專題03軸對稱（考點清單，知識導圖+5個考點清單+7種題型解

讀）

考點儕單

-.—,—.—.一

［有關軸對稱

概念軸對稱圖形

r

線\定義'、:—經過線段中點并且垂直于這條線段的直線

段

的

垂

直

平「性主［:——線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等

（-［軸對稱日

分

X.__1線

7/利量一與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上

\（

對應線段相等，對應角相等

EB(對稱軸垂直平分連接對應點的線段

L關于X軸對稱的兩個點的坐標特征——橫坐標相等，縱坐標互為相反數

成軸對

稱的點

的坐標關于）,軸對稱的兩個點的坐標特征——橫坐標互為相反數，縱坐標相等

,____、「等邊對等角

:'性屆

等腰,……L三線合一

軸對稱

-______Z三角形

「朝莞等腰三角形的定義

I方一法等角對等邊

:、性質；—三條邊都相等，三個內角都相等且每一個內角都等于60。

-等邊三角形的定義

:利定：J三個角都相等的三角形是等邊三角形

方法，:

I有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形

含30。角的直角—:在直角三角形中，如果一個銳角等于30。，那么它

白■角形的性質J［所對的直角邊等于斜邊的一半

1（圖案設計）

【清單01】軸對稱

1.軸對稱圖形和軸對稱

(1)軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條

直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.

(2)軸對稱

定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條

直線對稱，這條直線叫做對稱軸.

要求歸納：成軸對稱的兩個圖形的性質：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等

形；

②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；

③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.

(3)軸對稱圖形與軸對稱的區別和聯系

要點歸納：軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及

兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么

這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.

2.線段的垂直平分線

線段的垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與一條線

段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

要點歸納：

線段的垂直平分線的性質是證明兩線段相等的常用方法之一.同時也給出了引輔助線的方法，那就是遇

見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現相等線段，直接或間接地為構造全等三角形

創造條件.

三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心一一外

心.

【清單02】作軸對稱圖形

1.作軸對稱圖形

(1)幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就

可以得到原圖形的軸對稱圖形；

(2)對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(如線段端點)的對稱點，

連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.

【清單03】等腰三角形

1.等腰三角形

(1)定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

如圖所示，在AABC中，AB=AC,則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,/A是頂角,

/B、/C是底角.

要點歸納：等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45。.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角

(或直角)，但頂角可為鈍角(或直角).

180°-ZA

ZA=180°-2ZB,/B=NC=-------------.

2

(2)等腰三角形性質

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；

②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).特別

地，等腰直角三角形的每個底角都等于45。.

(3)等腰三角形的判定

如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(即“等角對等邊“).

要點歸納：等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關系轉化為邊

的相等關系的重要依據.等腰三角形的性質定理和判定定理是互逆定理.

2.等邊三角形

(1)定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.

要點歸納：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形.也就是說等腰三角形包

括等邊三角形.

(2)等邊三角形性質：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.

(3)等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

【清單04】含30°角的直角三角形的性質（重點）

（1）含30度角的直角三角形的性質：

在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.

（2）此結論是由等邊三角形的性質推出，體現了直角三角形的性質，它在解直角三角形的相關問題中常用

來求邊的長度和角的度數.

（3）注意：①該性質是直角三角形中含有特殊度數的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三

角形不能應用；

②應用時，要注意找準30°的角所對的直角邊，點明斜邊.

【清單05】最短路徑問題（重點）

1.垂直線段最短問題

動點所在的直線已知型

方法技巧：一動點與一定點連成的線段中，若動點在定直線上，則垂線段最短。

2.將軍飲馬問題

方法技巧：定點關于定直線對稱轉化為兩點之間線段最短求最值.

①兩定一動

③兩定兩動

3.“造橋選址”問題

方法技巧：將分散的線段平移集中，再求最值.

強型陸單

【考點題型一】軸對稱與軸對稱圖形

【例1】（23-24八年級上.廣東湛江?期中）下列的圖形中，F左邊F圖形與右邊圖形成軸對稱的是（）

A.B.-

FH

C.一.D.

III

【變式1-1]（23-24八年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，AABC和AAB'C關于直線/對稱，點尸為直線

/上一點，則下列說法中錯誤的是（）

B./垂直平分CC'C.PC=PCD.ABAC=ZCAC

【變式1-2]（23-24八年級上?河北石家莊?期中）如圖，VABC和AAB'C關于直線/對稱，連接

BB'、CC,其中河與直線/交于點。，點。為直線/上一點，且不與點。重合，連接AZXAD.下

A.ZACB=ZA'CB'

B.線段4T、BBtCC被直線/垂直平分

C.AAZM'為等腰三角形

D.線段AC、AC'所在直線的交點不一定在直線/上

【變式1-3］（21-22八年級上.江西上饒?期中）如圖，ZA=20°,ZC'=60°,VABC與AA'3'C'關于直線/

對稱，則ZB=.

/

AA'

【變式1-4］（23-24八年級上?吉林?期中）如圖，VABC和VADE關于直線MN對稱，BC與DE的交點、尸

在直線"N上.

（1）圖中點。的對應點是點,AE的對應邊是

⑵若NZME=108。，ZEAF=39°,求—D4C的度數.

【考點題型二】線段垂直平分線的判定

【例2】（23-24八年級上?廣西玉林?期中）如圖，在VABC中，A3的垂直平分線DM交于點。，邊

AC的垂直平分線EN交BC于點E.已知VADE的周長為8cm,則8C的長為（）

【變式2-1]（23-24八年級上?湖南懷化?期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=CB,DA=DC,我們把這

種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”，以下四個結論，正確的有（）

①AC2BD；?AC=2OA；③AC平分工BAD；④四邊形ABC。的面積=:ACID.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式2-2]（23-24八年級上?四川資陽?期中）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、相交于。，

△ABO烏/XADO.下列結論：?AC.LBD；②CB=CD；③△ABC烏△ADC；?DA=DC.其中，正確

結論的序號是.

【變式2-3].（23-24八年級上.江蘇宿遷?期中）如圖，AD是AABC的角平分線，DE、。尸分別是△ABD

和AACD的IWJ.

（1）試說明AD垂直平分￡7L

(2)若AB=8,AC=6,又詠=28,求DE的長.

【變式2-4]（23-24八年級上.山東濱州?期中）如圖，VABC中，所垂直平分AC,交AC于點尸，交BC

于點E,AD±BC,垂足為D且3。=八￡,連接AE.

⑴求證：AB=EC；

⑵若VABC的周長為20cm,AC=7cm,則DC的長為多少？

【考點題型三】等腰三角形的性質與判定

【例3】（22-23八年級上?湖北荊門?期中）如圖，VABC中，AB=AE,且ADLBGEF垂直平分AC,

交AC于點尸，交BC于點、E,若VA3C周長為16,AC=6,則QC為（

A

BDEC

A.5B.8C.9D.10

【變式3-1]（23-24八年級上.黑龍江哈爾濱?期中）如圖，。為VABC內一點，CO平分/ACB,

BELCD,垂足為。，交AC于點E,ZA=ZABE,AC=U,BC=1,則3。的長為（）

【變式3-2]（23-24八年級上?浙江溫州?期中）如圖，在等腰三角形ABC中，AD是底邊BC上的高線,

?！?45于點區交AD于點凡若NBAC=45。,AF=8,則8。的長為.

【變式3-3]（22-23八年級上?吉林?期中）如圖，在VABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點，連接

AD,郎平分/ABC交AC于點E,過點E作功〃3C交A3于點尸.

（1）若NC=36。，求一斜□的度數;

⑵求證：FB=FE.

【變式3-4]（23-24八年級上.湖北武漢?期中）如圖，AABC為等腰直角三角形,

XBAC=90°,AB=AC,。是4c上一點.CE工BD于點E,連接AE.

A

E

BC

⑴求ZAEB的度數；

(2)若BE=10,CE=4,求“1EC的面積.

【考點題型四】等邊三角形的性質與判定及含30°角的直角三角形的性質

【例4】（22-23八年級上?浙江麗水?期中）如圖，VA3C為等邊三角形，為等腰直角三角形，且

?ABD90?,則/BCD的度數為（）

A.10°B.15°C.22.5°D.30°

【變式4-1]（23-24八年級上?廣東廣州?期中）如圖，點P是NAO3內任意一點，。尸=4,點C和點。分

別是射線。4和射線08上的動點，周長的最小值是4,則—AOB的度數是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【變式4-2]（23-24八年級上?內蒙古興安盟?期中）如圖，在VABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是

局.若AD=2,則.

c

【變式4-3]（23-24八年級上?內蒙古興安盟?期中）如圖，VABC是等邊三角形，D,E分別是邊AC,

上的點，BD,AE交于點,R,3萬_1小于點尸，若AD=CE.求證：BR=2FR.

【變式4-4]（22-23八年級上?浙江湖州?期中）如圖，在VABC中，AC=BC,ABAC=30°,。為AB的

中點，尸為線段CO上一動點，￡為延長線上一點，且PA=PE.

備用圖

⑴連接PB,求證：PE=PB；

(2)求證：ZPAD+ZPEC=30°；

（3）求證：VAPE是正三角形;

⑷當AB=12時，求四邊形APCE的面積.

【考點題型五】最短路徑問題

【例5】（23-24八年級上?山東德州?期中）如圖，在正方形網格中有E,歹兩點，在直線/上求一點P,使

PE+PF最短,則點P應選在（）

A.A點B.B點、C.C點D.D點

【變式5-1]（23-24八年級上.廣東云浮.期末）如圖，等腰VABC的底邊長為3,面積是12,腰AC的

垂直平分線所分別交邊AC,A3于點E,F.若。為BC邊的中點，M為線段所上的一動點，則

VCDM周長的最小值為（）

A.4B.9.5C.12.5D.16

【變式5-2]（23-24八年級上.內蒙古巴彥淖爾?期中）如圖，VABC的面積為14,AB^AC,BC=4,

AC的垂直平分線所分別交AB,AC邊于點E,F,若點。為3C邊的中點，點尸為線段EE上一動點，則

△PCD周長的最小值為

【變式5-3]（23-24八年級上?湖南湘西?期中）如圖，陽光明媚的周六，小明在學校（A）練習籃球，他接

到媽媽的電話，要先去C街快遞公司取包裹，再去。街購買文具，然后回到家里（B）.請畫出小明行走的

最短路徑.

【變式5-4]（23-24八年級上.河南濮陽?期中）在等邊VABC中，點。是直線3C上的一個點（不與點8、

C重合），以AD為邊在AD右側作等邊VADE,連接CE.

圖1圖2圖3

【觀察猜想】(1)如圖1,當點。在線段2C上時,則線段CE與線段的數量關系為

【數學思考】(2)如圖2,當點。在線段3C的延長線上時，猜想三條線段C4、CD與CE的數量關系,

并加以證明.

【方法感悟】在解決問題時，條件中若出現有公共頂點的兩個等邊三角形時，常?？紤]旋轉某個三角形,

從而使問題得到解決.

【拓展延伸】（3）如圖3,邊長為a的等邊VABC中，BF是中線，且3b=心，點。在正上，連接AO,

在AD的右側作等邊VADE,連接請直接寫出△AEF周長的最小值.

【考點題型六】轉化思想

【例6】（23-24八年級上.河南信陽?期中）如圖，在VA5C中，ZC=90°,ZB=30°,邊A3的垂直平分線

OE交A3于點E,交BC于點、D,CD=3,則8C的長為（）

A.8B.9C.10D.12

【變式6-1]（23-24八年級上?內蒙古呼和浩特?期中）如圖，在等腰三角形ABC中，ZBAC=120°,若

EN和分別垂直平分AB和AC,垂足為E、F,點M、N都在2C邊上，豆EM=FN=2,則的

長度為（）

【變式6-2]（23-24八年級上?北京?期中）如圖，在VABC中，/ABC與ZACB的平分線交于點。，過點

。作DE〃BC,分別交AB、AC于點。、E.若AB=5,AC=4,則VADE的周長為

【變式6-3]（23-24八年級上?山東濱州?期末）如圖，在VABC中，ZB=ZC=30°,AD是BC邊上的中

線，作CO的垂直平分線交AC于尸，交于

（1）求證：△ADf'是等邊三角形;

⑵若AB=12,求線段M戶的長.

【變式6-4]（23-24八年級上.江蘇南通?期中）如圖，把一張長方形紙片ABCO沿對角線AC折疊，使點8

落在點8處，AQ交CD于點E.

B'

（1）試判斷重疊部分△?1￡■（?的形狀，并證明你的結論；

（2）若AE平分NC4D,AB=\2,求DE的長.（提示：長方形的四個角都是90。.）

【考點題型七】分類討論思想

【例7】（22-23八年級上?北京海淀