浙江省杭州市2024-2025學年高二12月月考數學質量

檢測試題

-選擇題8小題5分40分.在每小題給出的四個選項中

1.已知直線，經過點M(—1,0),N(0,7),則直線Z的方程為()

A.7x+y+7—0B.7x+y—7—QC.7x—y—7—QD.7x—y+7—0

2.若橢圓1+W=l(a>通)的長半軸長等于其焦距，則a=()

a2J

A.2B.2V2C.2V3D.4

3.已知直線，1：26+3,—1=0與。：3力+(?n+l)g+2=0垂直,則實數()

A.3B.-3C.2D.1

4.拋物線g=—2025/的準線方程為()

3.,=2025

A-=等C.7/=—^—D.y—

24y4050y8100

5.在四面體ABCD中，E為棱AD的中點，點F為線段BE上一點，且/=4詬，設泰=前，前=落

用=工則和=()

A.—n—1B.--m—n+~~tC.-^m+n—1D.yrm-n+~^t

55555555

6.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石),環繞天

心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊，下一層的第一環比上一層的最后一環多9

塊，向外每環依次也增加9塊，已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含

天心石)()

A.3699塊B.3474塊C.3402塊D.3339塊

7.已知點P為圓。:儂一2)2+靖="(r>0)上一動點,若直線2―遮夕+6=0上存在兩點滿足隊目

【數學試卷第1頁(共14頁)】

=4,且/APB=90°,則r的最小值為)

A.4B.3C.2D.1

8.已知正方體ABCD—45GD1的棱長為1,河為棱AQi的中點，G為側面CCDiG的中心，點P,。分

別為直線AD,AB上的動點，且PGLMQ,當戶初取得最小值時，點Q到平面PMG的距離為（）

A.萼B.乎C.1口.烏

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

9.設Z,小是兩條不同直線，a,丑是兩個不同平面，下列命題為真命題的是（）

A.若2_L0"J_a,則&〃0B.若/〃a,m〃a,則Z〃?n

C.若a_1_6"_La,則，〃0或ZU0D.若/_Lm,Z則?n〃a或?nUa

10.一般地,對于數列｛冊｝,如果存在一個正整數t,使得當n取每一個正整數時，都有an+t=an,那么數列

｛4｝就叫作周期數列，t叫作這個數列的一個周期,則下列結論正確的是（）

A.對于數列｛%｝,若&G｛l,2｝（i=l,2,3,…），則｛飆｝為周期數列

B.若｛aj滿足：a3D=a3&+2>a2"T=a2n+i（neN*）,則｛aj為周期數列

C.若｛aj為周期數列，則存在正整數“，使得<河恒成立

D.已知數列｛4｝的各項均為非零整數，Sn為其前幾項和，若存在正整數“，使得|SJ<”恒成立,則

｛an｝為周期數列

11.己知點F為拋物線。:靖=2pa;（p>0）的焦點，點P為拋物線。上位于第一象限內的點，直線Z為拋物線

。的準線，點Q在直線Z上,若|PF|=2+2,|QF|=2,/PFQ=90°,且直線PF與拋物線。交于另一

點則下列結論正確的是（）

A.直線PF的傾斜角為60°B.拋物線。的方程為靖=2c

C.邛^=3+2方D.點Q在以線段為直徑的圓上

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.在等差數列｛an｝中，若。3+。9=10，則。2+。5+Q11=.

13.已知E，鳥是雙曲線/一￡=l（a>b>0）的左、右焦點，以E為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的一條漸

azb

近線交于4B兩點，若21ABi=|月月I，則雙曲線的離心率是.

(力+2,6V—Q,

22

14.已知a>0,函數/(力)=<Va—rr,—力設F(g,/(g)),Q(T4,f(x4))，其中x3<—af64>—a,若

a.

\PQ\存在最小值，則a的取值范圍是

【數學試卷第2頁（共14頁）】

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知雙曲線的中心在原點，右焦點為（2,0）,過點,1）.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）若直線y=—1）與雙曲線有且只有一個公共點，求實數k的值.

16.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,ZABC=60°,PA_L平面ABCD,PA=3,

且刀=2屈，怒=語屈=3礪.

（1）求直線AP與直線CM所成角的余弦值;

（2）證明：M,C,G,H四點共面.

17.記Sn為數列｛an｝的前n項和，bn為數列｛SJ的前幾項積，已知善+==2.

bnbn

⑴證明:數列｛心｝是等差數列；

（2）求｛%｝的通項公式.

【數學試卷第3頁（共14頁）】

18.如圖，在矩形ABCD中，點分別在線段AB,AD上，AE=EB=AF==4.沿直線EF將

O

△AEF翻折成△AEF，使平面AEF±平面BEF.

Af

__B

（1）證明

（2）求二面角A'-FD-C的余弦值；

（3）點、M,N分別在線段FD、BC上,若沿直線AW將四邊形MNCD向上翻折，使。與4重合，求線段

的長.

19.己知點A（x1,y1）,_8（狽夕2），定義A，B的“倒影距離”為[A,B]=\x1—y2\+|電—，我們把到兩定點

砥—2,0）,頊2,0）的“倒影距離”之和為6的點”的軌跡。叫做“倒影橢圓”.

⑴求“倒影橢圓”。的方程;

（2）求“倒影橢圓”。的面積；

（3）設O為坐標原點，若“倒影橢圓”。的外接橢圓為E,D為外接橢圓E的下頂點，過點（0,2）的直線與橢

圓E交于P,Q兩點（均異于點D），且ADPQ的外接圓的圓心為H（異于點O）,證明:直線OH與PQ的斜

率之積為定值.

【數學試卷第4頁（共14頁）】

參考答案

I.D

【分析】首先求出直線的斜率,再由斜截式得到直線方程，最后化為一般式即可.

因為直線I經過點M（-1,O）,N（0,7）,

所以用==7,所以直線，的方程為?/=7c+7,即7x-y+7=0.

故選

2.A

【分析】依題意可得a=2而/，解得即可.

因為橢圓U1（?>V3）的長半軸長等于其焦距，

azJ

所以a=2Va2—3,解得a=2.

故選：A

3.B

【分析】利用兩條直線垂直的充要條件計算即可得解。

因為。,所以3X2+3（?71+1）=0,所以772——3o

故答案為：B

4.D

【分析】將方程化為標準式,即可求出其準線方程.

拋物線y=-2025d即x^--L-y,

則拋物線的準線為

olUU

故選：。

5.B

【分析】根據空間向量線性運算法則計算可得.

因為E為棱AD的中點，所以凝=金—毋=/力—存，

因為加=4屋,所以加'=3顯==（《力—毋）=3國5—二荏，

55~2755

又怎=存_而

所以和=無+屈=怎一正+§國一34

55

=-^AB—AC+yrAD=--m—n+-7-1.

5555

故選：B

6.C

【分析】第九環天石心塊數為5，第一層共有外環，則｛斯｝是以9為首項，9為公差的等差數列，

設&為｛斯｝的前n項和，由題意可得$3“一$29=$2”—Sn+729,解方程即可得到n,進一步得到S3n.

設第n環天石心塊數為％,第一層共有n環，

則｛冊｝是以9為首項，9為公差的等差數列，廝=9+（n—l）x9=9"，

設&為｛廝｝的前九項和，則第一層、第二層、第三層的塊數分

別為SniS2n-Sn）S^n~S2九，因為下層比中層多729塊，

所以S3n—S2n=S2n~Sn+729，

即3n（9+27n）2n（9+18n）_2n（9+18n）n（9+9n）+729

即94=729,解得11=9,

【數學試卷第5頁（共14頁）】

訴“aa27(9+9x27)

所以$3“=$27=---------------j--------=3402.

故選：C

【點晴】本題主要考查等差數列前幾項和有關的計算問題，考查學生數學運算能力，是一道容易題.

7.C

【分析】設線段AB的中點河(沖力一6,。,求出以點M為圓心，2為半徑的圓，此圓與圓。有公共點求出

的取值范圍即可求得最小值.

由點A3在直線①一，^y+6=0上，且|人引=4,設線段的中點—6,t)，

由乙4。0=90°,得點。在圓河：3—〃^+6)2+(沙一力)2=4上，

圓。:Q—2)2+才=產—>0)的圓心。⑵0),半徑而點P在圓。上，

即圓。與圓河有公共點，則|r-2|W\CM\Wr+2,解得\CM\-2<r<\CM\+2,

而|CW|=V(V3^-8)2+t2=2V(/：-2A/3)2+4>4,當且僅當t=273時取等號，

因此r>2,當且僅當以線段AB的中點朋X0,2遍)為圓心，2為半徑的圓與圓。外切時取等號，

所以r的最小值為2.

故選：C.

8.A

【分析】建立空間直角坐標系，設P(2,0,0),Q(l,?/,0),根據PG，,得到㈤?誠=0,從而得到g=2

+L再由向量模的坐標表示求出忸動的最小值及此時z、y的值，最后利用空間向量法求出點到平面的

距離.

如圖，建立空間直角坐標系，則加(：,0,1),設P(,,0,0),Q(l,y,0),

所以PG=,y)>MQ=(y,y,-1),

因為PG_LMQ,所以PG?MQ=―+-^-y—=0,即①—沙+1=0,所以夕=c+l,

又PQ=(1—2,2+1,0),所以\PQ\=J(l—2)2+(1+C)2=V2a?2+2>V2,當且僅當a;=0時取等號，此時

rh-PG--7vb-\--77C—0

設平面PMG的法向量為慶=(a,6,c),所以，一：2，取慶=(2,1,—1),

\m-MQ\

所以當|所|取得最小值時,點Q到平面PMG的距離d=_3_V6

hl一娓—2.

【數學試卷第6頁(共14頁)】

【分析】根據線線、線面、面面關系逐項判斷可得答案.

垂直于同一直線的兩平面平行，故A正確；

平行于同一平面的兩直線可能相交、平行或異面，故3錯誤；

垂直于同一平面的平面和直線可能平行，可能線在面內，故。正確；

垂直于同一直線的平面和直線可能平行，可能線在面內，故。正確.

故選：ACD

10.BC

【分析】舉反例可說明選項A錯誤；根據數列｛源｝的奇數項都相等，偶數項都相等可得選項B正確；由

｛飆｝為周期數列可知一個周期內必存在最大值，選項。正確;舉反例可說明選項。錯誤.

4取數列｛冊｝：1,2,1,221,2,2,2,1,2,2,2,2,1,…,滿足痣€｛l,2｝(i=l,2,3,…),但數列｛&｝不是周期數

歹!J,選項A錯誤.

B.由于｛<1?｝滿足：——1+2,d2n-l=a2n+l^N)，不妨令O,2n=a2n+2=a2n-l=d2n+l=a'

則數列｛a“｝為a,b,a,6,a,b,…，故an=an+2,數列｛廝｝是周期數列，選項B正確.

C.由于｛斯｝為周期數列,不妨設周期為noSo'l,noCN*),則數列｛冊｝中的項是為個重復出現的數，

設這為個數中最大的數為小，所以存在正整數”>小，使得|以恒成立，選項。正確.

D令5=2,當n>2時，令飆=(―l)n,

則當九為奇數時，S”=2,當幾為偶數時，S”=3,

取河=4,則|SJ<河恒成立,但數列｛時｝不是周期數列,選項D錯誤.

故選：BC.

W.BD

【分析】過點P作PPLZ,垂足為P,根據拋物線的定義知|PP|=|PF|,得到/FPQ=/PPQ,利用二倍

角的正切公式求出NPTF=45°可判斷A；根據△QEK為等腰直角三角形,可求出p=1可判斷8將直

線PF的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理求出\MF\的值可判斷C；設線段PM的中點為E(g,%),

求出E的坐標，得到=2|QE|可判斷D

對于A選項，如圖，過點P作PPLZ,垂足為P,

由拋物線的定義知\PP'\=\PF\,

所以R3FQ與Rt/\PP'Q全等,則AFPQ=AP'PQ,

因為|PF|=2+2,|QF|=〃，/PFQ=90°,

所以tan/PFQ=------pr=-s/2—1,

2+v2

2tan/PFQ2(H1)

則tan/PPF=tan2/PFQ=

l-tan2ZPFQ1-(V2-1)2

則AP'PF=45°,所以直線PF的傾斜角為45°,故A錯誤;

對于B選項,設直線I與x軸交于點K,則|KF|=p,

由上可知，/QFK=45°,則為等腰直角三角形,

因為|QF|=2,則22+22=2,得p=1,

所以拋物線方程為靖=2c,故B正確；

【數學試卷第7頁(共14頁)】

對于。選項，由上可知，直線PF的方程為“=，—：，

設。（的,加、加（如功），|PF|=為+e=2+方,則，1=母+V2,

聯立［"="一十，整理得d―3,+；=0,

則+g=3,所以灰="|—V2,則\MF\=a;2+=2—V2,

所以書＞=2子=3—2囂，故。錯誤；

\PF\2+V2

對于。選項，設線段PW的中點為E（g,%）,

則20=叼;g=_|_,%=g__^_=］,則鳳_!_,］），

由上可知Q（—則|QE|=2,

又\PM\=\PF\+\FM\=2+V2+2-V2=4=2\QE\,

所以點Q在以線段PN為直徑的圓上，故。正確.

故選：BD

【點睛】方法點睛:拋物線定義的兩種應用：

（1）實現距離轉化，根據拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋

物線的定義可以實現點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉化，從而簡化某些問題；

（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關的兩點間距離和的最小值時,往往用拋物線的定義進行轉

化，即化折線為直線解決最值問題.

12.15

【分析】利用等差數列的通項公式的基本運算求解.

在等差數列｛4｝中，因為&3+ag=10,

所以2。6=。3+。9=10，解得。6=5,

所以02+。5+如=3（Qi+5d）=3。6=15，

故答案為：15

122A/10UH2OYY

13.---##—V10

55

【分析】利用月點到直線沙=22的距離，建立關于a,b,c的齊次式，即可求出離心率.

a

如圖，以E為圓心，a為半徑的圓與雙曲線的漸近線g=交于兩點，

砥c,0）,2|4B|=|瓦項=2c,所以|4B|=c,

F2點到直線y——X的距離為、/〃一5-=—a

aV41+彩

Va

222

可得Q2———=b=c—a,2a2=——,

44

所以烏■，可得e=3誓.

a?55

【數學試卷第8頁（共14頁）】

故答案為：2號.

5

14.(0,1)

【分析】先分析/(2)的圖象,結合圖象可知,要使\PQ\取得最小值，則點P在/Q)=2+2(c<—a)上,點

Q在/(2)=〃《?—/(―a《c《a),分析可解.

依題意，a>0,

當/<—a時，/(,)=，+2,易知其圖象為一條端點取不到的單調遞增的射線；

當一aWrrWa時，/(c)=G^,易知其圖象是，圓心為(0,0),半徑為a的圓在c軸上方的圖象(即半

圓)；

當c>a時,/(,)=-四一1,易知其圖象是一條端點取不到的單調遞減的曲線；

因為P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4>-a),

結合圖象可知，要使|PQ|取得最小值，則點P在/O)=rc+2O<—a)上，

點Q在/(2)=Ja?—22(―a42；4a),

同時\PQ\的最小值為點0到/(。)=/+2(,<—a)的距離減去半圓的半徑a,

此時，因為/(rc)—y—x+2(a;<—a)的斜率為1,則kOP——l,

故直線0P的方程為夕=-2，

聯立上=-：解得卜=；1,則p(T,l),

[y^x+2lg=l

顯然要保證P(-l,l)在/(c)=2+2(^<-a)上，才能滿足|PQ取得最小值，

所以只需—a>—1,即aC(0,1)都可滿足題意,保證|PQ|min=d—a—#1—a,

否則\PQ\無最小值，故ae(0,1).

故答案為：(0,1)

【點睛】關鍵點點睛:本題解決的關鍵求出F(-l,l)，且/(,)=c+2(c<—a)上,從而可得a的取值范圍.

15-⑴萬一萬=1

(2)fc=±A/2或k=±1

【分析】(1)設雙曲線的方程為：(—耳=l(a>0,b>0),由a?+〃=4,代入點(遍,1),可得a?=〃=2

a2b-

的值，可得雙曲線標準方程；

(2)聯立直線與雙曲線，可得(1—k2)x2+2k2x——2=0,然后分二次項系數為零和二次項系數不為零,

兩種情況求解即可求A:的取值范圍.

【小問1詳解】

由雙曲線的中心在原點，焦點在力軸上，c=2,過點(V3.1)，

設雙曲線的方程為：《一￥=l(a>0,b>0),由a2+〃=4,

過點(遍,1),可得三―[=1,可得a?=2,即得a2=〃=2,

azb

【數學試卷第9頁(共14頁)】

故雙曲線標準方程為：苧-去=1;

【小問2詳解】

（y=k（x—l）

由（爐婿_］，得（1—k2）x2+2k2x—取—2=0

由題意得—火）（—/—2）=0廨得―土方，

當1—%2=0,即^=±1時，直線與雙曲線的漸近線y=±c平行，直線與雙曲線只有一個公共點,

所以k=±V2或k=±1.

16.⑴,

（2）證明見解析

【分析】（1）建立空間直角坐標系，求出關鍵點坐標,得到方向向量，借助向量夾角余弦值公式計算即可;

（2）借助向量法，運用空間向量共面的基本定理驗證即可.

【小問1詳解】

連接AC,因為四邊形ABCD為菱形，

又AABC=60°,所以△48。為等邊三角形，

取BC的中點E,連接AE,則AELBC,所以AD.

因為_R4_L平面ABCD,4DU平面4BCD,AEu平面ABGD,所以_R4_L40,24_LAE.

以A為原點，以所在直線分別為力軸、沙軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A—xyz.

則A（0,0,0）,P（0,0,3）,。（孤,1,0）,0（0,2,0）,助=（0,0,3）,由屈=3而，

可知加（0,宗2）,所以CM=（―V3,—"^-,2）,

AP-CM63

于是cos〈AP,CM)=

3x14

故直線AP與直線CM所成角的余弦值為卷.

【小問2詳解】

因為M=2存，前=屈，所以G,H分別為中點，

則G（乎,—；,0）,鳳0,0,"1）,連接CG,CH,則宙=（一四—1,*）,歷=（—乎,—

【數學試卷第10頁（共14頁）】

設聞=〃五+4或，由⑴知近=(-V3,-y,2),

貝(-V3,-l,y)—//(——1-,0)+/1(-A/3,—y,2),

一吟u-4人=-瓜

則一畀一H=T，

2/1得

解得〃==今，

所以曲=《五+學而，

24

故M,C,G,H四點共面.

17.(1)證明見解析

y>(?=l)

(2)a?=

一而力'm>2)

【分析】(1)先求出仇,然后當n>2時，由題意可得d=S”,代入春+；=2中化簡可得bi―

y,從而可得｛bn｝是以仇='為首項，以y為公差的等差數列,

⑵由題意可得的=”，由⑴可得⑥="署，從而可求出凡="獸，再由a.=S”—S“T可求出冊,檢

驗Ql=|■是否滿足，從而可求出數列｛Qj的通項公式

【小問1詳解】

當口=1時，瓦=$1，易得仇=等,

n

當71>2時，—Sn代入VF=2消去,

13九bn

2bT

得71+4=2，化簡得吼一八1

bn2

所以，數列｛6?｝是以瓦=方為首項，以y為公差的等差數列;

【小問2詳解】

n+2

易得Qi=Si=仇=,,由(1)可得bn=

2

當九>2時，Sn=和可得S”=71+2

源一1n+1

71+271+11

Q八一SR—S—i

nn+1nn(n+l)

顯然的不滿足該式,

,，(九=1)

所以a

n(n>2)

(n(n+l)J

18.⑴證明見解析

⑶彳

【分析】(1)取EF中點H,連接AH,AH,通過EF±AH,EF1.得到EF±平面AAH,進而得到

A'A±EF.

【數學試卷第11頁(共14頁)】

（2）以A為原點建立空間直角坐標系，求平面A'FD與平面FDC的法向量,根據面面角的向量公式可得結

果.

⑶設府=,，則MQ+4,0,0）,根據折疊得"，利用空間中兩點間的距離公式可得結果.

【小問1詳解】

取EF中點H,連接AH,AH.

???AE=AF,EF_LAff,由折疊得EF_LAH.

?：AHAA'H=H,AH,AHd平面A'AH,：.EF±平面A'AH.

???ArAc平面A'AH,：.A'A_LEF.

【小問2詳解】

,/平面AEF_L平面BEF,平面A'EFA平面BEF=EF,A'H^平面A:EF,AH±EF,：.A'H±平面

BEF.

?；AE=EB=AF=QD=4ZEAF=N

AB=8,FD=6,AD=10,EF=4〃,AH=fEF=272.

以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則F(4,0,0),E(0,4,0),H⑵2,0),4(2222),0(10,0,

0),(7(10,8,0),

.?.麗=(6,0,0),W=(2,-2,-2V2),

設平面的法向量為五=(c,/z),則=0'取方=(°’—

由題意得,平面FDC的法向量為m=（0,0,l）,

m,n1Vc

cosm,n==

|m||n|V3xl—3

由圖可得二面角A'-FD—C的平面角為銳角，二二面角A-FD-C的余弦值為空.

【小問3詳解】

連接

設FM=rc（0<a;<6）,則M^x+4,0,0）.

?.?翻折后。與4重合，A'M=CM,

由（2）得，4（2,2,22），。（10,8,0）,

（c+2）2+（―2）2+（—22y=（c—6）2+（—8y+02,解得2=號，即號.

19.⑴2國+|沙+2|+4—2|=6

⑵1。

（3）證明見解析

【分析】（1）根據“倒影距離”和“倒影橢圓”的定義求解即可；

（2）分類討論去絕對值符號，作出“倒影橢圓”的圖象，再結合圖象求面積即可；

⑶先求出橢圓E的方程，設直線PQ的方程為夕=for+2,P（g,m）,Q（>2,紡），聯立方程，利用韋達定理求

【數學試卷第12頁（共14頁）】

出電+電,必巡2，再分別求出線段。ROQ的中垂線的方程，設ADFQ的外接圓的圓心H的坐標為

(0,.)，由這兩條中垂線方程得出k,x0,