通過題目中的信息來找規律求通項公式的，要求學生認真觀察后分析歸納，可以簡單地求出通項公式來。解析：（1）原數列可改寫為，，，的通項公式為.故所求數列通項為將原數列各項加，得故所求數列的通項為.先不考慮數列的符號，觀察數列分母組成的數列的通項為.再考慮符號，可得.這個數列奇數項為然而它的序號所對應的關系為；它的偶數項為與其對應序號的關系是.所以此數列的一個通項是將原數列改寫為.又知數列與序號的關系是.故通項為點評：對于僅使用數列的第幾項來查找通項式的這種相對簡單的問題，要解決的主要問題是找到數列的每個元素與其位置編號之間的關系。這種類型的問題通常由一系列常見數列組成。只要學生仔細觀察和思考，就可以找到數列之間的數量關系。應該注意的是，在找到數列的通用公式之后，需要返回原始問題中進行驗證，以確保它是正確的。2.1.2公式法對于已經完全了解了這個數列的類型,我們可以直接通過等差數列或者等比數列的通項公式,來進行一個待定系數法公式來進行計算從而求得第一項和公差。例2設等差數列-6B.-4C.-2D.2思路分析：設等差數列.點評：本題綜合考察了等差數列通項公式和前項和公式的記憶與運用，要求學生基本功扎實，熟記基本數列的通項公式、前項和公式，即可快速求出結果，同時在考試中遇見要求學生可以做到不丟分，屬于高考中的簡單題。例3已知遞增的等差數列____思路分析：本題沒有給出公差，那么我就可以假設等差數列的公差為，從而快速解出，根據數列的遞增性，可以快速求出其公差,最后通過公式法可得的通項公式。解析：設等差數列的公差為，由題目已知可得即.又因為該數列為遞增數列，所以.故點評：這道練習題考的是一門主要屬于等差數列求通項的其中一道基本公式計算方法問題,考察了各種通項數列公式的基本求法,數列的結構單調性,要求學生務必牢記對應的公式,解答時認真計算即可輕松拿下這類題目。2.1.3由前項和求通項高考中常考一類題，就是對于已知數列前項和與的關系或前n項和與的關系，從而求出數列的通項公式，遇見這類題我們應該靈活使用求其通項公式，但需要特別注意以下3個細節：在求解時不要忘記對和時的情況進行討論，特別是，若使用公式則要求：“合寫”，則通項公式應分段寫出，即.例4設為數列的前項和，在數列中已知求的通項公式.思路分析：因為已知數列第項與其前項和的關系式，所以我們通過遞推法來求數列的通項公式。有三種方法可以選用，以下我們一一來探討。解法1：已知故可得又有在.解得故是以為首項，為公差的等差數列。因此的通項公式為解法2：由題設，即所以所以有..所以是以2為公差的等差數列。在解得.解法3：由已知有==①所以②.即.又由于.所以是以2為公差的等差數列。.點評：由于本題已給出數列第項與前項和的遞推式，故這個公式顯得尤為重要，通過巧妙運用從而達到一題多解，充分利用發散思維。同用可能有的時候需要把題目中所給的，這樣子題目設問就變成了的關系從而破解問題。2.1.4迭代法求通項迭代法比較特殊，也比較少見，適用于“已知且知的值”型的遞推式，可采用逐次遞減“下標值”來進行迭代，最后使建立聯系而求出.2.1.5累加法求通項遇到“已知，且知”型的題目，我們可以使用累加法來求通項公式，因為如果將幾個等式累加后可以在左邊得到的形式，只需化簡右邊之和即可得出結果。例5（2017浙江，20）已知數列證明：設數列的前n項為，證明：.思路分析：題目已經給出，的值為，滿足“迭代法”的條件，通過求出，進而解出本題。證明：（1）題目已知得又由于由,有所以 由故由題意得又由，兩邊同除以可得.由（1）知進而有因此可得由①②得點評：本題考察了數列的遞推關系，不等式的基本性質，關鍵在于通過給出的關系式找到數列的特征。對已知關系式進行變形，易發現是遞減數列，又由，可表示出，然后可以計算其范圍。在問題（2）中，首先根據問題的構造將其表達，然后通過已知和（1）的結論來找出它們之間的關系。這是一道難題，尤其是問題（2），它要求學生掌握一定數列的相關問題解決策略。因此，學生通常需要接觸一些不一樣的題目，并在完成問題后仔細考慮問題中使用的方法，嘗試尋找哪些知識點以及他們從該問題中學到了什么。2.1.6累乘法求通項對于“已知且知的值”型的遞推數列，我們要想到使用累乘法來求通項公式。很明顯，在幾個等式左邊逐一累乘后，可以得到，那么只需化簡右邊之積，即得所求通項公式。2.1.7由變形公式求通項我們接觸到的等差數列的通項公式一般都為：，對于這種的求其通項公式的一般方法是求出相應的首項和公差。但是實際上，對于等差數列的變形公式或有其他巧妙方法，學生可以多加了解與運用，這樣在考場上可節約出時間，從而拿下數列題目，下面是等差數列通公式的四個非常有用的變形公式。；.使用上面的四個等差數列通項公式的變式來解決一些對應的求通項問題，通常可以減少計算量，并且方便快捷。以下是舉例說明。例6已知等差數列中，，請判斷2016是數列中的項嗎？如果是，是數列中第幾項？思路分析：常規的思路是求出首項，將數列的通項公式表示出再求解。但是，使用等差數列通項公式的變形式可以不需要求解方程式來找到第一項，而要做的就是得到該數列的一般公式項的公差，即得到數列的通項公式。解析：設該等差數列的公差為，通過其變形公式，可得.所以數列的的通項公式為依題意，假設通過解這個方程，可得所以很明顯可以看出2016是這個等差數列的第40項。點評：常規思想是求解數列的第一項和公差，而變形公式可用于避免求第一項，而通用項公式可直接找到公差。對等比數列的變形公式進行一下的總結：學生可以通過題目判斷選擇恰當的公式進行求解相關問題。2.1.8構造法求通項形如“型遞推數列求通項公式，通常使用累加（乘）法，數學歸納法，遞歸法，有時使用構造法來解決問題。這是構造方法用來解決不同形式的遞歸數列的不同類型的題目。“”型例7已知數列，求的通項公式。解析：令所以.故是首項為1，公比為4的等比數列。所以故數列的通項公式為.小結：對“”型遞推數列，一般方法：令解得值，從而可構造出等比數列，進而得數列的通項公式.“”型例8已知數列滿足求的通項公式.解析：令由所以.所以是以3為公比的等比數列.所以故數列的通項公式為.小結：對于“”型的數列，方法：可令解出,從而可構造出等比數列，進而可得的通項公式.注：若其中是比次數大1的多項式.“”型例9已知數列求的通項公式.解析：由已知令.故所以故數列的通項公式為小結：對于“”型的數列，首先在兩邊同除以”，仿例8，構造等比數列進而得的通項公式.形如例10已知滿足求的通項公式.解析：令所以兩邊同除以，得進而可得故是以2為首項，2為公比的等比數列.所以數列的通項公式為.小結：對于的數列，其實質是上面題目的組合，故可借鑒其解法：先設“”，解出,然后兩邊同除以，像上題，構造等比數列（若s=b則是等差數列），從而可得到的通項公式.2.1.9取對數法求通項有時某個數列的通用項不易用通用方法求解，但取兩邊的對數后，可以轉化為求解數列通用項公式的問題，從而可以容易迅速解決。，以下舉例。例11已知數列中，的通項公式。思路分析：回答此問題的傳統方法是使用迭代方法，但是它過于抽象和復雜。的確，如果從兩邊取對數，則很容易將其簡化為需要處理的等比數列問題。解析：因為令由等比數列的定義可知：.所以其通項公式為所以.故數列的通項公式為.點評：這個問題很簡單，學生應該已經掌握了許多方法，可以考慮迭代方法，累積乘法等，來找到一個數列的通項公式，但是嘗試這些方法后，很難解決通用項。因此，學生需要調動所學的數學知識并重新思考其他方法。通過觀察，存在更高階的項。首先要考慮的是降冪，這可以通過對數的性質來實現，從而解決了問題。對于某些分數問題，同時反轉分數的兩側可以更改公式的結構，從公式中提取隱藏的信息，揭示問題的本質，并找到解決問題的突破口。第3章數列綜合問題的解題研究3.1數列與函數結合數列本身是一種特殊的函數，因此通常存在將序列和功能結合在一起的完整問題。正確的對于這類廣泛的問題，學生需要記住函數和數列的某些屬性，并使用這些屬性來解決問題[9]。在下面以一個問題為例來分析解決此類問題的想法。例12已知函數當時，求；設設，求的值.思路分析：當的通項公式，所以（1）的問題就轉化為求數列通項公式，題目中沒有給出數列是等差還是等比，而是給出了函數滿足了等式因為有了數列的首項，所以可以把給出的函數關系式轉化為數列遞推公式的形式，令這是等比數列的遞推公式，易得的表達式。這樣題目就變成了簡單的數列求解題目，學生可以更好的理解。解析：（1）令，所以即（2）設因為所以兩式相減得即（3）由（1）知所以所以，當由此可見，當.點評：在數列與函數結合的題目中，要盡可能利用函數與數列的關系，進而將函數問題轉化為數列問題，主要以函數作為載體，來構造新的數列，從而簡便解題的方法，也提供了一種新的思路。3.2數列與不等式結合不等式和數列都是中學數學中重要的內容，它們的結合會使問題變的靈活多樣，對學生的計算和觀察能力有比較高的要求，在不同的情景下選擇合適的解題方法會使題目簡便許多[7]，下面舉例說明。例13已知數列滿足.證明：設數列的前項和為，證明：思路分析：這道題的兩問都是證明與數列有關的兩個式子滿足的不等式。中根據已知條件可推出的取值范圍，再將分式利用已知條件給出的關系式化為只含的形式，即即可得出結論。可以從（1）中的結論入手，中的的值不確定，無法判斷的范圍，所以要將的范圍化為只含的式子的范圍，，可得累加，從而可得的范圍，進而得出結論。解析：（1）由題意得.由得.由即（2）由題意得，所以.由和得所以因此由①②得點評：在證明數列和式不等式時，我們一般用放縮法裂項求和，也可以用等量替換法，來推算整體的取值范圍，在解這類題目時，一定要認真觀察，靈活選用合適的方法，一道題目可能需要用到多種方法來證明才能解決。第4章數列在社會生活中的應用4.1數列在分期貸款中的應用（復利）當分期付款購買房屋和汽車時，通常會使用數列知識來計算利息。根據單利和復利的特征，可以創建具有相同差異和相同比率的各種數學模型。例14某家庭預購置一套40萬元的商品房，要求購房當天首付16萬元，欠款24萬元需貸款，貸款期限10年，分期付款，每月還款相同，月利率為0.4%，購買后下一月當天開始付款，以后每月付款一次，按復利計算該家庭每月實際應付款多少元？購買這套商品房實際總價為多少元？[11]思路分析:分期付款中,使用復利計算，今年產生的利息包括在下一年的主要利息中。題中需要參考以下數據:,.解析:設每月應付款元，則第1月付款與到最后一次付款產生的利息之和為，第2月付款與到最后一次付款產生的利息之和為，第3月付款與到最后一次付款產生的利息之和為，……，第119月付款與到最后一次付款產生的利息之和為，最后一次付款（無利息）為元。各月付款連同利息之和為而按復利計算，貸款金額及產生的利息和為所以即（元）購買這套商品房實際總價為：（元）因此該家庭購買這套商品房每月實際應付款2522.17元，購買這套商品房實際總價為元。4.2數列在購房估算中的應用（單利）例15李歡歡預購置一套40萬元的商品房，要求購房當天首付40%（即16萬元），欠款24萬元需貸款，貸款期限10年（120個月），每月還欠款2000元，并每月加付欠款利息，月利率為0.4%，購買后下一月當天開始付款，以后每月付款一次，問購買這套商品房實際總價多少元？解析:按等額本金還款方式，設每月還欠款