大連一模高中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.已知函數(shù)$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$，則$f(1)$的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_5=12$，$a_2+a_4=10$，則$a_3$的值為：

A.6

B.7

C.8

D.9

3.已知圓$x^2+y^2=4$，圓心為$O(0,0)$，點(diǎn)$A(2,0)$，則圓上與直線$OA$垂直的弦長(zhǎng)為：

A.2

B.4

C.$\sqrt{2}$

D.2$\sqrt{2}$

4.已知$a,b,c$為等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，且$a+b+c=8$，$abc=27$，則$a^2+b^2+c^2$的值為：

A.24

B.25

C.26

D.27

5.已知函數(shù)$y=x^2-4x+3$，則函數(shù)的圖像與$x$軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：

A.$(1,0)$和$(3,0)$

B.$(2,0)$和$(1,0)$

C.$(3,0)$和$(2,0)$

D.$(2,0)$和$(1,0)$

6.已知函數(shù)$y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$，則函數(shù)的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知函數(shù)$y=\sinx+\cosx$，則函數(shù)的最大值為：

A.$\sqrt{2}$

B.2

C.$\sqrt{3}$

D.1

8.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_5=20$，$S_8=40$，則$a_6$的值為：

A.2

B.3

C.4

D.5

9.已知圓$x^2+y^2=9$，圓心為$O(0,0)$，點(diǎn)$A(3,0)$，則圓上與直線$OA$平行的弦長(zhǎng)為：

A.3

B.6

C.$\sqrt{3}$

D.2$\sqrt{3}$

10.已知函數(shù)$y=\frac{1}{x^2+1}$，則函數(shù)的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判斷題

1.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于$y$軸的對(duì)稱點(diǎn)為$B$，則點(diǎn)$B$的坐標(biāo)為$(-1,2)$。（）

2.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，首項(xiàng)為$a_1$，則$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

3.在平面直角坐標(biāo)系中，若直線$y=kx+b$的斜率$k>0$，則該直線必經(jīng)過第一象限和第三象限。（）

4.對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，函數(shù)$f(x)=x^2$的圖像關(guān)于$y$軸對(duì)稱。（）

5.在三角形中，若兩邊之和大于第三邊，則這三邊可以構(gòu)成一個(gè)三角形。（）

三、填空題

1.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=3n^2-n$，則該數(shù)列的首項(xiàng)$a_1$等于________。

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$和點(diǎn)$B(-4,5)$之間的距離為________。

3.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的圖像與$x$軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________。

4.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比為$q$，且$a_1=3$，$a_3=12$，則$q$的值為________。

5.圓$(x-1)^2+(y+2)^2=9$的圓心坐標(biāo)為________。

四、簡(jiǎn)答題

1.簡(jiǎn)述二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像特征，并說明如何通過圖像判斷函數(shù)的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及與$x$軸的交點(diǎn)情況。

2.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，有恒等式$(x+1)^2-(x-1)^2=4x$。

3.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$，求函數(shù)的定義域，并化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式。

4.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)$A(2,3)$和點(diǎn)$B(-4,5)$，求直線$AB$的斜率和截距。

5.解不等式組$\begin{cases}2x-3y>6\\x+4y\leq8\end{cases}$，并畫出解集在平面直角坐標(biāo)系中的區(qū)域。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$處的導(dǎo)數(shù)值。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，求第$10$項(xiàng)$a_{10}$和前$10$項(xiàng)和$S_{10}$。

3.解方程組$\begin{cases}2x+3y=7\\x-2y=1\end{cases}$。

4.計(jì)算圓$(x-3)^2+(y-2)^2=16$的周長(zhǎng)和面積。

5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x^2-4}$，求$f(x)$在區(qū)間$[1,3]$上的最大值和最小值。

六、案例分析題

1.案例背景：某公司計(jì)劃生產(chǎn)一批產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為$30$元，售價(jià)為$50$元。公司預(yù)計(jì)銷售$500$件，但為了促銷，決定對(duì)每件產(chǎn)品進(jìn)行折扣優(yōu)惠。

案例分析：

（1）假設(shè)折扣為$x$（$0\leqx\leq1$），即售價(jià)為$50x$元，求公司的總利潤(rùn)$P$與折扣$x$的關(guān)系式。

（2）如果公司希望總利潤(rùn)達(dá)到$10000$元，求折扣$x$應(yīng)該是多少？

（3）分析折扣$x$的變化對(duì)總利潤(rùn)$P$的影響。

2.案例背景：某班級(jí)有$30$名學(xué)生，其中男生和女生的比例分別為$2:3$。班級(jí)組織了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)分布如下：滿分$100$分，前$10\%$的學(xué)生得滿分，接下來的$20\%$的學(xué)生得$90$分，再接下來的$30\%$的學(xué)生得$80$分，以此類推。

案例分析：

（1）求該班級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的平均分。

（2）若要使班級(jí)的平均分提高$1$分，至少需要有多少名學(xué)生的分?jǐn)?shù)提高$10$分？

（3）分析學(xué)生分?jǐn)?shù)分布對(duì)班級(jí)平均分的影響，并提出提高班級(jí)整體成績(jī)的建議。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的直接成本為$20$元，固定成本為$1000$元。該產(chǎn)品售價(jià)為$30$元，市場(chǎng)需求函數(shù)為$Q=50-2P$，其中$Q$為市場(chǎng)需求量，$P$為產(chǎn)品售價(jià)。求：

（1）工廠的利潤(rùn)函數(shù)$L(P)$；

（2）為了最大化利潤(rùn)，工廠應(yīng)該設(shè)定多少售價(jià)？

（3）如果市場(chǎng)需求量增加到$Q=60-2P$，工廠的利潤(rùn)將如何變化？

2.應(yīng)用題：一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為$x$、$y$、$z$，其體積$V=xyz$。已知長(zhǎng)方體的表面積$S=2(xy+xz+yz)$，且$x+y+z=6$。求：

（1）長(zhǎng)方體的最大體積；

（2）當(dāng)體積最大時(shí)，長(zhǎng)方體的表面積是多少？

3.應(yīng)用題：某城市計(jì)劃修建一條新道路，道路的長(zhǎng)度為$L$，寬度為$W$。道路的修建成本為每米長(zhǎng)度$C_1$元，每米寬度$C_2$元。已知$C_1=200$元/米，$C_2=150$元/米。城市希望道路的總成本不超過$60000$元。求：

（1）道路的最大可能長(zhǎng)度和寬度；

（2）如果道路的長(zhǎng)度和寬度相等，那么道路的面積是多少？

4.應(yīng)用題：某班級(jí)有$40$名學(xué)生，其中$20$名男生和$20$名女生。男生和女生分別參加數(shù)學(xué)和語文考試，成績(jī)分布如下：男生數(shù)學(xué)平均分為$80$分，語文平均分為$70$分；女生數(shù)學(xué)平均分為$75$分，語文平均分為$85$分。求：

（1）整個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)和語文的平均分；

（2）如果要將班級(jí)的總平均分提高$1$分，那么至少需要有多少名學(xué)生的成績(jī)提高$10$分？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題

1.B

2.A

3.B

4.B

5.A

6.B

7.A

8.C

9.D

10.C

二、判斷題

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空題

1.3

2.5$\sqrt{13}$

3.3

4.4

5.(1,2)

四、簡(jiǎn)答題

1.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像特征包括：

-開口方向：當(dāng)$a>0$時(shí)，開口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，開口向下。

-頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。

-與$x$軸的交點(diǎn)情況：根據(jù)判別式$b^2-4ac$的值，判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置。

2.證明：$(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=4x$。

3.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x-1}$的定義域?yàn)樗?x\neq1$的實(shí)數(shù)。化簡(jiǎn)得$f(x)=x-3$。

4.直線$AB$的斜率$k=\frac{5-3}{-4-2}=-\frac{1}{3}$，截距$b=3$。

5.解不等式組得到解集為$x\in(-\infty,2)\cup(2,4)$，解集區(qū)域?yàn)閮蓷l平行線$x=2$和$x=4$之間的帶狀區(qū)域。

五、計(jì)算題

1.$f'(x)=3x^2-12x+9$，$f'(2)=3\times2^2-12\times2+9=3$。

2.$a_{10}=a_1+(10-1)d=3+9\times2=21$，$S_{10}=\frac{10}{2}\times(a_1+a_{10})=5\times(3+21)=120$。

3.解得$x=3$，$y=1$。

4.周長(zhǎng)$C=2\pi\times4=8\pi$，面積$A=\pi\times4^2=16\pi$。

5.函數(shù)在$[1,2]$上遞減，在$[2,3]$上遞增，故最大值為$f(2)=\frac{1}{4}$，最小值為$f(3)=\frac{1}{5}$。

六、案例分析題

1.（1）$P=(50x-30)(50-2x)-1000$；

（2）$x=0.5$；

（3）折扣越高，利潤(rùn)越低。

2.（1）最大體積為$V=8$，當(dāng)$x=y=z=2$；

（2）表面積為$S=52$。

3.（1）最大長(zhǎng)度為$L=20$米，最大寬度為$W=20$米；

（2）道路面積為$400$平方米。

4.（1）數(shù)學(xué)平均分為$75$分，語文平均分為$80$分；

（2）至少需要$4$名學(xué)生的成績(jī)提高$10$分。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

本試卷涵蓋了高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)點(diǎn)，包括：

-代數(shù)：二次函數(shù)、等差數(shù)列、等比數(shù)列、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、不等式。

-幾何：平面直角坐標(biāo)系、直線方程、圓的方程、三角形的性質(zhì)。

-應(yīng)用題：利潤(rùn)最大化、成本優(yōu)化、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析。

各題型所考察的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

-選擇題：