第21章一元二次方程一、單選題1．（2023上·山東聊城·九年級校聯考期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023上·山東聊城·九年級統考期末）如果方程是關于x的一元二次方程，那么m的值為（

）A． B．3 C． D．不存在3．（2023上·山東濟南·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程有一個根為0，則a的值等于（

）A． B．0 C．1 D．1或者4．（2023上·山東聊城·九年級統考期末）小明在學習一元二次方程時，解方程的過程如下：①；②；③；④；⑤；⑥．小明的解答從第______步開始出錯．A．① B．③ C．④ D．⑤5．（2023上·山東濟寧·九年級統考期末）用配方法解方程，配方后的方程是（）A． B． C． D．6．（2023上·山東棗莊·九年級統考期末）若是方程的一個根，則此方程的另一個根是(

)A．-1 B．0 C．1 D．27．（2023上·山東臨沂·九年級統考期末）下列說法正確的是（

）A．方程的解是 B．方程的兩個實數根之積為C．方程的兩個根是、 D．一元二次方程有兩個實數根8．（2023上·山東青島·九年級統考期末）國家統計局發布報告顯示，2019年我國單位能耗約為0.571噸標準煤/萬元，而2021年我國單位能耗約為0.555噸標準煤/萬元．設平均每年單位能耗降低率為x，則可列方程為（）A． B．C． D．9．（2023上·山東濱州·九年級統考期末）我市某家快遞公司，今年8月份與10月份完成投遞的快遞總件數分別為2萬件和2.88萬件．若設該快遞公司由8月份到10月份投遞總件數的月平均增長率為x，則以下所列方程正確的是（

）A． B．C． D．10．（2023上·山東菏澤·九年級校考期末）活動選在一塊長米、寬米的矩形空地上，如圖，空地被劃分出個矩形區域，分別擺放不同類別的商品，區域之間用寬度相等的小路隔開，已知每個區域的面積均為平方米，小路的寬應為多少米？設小路寬為米，則可列方程為（）A． B．C． D．二、填空題11．（2023上·山東濟寧·九年級統考期末）若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則m的值是．12．（2023上·山東德州·九年級統考期末）用公式法解方程，其中．13．（2023上·山東菏澤·九年級統考期末）方程的解是．14．（2023上·山東菏澤·九年級統考期末）一元二次方程的兩個根為，，則的值為．15．（2023上·山東德州·九年級統考期末）某校要組織一次乒乓球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排2天，每天安排5場比賽，則比賽組織者應邀請個隊參賽．16．（2023上·山東青島·九年級統考期末）某市積極響應國家的號召“房子是用來住的，不是用來炒的”，在宏觀調控下，商品房成交價由去年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，且去年房價在9月份、10月份、11月份、12月份的下降率保持一致，則去年12月份的房價單價為每平方米元．17．（2023上·山東棗莊·九年級統考期末）2020年某市政府投資2億元人民幣建設了廉租房8萬平方米，預計到2022年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，若在這兩年內每年投資的增長率相同．設每年市政府投資的增長率為x，根據題意，列出方程為．三、問答題18．（2023上·山東濟寧·九年級統考期末）已知m是方程的解，求式子的值．19．（2023上·山東濱州·九年級統考期末）根據要求解下列方程．(1)用配方法解方程：．(2)用公式法解方程．．20．（2023上·山東菏澤·九年級統考期末）已知關于x的一元二次方程沒有實數根，求k的取值范圍．21．（2023上·山東青島·九年級統考期末）已知關于的一元二次方程．(1)若該方程的一個根為，求實數的值；(2)若該方程有實數根，求實數的取值范圍．22．（2023上·山東德州·九年級統考期末）解方程(1)；(2)．23．（2023上·山東棗莊·九年級統考期末）設，是一元二次方程的兩個根．利用根與系數的關系求下列各式的值：(1)；(2)24．（2023上·山東聊城·九年級統考期末）如圖，某小區矩形綠地的長、寬分別為，，現計劃對其進行擴充，將綠地的長、寬增加相同的長度后，得到一個新的矩形綠地，若擴充后的矩形綠地面積為，求新的矩形綠地的長與寬．

25．（2023上·山東淄博·九年級統考期末）某旅行社組團去外地旅游，30人起組團，每人單價800元．旅行社對超過30人的團給予優惠，即旅行團每增加2人，每人的單價就降低20元（每人單價不能低于580元）．(1)若某個旅行團的人數為x人，則每人的單價應為______元；(2)請你幫助算一下，當一個旅行團的人數是多少時，旅行社可以獲得最大營業額？最大營業額是多少？26．（2023上·山東濟南·九年級統考期末）濟南市響應“創建全國文明城市”的號召，不斷美化環境，擬修建一矩形綠地，綠地一邊靠墻，可利用的墻長不超過18米，另外三邊由36米長的柵欄圍成，已知矩形的面積是160平方米，求矩形的邊長，的長度．四、證明題27．（2023上·山東濰坊·九年級統考期末）已知k為實數，關于x的方程為．(1)請證明不論k取何值，這個方程總有兩個根；(2)若方程的兩個根分別記為，，且滿足，求k值．參考答案：1．C【分析】根據一元二次方程的概念逐一判斷即可．【詳解】解：①滿足概念，是一元二次方程；②滿足概念，是一元二次方程；③含有分式，不滿足概念，不是一元二次方程；④滿足概念，是一元二次方程；⑤含有兩個變量，不滿足概念，不是一元二次方程；⑥，化簡后為，不含二次項，不滿足概念，不是一元二次方程；一元二次方程有①②④，故選：C．【點睛】本題主要考查一元二次方程，掌握一元二次方程的概念是解題的關鍵．2．C【分析】利用一元二次方程定義可得，且，再解出m的值即可．【詳解】由題意得：，解得：，故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程定義，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．3．A【分析】根據一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，將代入方程可得，根據二次項系數不為0，可得，進而即可求解．【詳解】解：∵關于的一元二次方程有一個根為0，∴，，∴，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程根的定義以及一元二次方程的定義，解題的關鍵是注意二次項系數不能等于0．4．D【分析】根據配方法解一元二次方程的步驟逐步判斷即可．【詳解】解：故第⑤步開始出錯．故選D．【點睛】本題考查了配方法解一元二次方程，正確的計算是解題的關鍵．5．C【分析】把方程左邊化為完全平方公式的形式即可得出結論．【詳解】解：原方程可化為，即．故選：C．【點睛】本題考查的是利用配方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟記完全平方公式．6．C【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，設另一個根為，根據，即可求解．【詳解】解：設另一個根為，依題意，，∴，故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．7．B【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，解一元二次方程，根的判別式，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.方程，即，解是或，故該選項不正確，不符合題意；B.方程的兩個實數根之積為，故該選項正確，符合題意；C.方程，即，則方程的兩個根為，故該選項不正確，不符合題意；D.一元二次方程中，，∴原方程沒有實數根，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，解一元二次方程，根的判別式，掌握以上知識是解題的關鍵．8．A【分析】利用增長率的問題可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：．故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．9．C【分析】根據題意列出等量關系：10月份投遞總件數=8月份投遞總件數月平均增長率月平均增長率，即可解出此題．【詳解】解：根據10月份投遞總件數=8月份投遞總件數月平均增長率月平均增長率，可得方程：故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系是解題的關鍵．10．A【分析】根據圖形可知6個矩形的面積和等于長為米，寬為米的矩形的面積，據此列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設小路寬為米，根據題意得，，故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．11．【分析】根據一元二次方程根的判別式列出關于的方程，解方程即可．【詳解】解：關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，，，即，．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式、解一元二次方程，熟練記憶一元二次方程根的判別式與方程根的關系是解題的關鍵．12．8【分析】根據方程得出a，b，c的值，即可求出．【詳解】解：根據題意可得：，∴，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了求一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是根據方程得出二次項系數，一次項系數和常數項．13．，【分析】利用因式分解法解此一元二次方程即可．【詳解】解：分解因式得：，或，．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法解一元二次方程是解決本題的關鍵．14．【分析】根據一元二次方程的根的定義得出，根據一元二次方程根與系數的關系得出，代入代數式即可求解．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根為，，∴，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，一元二次方程根與系數的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．15．5【分析】設比賽組織者應邀請個隊參賽，則每個隊參加場比賽，共有場比賽，可列出一個一元二次方程，再進行求解即可得出答案．【詳解】解：∵賽程計劃安排2天，每天安排5場比賽，∴共場比賽．設比賽組織者應邀請隊參賽，則由題意可列方程為．解得，（舍去），所以比賽組織者應邀請5隊參賽．故答案為：5．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，解此題的要點在于可以把實際問題轉換成數學問題．16．【分析】設房價的下降率為x，根據“商品房成交價由今年9月份的每平方米10000元下降到11月份的每平方米8100元，”列出方程，即可求解．【詳解】解：設房價的下降率為x，根據題意得：，解得：，（舍去）∴房價的下降率為，∴12月份的房價單價為每平方米元．故答案為：．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應用，明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．17．【分析】設每年市政府投資的增長率為x，根據到2022年底三年共累計投資9.5億元人民幣建設廉租房，列方程求解．【詳解】設每年市政府投資的增長率為x，根據題意，得：．故答案為：．【點睛】主要考查了一元二次方程的實際應用，本題的關鍵是掌握增長率問題中的一般公式為，其中n為共增長了幾年，a為第一年的原始數據，x是增長率．18．【分析】根據m是方程的解，得到，利用整體思想代入代數式求值即可．【詳解】解：∵m是方程的解，∴，即：，∴．【點睛】本題考查一元二次方程的解，代數式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數的值，以及利用整體思想進行求解，是解題的關鍵．19．(1)，(2)，【詳解】（1）解：移項得，．配方得，，，，原方程的解為，．（2）解：，，，，方程有兩個不相等的實數根，，即，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，熟練運用不同的方法解一元二次方程是解題的關鍵．20．【分析】利用根的判別式進行求解即可．【詳解】解：∵方程沒有實數根，∴，∴【點睛】本題主要考查根的判別式，解一元二次方程，解答的關鍵是明確根的判別式：時，方程沒有實數根；時，方程有兩個相等的實數根；時，方程有兩個不相等的實數根．21．(1)(2)【分析】（1）根據一元二次方程的根的定義將代入中進行求解即可；（2）根據一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】（1）解：將代入，得：，解得：，∴實數的值為；（2）解：∵方程有實數根，∴，解得：，∴實數的取值范圍為．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解和一元二次方程根的判別式，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．22．(1)；(2)．【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【詳解】（1）解：，

，或，∴，，（2），∵，，，∴，則方程有兩個不相等實數根，∴，∴，，【點睛】此題考查了解一元二次方程，解題的關鍵在于靈活選取適當的方法解方程．23．(1)(2)【分析】（1）根據一元二次方程的根與系數的關系，即可求解．（2）根據完全平方公式變形，即可求解．【詳解】（1）解：∵，是一元二次方程的兩個根∴，∴，（2）解：∵，∴．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數的關系：若是一元二次方程的兩根，，．24．新的矩形綠地的長為，寬為．【分析】設綠地的長、寬增加的長度為，然后根據擴充后的矩形綠地面積為，列出方程求解即可．【詳解】解：設將綠地的長、寬增加，則新的矩形綠地的長為，寬為，根據題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），，.答：新的矩形綠地的長為，寬為.【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系建立方程是解題的關鍵．25．(1)(2)當一個旅行團的人數是52人時，可以獲得最大的營業額，最大的營業額為元．【分析】（1）直接根據題意列代數式即可；（2）設一個旅行團的人數是x人，營業額是y元，根據條件：30人起組團，分情況取最