幾何變換之平移鞏固練習

1.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點。的坐標為(1,3).

(1)請直接寫出點46的坐標；

(2)若把△/8C向上平移3個單位，再向右平移2個單位得B'C,畫出△/B'C；

(3)直接寫出△?B'C各頂點的坐標；

(4)求出△/歐的面積.

2.三角形/及:在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1個單位長度，請根據(jù)下列提

示作圖.

(1)將三角形/歐向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度得到三角形4月C,畫出三角形/'月C.

(2)連接NC,BC,則三角形A6C的面積為.

3.如圖，△/8C向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到△461G.已知4(2,1),B(5,3),C(3,

4).

（1）直接寫出△/歸心三個頂點的坐標;

（2）求■的面積.

4.如圖，在平面直角坐標系中，點力、6在坐標軸上，其中4（0,。）、kb,0）滿足：|2a—6—l|+，a+26—8=0

（1）求力、6兩點的坐標；

（2）將線段平移到切，點力的對應點為-2,力，若三角形/比■的面積為8,求點，的坐標.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點2（2,6）,B（4,3）,將線段46進行平移，使點力剛好落在x軸的負

半軸上，點8剛好落在y軸的負半軸上，A,6的對應點分別為B,連接A4'交y軸于點C,初交x軸

于點D.

V.y.

B'B'

備用圖

（1）線段U可以由線段46經(jīng)過怎樣的平移得到？并寫出0,E的坐標;

（2）求四邊形陽'68的面積;

（3）戶為y軸上的一動點（不與點。重合），請?zhí)骄?心'與的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由.

6.如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標是（-1,0）,點8的坐標是（4,0）,現(xiàn)將線段48向右平移

一個單位，向上平移4個單位，得到線段切，點戶是y軸上的動點，連接BP；

（1）當點尸在線段"上時（如圖一），判斷/血與/陽4的數(shù)量關(guān)系;

（2）當點戶在%所在的直線上時,連接如圖二），試判斷/〃郎與羽N加之間的數(shù)量關(guān)系，請

直接寫出結(jié)論.

圖-圖二

7.如圖，在平面直角坐標系彳辦中，點力（a,b）,B（m,n）分別是第三象限與第二象限內(nèi)的點，將4B

兩點先向右平移h個單位，再向下平移1個單位得到C,，兩點（點A對應點C）.

（1）寫出G2兩點的坐標；（用含相關(guān)字母的代數(shù)式表示）

（2）連接/〃，過點6作段的垂線/,￡是直線/上一點，連接龐，且龐的最小值為1.

①若6=w-l,求證：直線/_Lx軸；

②在平面直角坐標系中，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線，這條直線上有無數(shù)個點，每一個點

的坐標(x,y)都是這個方程的一個解.在①的條件下若關(guān)于x,y的二元一次方程px+qy=A(pqWO)的圖

象經(jīng)過點氏D及點、(s,力，判斷s+t與相+"是否相等，并說明理由.

8.在△/及;中，/A8C=90°,AB=BC=2,點〃是線段比'的中點，點”在射線物上，連接4V,平移△/融

使點N移動到點也得到△頌r(點〃與點/對應，點￡與點8對應)，DM交AC于點、P.

(1)若點”是線段奶的中點，如圖1.

①依題意補全圖1；

②求小的長；

(2)若點及在線段跖的延長線上，射線刎與射線也交于點0,若MQ=DP,求"的長.

9.如圖，已知相〃切，點￡在直線相，切之間.

(1)求證：AAEC=ABAE+AECD-,

(2)若/〃平分/曲￡,將線段"沿切平移至FG.

①如圖2,若N/￡C=90°,HF平■分4DFG,求//郎的度數(shù)；

②如圖3,若如平分/C7G試判斷//即與的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

10.如圖1,已知直線力〃掘點/在直線20上，點C、，在直線可上，連接AC、AD,/為C=50°,Z

ADC=3Qa,/￡平分四平分//5，/￡與"相交于E.

(1)求//a'的度數(shù);

(2)若將圖1中的線段/。沿筋向右平移到4〃如圖2所示位置，此時4￡平分方平分//勿,

4￡與龍相交于￡,/序C=50°,N42C=30°,求/兒笫的度數(shù).

(3)若將圖1中的線段/〃沿"V向左平移到4〃如圖3所示位置，其他條件與(2)相同，求此時歐

11.如圖，直線W〃2，ZC=ZJ=112°,E,6在“上，且滿足/刀以=N425,OE平■分4COF.

(1)求/￡陽的度數(shù)；

(2)若平行移動那么N/C：N*的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；

若不變，求出這個比值；

(3)在平行移動力6的過程中，是否存在某種情況使/儂―/煙？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說

明理由.

CEFB

12.在平面直角坐標系中，點48的坐標分別為/(a,0),Bib,0),且°"滿足|研6-2|+42￡1-6+5=0,

現(xiàn)同時將點4夕分別向右平移1個單位，再向上平移2個單位，分別得到點46的對應點為C,D.

(1)請直接寫出4B、a。四點的坐標并在坐標系中畫出點4B、aD,連接4C,BD,CD.

(2)點￡在坐標軸上，且應頗=5四邊形血?，求滿足條件的點￡的坐標.

(3)點戶是線段劃上的一個動點，連接PC,PO,當點戶在線段M上移動時(不與B,。重合)證明：華翳”

Z.CPO

是個常數(shù).

幾何變換之平移鞏固練習

1.如圖，在平面直角坐標系中，的頂點。的坐標為(1,3).

(1)請直接寫出點46的坐標；

(2)若把△/8C向上平移3個單位，再向右平移2個單位得B'C,畫出△/B'C；

(3)直接寫出△?B'C各頂點的坐標；

(4)求出△/歐的面積.

【分析】(1)根據(jù)46兩點的位置寫出坐標即可.

(2)分別作出4B,C的對應點4,夕，C即可.

(3)根據(jù)點的位置寫出坐標即可.

(4)利用分割法求面積即可.

【解答】解：(1)4(-1,-1),B(4,2).

(2)如圖，B'C即為所求.

(3)A'(1,2),B'(6,5),C(3,6).

-1-11

=

(4)S/\ABC=4X5—x2X4—X1X3—x5X37.

222

【點評】本題考查作圖-平移變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，屬于

中考常考題型.

2.三角形/以在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，網(wǎng)格中每個小方格的邊長為1個單位長度，請根據(jù)下列提

示作圖.

(1)將三角形力回向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度得到三角形/'月C,畫出三角形UC.

(2)連接/C,BC,則三角形/8C的面積為7.5.

【分析】(1)分別作出4B,。的對應點4,?C即可.

(2)利用分割法求三角形的面積即可.

【解答】解：(1)如圖，△/'月C即為所求.

=

(2)SAABC=-x5X37.5,

2

故答案為：7.5.

【點評】本題考查作圖-平移變換，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)，屬于

中考常考題型.

3.如圖，△48C向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到△45G.已知4(2,1),B(5,3),C(3,

4).

(1)直接寫出△481G三個頂點的坐標;

(2)求△/回的面積.

【分析】(1)分別作出4B,C的對應點4,B\,G即可.

(2)利用分割法求解即可.

【解答】解：⑴如圖，△4AG即為所求，4(-1,2),I(2,4),Q(0,5).

⑵5^=3X3-|xlX2-|x3Xl-|x3X2=|.

【點評】本題考查坐標與圖形平移，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解

決問題.

4.如圖,在平面直角坐標系中，點/、6在坐標軸上,其中4(0,°)、氏/?,0)滿足：|2<2—b—1|+7a+2b—8=0

(1)求/、8兩點的坐標；

(2)將線段46平移到切，點/的對應點為C(-2,f),若三角形/a'的面積為8,求點，的坐標.

【分析】(1)利用非負數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；

(2)如圖中，設直線5交y軸于反首先求出點￡的坐標，再求出直線切的解析式以及點C坐標，利用

平移的性質(zhì)可得點〃坐標.

【解答】解：(1)V12a-&-11+Vd+2b-8=0,

又：：12a-ft-11^0,sJa+2b-8>0,

.("Zu—b-1=0

**ta+2b-8=0，

解得｛、%

：.A(0,2),B(3,0)；

(2)如圖1中，設直線切交y軸于反

.*CD//AB,

,?S^ACB=S&ABE，

.*x/￡X8g8,

2

..」x/￡X3=8,

2

：.AE=

3

：.E(0,

3

設直線46的解析式為y=fcc+2,

把6(3,0)坐標代入得％=-|

直線加的解析式為y=-1%+2,

直線切的解析式為y=-|x-g，

把。(-2,r)代入y=--x—:得到t--2,

.,.<7(-2,-2),

將點C向下平移2個單位，向右平移3個單位得到點D,

：.D(1,-4).

【點評】本題考查三角形綜合題、非負數(shù)的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、一次函數(shù)的應用等知識，解題的關(guān)鍵是

靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，利用平行線的性質(zhì)解決問題.

5.如圖，在平面直角坐標系中，點A(2,6),B(4,3),將線段A6進行平移，使點/剛好落在x軸的負

半軸上，點6剛好落在y軸的負半軸上，A,6的對應點分別為B,連接力/'交y軸于點C,闞交無軸

于點D.

(1)線段U可以由線段46經(jīng)過怎樣的平移得到？并寫出力，6的坐標；

(2)求四邊形初'月8的面積；

(3)戶為y軸上的一動點(不與點C重合)，請?zhí)骄?心'與//'及？的數(shù)量關(guān)系，給出結(jié)論并說明理由.

【分析】(1)利用平移變換的性質(zhì)解決問題即可.

(2)利用分割法確定四邊形的面積即可.

(3)分兩種情形：點尸在點C的上方，點尸在點C的下方，分別求解即可.

【解答】解：⑴:點4(2,6),B(4,3),

又???將線段/夕進行平移，使點/剛好落在x軸的負半軸上，點8剛好落在y軸的負半軸上，

線段/B'是由線段46向左平移4個單位，再向下平移6個單位得到，

：.A'(-2,0),B'(0,-3).

-11

(2)SfsaKABBA'—6X9-2x—x2X3-2x—x6X4—24.

(3)連接力〃

,：B(4,3),B'(0,-3),

：.BB'的中點坐標為(2,0)在x軸上，

：.D(2,0).

'：A(2,6),

：.AD//y^,

同法可證C（0,3）,

：.OC=OB'，

\'A'OLCB',

：.A'C=A'B',

同法可證，B'A'=B'D,

：.ZA'DB=ZDA'B',AA'CB'B'C,

當點戶在點。的下方時，

VAPCA'+//'CB'=180°,NA'B'C+ADA'B'=90°，

：.APCA'+90°-DB'=180°，

：.ZPCA'-NAD'B'=90°,

當點尸在點。的上方時，NP'CA'+ZA1DB'=90°.

【點評】本題考查坐標與圖形變化-平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會有分割法求四邊形的面積，學會

用分類討論的思想解決問題，屬于中考常考題型.

6.如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標是（-1,0）,點8的坐標是（4,0）,現(xiàn)將線段/夕向右平移

一個單位，向上平移4個單位，得到線段切，點戶是y軸上的動點，連接外；

（1）當點尸在線段"上時（如圖一），判斷夕與/期的數(shù)量關(guān)系；

（2）當點?在團所在的直線上時，連接彼（如圖二），試判斷/〃郎與/期，/期之間的數(shù)量關(guān)系，請

直接寫出結(jié)論.

圖一圖二

【分析】（1）利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可.

（2）分三種情形：當點?在線段及7上時，當點尸在線段”的延長線上時，當點尸在的的延長線上時,

分別求解即可.

【解答】解：(1)如圖一中，結(jié)論：/CPB=90°+ZPBA.

理由：ZCPB+ZAPB=180°，ZAPB+ZPAB+ZPBA=180°

：.ZCPB=ZPOB+ZPBA,4P0B=9G,

：.ZCPB=^°+ZPBA.

(2)①如圖二中，當點尸在線段+上時，結(jié)論：/DPB=/CD抖/PBA.

理由：與PE〃CD.

圖二

?:AB〃CD,PE//CD,

：.PE//AB,

：.ACDP=ZDPE,/PBA=NEPB,

:?/DPB=/DPE+/BPE=/CD抖/PBA.

②如圖二①中，當點尸在線段5的延長線上時，結(jié)論：/PBA=/PDC+/DPB.

CD//OB,

:?/PTC=/PBA,

APTC=ZPDC+ZDPB,

：.ZPBA=ZPDC+ZDPB.

③如圖二②中，當點尸在。。的延長線上時，結(jié)論：4PDC=/PBA+/DPB.

理由：設PD交AB于T.

'：CD//OB,

：./PDC=APTA,

,/ZPTA=APDC+Z.DPB,

：./PDC=/PBA+/DPB.

綜上所述，/DPB=/CDPr/PBA或NPBA=/PDC+/DPB或/PDC=/PBA+NDPB.

【點評】本題考查平移變換，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活

運用所學知識解決問題.

7.如圖，在平面直角坐標系了你中，點/（a,b）,BCm,〃）分別是第三象限與第二象限內(nèi)的點，將4B

兩點先向右平移h個單位，再向下平移1個單位得到C,〃兩點（點A對應點C）.

（1）寫出C2兩點的坐標；（用含相關(guān)字母的代數(shù)式表示）

（2）連接力〃過點6作相的垂線/,￡是直線/上一點，連接龐，且龐的最小值為1.

①若。=〃-1,求證：直線/_1_尤軸；

②在平面直角坐標系中，任何一個二元一次方程的圖象都是一條直線，這條直線上有無數(shù)個點，每一個點

的坐標（尤，y）都是這個方程的一個解.在①的條件下若關(guān)于x,y的二元一次方程px+qy=笈（pgWO）的圖

象經(jīng)過點反〃及點（s,力，判斷s+f與機+w是否相等，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律解決問題即可..

（2）①證明42的縱坐標相等即可解決問題

②如圖，設朋交直線/于/首先證明引=0=1,推出〃（機+1,〃-1）,再證明p=q,即可解決問題.

【解答】解：(1)由題意，C(a+h,b-1),DQm+h,n-1).

(2)?u：b=n-1,

?9?A(〃，b),D(m+h,n-1)9

?,?點4,〃的縱坐標相等,

???Z〃_Lx軸，

???直線l±AD,

???直線/_Lx軸.

②如圖，設成交直線/于/

??,理的最小值為1,

:?DJ=3

■:BJ=3

:.D(m+1,H-1)

，二元一次方程px+qy=k(夕qWO)的圖象經(jīng)過點8,D,

/.mp+nq=k,(m+1)p+(n-1)q=k,

??p-q=0,

:，p=q，

?

?.m,+n=k一,

v

*.*tp+sp—k,

【點評】本題考查坐標與圖形的變化-平移，二元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所

學知識解決問題，屬于中考常考題型.

8.在△/阿中，ZABC=90°,四=8。=2,點〃是線段理的中點，點N在射線加上，連接力兒平移△/外

使點兒移動到點必得到△巫"（點〃與點力對應，點￡與點8對應），DM交AC于點P.

（1）若點"是線段協(xié)的中點，如圖1.

①依題意補全圖1；

②求”的長；

（2）若點”在線段仍的延長線上，射線場與射線相交于點&若MgDP,求應的長.

【分析】（1）利用平移的性質(zhì)畫出圖形，再利用相似得出比例式，即可求出線段小的長.

（2）根據(jù)條件第=秘，利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，求出必的長即可解決.

【解答】解：（1）①如圖1,補全圖形：

②連接如圖1.

在RfzX/EV中，

1

?：ZB=90°,AB=2,BN=-,

2

:.AN=3瓜i,

???線段AV平移得到線段掰

：.DM=AN=-y[Y7,

2

由平移可得，AD=NM=AD//MC,

:.△ADPs^CMP.

,DP_AD_1

*9MP~MC~29

：.DP=-DM=

36

,:MQ=DP,

：.PQ=DM.

：.AN//PQ,且用仁尸a

???四邊形2網(wǎng)是平行四邊形.

：.NQ//AP.

：.ZBQN=ZBAC=45°.

又■：2NBQ=/ABCS,

：.BN=BQ.

9：AN//MQ,

.AB_NB

**BQ-BM'

又???〃是比的中點，且相=宛=2,

.2_NB

?.NB-1

：.NB=V2（負值已舍去）.

:?ME=BN=V2.

：.CE=y[2-\,

【點評】本題考察的是等腰三角形的性質(zhì)與相似三角形的綜合應用，利用相似比求線段長是重難點，按題

意畫出圖形是解決本題的關(guān)鍵.

9.如圖，已知48〃微點￡在直線48,切之間.

(1)求證：/AEC=/BAE+NECD；

(2)若AH平6/BAE,將線段CE'沿"平移至FG.

①如圖2,若//￡。=90°,即平分求//%的度數(shù)；

②如圖3,若郎平分試判斷NZ即與//星的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

【分析】(1)過￡作哥〃/方，可得N4=/4即,利用平行于同一條直線的兩直線平行得到正與⑦平行，

再得到一對內(nèi)錯角相等，進而得出答案；

(2)①加平分/加G,設NGFH=2DFH=x,根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到/力郎的度數(shù)；②設N67V=2x,Z

歷l〃=N￡4〃=y,根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到N力即與N4歐的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：(1)如圖1,過點￡作直線磁〃/氏

'：AB//CD,

：.EN//CD,

:./BAE=/AEN,/DCE=/CEN,

：.AAEC=AAENyACEN=/BAH^NECD；

(2):AH平分/BAE,

：.ZBAH=ZEAH,

①);HF平■分/DFG,設/GFH=/DFH=x,

又CE//FG,

：.AECD=AGFD=2x,

又/AEC=/BAE+/ECD,ZAEC=90°,

:"BAH=/EAH=45°-x,

如圖2,過點〃作/〃48,

圖2

易證NAHF=/BAm/DFH=45°-尤+x=45°；

②設/的9=2x,/BAH=/EAH=y,

<HF平分/CFG,

:"GFH=/CFH=9Q"-x,

由（1）知/掰研/反力=2尤+2y,

如圖3,過點〃作/〃48,

易證/力郎-y+/<W=180°,

即/礪-y+90°-尤=180°,ZAHF=90°+（x+y）,

:./AHF=90°+-ZAEC.（或2/45-//￡C=180°.）

2

【點評】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)作出輔助線是解本題的關(guān)鍵.

10.如圖1,已知直線尸0〃期點/在直線加上，點C、〃在直線g上，連接/aAD,ZPAC=50°,z

/%=30°,AE平■）分乙PAD,CE平■分4ACD,/￡與方相交于反

（1）求//歐的度數(shù)；

（2）若將圖1中的線段皿沿既向右平移到4。如圖2所示位置，此時42平分//4八位平分//勿，

4￡與"相交于￡,ZPAC=5Q°,/4〃C=30°,求N4歐的度數(shù).

（3）若將圖1中的線段/，沿加向左平移到4"如圖3所示位置，其他條件與（2）相同，求此時N4比‘

【分析】（1）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出以及/的度數(shù)，進而得出答案;

（2）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出/竊￡以及/的度數(shù)，進而得出答案；

（3）直接利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)得出/I和N2的度數(shù)，進而得出答案.

【解答】解：（1）如圖1所示：

圖1

?.,直線戶。〃硼ZADC=30°,

：.ZADC=ZQAD=30a,

：.ZPAD^15Q°,

'：ZPAC=50°,AE平■分乙PAD,

，/用￡=75°,

：.ZCAE=25°,

可得/用，=/4小50°,

■:CE平~64ACD,

：.ZECA=25°,

：.Z^C=180o-25°-25°=130°；

圖2

VZAZAC=30°,線段沿腑向右平移到4。，PQ//MN,

*10=150°,

平分乙4A",

；.NPAiE=NEAB=75°,

'：ZPAC=50°,PQ//MN,

：.ZG4Q=130°,ZAGV=50°,

：四平分/47A,

：.ZACE=25°,

.".ZCE41=360°-25°-130°-75°=130°；

過點￡作FE//PQ,

'：ZAMC^3Q°,線段相沿腑向左平移到4",PQ//MN,

：4￡平分/加1。，

；./31￡=/2=15°,

VZ/^^500,PQ//MN,

：.ZAGV=50°,

■:CE平分ZAC",

：.ZACE=AECN=Z1=25°,

AZ6E4i=Zl+Z2=15°+25°=40°.

【點評】此題主要考查了角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)等知識，正確應用平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

11.如圖，直線/〃2，NC=N/=n2°,E,尸在上，且滿足/刀OE平■分/COF.

(1)求/￡如的度數(shù)；

(2)若平行移動/昆那么/皈1：N*的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變化范圍；

若不變，求出這個比值；

(3)在平行移動4?的過程中，是否存在某種情況使/儂三/倒？若存在，求出其度數(shù)；若不存在，說

【分析】(1)根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出N40G然后求出/￡仍=[//而；計算即可得解;

(2)根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得//如=/6!5G再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角的和可得/力廣2/阪；從而得解；

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出/屐應=乙4如，從而得到必、0E、卯是的四等分線，再利用三角

形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解.

【解答】解：⑴VCB//0A,

：.ZA0C=18Q0-ZC=180°-112°=68°,

,：0E平■分乙COF,

：.ACOE=AEOF,

'：4F0B=NAOB,

：.ZEOB=AEOF+ZFOB=-ZAOG=-x68°=34°；

22

(2)ZOBC：N/C的值不變.

???CB//OA,

：.AAOB=ZOBC,

ZFOB=/AOB,

：.ZFOB=ZOBQ

：.ZOFC=ZFOB+ZOBC=2ZOBC,

：.ZOBC：ZOFC=1：2,是定值；

(3)在△。宏和如中，

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：ZOEC=ZOBA9ZC=ZOAB,

：.ZCOE=ZAOB,

：?0B、OE、⑺是NZ%的四等分線，

：.ZCOE=-ZAOC=-x68°=17°,

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