幾何最值問(wèn)題4種類型

（費(fèi)馬點(diǎn).胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）

證明過(guò)程及結(jié)論

與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

費(fèi)馬點(diǎn)

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)常見題型解讀（種）

幾5

何

模型解讀

最胡不歸模型

值

問(wèn)

兩點(diǎn)在圓外

題?-

兩點(diǎn)在圓內(nèi)

4阿氏圓模型

當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用"胡不歸模型"求解

種求PA+kPB的最小值問(wèn)題時(shí)------------------------------------------

類---------------------------當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型“求解

型

［條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件（"一定兩動(dòng)、定角、定比"）；

瓜豆原理結(jié)論證明

重難點(diǎn)題型突破

題型01費(fèi)馬點(diǎn)

【基礎(chǔ)】費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).

結(jié)論:

1）對(duì)于一個(gè)各角不超過(guò)120。的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120。的點(diǎn)；對(duì)于

2）有一個(gè)角超過(guò)120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

得出最短長(zhǎng)度.

結(jié)論證明過(guò)程：

情況一：當(dāng)^ABC各角不超過(guò)120°時(shí)，

將AAPB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AAPB

貝IjAAPBVAA'P'B.?.BP=BP'AP=AP'/A'P'B=/APB

而/P，BP=60°貝以PZBP為等邊三角形

；./BPP'=/P'BP=/BP'P=60°

VPA+PB+PC=P'A'+PP'+PCWA'C

...當(dāng)/V、P\P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的最小值為AC

此時(shí)NBPC=180°-NBPP'=120°

ZAPB=ZA,P,B=180°-/BP'P=120°

ZAPC=360°-ZAPB-ZBPC=120°

情況二（僅需理解）：當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角不小于120°時(shí)，

延長(zhǎng)BA至C'使得AC=AC,做/CAP，=NCAP,

并且使得AP=AP,PC'=PC,則△APCgAAPC

：/BAC》120°

/.ZPAP'=180°-ZBAP-ZC'AP'=180°-ZBAP-ZCAP=1800-/BACW

BC

60°

，等腰三角形PAP，中，APNPP，

PA+PB+PCPP'+PB+POBC^AB+AC（（只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào)））

所以，當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).

【費(fèi)馬點(diǎn)的作法】（當(dāng)^ABC各角不超過(guò)120°）

作法：1）如圖，分另（j以AABC中的AB、AC為邊，作等邊AADB、等邊AAEC

2）連接CD、BE,則AADC經(jīng)AABE（手拉手模型）

3）記CD、BE交點(diǎn)為P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).

4）以BC為邊作等邊ABCF,連接AF,必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,且BE=AF=CD.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向AABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn)

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=NBPC=/APC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

@AABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=/APC=120°；

③ZXABP、AACP>ZXBCP全等；

W④點(diǎn)P是垂心，是AABC各邊的高線的交點(diǎn)；

⑤點(diǎn)P是4ABC各邊的中線的交點(diǎn)；

⑥點(diǎn)P是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的

交點(diǎn);

⑦4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

直角三角形①4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小；

②NAPB=/BPC=/APC=120°

【進(jìn)階】

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.

【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).

已知：在RtZ\ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC

問(wèn)題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得4CDE

小值BD長(zhǎng)度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VSC2+CD2=V61

B品C

求PA+PB+V2PC△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得4CDE

最小值此時(shí)4PCE為等腰直角三角形，即PE=&PC

HlitM5^=PA+PB+V2PC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，在RtZiBFD

上C

B6605

八/3中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

最小值此時(shí)4PCE為等腰三角形且/PCE=120°,即

PE=V3PC,因止匕原式=PA+PB+WPC=ED+PB+PE,貝。當(dāng)

B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，

22

F!在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF+FD=

760+30V3

求思路：原式=2(PA/PB+遮PC)

22

2PA+PB+V3PC

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°,然后過(guò)點(diǎn)P作PFLCE于

最小值

點(diǎn)F,則PF=^PC;2)泗利用三角形中位線來(lái)處理；3)

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)△PCB.

過(guò)程：ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過(guò)

D點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，即

PF=^PC,過(guò)點(diǎn)F作FG〃DE,貝|FG=|PB,則當(dāng)A、P、

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AGf/CG+AC?=原式

=2(PA4PB+^PC)=2V34

22

求D過(guò)程：AACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過(guò)

2PA+4PB+2V3PC點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，即

最小值PF=?PC,過(guò)點(diǎn)F作FG/7DE,則FG=jAP,則當(dāng)B、P、

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求，在Rt

B玲C：△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

(-PA+PB+^PC)=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

【費(fèi)馬點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模)如圖，在放A42C中，NA4C=90。，4B=/C,點(diǎn)尸是邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PDL5C

于點(diǎn)。，線段4D上存在一點(diǎn)。，當(dāng)。N+Q3+QC的值取得最小值，且/0=2時(shí)，則如=.

A

2.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形4BCD,AB=4,2c=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為2C

邊上任意一點(diǎn)，則MA+MD+ME的最小值為.

3.（2021?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如

果△A8C是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足N4PB=NBPC=NCP4=

120°.（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若AB=AC=由,BC=2遮,P為△ABC的費(fèi)馬

點(diǎn)，貝!|Pa+P8+PC=；若48=2b,BC=2,4。=4,P為△4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，則24+PB+

PC=.

4.（2022下?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期中）【問(wèn)題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮

耶?德?費(fèi)馬，提出一個(gè)問(wèn)題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來(lái)這點(diǎn)被稱

之為“費(fèi)馬點(diǎn)

如圖，點(diǎn)P是△力BC內(nèi)的一點(diǎn)，將△4PC繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△4P。，則可以構(gòu)造出等邊△2PP，，得AP=

PP',CP=CP',所以24+P8+PC的值轉(zhuǎn)化為。。，+。3+「匕珀勺值，當(dāng)B,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC

的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

（1）【拓展應(yīng)用】

如圖1,點(diǎn)P是等邊△4BC內(nèi)的一點(diǎn)，連接P4PB,PC,將△P4C繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到

A

①若pa=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離是；

②當(dāng)PH=3,PB=5,PC=4時(shí)，求乙的大小；

(2)如圖2,點(diǎn)P是△HBC內(nèi)的一點(diǎn)，且NBAC=90。，AB=6,AC=2后求P2+PB+PC的最小值.

5.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：給定不在同一條

直線上的三個(gè)點(diǎn)，，B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托

里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問(wèn)題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問(wèn)題.

(1)下面是該問(wèn)題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過(guò)程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三

角形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到連接PP，，

由PC=P'C,NPCP，=60。，可知為三角形，故PP，=PC,又=故24+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由可知，當(dāng)B,P,P',/在同一條直線上時(shí)，P2+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為48,此時(shí)

的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有N4PC=/-BPC=^APB=；

已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若NB4C2120。,

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn).

(2)如圖4,在△力BC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且力C=3,BC=4,乙4cB=30。，已知點(diǎn)尸為△4BC的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求P4+PB+PC的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊/,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,zXCB=60°.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向/，B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊4B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,&a元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果用

含a的式子表示)

6.(2021上?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考期中)背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點(diǎn)

尸，使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問(wèn)題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托

里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖1,當(dāng)aaBC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在△ABC

內(nèi)部，當(dāng)N4PB=^APC=Z.CPB=120。時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊△4BC內(nèi)有一點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)/、B、C的距離分別為3,4,5,求N4PB的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將△4BP繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)三aABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換,

將三條線段P4PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出N4PB=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過(guò)三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下

問(wèn)題.

⑵如圖3,△4BC三個(gè)內(nèi)角均小于120°,在△ABC外側(cè)作等邊三角形△力BB，，連接CB',求證：CB'H^ABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

⑶如圖4,在中，ZC=90°,AC=1,N4BC=30。，點(diǎn)尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接AP、BP、CP,

求P4+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形ABCD中，點(diǎn)￡為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接4E1、BE、CE,且邊長(zhǎng)=2；求2E+BE+CE的

最小值.

7.(2022?山東德州?統(tǒng)考一模)若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張

角均為120。，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)人45。三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在

A/48c內(nèi)部，止匕時(shí)N4PB=NBPC=NCP力=120。，P4+PB+PC的值最小.

⑴如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)/,B,C的距離分別為3,4,5,求N&PB的度數(shù).為

了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將A43尸繞頂點(diǎn)/旋轉(zhuǎn)到△2CP，處，連接PP，，止匕時(shí)△2CP'三△A8P,

這樣就可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段以，PB,尸C轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出N4P8=.

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AP,在射線AP上取點(diǎn)D,E,連接ND使4。=AP,^DAE=Z.PAC,

求證：BE=PA+PB+PC.

(3)如圖4,在直角三角形4BC中，Z71BC=90。，乙4cB=30。，AB=1,點(diǎn)尸為直角三角形N2C的費(fèi)馬

點(diǎn)，連接AP,BP,CP,請(qǐng)直接寫出24+PB+PC的值.

8.(2021?河南鄭州?鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)

家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問(wèn)題.1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)

家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆

利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)48,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)尸的位置.托

里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問(wèn)題.后來(lái)人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)HB,C距離之和最小的

點(diǎn)稱為的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn).問(wèn)題解決：

(1)費(fèi)馬問(wèn)題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將△8PC繞點(diǎn)8順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。得到△8DE,連接PD,可得△8PD為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得。￡=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，必+P8+PC的最小值與線段_的長(zhǎng)度相等；

(2)如圖2,在直角三角形/5C內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,3C=90。,乙4c8=30。，連接以，PB,PC,若48=2,

求PA+PB+PC的最小值；

(3)如圖3,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,乙48c=60。，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E,在點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有N8EC=90。，

連接4B、DE,在“。￡內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P,使得必+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫出刃+PD+PE的

最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.(2020?江蘇南通?南通市新橋中學(xué)校考一模)(1)【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,將A4SC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。，得到A4DE,連接8。，則乙4AD=度.

(2)【解決問(wèn)題】

①如圖2,在邊長(zhǎng)為舊的等邊三角形4BC內(nèi)有一點(diǎn)尸，z_APC=90。，ZBPC=12O。，求A4PC的面積.

②如圖3,在AIBC中，N/C8=90。，AC=BC,P是A42C內(nèi)的一點(diǎn)，若尸3=1,我=3,4BPC=135。,

則PC=.

（3）【拓展應(yīng)用】

如圖4是4,B,C三個(gè)村子位置的平面圖，經(jīng)測(cè)量48=4,5C=3V2,乙18c=75。，尸為A48C內(nèi)的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接a，PB,PC.求為+P5+PC的最小值.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△2BC中，AACB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)尸,

連接24、PB、PC.（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：

(1)PA+PB+PC的最小值；

(2)P4+PB+&PC的最小值

(3)PA+PB+百PC的最小值；

(4)2PA+PB+百PC的最小值

(5)+P8PC的最小值；

(6)2P4+4PB+28PC的最小值

(7)4PA+2PB+28PC的最小值;

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

題型02胡不歸模型

【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子

略懂?dāng)?shù)學(xué)常識(shí)，考慮到“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，雖然他所在求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他

還是義無(wú)反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說(shuō)，

老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時(shí)先沿著驛

道走一段距離，再通過(guò)砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠(yuǎn)再

通過(guò)砂石區(qū)域回家呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問(wèn)題.

如圖，A是出發(fā)點(diǎn)，B是目的地，直線m是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂石，為了選擇合適的

路線，假設(shè)通過(guò)驛道速度為vl米/秒，通過(guò)砂石區(qū)域速度為v2米/秒（vl>v2）,小伙子需要在直線m上

選取一點(diǎn)C,再折往至B,求點(diǎn)C在何處時(shí)，用時(shí)最短（A-C-B）?

由題目可知A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線m上運(yùn)動(dòng)，求tAC+tBC的最小值.

t總=tAC+tBC今+￡三回+?。因?yàn)関l,V2為定值，所以只需求BC+yC的最小值即可，因此需

要在圖中構(gòu)造出長(zhǎng)度為的替換線段.因?yàn)镠>v2,所以設(shè)行sma,則在AC外側(cè)作NCAM=a,過(guò)點(diǎn)C

作CEJ_AM,則翌=^=sina,所以CE="AC,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為工（BC+CE）的最小值，顯然垂線段最短，即

AC%巧v2

【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+KPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+KPB”

型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.（若k>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）.

【胡不歸模型專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2023上?四川樂(lè)山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，Z.BAC=90°,=60°,AB=4,若D是BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，則24。+。。的最小值是（）

,1

2.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-好+法+3的圖像與x軸交于

/、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C（3,0）,若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,—1）,連接尸D,則/PD+PC的

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|A/2

3.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?統(tǒng)考中考真題）如圖，在A48C中，AB=AC=4,NC48=30。，ADLBC,垂足為

D,尸為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接P8、PC.則為+2%的最小值為.

4.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RCBC中,/.ACB=90°,/.ABC=30°,AC=4,按下列步

驟作圖：①在2C和上分另!］截取2D、AE,使4D=4E.②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)￡為圓心，以大于aDE的長(zhǎng)為

半徑作弧，兩弧在ABAC內(nèi)交于點(diǎn)③作射線AM交BC于點(diǎn)尸.若點(diǎn)尸是線段4F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,

則CP+32P的最小值是.

5.（2020?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形/BCD是菱形，AB=8,且zABC=60。，M為對(duì)角線AD（不含3

點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則審M的最小值為.

B匕1--------------fC

6.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，。。是等邊三角形力BC的外接圓，其半徑為4.過(guò)點(diǎn)8作BE14C

于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸不與8,￡重合），貝iJCP+^BP的最小值為.

7.（2023下?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，4（1,1）,直線1:y=,+l經(jīng)過(guò)8（犯￡）,點(diǎn)“在直

線/上運(yùn)動(dòng)，求+最小值.

8.（2022?四川成都?四川省成都市七中育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）拋物線y=a/+b久+百分別交x軸于點(diǎn)

4（1,0）,5（-3,0）,交p軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為

（1）求拋物線的表達(dá)式;

(2)線段MMNC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由；

(3)在〃，N移動(dòng)的過(guò)程中，DM+//C是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由.

9.(2022下?重慶?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知，在正方形48co中，點(diǎn)、E,尸分別為/。上的兩點(diǎn)，連接班、

CF,并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,連接DG,H為CF上一點(diǎn),,連接AW、DH,^GBH+AGED=90°

GGG

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,若〃為CF的中點(diǎn)，且4F=2DF,DH=邛,求線段的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若BH=BC,過(guò)點(diǎn)8作B/1于點(diǎn)/,求證：BI+^-DG=CG,

(3)如圖2,在(1)的條件下，P為線段AD(包含端點(diǎn)/、D)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過(guò)點(diǎn)2作BQ1CP于點(diǎn)

Q,將aBCQ沿2C翻折得△BCM,N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,當(dāng)48cM面積最大時(shí)，直接寫出fzN+

MN的最小值.

10.(2021?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線＞=3+2與x軸交于點(diǎn)/,與y軸交于

點(diǎn)C.拋物線y=G?+6x+c的對(duì)稱軸是x=—|且經(jīng)過(guò)/、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)民

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P為線段48上的動(dòng)點(diǎn)，求4P+2PC的最小值；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)跖過(guò)點(diǎn)M作垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)N,M,N為頂點(diǎn)的三角形與A1BC相

似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線"：y=今十8和直線辦》=-信

（1）求AIBC的面積；

（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)尸為直線〃上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)斯+C尸最小時(shí)，點(diǎn)尸

的坐標(biāo)，并求出此時(shí)尸尸十尸的最小值.

12.（2019?四川綿陽(yáng)?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=a/（a>0）的圖象向右平移1

個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交于點(diǎn)4B（點(diǎn)4在點(diǎn)B的左側(cè)）,04=1,

經(jīng)過(guò)點(diǎn)4的一次函數(shù)y=kx+b（k豐0）的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為。，ZUBD的

面積為5.

（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求ZL4CE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo);

⑶若點(diǎn)P為無(wú)軸上任意一點(diǎn)，在（2）的結(jié)論下，求+的最小值.

13.(2019?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線y=a/+bx+c(a40)過(guò)點(diǎn)4(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑵過(guò)點(diǎn)/作2M1BC,垂足為求證：四邊形NO8M為正方形；

⑶點(diǎn)P為拋物線在直線8c下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4PBe面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)。為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：4Q+?QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

題型03阿氏圓模型

【模型由來(lái)】已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=k?PB(kWl)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最

先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”，又稱阿波羅尼斯圓.

【模型解讀1】如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。。上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k?OB.連

接PA、PB,則當(dāng)PA+kPB的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？

圖3

圖1圖2

思路：如圖2,在線段OB上截取0C,使OC=k?r（即"=k=竺）且NBOP=NCOP,則可說(shuō)明△BPO

OP0B

與△PCO相似，即普=k.故本題求PA+kPB的最小值可以轉(zhuǎn)化為PA+PC的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P

為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P\C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+kPB的最小值為線段AC的長(zhǎng).

具體步驟：

I：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、OB；

2：計(jì)算連接線段OP、OB長(zhǎng)度；

3：計(jì)算兩線段長(zhǎng)度的比值OP/OB="k"；

4：在OB上截取一點(diǎn)C,使得OC/OP=OP/OB構(gòu)建母子型相似：

5：連接AC,與圓0交點(diǎn)為P,即AC線段長(zhǎng)為PA+K*PB的最小值.

【模型解讀2】如圖點(diǎn)4,8在。。上，。41OB,OA=0B=12,點(diǎn)C是。4的中點(diǎn)，。在。B上，0D=10,

點(diǎn)尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則2PC+PD的最小值______,的最小值_______.

【詳解】解：如圖1,延長(zhǎng)。/到E,使。連接PE、OP,

.OP_1OC_1.OP_OC_1

為。/中點(diǎn),>?,--,??,

\'OA=OP,COE2OP2OEOP2

npAp1

：

VZCOP=ZPOEf:.AOCPsAOPE,.—OE=-PE=2

：.PE=2PC,???2PC+PD=PE+PE,即當(dāng)￡、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+PD有最小值,

最小值為VCE2+。。2=V242+102=26；

如圖2,延長(zhǎng)03到尸，使OP號(hào)，連接尸尸、OP,

:。。=10,OP==OA=\2,

OFOP6

ZDOP=ZPOF,:AODPsAOPF,：.PF=^-PD,

OFPF65

...PC+：PD=PC+PF,即當(dāng)C、P、尸三點(diǎn)共線時(shí)，PC+|PD有最小值,

最小值為VOC2+。尸2=付2+（與）=15.6.

A

【模型總結(jié)】

對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k<i的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。

當(dāng)系數(shù)k>i的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。

【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問(wèn)題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；

當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.

【阿氏圓模型專項(xiàng)訓(xùn)練】

I.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在放入48。中，乙4cB=90。，CB=7,AC=9,以C為圓心、3為

半徑作OC,尸為OC上一動(dòng)點(diǎn)，連接4P、BP,則的最小值為（）

A

c.4+VToD.2V13

2.（2023?陜西咸陽(yáng)?校考三模）如圖，在菱形力BCD中，對(duì)角線力C、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡、尸分別是。OC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且即=4,P是爵的中點(diǎn)，連接。P、PC、PD,若2C=12,BD=16,則PC+打。的最小

值為

3.（2022?四川瀘州?四川省瀘縣第一中學(xué)校考一模）如圖，AB為。。的直徑，4B=2,點(diǎn)C與點(diǎn)。在4B的

同側(cè)，S.AD1AB,BCLAB,AD=1,BC=3,點(diǎn)尸是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，則乎PD+PC的最小值為.

4.（2022上?浙江?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，4（0,4）,B（4,0）,P是第一象限內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，0P=2,連接4P、BP,貝UBP+^aP的最小值是.

5.（2020?江蘇常州?統(tǒng)考一模）如圖，在。。中，點(diǎn)/、點(diǎn)B在。。上，^AOB=90°,。4=6,點(diǎn)C在。4上,

且。C=24C,點(diǎn)D是。B的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧力B上的動(dòng)點(diǎn)，貝+2DM的最小值為.

6.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為O。，P是O。上一動(dòng)點(diǎn)，則企以

+PB的最小值為.

7.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方/BCD的邊長(zhǎng)為6,圓3的半徑為3,點(diǎn)P是圓8上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則P。—的最大值為.

8.（2020?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△4BC中，乙B=90°,AB=CB=2,以點(diǎn)3為圓心作圓8與2C相

切，點(diǎn)尸為圓3上任一動(dòng)點(diǎn)，貝UP4+孝PC的最小值是

9.（2018?甘肅天水?校聯(lián)考一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,OB的半徑為2,點(diǎn)P是OB上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-|PC的最大值為.

【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1,ZJ05=90°,OA=4,OB=5,點(diǎn)尸在半徑為2的O。上，求［AP+8P的最小值.

【問(wèn)題解決】小明是這樣做的：如圖2,在0/上取一點(diǎn)C使得OC=1,這樣可得案=|=*，又因?yàn)?/p>

乙COPNPOA,所以可得所以生="=三，得CP=^ap所以工AP+BP=CP+BP.

APOA222

又因?yàn)镃P+BP"8=43+的,所%4P+BP最小值為一.

【思路點(diǎn)撥】小明通過(guò)構(gòu)造相似形(圖3),將14P轉(zhuǎn)化成CP再利用“兩點(diǎn)之間線段“最短“求出CP+2P的

最小值.

【嘗試應(yīng)用】如圖4,乙103=60。，OA=10,OB=9,點(diǎn)P是半徑為6的。。上一動(dòng)點(diǎn)，求4P+|BP的最小

值.

【能力提升】如圖5,乙1BC=12O。，BA=BC=8,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)且3CD,連接/D,則A4AD面積

的最大值為一

11.(2022?廣東惠州?統(tǒng)考一模)如圖1,拋物線y=a/+bx—4與％軸交于2、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其

中點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,0),拋物線的對(duì)稱軸是直線x=|.

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形力BPC的面積為16,若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BF1BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作OC,點(diǎn)Q為。C上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，求乎BQ+FQ的最小值.

12.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，RtAABC,乙4c3=90。，AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形CDE尸

(C、D、E、尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕?可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD=&,連接/RBD

(1)求證：ABDCmLAFC

(2)當(dāng)正方形COM有頂點(diǎn)在線段45上時(shí)，直接寫出3。+爭(zhēng)4。的值；

(3)直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，3。+亨40的最小值.

13.(2017下?江蘇鹽城?九年級(jí)階段練習(xí))如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a豐0)與x軸交于點(diǎn)力(4,0),

與y軸交于點(diǎn)3,在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(m,0)(0<m<4),過(guò)點(diǎn)￡作x軸的垂線交直線N8于點(diǎn)N,交拋物

線于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作尸ML48于點(diǎn)

(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為G，A4EN的周長(zhǎng)為。2,若急■求加的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到。所，旋轉(zhuǎn)角為a(0。<a<90°),連接E2、

E'B,求E'2的最小值.

14.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1,在RTA48c中，乙4cB=90。，C2=4,C4=6,圓C的半徑為2,

點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接/尸，BP,求:

①4P+|BP,

@2AP+BP,

@^AP+BP,

@AP+3BP的最小值.

15.（2021上?江蘇宿遷?九年級(jí)校考期末）問(wèn)題提出：如圖①，在RtZsABC中，NC=90°,CB=4,C4=6,

OC的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求4P+匏P的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個(gè)問(wèn)題,下面給出一種解題思路:如圖①,連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

C=S=?又乙PCD=LBCP,所以△PCDYBCP.所暇若=1

所以PD=：PB,所以4P+^BP=4P+PD.

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：4P+?BP的最小值為.

（2）自主探索：在“問(wèn)題提出”的條件不變的前提下，求三4P+BP的最小值;

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，乙COD=90°,0C=6,0A=3,OB=5,P是⑵上一點(diǎn),

求2P2+PB的最小值.

16.（2019?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,

C兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B

（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC

面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的OB上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+^PA的值

最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說(shuō)明理由.

題型04瓜豆原理

【模型介紹】在幾何雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，這兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律會(huì)出現(xiàn)“種

線得線、種圓得圓”的關(guān)聯(lián)性，這種關(guān)聯(lián)性，形象地用中國(guó)一句俗語(yǔ)“種瓜得瓜、種豆得豆”來(lái)形容，取

名為“瓜豆原理”.

【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件（“一定兩動(dòng)、定角、定比”）；

①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（從動(dòng)點(diǎn)）因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（主動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；

②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角；

③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.

【模型一】如圖，點(diǎn)0是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，NAOB=a且詈=屋如果A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，那么

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線.

證明過(guò)程：如下圖，假設(shè)此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，,且滿足/A，OB=a,^=fc

所以/AOA，=NBOB\—=—,=k因此△AOA's^BOB'.,./OAA，=/OBB1—,=k

OAOAAA

...點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BB，與OB，的夾角始終保持不變，且夾角與/O