專題突破卷15立體幾何中的截面問題

量題好嵬

判斷正方體截面的形狀

星題好z破

題型一：判斷正方體截面的形狀

I.如圖，在正方體A8CD-aqqq中，E為AB中點(diǎn)，尸為線段上一動點(diǎn)，過。,E,P

的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

c.梯形D.菱形

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)p在G、2以及三個(gè)特殊位置時(shí)，截面圖形的形狀，選出正確選項(xiàng).

【詳解】B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)p與2重合時(shí),

取4g中點(diǎn)a,因?yàn)镋是A3中點(diǎn)，則EH//。。，且EH=DD[,

連接D￡、EH、叫、DtD,則四邊形為平行四邊形，

又因?yàn)樗云叫兴倪呅螢榫匦危逝懦鼴選項(xiàng);

C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)尸與C1重合時(shí),

取B瓦中點(diǎn)G,因?yàn)镋是A3的中點(diǎn)，所以EG//DC-

連接DE、EG、GCPC[D,截面四邊形EGC"為梯形，故排除C選項(xiàng);

D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)尸為G2中點(diǎn)時(shí),

因?yàn)镋是A3中點(diǎn)，所以PBJ/DE且PB尸DE,

連接P耳、耳￡、ED、DP,則四邊形￡B|PZ）是平行四邊形,

又因?yàn)橛?=JCP'BC：=叱寸）+*={7+暗,

2華~+*'

BtE=yjBE+BB；=BB；=

因?yàn)槭钦襟w，所以所以BIP=B]E,

所以平行四邊形班JD是菱形，故排除D選項(xiàng)；

不管點(diǎn)P在什么位置，都不可能是三角形.

故選：A.

2.已知正方體A8。-A4GR的棱長為2,點(diǎn)M、N、P分別為棱AB、CQ、的中點(diǎn),

則平面A/NP截正方體所得截面的面積為（）

A.BB.3也C.60D.6

2

【答案】B

【分析】通過平行畫出截面為正六邊形，然后結(jié)合正三角形面積計(jì)算其面積即可.

【詳解】如圖所示，分別取BC,AA，AR的中點(diǎn)。，E,F,

連接M2,NQ,ME,EF,PF,則M0/AC,FP/ZA^.

因?yàn)锳C〃AC,所以EP〃服。，同理得M//QN,EM//PN.

由基本事實(shí)及其三個(gè)推論得M，N,P,Q,E,尸六點(diǎn)共面,

所以平面MNP截正方體ABCD-A與GR所得的截面是六邊形.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知截面跳PNQM是邊長為垃的正六邊形,

所求面積S=6xgx應(yīng)x忘xsin605=3班.

故選：B

3.已知正方體ABCO-AMGA的棱長為6,點(diǎn)E,尸分別在棱。鴻，2G上，且滿足

D,ED,F1

點(diǎn)。為底面”CD的中心，過點(diǎn)￡，F(xiàn),。作平面EFO,則平面EFO截

正方體AB。-A瓦G2所得的截面面積為（）

A.8722B.6A/22C.4A/22D.2夜

【答案】A

【分析】由于上下底平行，則可得平面呼。與上下底面的交線平行，則可得所為平面跖O

與上底面4gGR的交線，AC為平面EFO與下底面ABCD的交線，則梯形EFC4為平面截

正方體的截面，可證得梯形跖。1為等腰梯形，根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系求解即可.

【詳解】連接AC網(wǎng)）,4G，AC與8。交點(diǎn)即為。，

D.ED.F1

因?yàn)榱矶怎?4G，

因?yàn)锳C||AC,所以EFIIAC,

所以E,F,O,A,C共面，

所以平面砂。截正方體ABCD-ABG2所得的截面為梯形EFCA,

D.ED.F1

因?yàn)檎襟wABCD-A耳GR的棱長為6,且方片=蕓=可，

所以AC=JAB?+BC?=&2+62=60，

在RtA>Z）|E/中，?E=DF=2,則EF=J*?+Dp?=20,

￡=

在RtZiA41K中，ADIA-￡>,￡=6-2=4,貝I]

122

AE=^A^+A.E=V6+4=2A/13,

在RtCG尸，ClF=D1Cl-DlF=6-2=4,貝[J

CF=JCC：+G尸=V62+42=2>/13,

過￡作￡211，47于M,則AM=AC=6五一2后二？后,

22

22

所以EM=yjAE-AM=J（2炳2_Q近y=2而,

所以等腰梯形EFC4的面積為

；x（EF+AC）xEM=gx（2夜+6近）x2而=8夜.

故選：A

D\FG

4.在長方體ABC。-A瓦G2中，AB=2AD=2AAi,點(diǎn)”是線段C，上靠近鼻的四等分

點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CG的中點(diǎn)，則平面40N截該長方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】延長交0c的延長線于點(diǎn)/，連接AF交BC于點(diǎn)a,連接NH,延長交

的延長線于點(diǎn)E,連接AE交于點(diǎn)G,連接GM,即可得到截面圖形，再利用相似驗(yàn)證

即可.

【詳解】延長MN交0c的延長線于點(diǎn)p，連接AF交2C于點(diǎn)H,連接NH,

延長交。。的延長線于點(diǎn)E,連接AE交于點(diǎn)G,連接GN,

則五邊形AHNMG為平面AMN截該長方體所得的截面圖形,

^^AB=2AD=2AAi=4,又點(diǎn)M是線段G2上靠近A的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CC1的

中點(diǎn),

所以GM=3,DtM=l,ClN=NC=l,所以CP=3,又CFHAB,

所以*=第=。，又BH+CH=2,所以CW=《,

CFCH37

又鬻=器，即3=益&，解得

DFED'匕幺+，3

又桀=獸，即券=」不，解得G〃=：,符合題意,

ADED22+A7

3

即五邊形A/m/MG為平面AAW截該長方體所得的截面圖形.

故選：C

5.如圖，在棱長為2的正方體AB。瓦GR中，內(nèi)部有一個(gè)底面垂直于的圓錐，當(dāng)

該圓錐底面積最大時(shí)，圓錐體積最大為（）

「A/3八

C.-----nu.——兀

26

【答案】C

【分析】取A8,AD，OR,RG，GBi，48的中點(diǎn)，記為M,N,E,F,P,G,當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正

六邊形肱VEEPG時(shí)該圓錐的底面積最大，結(jié)合圓錐體積公式計(jì)算即可得解.

【詳解】如圖所示，取■,相＞,。4而二64，瓦2的中點(diǎn),記為M,N,E,F,P,G,

易知六邊形MVEFPG為正六邊形，此時(shí)AC的中點(diǎn)。在正六邊形的中心，

當(dāng)圓錐底面內(nèi)切于正六邊形肋VEFPG時(shí)該圓錐的底面積最大，

設(shè)此時(shí)圓錐底面圓半徑為「，因?yàn)?所以r力MN下,

22

圓錐底面積為s=兀/=5兀，圓錐頂點(diǎn)為A（或。）處，

此時(shí)圓錐體積最大，此時(shí)V=，S.AO=1＞＜。兀義‘2+2="兀.

33222

故選：C.

6.在正方體ABC。-ABC?中，點(diǎn)瓦廠分別為棱A5,AO的中點(diǎn)，過點(diǎn)瓦EG三點(diǎn)作該正

方體的截面，則（）

A.該截面多邊形是四邊形

B.該截面多邊形與棱BBI的交點(diǎn)是棱BB,的一個(gè)三等分點(diǎn)

C.AC,平面GE尸

D.平面平面GEF

【答案】B

【分析】將線段跖向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱C。的延長線交于G,H,連

qBPBG1

GG,C聲分別與棱叫,DR交于P,Q，可判斷A；利用相似比可得〒="=個(gè)可判斷B；

證明AC,平面8G。即可判斷c；通過證明AC，平面A片。，可判斷D.

【詳解】對于A,將線段所向兩邊延長，分別與棱CB的延長線，棱CD的延長線交于G,H,

連￡G，GH分別與棱8用刀2交于尸,。，得到截面多邊形￡P(guān)E/。是五邊形，A錯(cuò)誤；

對于B,易知△A￡F和aBEG全等且都是等腰直角三角形，所以G2=AF=1BC,

2

BPBG1BP1

所以==即高"=1,點(diǎn)P是棱83］的一個(gè)三等分點(diǎn)，B正確；

CCj（jrCJDDXJ

對于C,因?yàn)锳B|_L平面BCC^I，8C|U平面3CGB1,所以4月，3￡,

又BG_LB]C,AlBl4c=4,4片,與Cu平面44c,所以_L平面4耳。,

因?yàn)锳Cu平面44C,所以ACLBG，同理可證4CLB。，

因?yàn)锽DcBQ=B,BD,BQu平面BCQ,所以_L平面BCQ,

因?yàn)槠矫鍮G。與平面C|EP相交，所以A0與平面GE尸不垂直，C錯(cuò)誤；

對于D,易知BCJIAD\,BDIIBR,所以人。，AR,，耳R,

又ARcBR=R,ADi,BlDiuABR,所以_L平面A5Q,

結(jié)合C結(jié)論，所以平面C|E尸與平面A瓦。不平行，D錯(cuò)誤.

故選：B.

7.在正方體ABCD-ASGD中，瓦尸,G分別為BC,CD,的中點(diǎn)，若AB=4,則平面EFG

截正方體所得截面的面積為（）

A.672B.6月C.1272D.12相

【答案】D

【分析】借助正方體截面的性質(zhì)可得該截面是邊長為2后的正六邊形，計(jì)算其面積即可得.

【詳解】如圖，過點(diǎn)G作跖的平行線交于點(diǎn)J,過點(diǎn)?/作FG的平行線交A用于點(diǎn)/,

過點(diǎn)/作EF的平行線交AR于點(diǎn)“，易知點(diǎn)J,/,H都在截面EFG內(nèi),

且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長為2近的正六邊形，

所求面積S=6x[x20'x2收xsin600）=12

故選：D.

8.已知正方體A88-A瓦C2的邊長為1,現(xiàn)有一個(gè)動平面a,且a〃平面4BD,當(dāng)平

面a截此正方體所得截面邊數(shù)最多時(shí)，記此時(shí)的截面的面積為S,周長為/,則（）

A.S不為定值，/為定值B.S為定值，/不為定值

C.S與/均為定值D.S與/均不為定值

【答案】A

【分析】利用正方體棱的關(guān)系，判斷平面。所成的角都相等的位置，可知截面邊數(shù)最多時(shí)為

六邊形.如圖所示，可計(jì)算出周長為定值，計(jì)算正三角形的面積和截而為正六邊形時(shí)的

截面面積通過比較即可得答案.

【詳解】正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，與面AQB平行的面且截面是六邊形

時(shí)滿足條件，如圖所示,

正方體邊長為1,即所〃48

EF.則嫗

設(shè)---=2,=B[E=X,

以A.B4局

NE_\E

=l-A,:.EF+NE=yf2A+>/2（l-A）=y/2,

同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和均為友,

.??六邊形的周長/為定值30，

正三角形*5的面積為三③缶向

當(dāng)M,N,E,P,G,H均為中點(diǎn)時(shí)，六邊形的邊長相等即截面為正六邊形時(shí)截面面積最大，

此時(shí)=，截面面積為‘X-xsin60x6=-x—x—x6=^^-,

222224

\J\7

.??截面從AD8平移到與C2的過程中，截面面積的變化過程是由小到大，再由大到小，故

可得周長/為定值，面積S不為定值.

故選：A

9.已知正方體的棱長為4,M為棱QC的中點(diǎn)，N為側(cè)面BG的中心，過點(diǎn)

M的平面a垂直于ZW,則平面1截正方體AC】所得的截面面積為（）

A.4（A/5+A/2）B.2上

C.56D.4拓

【答案】D

【分析】取BC,CC|的中點(diǎn)￡,尸，由ADM^DCE,證得All再由C￡_L平面ABCD,

證得從而得到AM，平面ONE,同理證得利用線面垂直的判定定

理，證得DV人平面ARM,得到平面a截正方體的截面為△AQM,進(jìn)而求得截面的面積,

得到答案.

【詳解】如圖所示,

取BC,CG的中點(diǎn)及/，分別連接,

在正方形ABCD中，因?yàn)榉謩e為DC,BC的中點(diǎn)，可得.ADMsDCE,

所以NOAM="DE,ZAMD=ZCED,

因?yàn)镹A￡>M=90,所以NAMD+NCDE=90,所以NDPM=90,即

又因?yàn)镋,N分別為BC,BCt的中點(diǎn)，所以NE//CG,

因?yàn)槠矫鍭BC￡）,AMu平面ABCD,所以CglAM,所以AM_LNE,

又因?yàn)镈ENE=E且DE,NEu平面DNE,所以A"_L平面OVE,

因?yàn)閆）Nu平面￡WE,所以A"_L￡>N,同理可證：DtM±DN,

又因?yàn)锳M2M=/且41公2知<=平面AAM，所以DN人平面ARM,

即平面a截正方體ABC。-ABCR的截面為,

由正方體AB。-的棱長為4,

在直角AOR中，可得明=）心+可"2="+不=4也,

在直角△ADM中，可得.=Jm+W2="+2?=26，

在直角叫M中,可得RM=、DD；+D”=〃+2?=2式,

所以截面的面積為5=^乂40*於同=4瓜

故選：D.

10.在棱長為1的正方體A8CD-AB|G2中，E,F,G分別為棱A4,BC,CQ的中點(diǎn),

動點(diǎn)"在平面EFG內(nèi)，且￡>〃=1.則下列說法正確的是（）

A.存在點(diǎn)a,使得直線。”與直線尸G相交

B.存在點(diǎn)使得直線DHL平面EFG

C.直線4H與平面ERG所成角的大小為m

D.平面ERG被正方體所截得的截面面積為更

2

【答案】C

【分析】連接。/，DG,取尸G的中點(diǎn)M,連接DM,點(diǎn)。到線段尸G的最短距離大于1,

\EF-n\

即可判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)。到平面EFG的距離為=里＜1,即可判斷B；

M2

由￡＞4_L平面EFG,連接交EG于點(diǎn)。，Rt。用"與全等，所以

IT

ZBlHO=ZDHO=^,即可判斷C；平面EFG被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且

邊長為正，可求截面面積.

2

【詳解】

連接DE,DG,所以口同=QG|=],忻@=等，取FG的中點(diǎn)連接。0,

所以逑＞1,點(diǎn)。到線段尸G的最短距離大于1,所以不存在點(diǎn)使得直線。”與

114

直線FG相交，故A不正確；

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,所在直線為x軸，V軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，則,1,0,；＞尸@』，0)，G[O,I,￡|,D(O,O,O),

所以所=1),1,_曰，￡G=(-1,1,0),DE=(l,0，m，

11八

EF-n=0——x+y——z=0

設(shè)平面EFG的法向量為it=(x,y,z),所以，即《22

EG-n=Q

-x+y=0

令x=l,貝！Jy=l,z=l,所以〃=(1,1,1),

\DE-n|Q伺

所以點(diǎn)。到平面砂G的距離為^^=斗="＜1,而。H=l,所以不存在點(diǎn)H,使得

\n\2V32

直線。H_L平面EFG,故B不正確；

因?yàn)椤?=(1/,1),所以。耳，平面EFG,連接。瓦交EG于點(diǎn)。，所以。為。耳的中點(diǎn),

DO=BQ=當(dāng),

所以ZB.HO為直線B,H與平面瓦G所成角,

因?yàn)镈H=1,在Rt^ODF/中，sinZDHO=—=—,

DH2

TTTT

所以ND"O=§,因?yàn)镽tOB位與RtAODH全等,所以N耳“O=ND"。=§,故C正確;

延長GP交與8的延長線于N,連接EN交A3于P,連接P/L取2G的中點(diǎn)K,2A的中

點(diǎn)J,

連接KG,EJ,KJ,KG//EP,EJ//GF,KJ//PF,

平面EFG被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為交，

2

所以截面面積為6x^x走、亞=士叵，故D不正確.

2244

故選：C.

題型二：球的截面性質(zhì)與計(jì)算

11.已知正三棱錐A-BCD的外接球是球。，正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱48=2/，點(diǎn)E在

線段應(yīng)＞上，且BE=DE,過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

9兀

A.2兀B.——C.3兀D.4兀

4

【答案】D

【分析】設(shè)，3。）的外接圓的圓心為。1，根據(jù)RtAOQD中，R2=3+（3-R）2,解得R,過點(diǎn)

E作圓。的截面，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，由此能求出所得截面圓面積的最大值.

【詳解】如圖，設(shè)，應(yīng)心的中心為。一球。的半徑為R,連接0D,

2

則。。=3sin60°x：=g,AOt=y/AD-DO[=3,

在RtAOOQ中，R2=3+（3_R）Z,解得R=2,

當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為兀.改=4兀.

???所得截面圓面積的最大值為4兀.

故選：D.

12.已知球。的體積為中，點(diǎn)A到球心。的距離為3,則過點(diǎn)A的平面。被球。所截的

截面面積的最小值是（）

A.9兀B.1271C.16兀D.20兀

【答案】C

【分析】根據(jù)球的體積公式，結(jié)合球的截面的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)球。的半徑為R,則]兀心=詈，解得R=5.

因?yàn)辄c(diǎn)A到球心O的距離為3,

所以過點(diǎn)A的平面a被球O所截的截面圓的半徑的最小值為r=廬于=4，

則所求截面面積的最小值為兀產(chǎn)=16兀.

故選：C

13.在正六棱柱ABCQEF-A4GA4片中，A4,=2AB=6,。為棱AA】的中點(diǎn)，以。為球心,

6為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（）

A.(3+73)11B.(6+退)兀C.(3+2括)兀D.(6+26)兀

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)G,“分別為CG，￡>2的中點(diǎn)，連接

OG，A￡,OEi，AE，OG,OH,由題意可知球。不與側(cè)面42片4及側(cè)面人/片片相交，球。與

側(cè)面BCG瓦交于點(diǎn)C1,C,與側(cè)面所與片交于點(diǎn),然后分別判斷與其余4個(gè)面的交線,

求出球面與正六棱柱各個(gè)面所交的弧線的長度之和即可

【詳解】因?yàn)榍颉５陌霃綖?,AB=3,所以球。不與側(cè)面及側(cè)面ASA相交，

設(shè)G,H分別為CCPDDl的中點(diǎn)，連接OG，A3,OE「AR,OG,OH,

則由題意可得OA,=3,=A4=36,

所以O(shè)G=70A2+AG2=A/9+27=6,

所以球。與側(cè)面BCCtBt交于點(diǎn)G,C,與側(cè)面EFFE交于點(diǎn)0E,

在正六邊形44GA&耳中，因?yàn)镹BiG2=i20o,NAC4=30°,所以NAG2=90°,

所以AG^CQ,

因?yàn)镃C]_L平面A4C1R￡；耳，A[C]U平面44￡￡)|￡；g，所以CG^AG，

因?yàn)镃DcCG=c,,C[2，CC]u平面cDDtct,

所以4G，平面CDAG，所以。G,平面CD￡>C，且0G=3有，

所以=y/OG2+GH2=727+9=6，

所以球。與側(cè)面CDD.C,的交線是以CG為直徑的半圓，

同理可得球。與側(cè)面EDDE的交線是以E6為直徑的半圓，

JT1

因?yàn)镹E|AG=；，所以球。與上下底面的交線均為工個(gè)半徑為36的圓，

36

所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為

2TIX3+2X—x2^x3^3=671+26兀

6

故選：D

i/r,：zJxlc,

B(

14.已知S?=2,底面半徑0A=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過S和。/中點(diǎn)的平面截球。所

得截面面積的最小值為()

D.5兀

【答案】A

【分析】根據(jù)球的截面性質(zhì)，結(jié)合三角形面積等積性、勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】如圖，

S

7(9

設(shè)球。的半徑為R,線段。的中點(diǎn)為E,因?yàn)?/p>

所以42+(R-2)2=代，解得R=5,

設(shè)經(jīng)過S和。質(zhì)中點(diǎn)E的平面截球。所得截面圓的圓心為。2,半徑為「，球心。到截面的距

離0。2=d，

則產(chǎn)=改一/，要截面面積最小，則〃要最小，即d要最大，

因?yàn)楫?dāng)d為點(diǎn)。到SE的距離時(shí)最大，此時(shí)小SE=SO-EQ,又5片=后方=2應(yīng)，

所以六'二屹=忑,

所以戶=52一壹與

故截面面積的最小值為兀/=yK.

故答案為：-

故選：A

15.已知邊長為6的正方體與一個(gè)球相交，球與正方體的每個(gè)面所在平面的交線都為一個(gè)面

積為16兀的圓，則該球的表面積為（）

A.967tB.100兀C.125TID.204兀

【答案】B

【分析】首先得截面圓半徑，再求得球心到截面圓的距離即可得球的半徑，結(jié)合球的表面積

公式即可求解.

【詳解】由對稱性，球心與正方體重心重合，且每個(gè)面的交線半徑為4.

連球心與任意面中心，則連線長為3,且連線垂直該面，

再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球半徑），由勾股定理得球的半徑為5,

則表面積為4兀-5?=100TT.

故選：B.

16.已知三棱錐ABC的體積是如，42,C是球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且NACB=60。，

36

AB=BAC+BC=2,則球。的表面積為（）.

A.36兀B.24TIC.1271D.8兀

【答案】C

【分析】利用正弦定理即可求出VABC的外接圓半徑，即可求出三棱錐O-ABC的高，利用

余弦定理即可求出ACBC,可計(jì)算出三角形ABC的面積，再利用錐體的體積公式，進(jìn)而求

解.

【詳解】因?yàn)锳B=6，=60°,

所以由正弦定理得，VABC的外接圓半徑為r=,=1,

2sin60°

在VABC中，由余弦定理可得3=AB2=AC2+BC2_2AC-3CCOS60。

=AC2+BC2-ACBC=（AC+BC）2-3AC-BC,

所以34>30=（47+8（浮-3,

又因?yàn)锳C+3c=2,所以AC8C=g,

所以Sa”=-AC-BCsin60°=-x-x^=—,

△ABC223212

因?yàn)?=—S〃

aAbBcCAABC?/j=—xx=,

°-3"c31236

:』=母，由球中的截面性質(zhì)及勾股定理，可知球的半徑R=病下=石，

所以球O的表面積為：S=47IT?2=12TI.

故選：C.

17.已知球O半徑為4,圓。|與圓。2為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦長為4,若|OQ|=3,

\oo2\~y/3,則兩截面圓的圓心距|aal=（）

A.#B.孚C.3+V3D.26

【答案】D

【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面，求得兩個(gè)圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形

以及勾股定理求解即可.

【詳解】設(shè)圓。?與圓。2公共弦為A3,其中點(diǎn)為E，

2222

則I。1司==V4-3=J7，|。2Al=7|OA|-|OO2|=?一舊=而,

所以|0閩=J|O|A「一=萬］=A/3,\O2E\=J|QA|2T時(shí)=V13-4=3,

3

所以在RtAOQE中，tan/OEO|=耳=6,所以NOEO1=60,

在RtAOO,E中，tan/OEO,="，所以ZOEO2=30,

3

所以在ME。中，/0皿=90，所以［0a=Jn/+Q百=囪百；=2石

故選：D.

18.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓面叫做球冠的底，垂直于圓面的直徑被

截得的一段叫做球冠的高.球冠也可看作圓弧繞過它的一個(gè)端點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲

面.假設(shè)球面對應(yīng)球的半徑是R,球冠的高是/7,那么球冠的表面積公式為5=2成據(jù)中

國載人航天工程辦公室消息，北京時(shí)間2023年12月21日21時(shí)35分，經(jīng)過約7.5小時(shí)的

出艙活動，航天員湯洪波、唐勝杰已安全返回天和核心艙，神舟十七號航天員乘組第一次出

艙活動取得圓滿成功.若航天員湯洪波出倉后站在機(jī)械臂上，以背后的地球?yàn)楸尘埃鐖D所

示，面向鏡頭招手致意，此時(shí)湯洪波距離地球表面約為400km（圖中的點(diǎn)A處），設(shè)地球半

徑約為Rkm,則此時(shí)湯洪波回望地球時(shí)所能看到的地球的表面積為（）

2200兀氏2

IOOTTT?,2pC.S版2「800兀改

AA.----------kmB.-----kmD.----------km

H+400H+4007?+400H+400

【答案】D

【分析】由題意可得。。'=結(jié)合公式S=2M十算即可求解.

,又OC=R,

R2

則R2=OO'OA=OO\R+400),得OO'=

R+400'

所以兀兀成2400007L/?

S=2R/z=2R(R—OO')=2(R——--)=2K/?--=-§(km?).

R+400R+400R+400

即此時(shí)湯洪波回望地球時(shí)所能看到的地球的表面積為黑（W）.

故選：D

19.若正四面體P-ABC的棱長為26，M為棱上4上的動點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐M-ABC的外接

球的體積最小時(shí)，三棱錐M-A3C的體積為（）

A.乎B.472C.46D.8也

【答案】A

【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)分析外接球的球心位置，再構(gòu)造長度的等量關(guān)系，即可求解三棱

錐的體積.

【詳解】如圖,

在正四面體尸-A5C中，假設(shè)尸〃，底面ABC,則點(diǎn)H為VABC外心.

在上取一點(diǎn)O，滿足OA=OM,則O為三棱錐〃-ABC的外接球球心.

當(dāng)。4取得最小值時(shí)，最小，三棱錐A1-ABC的外接球體積最小，此時(shí)點(diǎn)。與點(diǎn)H

重合.

作垂足為N,:.MN//PH,

為三棱錐M-ABC的高.

由正四面體尸-ABC的棱長為2TL易知AH=2=MH,

所以尸H==2四,PA=273,AH=2.

由■^■=^^=后，設(shè)AZV=x,則AW=&x，HN=2-x.

AHAN

由HM?=MN?+HN?，得2?=（2-才+（缶y,解得了=：.

…4A/2”\6Jr\24724A/6

?[MN=—^~.，咚棱錐“-ABC=§x彳X（2石）=

故選：A

20.四棱錐P-ABCD各頂點(diǎn)都在球心。為的球面上，且上4,平面ABC。，底面ABC。為

矩形，PA=AD=2,AB=2啦,設(shè)M,N分別是尸￡>,。的中點(diǎn)，則平面AMN截球。所得截

面的面積為（）

A.兀B.3兀C.47cD.2兀

【答案】B

【分析】根據(jù)線面垂直關(guān)系可得四棱錐P-ABCD外接球與以ARAB，/⑦為棱長的長方體的

外接球相同，確定外接球半徑R,根據(jù)線面關(guān)系求解三棱錐A-MVC的體積，利用等體積法

確定球心。到平面AMV的距離為1,從而得截面面積.

【詳解】因?yàn)閰瞋L平面ABCD,底面ABCD為矩形，

如下圖所示，

易知四棱錐尸-ABC。外接球與以為棱長的長方體的外接球相同；

由題意可知球心。為PC中點(diǎn)，

故球0的直徑2R=《2?+2?+(2用=4,解得R=2

由分別是的中點(diǎn)可得MV〃尸C,因?yàn)槭珻.平面4VW,可得「C〃平面AW；

所以球心0到平面AMN的距離等于點(diǎn)C到平面AMN的距離，

設(shè)球心。到平面的距離為d,截面圓的半徑為，，

因?yàn)镻A=AO=2,A8=2后，M分別是PD的中點(diǎn)，所以且

又MN=LpC=—4PD2+DC2=2,AN=>]AD2+DN2=血,

22

所以AN?=4屈2+”解，故又MDcPD=D,MD,PDu平面MNC,所以AM_L

平面MNC,

=x

且SMNCT也xA/2=1,所以VA_MNC=—xSMNCxAM=——，

NJJ

而％-AMN=gxSAMN-d=^x^xy/2x2d=^~,由等體積法得d=l,

所以r=R2一儲=3,故截面面積為初2=3兀.

故選：B.

題型三：求算正方體截面的周長及其它

21.正方體ABC。-ABCQI的棱長為1,E,F,G分別為3C,CG，B瓦的中點(diǎn)，下列結(jié)論中

正確的是（）

A.DD,1AF

B.CjG//平面4￡萬

3

C.直線C￡與直線AE所成角的余弦值為；

9

D.平面凡所截正方體所得的截面面積為g

8

【答案】D

【分析】利用空間中直線、平面的位置關(guān)系及異面直線夾角的求法、平面的性質(zhì)結(jié)合正方體

的特征計(jì)算即可.

【詳解】易知。R〃CC],而eq，底面ABC￡>,ACu底面ABCD,即,

所以AF與CG不垂直，故A錯(cuò)誤；

在平面BCGB]中，易知2F//GG，且BFu平面ABF,3弓<2平面48尸，

故CQ〃平面Afi尸，顯然平面ABB平面他產(chǎn)二井^但兩平面不重合，故B錯(cuò)誤;

取C尸的中點(diǎn)H,易得BFIIGCJIEH,

則異面直線GG與AE所成角為NAEH（或其補(bǔ)角）,

由正方體棱長為1可知AE=好,EH=好,AH=叵，

244

?Arn—p/rr/AFTrAE^+EH^-2

由余弦定T理可知cosNAEH=----------------=——，

2AEEH5

2

所以異面直線GG與AE所成角的余弦值為：，故C錯(cuò)誤;

連接AR,易得EF//BC\〃AD\,則平面AE歹截正方體所得圖形即梯形成叫A,

易知2EF=&=AD、,AE=DF=與,

\2

、V2

所以梯形吵A的面積Sf3夜[994右門七語

+V2x2=------x-1—，故D正確.

2488

77

7

故選:D

22.如圖，正方體ABC。-A耳C2的棱長為2,E,尸分別為BC,CQ的中點(diǎn)，則平面出

截正方體所得的截面面積為（）

39

A.-B.-C.9D.18

22

【答案】B

【分析】根據(jù)E,尸分別是BC,CG的中點(diǎn)，得至IJ所BQ,利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，有

A，BQ,從而有斯AD,,由平面的基本性質(zhì)得到42,E/在同一平面內(nèi)，截面

是等腰梯形，再利用梯形面積公式求解.

【詳解】由題知連接BG，A，，D,F,如圖所示

因?yàn)榉謩e是BC,CG的中點(diǎn)，所以匹BC、,

在正方體中A2BC],所以EFADt,

所以A,瓦尸在同一平面內(nèi),

所以平面A跖截該正方體所得的截面為平面瓦,因?yàn)檎襟w的棱長為2,

所以EF=夜，AD、=2?,DF=AE=1*+f=B

則E到期的距離為等腰梯形E叫A的高為

所以截面面積為S=g（20+0）x半=|,故B正確.

故選：B.

23.如圖，在棱長為2的正方體48。-中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)A，E,C

的平面截正方體，則截面周長為（）

A.3A/2+2A/5B.9c.2V2+275D.3V2+2V3

【答案】A

【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長即可.

【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G,連接GE,AG,AC.

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以GE〃AC,GE=^AC,

又招〃"[,A4]=CG，

所以四邊形ACGA為平行四邊形,

所以AC//AG，AC=AiCi,

所以AG〃GE,AG=2GE,

所以用過點(diǎn)A，E,G的平面截正方體，所得截面為梯形ACEG,

其周長為20+?+應(yīng)+6=3忘+2右.

故選：A.

24.如圖,正方體ABCD-ABG2的棱長為3,點(diǎn)P是平面ACg內(nèi)的動點(diǎn),M,N分別為CtDt,

8。的中點(diǎn)，若直線8尸與所成的角為6,且sinO=咚，則動點(diǎn)尸的軌跡所圍成的圖形

的面積為（）

【答案】A

【分析】連接BA，BG，得到MN/AB2,把BP與MN所成的角就是直線BP與22所成

的角，在正方體A2CD-A4GQ中，證得平面ACB」得到NP3R=e,設(shè)BA與平面

AC4的交點(diǎn)為G,連接PG,結(jié)合題意，得到點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，!為半徑的圓，根

據(jù)圓的面積公式，即可求解.

【詳解】如圖所示，連接82,8G，則N為8G的中點(diǎn)，又M為G2的中點(diǎn)，所以MN//8。，

因此直線BP與MN所成的角就是直線BP與BD1所成的角，

在正方體ABC。一A4GR中，可得ACJLBD,

因?yàn)椤_L平面ABC￡>,ACu平面ABCD,可得AC_LDR,

又因?yàn)锽O。。1=。且32。，匚平面2。￡）聲，所以AC,平面,

因?yàn)锽Ru平面BZ?R4，所以AC，同理可得A耳，BR,

因?yàn)锳CcA4=A,且AC,AB|u平面AC4，所以B"_L平面AC4，則/尸斑\(yùn)=6.

設(shè)BR與平面ACB,的交點(diǎn)為G,連接PG,所以BRLPG,

在直角△PGB中，tan0—...,因?yàn)閟in6=9^,所以tan。=---=—,

BG5BG2

又由86=^32=所以PG=立，

332

所以點(diǎn)P的軌跡是以G為圓心，乎為半徑的圓，其面積為兀x（#）2=中.

故選：A.

25.如圖，在棱長為1的正方體ABCO-AAGD中，P,M,N分別為棱CG，C民C。上的動

點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，G重合）.若CP=CM=CN,則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）

7T

②直線MN與A2所成角為g；

③BD[//平面PMV；

④用平行于平面麗的平面a去截正方體，得到的截面為六邊形時(shí)，該六邊形周長一定為

372.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)已知得出4到平面9V的距離的范圍，即可得出①；平移即可得出②正確；

根據(jù)①可知平面MAP//平面BG。，進(jìn)而說明82與平面BCQ相交即可判斷③；根據(jù)已知

作出截面，即可求出周長.

【詳解】對于①，連接4￡,26,4民2,6。，4。,環(huán)7,如圖I所示：

圖1

因?yàn)镃P=CM=QV,所以易用MNUBD,NP//C\D,MPUBG，

且平面MNP//平面BCQ,

又已知三棱錐A-2G。各條棱長均為近，所以三棱錐A為正四面體,

所以A到平面2CQ的距離為:

因?yàn)?4,平面BCC4,所以A4LBG，又與c,且A瓦瓦c=瓦，

AA，與Cu平面44C,所以BC]_L平面A4C,又ACu平面A4C,所以8GAAC,

同理可得G。，AC