2024年中考數學真題專題分類精選匯編（2025年中考復習全國通用）

專題12二次函數的圖像與性質等

一、選擇題

1.（2024陜西省）已知一個二次函數yax2bxc的自變量x與函數y的幾組對應值如下表，

x…42035…

y…2480315…

則下列關于這個二次函數的結論正確的是（）

A.圖象的開口向上B.當x0時，y的值隨x的值增大而增大

C.圖象經過第二、三、四象限D.圖象的對稱軸是直線x1

【答案】D

【解析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質．先利用待定系數法求得二次函

數解析式，再根據二次函數的性質逐一判斷即可．

4a2bc8a1

【詳解】解：由題意得c0，解得c0，

9a3bc3b2

2

∴二次函數的解析式為yx22xx11，

∵a10，

∴圖象的開口向下，故選項A不符合題意；

圖象的對稱軸是直線x1，故選項D符合題意；

當0x1時，y的值隨x的值增大而增大，當x1時，y的值隨x的值增大而減小，故選項B不符

合題意；

∵頂點坐標為1,1且經過原點，圖象的開口向下，

∴圖象經過第一、三、四象限，故選項C不符合題意；

故選：D．

22，，，，5，，，

2.（2024四川涼山）拋物線yx1c經過2y10y2y3三點，則y1y2y3

32

的大小關系正確的是（）

A.y1y2y3B.y2y3y1C.y3y1y2D.y1y3y2

【答案】D

【解析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．根據

二次函數的圖象與性質可進行求解．

22

【詳解】由拋物線yx1c可知：開口向上，對稱軸為直線x1，

3

該二次函數上所有的點滿足離對稱軸的距離越近，其對應的函數值也就越小，

5

∵2,y1，0,y2，,y3，

2

533

而123，101，1，13

222

∴點0,y2離對稱軸最近，點2,y1離對稱軸最遠，

∴y1y3y2；

故選：D．

3.（2024湖北省）拋物線yax2bxc的頂點為1,2，拋物線與y軸的交點位于x軸上方．以

下結論正確的是（）

A.a0B.c0C.abc2D.b24ac0

【答案】C

【解析】本題考查了二次函數的性質以及二次函數圖像與系數的關系．根據二次函數的解析式結合二

次函數的性質，畫出草圖，逐一分析即可得出結論．

【詳解】根據題意畫出函數yax2bxc的圖像，如圖所示：

∵開口向上，與y軸的交點位于x軸上方，

∴a0，c0，

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b24ac0，

∵拋物線yax2bxc的頂點為1,2，

∴abc2，

觀察四個選項，選項C符合題意，

故選：C．

2a

4.（2024福建省）已知二次函數yx2axaa0的圖象經過A,y1，B3a,y2兩點，

2

則下列判斷正確的是（）

A.可以找到一個實數a，使得y1aB.無論實數a取什么值，都有y1a

C.可以找到一個實數a，使得y20D.無論實數a取什么值，都有y20

【答案】C

【解析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據題意得到二次函數開口向上，且對稱軸為

2a2

xa，頂點坐標為a,aa，再分情況討論，當a0時，當a<0時，y1，y2的大小

2

情況，即可解題．

2

【詳解】二次函數解析式為yx2axaa0，

2a

二次函數開口向上，且對稱軸為xa，頂點坐標為a,aa2，

2

aa23

當x時，ya2aaa2，

2144

a

當a0時，0a，

2

2

ay1aa，

a

當a<0時，a0，

2

2

aay1a，

故A、B錯誤，不符合題意；

當a0時，0a2a3a，

由二次函數對稱性可知，y2a0，

當a<0時，3a2aa0，由二次函數對稱性可知，y2a，不一定大于0，

故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；

故選：C．

2

5.（2024四川眉山）如圖，二次函數yaxbxca0的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸

交于點B，對稱軸為直線x1，下列四個結論：①bc0；②3a2c0；③ax2bxab；④

84

若2c1，則abc，其中正確結論的個數為（）

33

A.1個B.2個C.3個D.4

【答案】C

【解析】此題考查了二次函數的圖象和性質，數形結合是解題的關鍵，利用開口方向和對稱軸的位置

即可判斷①，利用對稱軸和特殊點的函數值即可判斷②，利用二次函數的最值即可判斷③，求出

12

c3a，進一步得到a，又根據b2a得到abca2a3a4a，即可判斷

33

④.

【詳解】解：①函數圖象開口方向向上，

a0；

對稱軸在y軸右側，

a、b異號，

b0，

∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，

c0，

bc0，故①錯誤；

②二次函數yax2bxc的圖象與x軸交于點A3,0，與y軸交于點B，對稱軸為直線x1，

b

1，

2a

b2a，

x1時，y0，

abc0，

3ac0，

3a2c0，故②正確；

③對稱軸為直線x1，a0，

yabc最小值，

ax2bxcabc，

∴ax2bxab，

故③正確；

④2c1，

c

∴根據拋物線與相應方程的根與系數的關系可得xx133，

12a

c3a，

23a1，

12

a，

33

b2a，

abca2a3a4a，

84

abc，

33

故④正確；

綜上所述，正確的有②③④，

故選：C

6.（2024貴州省）如圖，二次函數yax2bxc的部分圖象與x軸的一個交點的橫坐標是3，

頂點坐標為1,4，則下列說法正確的是（）

A.二次函數圖象的對稱軸是直線x1

B.二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是2

C.當x1時，y隨x的增大而減小

D.二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3

【答案】D

【解析】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，利用二次函數的性質，對稱性，

增減性判斷選項A、B、C，利用待定系數法求出二次函數的解析式，再求出與y軸的交點坐標即可

判定選項D．

∵二次函數yax2bxc的頂點坐標為1,4，

∴二次函數圖象的對稱軸是直線x=1，故選項A錯誤；

∵二次函數yax2bxc的圖象與x軸的一個交點的橫坐標是3，對稱軸是直線x=1，

∴二次函數圖象與x軸的另一個交點的橫坐標是1，故選項B錯誤；

∵拋物線開口向下，對稱軸是直線x=1，

∴當x1時，y隨x的增大而增大，故選項C錯誤；

2

設二次函數解析式為yax14，

2

把3,0代入，得0a314，

解得a1，

2

∴yx14，

2

當x0時，y0143，

∴二次函數圖象與y軸的交點的縱坐標是3，故選項D正確，

故選D．

7.（2024內蒙古赤峰）如圖，正方形ABCD的頂點A，C在拋物線yx24上，點D在y軸上．若

A，C兩點的橫坐標分別為m，n（mn0），下列結論正確的是（）

m

A.mn1B.mn1C.mn1D.1

n

【答案】B

【解析】本題主要考查了二次函數的圖象與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質，解題時

要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．依據題意，連接AC、BD交于點E，過點A作MNy軸于點M，

過點B作BNMN于點N，先證明ANB≌DMA(AAS)．可得AMNB，DMAN．點A、

mnm2n28

C的橫坐標分別為m、n，可得A(m,m24)，C(n,n24)．E(，)，M(0,m24)，

22

設D(0,b)，則B(mn,m2n28b)，N(mn,m24)，BNn24b，AMm，ANn，

DMm24b．再由AMNB，DMAN進而可以求解判斷即可．

【詳解】如圖，連接AC、BD交于點E，過點A作MNy軸于點M，過點B作BNMN于點

N，

四邊形ABCD是正方形，

AC、BD互相平分，ABAD，BAD90，

BANDAM90，DAMADM90，

BANADM．

BNAAMD90，BAAD，

ANB≌DMA(AAS)．

AMNB，DMAN．

點A、C的橫坐標分別為m、n，

A(m,m24)，C(n,n24)．

mnm2n28

E(，)，M(0,m24)，

22

設D(0,b)，則B(mn,m2n28b)，N(mn,m24)，

BNn24b，AMm，ANn，DMm24b．

又AMNB，DMAN，

n24bm，nm24b．

bn2m4．

nm24n2m4．

(mn)(mn)mn．

點A、C在y軸的同側，且點A在點C的右側，

mn0．

mn1．

故選：B．

8.（2024四川遂寧）如圖，已知拋物線yax2bxc（a、b、c為常數，且a0）的對稱軸為

直線x=1，且該拋物線與x軸交于點A1,0，與y軸的交點B在0,2，0,3之間（不含端點），

則下列結論正確的有多少個（）

①abc0；

②9a3bc0；

2

③a1；

3

④若方程ax2bxcx1兩根為m,nmn，則3m1n．

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】本題主要考查二次函數和一次函數的性質，根據題干可得a0，b2a0，3c2，

即可判斷①錯誤；根據對稱軸和一個交點求得另一個交點為3,0，即可判斷②錯誤；將c和b用a

表示，即可得到33a2，即可判斷③正確；結合拋物線yax2bxc和直線yx1與x

軸得交點，即可判斷④正確．

【詳解】由圖可知a0，

∵拋物線yax2bxc的對稱軸為直線x=1，且該拋物線與x軸交于點A1,0，

b

∴x1，abc0，

2a

則b2a0，

∵拋物線yax2bxc與y軸的交點B在0,2，0,3之間，

∴3c2，

則abc<0，故①錯誤；

設拋物線與x軸另一個交點x,0，

∵對稱軸為直線x=1，且該拋物線與x軸交于點A1,0，

∴111x，解得x3，

則9a3bc0，故②錯誤；

∵3c2，abc0，b2a0，

2

∴33a2，解得a1，故③正確；

3

根據拋物線yax2bxc與x軸交于點A1,0和3,0，直線yx1過點1,0和0,1，如

圖，

方程ax2bxcx1兩根為m,n滿足3m1n，故④正確；

故選：B．

2

9.（2024黑龍江齊齊哈爾）如圖，二次函數yaxbx2a0的圖象與x軸交于1,0，

(x1,0)，其中2x13．結合圖象給出下列結論：

①ab0；②ab2；

③當x1時，y隨x的增大而減小；

2

④關于x的一元二次方程ax2bx20a0的另一個根是；

a

4

⑤b的取值范圍為1b．其中正確結論的個數是（）

3

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】根據二次函數的圖象與性質判斷結論①②③正誤；由二次函數與一元二次方程的關系判斷結

論④；利用結論④及題中條件2x13可求得a的取值范圍，再由結論②ab2可得b取值范

圍，判斷⑤是否正確．

b

【詳解】由圖可得：a0，對稱軸x0，

2a

b0，

ab0，①錯誤；

由圖得，圖象經過點1,0，將1,0代入yax2bxc可得ab20，

ab2，②正確；

該函數圖象與x軸的另一個交點為x1,0，且2x13，

b

對稱軸x1，

2a

bb

該圖象中，當x時，y隨著x的增大而減小，當x時，y隨著x的增大而增大，

2a2a

當x1時，y隨著x的增大而減小，

③正確；

ba2，c2，

關于x的一元二次方程ax2a2x20a0的根為

2

bb24aca2a28aa2a2

x，

2a2a2a

a0，

a22a2a22a

x，x1，

12aa22a

④正確；

2

2x3，即23，

1a

2

解得1a，

3

ab2即ab2，

2

1b2，

3

4

1b，

3

⑤正確．

綜上，②③④⑤正確，共4個．

故選：C．

【點睛】本題考查的知識點是二次函數的圖象與性質、拋物線與x軸的交點問題、一元二次方程的根

與系數的關系、二次函數與不等式的關系等知識，解題關鍵是熟練掌握二次函數的圖象與性質．

2

10.（2024黑龍江綏化）二次函數yaxbxca0的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=1，

則下列結論中：

b

①0②am2bmab（m為任意實數）③3ac1

c

④若Mx1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個點，則x1x23．其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據拋物線的開口方向，對稱軸可得a<0，b2a0即

可判斷①，x=1時，函數值最大，即可判斷②，根據x1時，y0，即可判斷③，根據對稱性

可得x1x22即可判段④，即可求解．

【詳解】∵二次函數圖象開口向下

∴a<0

∵對稱軸為直線x=1，

b

∴x1

2a

∴b2a0

∵拋物線與y軸交于正半軸，則c0

b

∴0，故①錯誤，

c

∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x=1,

∴當x=1時，y取得最大值，最大值為abc

∴am2bmcabc（m為任意實數）

即am2bmab，故②正確；

∵x1時，y0

即abc0

∵b2a

∴a2ac0

即3ac0

∴3ac1，故③正確；

∵Mx1,y、Nx2,y是拋物線上不同的兩個點，

∴M,N關于x=1對稱，

xx

∴121即xx2故④不正確

212

正確的有②③

故選：B

11.拋物線yx2bxc與x軸交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1，另一個交點的橫坐標小

于1，則下列結論正確的是（）

A.bc1B.b2C.b24c0D.c0

【答案】A

【解析】本題考查了二次函數的性質，設拋物線yx2bxc與x軸交于兩點，橫坐標分別為

x1,x2,x1x2，依題意，x11,x21，根據題意拋物線開口向下，當x1時，y0，即可判斷A

選項，根據對稱軸即可判斷B選項，根據一元二次方程根的判別式，即可求解．判斷C選項，無條

件判斷D選項，據此，即可求解．

2

【詳解】解：依題意，設拋物線yxbxc與x軸交于兩點，橫坐標分別為x1,x2,x1x2

依題意，x11,x21

∵a10，拋物線開口向下，

∴當x1時，y0，即1bc0

∴bc1，故A選項正確，符合題意；

bbb

若對稱軸為x1，即b2，

2a22

而x11,x21，不能得出對稱軸為直線x1，

故B選項不正確，不符合題意；

∵拋物線與坐標軸有2個交點，

∴方程x2bxc0有兩個不等實數解，即b24ac0，又a1

∴b24c0，故C選項錯誤，不符合題意；

無法判斷c的符號，故D選項錯誤，不符合題意；

故選：A．

二、填空題

1.（2024四川成都市）在平面直角坐標系xOy中，Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函數

2

yx4x1圖象上三點．若0x11，x24，則y1______y2（填“”或“”）；若對

于mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，存在y1y3y2，則m的取值范圍

是______．

1

【答案】①.②.m1

2

【解析】本題考查二次函數的性質、不等式的性質以及解不等式組，熟練掌握二次函數的性質是解答

的關鍵．先求得二次函數的對稱軸，再根據二次函數的性質求解即可．

2

【詳解】解：由yx24x1x23得拋物線的對稱軸為直線x2，開口向下，

∵0x11，x24，

∴x12x22，

∴y1y2；

∵mm1m2，mx1m1，m1x2m2，m2x3m3，

∴x1x2x3，

∵存在y1y3y2，

∴x12，x32，且Ax1,y1離對稱軸最遠，Bx2,y2離對稱軸最近，

∴2x1x32x22，即x1x34，且x2x34，

∵2m2x1x32m4，2m3x2x32m5，

∴2m24且2m54，

1

解得m1，

2

1

故答案為：；m1．

2

2.（2024四川內江）已知二次函數yx22x1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，點

P2,y1，Q3,y2在拋物線C上，則y1________y2（填“＞”或“＜”）；

【答案】

【解析】本題主要考查了二次函數圖象的平移以及二次函數的性質，由平移的規律可得出拋物線C的

2

解析式為yx1，再利用二次函數圖象的性質可得出答案．

2

【詳解】yx22x1x1，

∵二次函數yx22x1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，

2

∴拋物線C的解析式為yx1，

∴拋物線開口向上，對稱軸為x=1，

∴當x1時，y隨x的增大而增大，

∵23，

∴y1y2，

故答案為：．

2

3.（2024江蘇蘇州）二次函數yaxbxca0的圖象過點A0,m，B1,m，C2,n，

m

D3,m，其中m，n為常數，則的值為______．

n

3

【答案】-##0.6

5

2

【解析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，把A、B、D的坐標代入yaxbxca0，

求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關系，即可求解．

【詳解】把A0,m，B1,m，D3,m代入yax2bxca0，

cm

得abcm，

9a3bcm

2

am

3

8

解得bm，

3

cm

28

∴ymx2xm，

33

28

把C2,n代入ymx2mxm，

33

28

得nm22m2m，

33

5

∴nm，

3

mm3

∴5，

nm5

3

3

故答案為：-．

5

4.（2024武漢市）拋物線yax2bxc（a，b，c是常數，a0）經過1,1，m,1兩點，且

0m1．下列四個結論：

①b0；

2

②若0x1，則ax1bx1c1；

③若a1，則關于x的一元二次方程ax2bxc2無實數解；

11

④點Ax,y，Bx,y在拋物線上，若xx，xx，總有yy，則0m．

112212212122

其中正確的是__________（填寫序號）．

【答案】②③④

11m

【解析】本題考查了二次函數的性質，根據題意可得拋物線對稱軸0，即可判斷①，

22

根據1,1，m,1兩點之間的距離大于1，即可判斷②，根據拋物線經過1,1得出cb2，代

11m1

入頂點縱坐標，求得縱坐標的最大值即可判斷③，根據④可得拋物線的對稱軸，

224

解不等式，即可求解．

【詳解】解：∵yax2bxc（a，b，c是常數，a0）經過1,1，m,1兩點，且0m1．

b1m11m

∴對稱軸為直線x，0，

2a222

b

∵x0，a<0

2a

∴b0，故①錯誤，

∵0m1

∴，即1,1，m,1兩點之間的距離大于1

又∵a<0

∴xm1時，y1

∴若0x1，則，故②正確；

11m

③由①可得0，

22

1b

∴0，即1b0，

22

當a1時，拋物線解析式為yx2bxc

4acb24cb2

設頂點縱坐標為t

4a4

∵拋物線yx2bxc（a，b，c是常數，a0）經過1,1，

∴1bc1

∴cb2

22

4cbb4c1112

∴tb2cb2b2b21

44444

1

∵1b0，0，對稱軸為直線b2，

4

∴當b0時，t取得最大值為2，而b0，

∴關于x的一元二次方程ax2bxc2無解，故③正確；

1

④∵a<0，拋物線開口向下，點Ax,y，Bx,y在拋物線上，xx，xx，總有

112212212

y1y2，

xx1

又x12，

24

1

∴點Ax,y離x較遠，

114

11m1

∴對稱軸

224

1

解得：0m，故④正確．

2

故答案為：②③④．

5.（2024山東煙臺）已知二次函數yax2bxc的y與x的部分對應值如下表：

x43115

y059527

下列結論：①abc0；②關于x的一元二次方程ax2bxc9有兩個相等的實數根；③當

y

4x1時，的取值范圍為0y5；④若點m,y1，m2,y2均在二次函數圖象上，則

2

y1y2；⑤滿足axb1xc2的x的取值范圍是x<2或x3．其中正確結論的序號為

______．

【答案】①②④

【解析】本題考查了二次函數的圖象和性質，利用待定系數法求出a、b、c的值即可判斷①；利用

根的判別式即可判斷②；利用二次函數的性質可判斷③；利用對稱性可判斷④；畫出函數圖形可

判斷⑤；掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．

【詳解】解：把4,0，1,9，1,5代入yax2bxc得，

16a4bc0

abc9，

abc5

a1

解得b2，

c8

∴abc0，故①正確；

∵a1，b2，c8，

∴yx22x8，

當y9時，x22x89，

∴x22x10，

∵224110，

∴關于x的一元二次方程ax2bxc9有兩個相等的實數根，故②正確；

31

∵拋物線的對稱軸為直線x1，

2

∴拋物線的頂點坐標為1,9，

又∵a0，

∴當x1時，y隨x的增大而增大，當x1時，y隨x的增大而減小，當x=1時，函數取最大

值9，

∵x3與x1時函數值相等，等于5，

∴當4x1時，y的取值范圍為0y9，故③錯誤；

mm2

∵1，

2

∴點m,y1，m2,y2關于對稱軸x=1對稱，

∴y1y2，故④正確；

2

由axb1xc2得ax2bxcx2，

即x22x8x2，

畫函數yx22x8和yx2圖象如下：

yx2x2x3

由，解得1，2，

2

yx2x8y10y25

∴A2,0，B3,5，

2

由圖形可得，當x3或x2時，x22x8x2，即axb1xc2，故⑤錯誤；

綜上，正確的結論為①②④，

故答案為：①②④．

三、解答題

22

1.（2024北京市）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線yax2axa0.

（1）當a1時，求拋物線的頂點坐標；

（2）已知Mx1,y1和Nx2,y2是拋物線上的兩點.若對于x13a，3x24，都有y1y2，求

a的取值范圍.

【答案】（1）1,1；（2）0a1或a4

【解析】（1）把a1代入yax22a2x，轉化成頂點式即可求解；

（2）分①a0和a<0兩種情況，畫出圖形結合二次函數的性質即可求解；

本題考查了求二次函數的頂點式，二次函數的性質，運用分類討論和數形結合思想解答是解題的關鍵．

【小問1詳解】

2

解：把a1代入yax22a2x得，yx22xx11，

∴拋物線的頂點坐標為1,1；

【小問2詳解】

2a2

解：分兩種情況：拋物線的對稱軸是直線xa；

2a

①當a0時，如圖，此時3a3，

∴a1，

又∵a0，

∴0a1；

當a<0時，如圖，此時a4，

解得a4，

又∵a<0，

∴a4；

綜上，當0a1或a4，都有y1y2．

2.（2024福建省）如圖，已知二次函數yx2bxc的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C，

其中A2,0,C0,2．

（1）求二次函數的表達式；

（2）若P是二次函數圖象上的一點，且點P在第二象限，線段PC交x軸于點D,△PDB的面積是

△CDB的面積的2倍，求點P的坐標．

【答案】（1）yx2x2（2）3,4

【解析】本題考查二次函數表達式、二次函數的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方程、三角

形面積等基礎知識，考查運算能力、推理能力、幾何直觀等.

（1）根據待定系數法求解即可；

S△PDBn

（2）設Pm,n，因為點P在第二象限，所以m0,n0．依題意，得2，即可得出2，

S△CDBCO

求出n2CO4，由m2m24，求出m，即可求出點P的坐標．

【小問1詳解】

解：將A2,0,C0,2代入yx2bxc，

42bc0

得，

c2

b1

解得，

c2

所以，二次函數的表達式為yx2x2．

【小問2詳解】

設Pm,n，因為點P在第二象限，所以m0,n0．

1

BDn

S△n

依題意，得PDB2，即22，所以2．

S1

△CDBBDCOCO

2

由已知，得CO2，

所以n2CO4．

由m2m24，

解得m13,m22（舍去），

所以點P坐標為3,4．

3.（2024江蘇揚州）如圖，已知二次函數yx2bxc的圖像與x軸交于A(2,0)，B(1,0)兩點．

（1）求b、c的值；

（2）若點P在該二次函數的圖像上，且PAB的面積為6，求點P的坐標．

【答案】（1）b1，c2

，，，

（2）P1(24)P2(34)

【解析】【分析】本題主要考查二次函數與幾何圖形的綜合，掌握待定系數法求解析式，解一元二次

方程的方法是解題的關鍵．

（1）運用待定系數法即可求解；

（2）根據題意設Pm,n，結合幾何圖形面積計算方法可得點P的縱坐標，代入后解一元二次方程

即可求解．

【小問1詳解】

解：二次函數yx2bxc的圖像與x軸交于A(2,0)，B(1,0)兩點，

42bc0

∴，

1bc0

b1

解得，，

c2

∴b1，c2；

【小問2詳解】

解：由（1）可知二次函數解析式為：yx2x2，A(2,0)，B(1,0)，

∴AB1(2)3，

設Pm,n，

1

∴SAB·n6，

PAB2

∴n4，

∴n4，

∴當x2x24時，1870，無解，不符合題意，舍去；

當2時，，；

xx24x13x22

，，，

∴P1(24)P2(34)．

3

4.（2024云南省）已知拋物線yx2bx1的對稱軸是直線x．設m是拋物線yx2bx1

2

m533

與x軸交點的橫坐標，記M．

109

（1）求b的值；

13

（2）比較M與的大小．

2

【答案】（1）b3

3131331313

（2）當M時，M；當M時，M．

2222

b

【解析】【分析】（1）由對稱軸為直線x直接求解；

2a

3131331313

（2）當M時，M；當M時，M．

2222

【小問1詳解】

3

解：∵拋物線yx2bx1的對稱軸是直線x，

2

b3

∴，

212

∴b3；

【小問2詳解】

解：∵m是拋物線yx2bx1與x軸交點的橫坐標，

∴m23m10，

∴m213m，

∴m42m219m2，

∴m411m21，

而m23m1

代入得：m4113m11233m10，

∴m5mm433m10m33m210m333m110m109m33，

m533109m3333

∴Mm，

109109

∵m23m10，

313

解得：m，

2

31313313133

當Mm時，M0

22222

13

∴M；

2

31313313133213

當Mm時，M0，

22222

13

∴M．

2

【點睛】本題考查了二次函數的對稱軸公式，與x軸交點問題，解一元二次方程，無理數的大小比較，

解題的關鍵是對m5進行降次處理．

5.（2024陜西省）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索L1與纜索L2均呈拋物線型，

橋塔AO與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以O為原點，以直線FF為x軸，以橋塔AO所在

直線為y軸，建立平面直角坐標系．

已知：纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔BC之間的距離

OC100m，AOBC17m，纜索L1的最低點P到FF的距離PD2m（橋塔的粗細忽略不

計）

（1）求纜索L1所在拋物線的函數表達式；

（2）點E在纜索L2上，EFFF，且EF2.6m，FOOD，求FO的長．

32

【答案】（1）yx502；（2）FO的長為40m．

500

【解析】【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數解析式，根據題意求得函數解

析式是解題的關鍵．

2

（1）根據題意設纜索L1所在拋物線的函數表達式為yax502，把0,17代入求解即可；

32

（2）根據軸對稱的性質得到纜索L所在拋物線的函數表達式為yx502，由

2500

EF2.6m，把y2.6代入求得x140，x260，據此求解即可．

【小問1詳解】

解：由題意得頂點P的坐標為50,2，點A的坐標為0,17，

2

設纜索L1所在拋物線的函數表達式為yax502，

2

把0,17代入得17a0502，

3

解得a，

500

32

∴纜索L所在拋物線的函數表達式為yx502；

1500

【小問2詳解】

解：∵纜索L1所在拋物線與纜索L2所在拋物線關于y軸對稱，

32

∴纜索L所在拋物線的函數表達式為yx502，

2500

∵EF2.6，

32

∴把y2.6代入得，2.6x502，

500

解得x140，x260，

∴FO40m或FO60m，

∵FOOD，

∴FO的長為40m．

125

6.（2024上海市）在平面直角坐標系中，已知平移拋物線yx后得到的新拋物線經過A0,

33

和B(5,0)．

（1）求平移后新拋物線的表達式；

（2）直線xm（m0）與新拋物線交于點P