專題33四邊形壓軸綜合問題（共24題）

一、解答題

1.（2022?甘肅蘭州?中考真題）綜合與實踐，【問題情境】：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,

在正方形A8CD中，E是8C的中點，AE1EP,EP與正方形的外角△DCG的平分線交于尸點.試猜想AE

與砂的數量關系，并加以證明；

圖3

（1）【思考嘗試】同學們發現，取A3的中點R連接所可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老

師提出的問題.

（2）【實踐探究】希望小組受此問題啟發，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形ABC。中,

E為BC邊上一動點、（點￡,2不重合），AAEP是等腰直角三角形，NAEP=90。，連接CP,可以求出

NDCP的大小，請你思考并解答這個問題.

（3）【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在正方形

A8CD中，E為BC邊上一動點（點E,B不重合），△4EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接。尸.知

道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當4B=4時，請你求出A/IDP周長的最小值.

2.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，ZBAD=120°,AB=6,連接8。.

D

⑴求8。的長；

（2）點E為線段3。上一動點（不與點2,。重合）,點尸在邊上，且BE=?D尸,

①當C￡LAB時，求四邊形ABEF的面積；

②當四邊形ABE尸的面積取得最小值時，CE+Wb的值是否也最小？如果是，求CE+百b的最小值；如

果不是，請說明理由.

3.（2022.上海?中考真題）平行四邊形4BCD,若P為BC中點，4P交BD于點E,連接CE.

⑴若AF=CE,

①證明4BCD為菱形；

②若=5,AE=3,求BD的長.

（2）以4為圓心，AE為半徑，B為圓心，BE為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=若尸在直線

CE上，求黑的值.

DC

4.（2022.黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數學是以數量關系和空間形式為主要研究對象的科學.數學實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去

發現其中的位置關系和數量關系，讓我們在學習與探索中發現數學的美，體會數學實踐活動帶給我們的樂趣

如圖①，在矩形A8C。中，點E、F、G分別為邊BC、AB、AO的中點，連接EF、DF,H為。尸的中點，

連接GH.將△BEF繞點B旋轉,線段。RGH和CE的位置和長度也隨之變化.當△8EF繞點8順時針旋

轉90。時，請解決下列問題：

⑴圖②中，AB=BC,此時點￡落在AB的延長線上，點尸落在線段8c上，連接AF,猜想G”與CE之間的

數量關系，并證明你的猜想；

（2）圖③中，AB=2,BC=3,貝|瞿=_________；

CE

⑶當AB=m,BC=n時.也=.

CE

（4）在（2）的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC剪開，得△ABC（如圖④）.點M、N分

別在AC、8C上，連接MN,將ACMN沿翻折，使點C的對應點P落在的延長線上，若平分

ZAPN,則CM■長為.

5.（2022?吉林長春?中考真題）【探索發現】在一次折紙活動中，小亮同學選用了常見的A4紙，如圖①，

矩形力BCD為它的示意圖.他查找了44紙的相關資料，根據資料顯示得出圖①中4。=近48.他先將A4紙

沿過點A的直線折疊，使點8落在力D上，點8的對應點為點E,折痕為4尸；再沿過點尸的直線折疊，使點

C落在EF上，點C的對應點為點H,折痕為FG；然后連結4G,沿4G所在的直線再次折疊，發現點。與點尸

重合，進而猜想AADG三△AFG.

【問題解決】

(1)小亮對上面AADGmAAFG的猜想進行了證明，下面是部分證明過程：

證明：四邊形力BCD是矩形，

：.^BAD=NB="==90°.

由折疊可知，^BAF=^ABAD=45°,^BFA=/.EFA.

：./LEFA=4BFA=45°.

-"-AF=V2AB=AD.

請你補全余下的證明過程.

【結論應用】

(2)N￡MG的度數為_______度，胃的值為_________；

AF

⑶在圖①的條件下，點尸在線段2F上，且4P=|4B,點。在線段4G上，連結FQ、PQ,如圖②，設4B=

a,貝UFQ+PQ的最小值為.(用含a的代數式表示)

6.(2022?吉林長春?中考真題)如圖，在［34BCD中，AB=4,2D=BO=g,點M為邊力B的中點，動點

產從點A出發，沿折線2D-DB以每秒g個單位長度的速度向終點8運動，連結PM.作點A關于直線PM

的對稱點4,連結AP、A'M.設點尸的運動時間為t秒.

(1)點D到邊力B的距離為；

(2)用含r的代數式表示線段OP的長；

(3)連結AD,當線段4D最短時，求△口「4的面積;

(4)當〃、4、C三點共線時，直接寫出f的值.

7.(2022?山東臨沂?中考真題)已知△ABC是等邊三角形，點8,。關于直線AC對稱，連接A。，CD.

⑴求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)在線段AC上任取一點P(端點除外)，連接PZ).將線段尸。繞點尸逆時針旋轉，使點。落在BA延長線

上的點0處.請探究：當點尸在線段AC上的位置發生變化時，NDPQ的大小是否發生變化？說明理由.

⑶在滿足(2)的條件下，探究線段AQ與CP之間的數量關系，并加以證明.

8.(2022?內蒙古通遼?中考真題)已知點E在正方形力BCD的對角線4c上，正方形4FEG與正方形4BCD有公

共點力.

(1)如圖1,當點G在力。上，尸在48上，求石茄的值為多少；

⑵將正方形MEG繞4點逆時針方向旋轉旗0。<a<90。)，如圖2,求：工的值為多少；

DG

(3)48=8應，AG=^AD,將正方形AFEG繞4逆時針方向旋轉a(0。<a<360。)，當C,G,E三點共線時,

請直接寫出DG的長度.

9.(2022?廣西?中考真題)已知Z_MON=a,點A,8分別在射線。M,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90。，取AB中點。，點A,B運動時，點。也隨之運動，點A,B,。的對應點分別為

A'.B'.D',連接。判斷OO與。D'有什么數量關系?證明你的結論：

(2)如圖②，若a=60。，以A3為斜邊在其右側作等腰直角三角形A3C,求點。與點C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當點A,2運動到什么位置時，△40B的面積最大?請說明理由，并求出△408面積

的最大值.

10.(2022?遼寧?中考真題)如圖，在△ABC中，AB=AC=2V5,BC=4,D,E,尸分別為4C,AB,BC的中

點，連接。民DF.

圖1

(1)如圖1,求證：DF=—DE;

2

(2)如圖2,將NEDF繞點。順時針旋轉一定角度，得到NPDQ,當射線DP交力B于點G,射線DQ交BC于點N

時，連接FE并延長交射線DP于點判斷FN與EM的數量關系，并說明理由;

(3)如圖3,在(2)的條件下，當DPIAB時，求DN的長.

11.(2022.貴州貴陽.中考真題)小紅根據學習軸對稱的經驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究.

如圖，在LL4BCD中，AN為BC邊上的高，半=機，點M在2D邊上，且BA=BM,點E是線段AM上任意一點,

AN

連接BE,將AABE沿BE翻折得AFBE.

圖①圖②備用圖

⑴問題解決：

如圖①，當NBAD=60。，將△ABE沿BE翻折后，使點尸與點M重合，則普=;

(2)問題探究：

如圖②，當NB4D=45。，將△ABE沿BE翻折后，使求”BE的度數，并求出此時小的最小值;

(3)拓展延伸：

當NBAD=30。，將AABE沿BE翻折后，若EF1AD,且AE=MD,根據題意在備用圖中畫出圖形，并求出

小的值.

12.(2022?遼寧營口?中考真題)如圖1,在正方形力BCD中，點M為CD邊上一點，過點〃作MN1CD且

DM=MN,連接DN,BM,CN,點P,。分別為BM,CN的中點，連接PQ.

圖1圖2

⑴證明：CM=2PQ；

⑵將圖1中的△DMN繞正方形A8CD的頂點。順時針旋轉a(0。<a<360°).

①(1)中的結論是否成立？若成立，請結合圖2寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

②若4B=10,。"=2近，在ADMN繞點。旋轉的過程中，當B,M,N三點共線時，請直接寫出線段PQ的

長.

13.（2022?福建?中考真題）已知AaBC三ADEC,AB=AC,AB>BC.

圖1圖2圖3

（D如圖1,CB平分/ACZ）,求證：四邊形ABAC是菱形；

（2）如圖2,將（1）中的△CDE繞點C逆時針旋轉（旋轉角小于NBAC）,BC,的延長線相交于點F,

用等式表示NACE與/EFC之間的數量關系，并證明；

（3）如圖3,將（1）中的△CDE繞點C順時針旋轉（旋轉角小于NABC）,若乙BAD=ABCD,求/AO8的

度數.

14.（2022?湖南永州?中考真題）為提高耕地灌溉效率，小明的爸媽準備在耕地力、B、C、。四個位置安裝四

個自動噴酒裝置（如圖1所示），A、8、C、。四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上，為了用水管

將四個自動噴灑裝置相互連通，爸媽設計了如下兩個水管鋪設方案（各圖中實線為鋪設的水管）.

方案一：如圖2所示，沿正方形4BCD的三邊鋪設水管；

方案二：如圖3所示，沿正方形4BCD的兩條對角線鋪設水管.

（1）請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設水管的總長度更短；

（2）小明看了爸媽的方案后，根據“蜂集原理”重新設計了一個方案（如圖4所示），

圖1圖2圖3圖4

滿足乙4EB=NCFD=120。，AE=BE=CF=DF,EF|“D、請將小明的方案與爸媽的方案比較，判斷誰的

方案中鋪設水管的總長度更短，并說明理由.（參考數據：V2?1.4,j3?1.7）

15.（2022?江蘇常州?中考真題）在四邊形4BCD中，。是邊BC上的一點.若404B三△OCD,則點。叫做該

四邊形的“等形點”.

D

BoC

（1）正方形_______“等形點”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如圖，在四邊形4BCD中，邊BC上的點。是四邊形4BCD的“等形點”.已知=4近，0A=5,BC=12,

連接4C,求4C的長；

（3）在四邊形EFGH中，EH//FG.若邊FG上的點。是四邊形EFGH的“等形點”，求工的值.

16.（2022?四川內江?中考真題）如圖，在矩形A8CE（中，AB=6,BC=4,點M、N分別在A8、A。上，且

點E為C。的中點，連接8E交MC于點?

（1）當尸為BE的中點時，求證：AM=CE；

Q哈2,求黑的值；

（3）若MN〃:BE,求募的值.

17.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形4BC0中，對角線4C與BD相交于點O,記△C0D的面積為

Si，△4。8的面積為52.

⑴問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：金=鬻

02U/l'UD

（2）探索推廣：如圖②，若48與CD不平行，（1）中的結論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應用：如圖③，在。力上取一點￡,使。E=OC,過點“作后勺戶。交0D于點E點X為的中點,

0H交EF于點G,且0G=2GH,若篙=|,求，值.

18.（2022?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知矩形ZBCO的對角線ZC,BD相交于點。，點E是邊2D上一點，連

接BE,CE,OE,且BE=CE.

（D如圖1,求證：4BEOmXCEO；

⑵如圖2,設BE與4C相交于點憶CE與BD相交于點”，過點。作4C的平行線交BE的延長線于點G,在不

添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形(AAEF除外)，使寫出的每個三角形的面積都

與AAEF的面積相等.

19.(2022?四川成都?中考真題)如圖，在矩形48CD中，AD=nAB(,n>1),點E是4。邊上一動點(點E不

與2,。重合)，連接BE,以BE為邊在直線BE的右側作矩形EBFG,使得矩形EBFGs矩形48CD,EG交直

(1)【嘗試初探】在點E的運動過程中，△力BE與始終保持相似關系，請說明理由.

(2)【深入探究】若71=2,隨著E點位置的變化，”點的位置隨之發生變化，當H是線段CD中點時，求

tan/ABE的值.

(3)【拓展延伸】連接BH,FH,當是以為腰的等腰三角形時，求tan/HBE的值(用含n的代數式表

示).

20.(2022?內蒙古赤峰?中考真題)同學們還記得嗎？圖①、圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中

我們研究過的兩個圖形.受這兩個圖形的啟發，數學興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

(1)【問題一】如圖①，正方形4BCD的對角線相交于點。，點。又是正方形力iBiG。的一個頂點，。4交2B于

點E,OC1交BC于點F,貝ME與BF的數量關系為；

(2)【問題二】受圖①啟發，興趣小組畫出了圖③：直線小、n經過正方形4BCD的對稱中心。，直線小分別與

AD,BC交于點E、F,直線九分別與AB、CD交于點G、H,且租1n,若正方形ABCD邊長為8,求四邊形

0E4G的面積；

(3)【問題三】受圖②啟發，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形4BCD的邊CD上，頂點E在

BC的延長線上，且BC=6,CE=2.在直線BE上是否存在點P,使AAPF為直角三角形？若存在，求出BP

的長度；若不存在，說明理由.

圖④

21.(2022?內蒙古包頭?中考真題)如圖，在平行四邊形A8CD中，AC是一條對角線，且4B=2C=5,

BC=6,E,F是2。邊上兩點，點F在點E的右側，AE=DF,連接CE,CE的延長線與B4的延長線相交于點

G.

圖1圖2

(1)如圖1,M是BC邊上一點，連接力M,MF,MF與CE相交于點N.

①若4E=|,求4G的長；

②在滿足①的條件下，若EN=NC,求證：AM1BC；

(2)如圖2,連接GF,H是GF上一點，連接若乙EHG=4EFG+乙CEF,且HF=2GH,求EF的長.

22.(2022?海南?中考真題)如圖1,矩形2BCD中，4B=6,4。=8,點P在邊BC上，且不與點8、C重合,

直線力P與。C的延長線交于點E.

(1)當點P是BC的中點時，求證：4ABP三4ECP；

(2)將A4PB沿直線4P折疊得到AAPB，，點夕落在矩形2BCD的內部，延長PB，交直線4。于點尸.

①證明凡4=FP,并求出在(1)條件下4F的值；

②連接9C,求APCB，周長的最小值；

③如圖2,BB咬AE于點X,點G是力E的中點，當NE4夕=2N4EB，時，請判斷力B與HG的數量關系，并說

明理由.

23.(2022.黑龍江綏化?中考真題)我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩

腰的距離之和與一腰上的高之間的數量關系，并利用這個關系解決相關問題.

圖一圖二圖三

(1)如圖一，在等腰AaBC中，AB=AC,BC邊上有一點。，過點。作DE14B于E,DF1AC^F,過點C

作CG14B于G.利用面積證明：DE+DF=CG.

(2)如圖二，將矩形4BCD沿著EF折疊，使點A與點C重合，點B落在B'處，點G為折痕EF上一點，過點G

作GM1FC于M,GN工BC于N.若BC=8,BE=3,求GM+GN的長.

(3)如圖三，在四邊形A8CD中，E為線段BC上的一點，EALAB,ED1CD,連接BD,且,=蕓，BC=

CDDE

V51.CD=3,BD=6,求ED+EA的長.

24.(2022?河南?中考真題)綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.

(1)操作判斷

操作一：對折矩形紙片ABCD使與BC重合，得到折痕ER把紙片展平；

操作二：在上選一點尸，沿2尸折疊，使點A落在矩形內部點〃處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據以上操作，當點M在E尸上時，寫出圖1中一個30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：

將正方形紙片ABC。按照(1)中的方式操作，并延長交于點。，連接8。.

①如圖2,當點M在EF上時，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②改變點尸在A。上的位置（點尸不與點A,。重合），如圖3,判斷/MB。與/C8。的數量關系，并說明

理由.

（3）拓展應用

在（2）的探究中，己知正方形紙片ABCD的邊長為8cm,當尸Q=1cm時，直接寫出AP的長.

專題33四邊形壓軸綜合問題(共24題)解析版

一、解答題

1.(2022.甘肅蘭州?中考真題)綜合與實踐，【問題情境】：數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1,

在正方形ABC。中，￡是的中點，AE1EP,EP與正方形的外角△DCG的平分線交于尸點.試猜想AE

與￡尸的數量關系，并加以證明；

圖3

(1)【思考嘗試】同學們發現，取的中點片連接EF可以解決這個問題.請在圖1中補全圖形，解答老

師提出的問題.

(2)【實踐探究】希望小組受此問題啟發，逆向思考這個題目，并提出新的問題：如圖2,在正方形ABC。中,

E為BC邊上一動點(點E,8不重合)，△力EP是等腰直角三角形，NAEP=90。，連接CP,可以求出

ADCP的大小，請你思考并解答這個問題.

(3)【拓展遷移】突擊小組深入研究希望小組提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3,在正方形

ABCD^,E為邊上一動點(點E,B不重合),△力EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,連接。P.知

道正方形的邊長時，可以求出AADP周長的最小值.當4B=4時，請你求出△力DP周長的最小值.

【答案】(1)答案見解析

(2)45°,理由見解析

(3)4+4西，理由見解析

【解析】

(1)取AB的中點尸，連接EE利用同角的余角相等說明/PEC=/BAE,再根據ASA證明△AFE絲AECP,

得AE=EP；

(2)在AB上取AF=EC,連接EF,由(1)同理可得/CEP=NE4E,則△E4E絲(SAS),再說明

△8E尸是等腰直角三角形即可得出答案；

(3)作。GLCP,交3c的延長線于G,交C尸于O,連接AG,則△OCG是等腰直角三角形，可知點。與

G關于CP對稱，則AP+QP的最小值為AG的長，利用勾股定理求出AG,進而得出答案.

(1)

解：AE=EP,

理由如下：取A3的中點孔連接所,

圖I

??,尸、E分別為A3、BC的中點,

：.AF=BF=BE=CE,

：.NBFE=45。,

：.ZAFE=135°,

尸平分N0CG,

???ZDCP=45°,

：.ZECP=135°f

：.NAFE=NECP,

VAEXPE,

???NAE尸=90。，

???ZAEB+ZPEC=90°f

*：ZAEB+ZBAE=90°,

:./PEC=/BAE,

:?△AFEQXECP(ASA),

：.AE=EP；

(2)

解：在A3上取Ab=￡C,連接EF

圖2

由(1)同理可得NCEP=NFAE,

'：AF=EC,AE=EP,

:.△FAE"MCEP(SAS),

工/ECP=/AFE,

'：AF=EC,AB=BC,

：.BF=BE,

:.NBEF=NBFE=45°,

：.ZAFE=135°,

.\Z￡CP=135°,

NDCP=45。；

(3)

解：作DGLCP,交BC的延長線于G,交CP于O,連接AG,

AD

圖3

由（2）知，ZZ）CP=45°,

：.ZCDG=45°,

AOCG是等腰直角三角形，

...點。與G關于CP對稱，

：.AP+DP的最小值為AG的長，

'：AB=4,

：.BG=8,

由勾股定理得4?=4強，

△&￡）尸周長的最小值為AD+AG=4+4V5.

【點睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，軸對稱-最短路線問題，全等三角形的判定與性質，等腰

直角三角形的判定與性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.

2.（2022?廣東廣州?中考真題）如圖，在菱形A8CD中，ZBAD=12Q°,AB=6,連接8。.

DC

⑴求8。的長；

（2）點E為線段BO上一動點（不與點3,D重合），點P在邊A。上，且BE=?DF,

①當CELAB時，求四邊形的面積；

②當四邊形A2EF的面積取得最小值時，CE+WCP的值是否也最小？如果是，求CE+百CB的最小值；如

果不是，請說明理由.

【答案】（1）BD=6V3;

⑵①四邊形A2EP的面積為7次；②最小值為12

【解析】

(1)證明△ABC是等邊三角形，可得2。=3取,即可求解；

(2)過點E作AD的垂線，分別交AD和8C于點M,N,根據菱形的面積可求出10=3百，設BE=x,則

EN=1x,從而得到EM=MN-EN=3V^-再由^后百刀尸，可得。4日x,從而得到四邊形A8EF的面積

2

s=SAABD-SADEF=*(x—3V3)+竽，①當時，可得點E是乙ABC重心，從而得到

BE=CE=|BO=|x3V3=2V3,即可求解；②作CHLAD于H,可得當點E和歹分別到達點。和點X位置時,

CF和CE分別達到最小值；再由s=^(x—3⑸2+竽，可得當％=3百，即8E=3百時，s達到最小值,

從而得到此時點E恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點H位置，即可求解.

(1)

解：連接AC,設AC與2。的交點為。，如圖，

:四邊形ABCD是菱形，

J.ACLBD,OA=OC,AB//CD,AC平分NZM8,

VZBA￡)=120°,

ZCAB=60°,

...△ABC是等邊三角形，

.,.BO=AB-sin60°=6x—=3V3，

2

BD=2BO=6y/3;

(2)

解：如圖，過點E作AO的垂線，分別交AO和于點M,N,

:△ABC是等邊三角形，

,\AC=AB=6,

由(1)得：BD=6y[3;

菱形A3CO中，對角線3。平分NABC,AB//CD,BC=AB=6f

：.MNLBC,

\9ZBAD=120°,

：.ZABC=60°,

??/EBN=3U。；

i

：.EN=-BE

2

SACBDMNBC

'-^ABCD=1-=-^

:.MN=3W，

設BE=x,貝！]EN=N，

EM=MN-EN=3曲-|x,

,**S菱形ABCD=AD?MN=6X3v5-18V5,

.*?SA^BD=宇菱形ABCD=9y[^,

?:BE=^DF,

.?.DFAF.=—BE=—V3x,

V33

...SADEF《DF?EM=--^-X(3V3--X']=--X2+-X,

223V27122

記四邊形ABE尸的面積為s,

:.S=SAABD$DEF=9W-(-^%2+-%)=^(x-3V3)2+—,

12212vy4

?.?點E在上，且不在端點，；.0<B氏BD,即0<x<68；

①當CELLA8時，

；OB_LAC,

.?.點后是4ABC重心，

:.BE=CE=WBO=WX3V3=2V3,

止匕時s=今(2V3-3g了+竿=7百，

當CE±AB時，四邊形ABEF的面積為7次；

②作CHLAO于H,如圖，

'：CO±BD,CH±AD,而點E和尸分別在8。和AO上，

當點E和尸分別到達點。和點H位置時，CF和CE分別達到最小值;

在菱形ABC。中，AB//CD,AD=CD,

ZBAD=120°,

：.ZADC=6Q°,

...△ACO是等邊三角形，

：.AH=DH=3,

/.CH=3V3,

：s號（x-3可+竽

.?.當x=3次，即BE=3百時，s達到最小值，

,：BE=?DF,

：.DF=3,

此時點E恰好在點。的位置，而點尸也恰好在點H位置，

二當四邊形ABEF面積取得最小值時，CE和B也恰好同時達到最小值，

CE+43CF的值達到最小，

其最小值為C0+WCH=3+V3x373=12.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直角三角形等

知識，熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，二次函數的性質，三角形的重心，解直角三角形等

知識是解題的關鍵.

3.(2022?上海?中考真題)平行四邊形力BCD,若P為BC中點，4P交BD于點E,連接CE.

⑴若AE=CE,

①證明力BCD為菱形；

②若4B=5,AE=3,求8D的長.

(2)以4為圓心，AE為半徑，8為圓心，8E為半徑作圓，兩圓另一交點記為點F,且CE=若F在直線

CE上，求黑的值.

【答案】⑴①見解析；②6/

⑵￥

【解析】

(1)①連接AC交80于。，ffiAAOE^ACOE(SSS),得NA0E=NC0E,從而得NCOE=90。，貝！|AC_LBD,

即可由菱形的判定定理得出結論；

②先證點E是AABC的重心，由重心性質得BE=20E,然后設。￡=%，貝UBE=2無，在放AA0E中，由勾股定

理，得。42=4￡2_0打2=32_芯2=9-彳2,在夫也&。2中，由勾股定理，得。42=Ag2_0B2=52_(3x)2=25-9x2,從而得%

N=25-9N,解得：彳=夜,即可得02=3a3vL再由平行四邊形性質即可得出3。長；

(2)由。A與。2相交于E、F,得ABLE6點E是AABC的重心，又F在直線CE上，則CG是AABC的中

線，貝IJAG=8G=UB,根據重心性質得GE』CE=3E,CG=CE+GE=%E,在RdAGE中，由勾股定理，

2222

得A^Ae-GEE=AE^A^^AE2,則46=爭4瓦所以AB=2AG=&AE,在RtxBGC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-A￡2+(場4E)2=5AE2,則BC=^AE,代入即可求得絲的值.

22BC

(1)

①證明：如圖，連接AC交BD于。,

?.?平行四邊形力BCD,

OA=OC,

?：AE=CE,OE=OE,

：.AA0￡^AC(9E(SSS),

ZAOE=ZCOE,

"?ZAOE+ZCOE=1SO°,

：.ZCOE=90°,

：.AC±BD,

:平行四邊形4BCD,

二四邊形2BCQ是菱形；

@'：OA=OC,

是AABC的中線，

為BC中點，

是△ABC的中線，

六點E是AABC的重心，

：.BE=2OE,

設。E=x,則BE=2x,

在放AAOE中，由勾股定理，得。42=AE2-OE2=32一X2=9-N,

在RdAOB中，由勾股定理，得。42=AB2_OB2=52-(3X)2=25-9X2,

9-x2=25-9x2,

解得：x=V2,

OB=3x=3迎,

:平行四邊形4BCD,

:.BD=2OB=6岳

(2)

解：如圖，

?.?。4與。8相交于￡F,

：.AB±EF,

由（1）②知點E是AABC的重心，

又F在直線CE上，

，CG是AABC的中線，

11

：.AG=BG=-AB,GE=-CE,

22

CE=gE,

:.GE巫AE,CG=CE+GE=^AEf

22

在RdAGE中，由勾股定理，得

AG2=AE2-GEE=AE2-（^-AE）2=^AE2,

：.AG=^AE,

2

：.AB=2AG=y[2AE,

在放A2GC中，由勾股定理，得

BC2=BG2+CG2=-A￡2+（越AE）2=5AE2,

22

：.BC=>j5AE,

?AB__五AE_V10

**BC~遍AE~5,

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質，菱形的判定，重心的性質，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質，本題屬圓與

四邊形綜合題目，掌握相關性質是解題的關鍵，屬是考常考題目.

4.（2022?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與實踐

數學是以數量關系和空間形式為主要研究對象的科學.數學實踐活動有利于我們在圖形運動變化的過程中去

發現其中的位置關系和數量關系，讓我們在學習與探索中發現數學的美，體會數學實踐活動帶給我們的樂趣.

如圖①，在矩形A8CD中，點、E、F、G分別為邊BC、AB,AD的中點，連接取、DF,X為。尸的中點，

連接G8.將ABEF繞點B旋轉,線段。/、G8和CE的位置和長度也隨之變化.當△8EF繞點2順時針旋

轉90。時，請解決下列問題：

⑴圖②中，AB=BC,此時點E落在AB的延長線上，點尸落在線段8c上，連接AF,猜想G”與CE

之間的數量關系，并證明你的猜想；

(2)圖③中，AB=2,BC=3,貝|瞿=________；

CE

⑶當AB=m,BC=n時.也=.

CE

(4)在(2)的條件下，連接圖③中矩形的對角線AC,并沿對角線AC剪開，得△ABC(如圖④).點M、N分

別在AC、8C上，連接MN,將ACMN沿翻折，使點C的對應點P落在的延長線上，若平分

ZAPN,則CM■長為.

【答案】(1)GH=1CE,證明見解析

(2)—=i

'7CE3

/c、GHm

(3)—=—

\52n

(4盧

【解析】

(1)先證明AAB尸也ACBE,得4F=CE,再根據中位線性質得GHgaF,等量代換即可；

(2)連接AF,先證明△AB/SACBE,得到AF：CE的比值，再根據中位線性質得等量代換即

可；

(3)連接AF,先證明△AB/SACBE,用含加、〃的代數式表達出AF：CE的比值，再根據中位線性質得

GH=^AF,等量代換即可；

(4)過M作于H,根據折疊性質得NC=NMPN,根據角平分線證明出NC=NPMH,設

CM=PM=x,HM=y，根據三角函數定義找到x、y之間的關系，再利用得到器=兼，代入

解方程即可.

(1)

解：GH=\CE,理由如下：

?：AB=BC,四邊形ABC。為矩形，

.??四邊形ABCD為正方形，

NABC=/CBE=90°,

■:E、F為BC,A2中點，

：.BE=BF,

：.&ABF沿4cBE,

：.AF=CE,

為。尸中點，G為AO中點，

：

.GH=2-AF,

AGH^-2CE.

⑵

加GH1

解:k=9

連接AF,如圖所示，

由題意知，BF=^AB=1,BE曰吟

.AB_BF_2

*9BC~BE~

由矩形ABC。性質及旋轉知，ZABC=ZCBE=90°,

AABFS2CBE,

.\AF：CE=2:3,

為A￡＞中點，H為DF中點,

1

：

.GH=2-AF,

?.?GH_=11.

CE3

故答案為：|.

(3)

連接4凡如圖所示,

由題意知，B*AB=￡,BE事吟

,AB_BF_m

**BC~BE~n"

由矩形ABC。性質及旋轉知，ZABC=ZCBE=90°,

/.bABFs?CBE,

.".AF：CE=m：n,

為AD中點，H為DF中點,

1

：.GH=-AF,

2

?GH_m

??—.

CE2n

故答案為：松.

(4)

解：過M作于H,如圖所示，

P

由折疊知，CM=PM,ZC=ZMPN,

平分N4PN,

\ZAPM=ZMPN,

'.ZC=ZAPM,

：AB=2,BC=3,

,-AC=sj22+32=V13,

設CM=PM=x,HM=y,

由sin"=sin乙4PM知，*=翳

pn2-y_.._2x

即豆一?y—范

,:HM〃BC,

???AAHMSXABC,

.HM_AM

??—，

BCAC

1咚=等，y=2^=x3,

3V13JV13

?V1133-XX32x

??-X3=-=9