專題01平面直角坐標系與函數概念

廠考點類型

考點7：函數的定義

考點8：函數的關系式

考點9：自變量的取值范圍

模塊三函數

01講平面直角坐標系與函數

考點10：函數值計算

考點5：坐標與圖形考點11：實際問題與函數圖像

考點6：坐標規律考點12：動點問題

知識一遍過

（-）平面直角坐標系中點的坐標特征

（1）各象限點的特征：

第一象限（+,+）；

第二象限（一，+）；

第三象限（一，一）；

第四象限（+,一）.

（2）特殊位置點的特征：

若點，在x軸上，則空；

若點戶在y軸上，則更2；

若點尸在一、三象限角平分線上，則空；

若點?在二、四象限角平分線上，則a+斤0.

（3）坐標的對稱點特征

點P（a,b）關于x軸的對稱點P'（a,一b）

點尸（a,b）關于y軸的對稱點P（一a,b）

點PQa,6）關于原點的對稱點產（一a,一b）.

（4）點尸（a,6）、點〃（c,d）坐標關系變化

①點尸到y軸的距離為時，到y軸的距離為何.到原點的距離為，/+汁2.

②將點戶沿水平方向平移"（〃〉0）個單位后坐標變化情況為:

點?沿水平向右方向平移加（勿〉0）個單位后坐標為（a+0，6）;

點戶沿水平向左方向平移"（勿〉0）個單位后坐標為（a-0,6);

③將點尸沿豎直方向平移〃（〃〉0）個單位后坐標變化情況為:

點尸沿豎直方向向上平移A(72>0)個單位后坐標為（a,八A）;

點戶沿豎直方向向下平移〃(Z2>0)個單位后坐標為（a,b~n）.

④若直線掰平行X軸，則為d；若直線9平行y軸，則軍C；

⑤點尸到點〃的距離：巴滬-c）?+（b-d）?

⑥線段，〃的中點坐標：（專，售）

（-）函數及自變量的取值范圍

（1）常量與變量：在某一變化過程中，始終保持不變的量叫做常量，數值發生變化的量叫做變量.

（2）函數的定義：一般的，在某個變化過程中如果有兩個變量無、y,對于尤的每一個取值，y都有唯一確

定的值與之對應，那么x是自變量，y是x的函數.

（3）函數的表示方法：①解析式法；②圖象法；③列表法.

（4）函數解析式（用來表示函數關系的數學式子叫做解析式）與變自量的取值范圍：

（5）描點法畫圖像的一般步驟：列表、撞點、連線

（6）函數自變量取值范圍

①函數表達式是整式，自變量的取值是全體實數一；

②函數表達式是分式，自變量的取值要使得一分母不等于0.；

③函數表達式是偶次根式，自變量的取值要使得.被開方數.為非負數;

④來源于實際問題的函數，自變量的取值要使得實際問題有意義、式子有意義.

函數的有關知識及其圖象：

（三）函數圖像的分析與判斷

分析實際問題判斷函數圖象的方法：

①找起點：結合題干中所給自變量及因變量的取值范圍，對應到圖象中找對應點；

②找特殊點：即交點或轉折點，說明圖象在此點處將發生變化；

③判斷圖象趨勢：判斷出函數的增減性，圖象的傾斜方向.

（J考點一遍過

考點1:用坐標表示位置

典例1:（2022下?河北邯鄲?七年級統考期末）象棋在中國有著三千多年的歷史，由于用具簡單，趣味性強，

成為流行極為廣泛的益智游戲.如圖，是一局象棋殘局，已知表示棋子"焉"和"隼"的點的坐標分別為（4,3）,

（-2,1）,則表示棋子"炮"的點的坐標為（）

【答案】D

【分析】根據棋子"焉"和"隼"的點的坐標可得出原點的位置，建立起平面直角坐標系，進而得出答案.

【詳解】解：回表示棋子"身和"章’的點的坐標分別為(4,3),(-2,1),

團可得平面直角坐標系如圖所示：

團棋子"炮"的點的坐標為：(1,3).

故選：D.

【點睛】此題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點的位置是解題關鍵.

【變式1】(2023上?浙江嘉興?九年級校考開學考試)若正整數x,y滿足，=64,則這樣的正整數

對O,y)有()對

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由平方差公式可知/-y2=(x+y)(x-y),(x+y)與(x-y)同為奇數或偶數，將64分為兩個偶

數的積，分別解方程組即可.

【詳解】解：Ex2-y2=(%+y)(x—y),64=32x2=16X4,

喂乙￥或｛？箕？

解瞰二或作If，

團滿足條件的正整數對⑶y)的個數是2,

故選:B.

【點睛】本題考查平方差公式的應用、解二元一次方程組，應明確兩整數之和與兩整數之積的奇偶性相同

是解題的關鍵.

【變式2](2023下,四川瀘州,七年級統考期末)如圖是某校的平面示意圖，圖中小方格都是邊長為1個單

位長度的正方形，每個主要位置恰好落在整格點，若實驗樓的坐標為(-1,3),校門的坐標為(-6,0).則圖書

館的坐標是()

A.(-3,-3)B.(-2,-3)C.(0,-3)D.(1,-3)

【答案】B

【分析】直接利用已知點坐標得出原點位置，進而建立平面直角坐標系即可解答.

【詳解】解：由實驗樓的坐標為(-L3),校門的坐標為(-6,0),可建立如圖所示坐標系:

桎門

則圖書館的坐標是(-2,-3).

故選B.

【點睛】本題主要考查了坐標確定位置，正確得出原點位置并建立直角坐標系是解題關鍵.

【變式3](2022下?湖北恩施?七年級統考期中)如圖，己知0AOC=3O。，勖OC=150。，OD平分勖。4,若點

A可表示為（2,30。），點8可表示為（3,150。），則點。可表示為（）

A.(4,75°)B.(75°,4)C.(4,90°)D.(4,60°)

【答案】C

【分析】根據角平分線的性質得出她。。=&8。。=60。，進而得出SDOC的度數，利用A,2兩點坐標得出2,

4代表圓環上數字，角度是與c。邊的夾角，根據aooc的度數，以及所在圓環位置即可得出答案.

【詳解】解：aaBOC=150°,EAOC=30°,

0EL4OB=12O",

為I3BOA的平分線,

SEAOD=S\BOD=60°,

EBOOC=EAOr>+0AOC=6O°+3O°=9O°,

財點可表示為（2,30。），8點可表示為（3,150。），

回。點可表示為：（4,90°）.

故選：C

【點睛】此題主要考查了點的坐標性質以及角平分線的性質，根據已知得出A點，2點所表示的意義是解決

問題的關鍵.

考點2：求點的坐標

典例2：（2023上?四川達州?八年級校考期中）如圖所示的象棋盤上，若“帥”位于點（1,-3）上，"相"位于點

（3,-3）上，則"炮"位于點（）

A.(—1,1)B.(-1,2)C.(-2,0)D.(一2,2)

【答案】C

【詳解】此題主要考查了建立平面直角坐標系，根據"帥"與"相"所在位置的坐標可建立直角坐標系，然后寫

出"炮"所在位置的點的坐標即可，解題的關鍵是正確理解平面直角坐標系中，點與有序實數對一一對應.

【點睛】根據"帥"位于點(1,-3)上，“相〃位于點(3,-3)上可建立如圖的直角坐標系，

回"炮"位于點(-2,0),

故選：C.

【變式1](2023上,四川德陽?八年級統考期中)如圖,在AABC中，點力的坐標為(0,1),點B的坐標為(0,4),

點C的坐標為(4,3),且AABD與AABC全等，點。的坐標是()

C.(一4,2)或(一4,3)D.(4,2)或(一4,2)或(一4,3)

【答案】D

【分析】本題考查了全等三角形的性質，直角坐標系中的軸對稱問題，根據對稱性分情況討論即可，掌握

數形結合的思路是解題的關鍵.

【詳解】解：當△ABD1三AABC時，△48。和△力關于y軸對稱，如下圖所示：

團點5的坐標是(一4,3),

當△ABD2三△B4C,過。2作。2G1AB,過C點作CH14B,如上圖所示,

△AB4邊2B上的高即與八B4C的邊28上高CH相等，

0D2G=CH=4,AG=BH=1,

HOG=2,

回點。2的坐標是（一4,2）,

ABD3=A1AB,如上圖所示，

△4BD3邊2B上的高￡）36與4B4C的邊4B上高CH相等,

團。3G=CH=4,AG=BH=1,

ISOG=2,

回點名的坐標是（4，2）,

綜上所述，點。的坐標是2（一4,3）,4（—4，2）或。3（4,2）,

故選：D.

【變式2］（2022下,上海嘉定,七年級校考期末）如圖，卡通形象"大白"深受大家喜愛，將"大白"放在平面直

角坐標系xOy中，如果右眼B的坐標是（-3,3）,那么這只"大白"的左眼4的坐標是（）

【答案】C

【分析】根據右眼B的坐標是（-3,3）,向左平移一格即可得出點4的坐標.

【詳解】解：???B的坐標是（-3,3）,左移1個單位得到點4的坐標

力（—4,3）,

故選：C.

【點睛】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標的確定，從平移角度考慮點的坐標更簡便.

【變式3］（2022上?陜西寶雞,八年級統考期中）在平面直角坐標系中放置了一個面積為5的正方形，如圖

所示，點B在y軸上，且坐標是（0,2）,點C在式軸上，則點。的坐標為（）

y

A.(2,1)B.(3,1)C.(1,3)D.(1,2)

【答案】B

【分析】如圖，作輔助線；證明AOBC三△ECD,得到DE=OC,CE=OB；求出。C、OB的長度，即可解

決問題.

【詳解】解：如圖，過點。作DE1”軸于點E；

???四邊形4BCD為正方形，

.-.乙BCD=90°,而N80C=90°,

Z.OBC+Z.OCB=Z.OCB+Z.DCE,

???乙OBC=Z.DCE；

在△與△ECO中，

Z.OBC=4ECD

Z.BOC=Z.CED,

BC=CD

??.△OBC=AECD(AAS),

DE=OC,CE=OB；

由題意得：BC2=OB2+OC2,而。8=2,BC=V5,

??.OC=1,DE=1,CE=2,

.,?點。的坐標為(3,1).

故選：B.

【點睛】該題以平面直角坐標系為載體，以坐標與圖形的關系、全等三角形的判定及其性質的應用為考查

的核心構造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求.

考點3：判斷點所在的象限

典例3：(2023上?遼寧沈陽?八年級統考期中)下列結論正確的是()

A.點P(—1,2023)在第四象限

B.點M在第二象限，且到x軸和y軸的距離分別為4和3,則點M的坐標為(-4,3)

C.平面直角坐標系中，點P(x,y)位于坐標軸上，那么xy=0

D.已知點P(—5,6),<2(-3,6),則直線PQIIy軸

【答案】C

【分析】本題考查了點所在的象限、點到坐標軸的距離、點的坐標與圖形，熟練掌握點的坐標特征是解題

關鍵.根據點所在的象限、點到坐標軸的距離、點的坐標與圖形的特點逐項判斷即可得.

【詳解】解：A、點P(-L2023)在第二象限，則此項錯誤，不符合題意；

B、點M在第二象限，且到％軸和y軸的距離分別為4和3,則點M的坐標為(-3,4),則此項錯誤，不符合題

思；

C、平面直角坐標系中，點P(x,y)位于坐標軸上，那么xy=0,則此項正確，符合題意；

D、已知點P(—5,6),<2(-3,6),則直線PQ||x軸，則此項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【變式1](2023上?北京?九年級北京八中校考期中)已知二次函數y=ax2+bx+c(cz豐0)的圖象如圖所示,

則點(a,6c)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】直接根據函數圖象，可以判斷開口方向，對稱軸的位置和拋物線與y軸交點位置，

記憶方法：開口向下，a<0,開口向上，a>0,b的符號結合對稱軸位置即可判定，c的符號可直接讀取.

【詳解】由題可知，拋物線開口向下；

團a<0；

團對稱軸式=--->0,結合a<0；

2a

配>0；

團拋物線交y軸負半軸；

0c<0；

0a<0,be<0；

團點(a,be)位于第三象限；

故選C

【變式2](2023上?福建福州?八年級校考階段練習)在平面直角坐標系中，點P(a,b)關于y軸對稱的點

Q(-2,3),點尸所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】先根據點坐標的軸對稱變換可得P(2,3),再根據橫坐標大于0、縱坐標大于0即可得.

【詳解】解：???在平面直角坐標系中，點P(a,b)關于y軸對稱的點Q(-2,3),

.-.P(2,3),

又???點P的橫坐標2>0,縱坐標3>0,

回點P所在的象限是第一象限，

故選：A.

【點睛】本題考查了點所在的象限、點坐標的軸對稱變換，熟練掌握點坐標的軸對稱變換規律是解題關鍵.

【變式3](2023下?遼寧盤錦?七年級校考期末)點a(x,y)滿足二元一次方程組\；7：[二；3的解，則點

在第()象限

A.-B.~C.三D.四

【答案】C

【分析】先解方程組，后根據點的坐標特征，確定位置即可.

【詳解】電：1二3

解得,

EL4(-l,-3),

故選C.

【點睛】本題考查了解方程組，點的坐標與象限，熟練掌握解方程組，坐標與象限的關系是解題的關鍵.

考點4：象限點的應用一一含參

典例4：(2023上?安徽黃山?九年級統考期中)若拋物線y=-2(%+m-1)2-3租+6的頂點在第二象限，

則租的取值范圍是()

A.m<1B.m<2C.m>1D.1<m<2

【答案】D

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，能夠熟練的利用二次函數的頂點式，得到頂點坐標是解題的關

鍵，利用y=-2(%+m-1尸一3血+6,可得頂點坐標為(1一TH,-3血+6),根據頂點在第二象限，即可得

到m的取值范圍.

【詳解】解：=-2(x+m-l)2-3m+6,

團頂點為(1-m,-3m+6),

團頂點在第二象限，

01—?71<0,-3771+6>0,

01<m<2,

故選：D.

【變式1](2023下?山東德州?七年級校考期中)已知點時(25-529-3。)在第四象限，化簡-5尸+

|a—3|=()

A.8B.2aC.2D.-2

【答案】c

【分析】根據題意列出不等式組求出。的范圍，然后根據二次根式的性質以及絕對值的性質即可求出答案.

【詳解】解：由題意可知：

J25-5a>0

I9-3a<0'

團3VaV5,

團a—5V0,CL—3>0,

團原式=5—a+a—3

=2,

故選：C.

【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，解題的關鍵是熟練正確求出〃的范圍，本題屬于基礎題型.

【變式2](2023上,四川達州?八年級校考期中)已知點P(2,-3)與點QQ,y)在同一條平行于y軸的直線上,

且。在第四象限，它到x軸的距離為5,則。關于y軸的對稱點坐標為()

A.(2,-5)B.(2,5)C.(—2,5)D.(—2,—5)

【答案】D

【分析】本題考查了點的坐標特征，以及點到坐標軸的距離，根據平行于于y軸的直線上的點橫坐標相同，

得到x=2,再根據點到坐標軸的距離以及點的象限特征，得到丫=-5,最后利用關于y軸對稱的點縱坐標

不變，橫坐標互為相反數，即可得到答案.

【詳解】解：???點P(2,-3)與點Q(x,y)在同一條平行于y軸的直線上，

x-2>

???Q(x,y)在第四象限，它到x軸的距離為5,

y——5,

<2(2,-5),

Q(2,-5)關于y軸的對稱點坐標為(―2,—5),

故選：D.

【變式3](2023上.廣東深圳.八年級深圳實驗學校中學部校考期中)已知尸點坐標為(a,2a-6),且點尸到

兩坐標軸的距離相等，則a的值是()

A.2B.6C.2或6D.-2或一6

【答案】C

【分析】根據到兩坐標軸的距離相等列出絕對值方程再解方程即可.

【詳解】解：回尸點坐標為(a,2a-6),且點尸到兩坐標軸的距離相等，

團|a|=|2a—6|,

[Ea=2a—6或a=6—2a,

解得：a=6或a=2,

故選：C.

【點睛】本題考查了點的坐標，是基礎題，列出絕對值方程是解題的關鍵.

考點5：坐標與圖形

典例5：(2023上?遼寧鐵嶺?八年級統考期末)如圖，在平面直角坐標系中，4(0,-2),5(2,-4),C(4,-l).

⑴在圖中作出△ABC關于％軸對稱的△&&&(不寫畫法)；

⑵求△ABC的面積；

⑶在x軸上求作一點P,使得P4+PB的值最小.畫出圖形，不寫畫法.

【答案】⑴畫圖見解析

(2)5

⑶畫圖見解析

【分析】本題考查作圖一軸對稱變換，軸對稱最短問題，解題的關鍵是：

(1)利用軸對稱變換的性質作出A,B,C的對應點B],6，再依次連接即可；

(2)利用割補法列式計算；

(3)作點A關于尤軸的對稱點連接B公交無軸于點P,連接P4點P即為所求.

【詳解】(1)解：如圖，A&B1G即為所求作的三角形；

/、111

(2)SAABC=3X4——x2x3——x1x4——x2x2=12—3—2—2=5；

(3)如圖，連接a/,交匯軸于點產即可.

【變式1](2023上?遼寧沈陽?八年級統考期末)如圖，在平面直角坐標系中，已知4(0,1),B(2,0),C(4,3).

⑴畫出△4BC關于x軸對稱的△&&C1；

(2)已知點P為X軸上一點，若A4BP的面積為|,求點P的坐標；

⑶若△ABD是第一象限內以4B為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點。的坐標.

【答案】⑴見解析

(2)點P的坐標為(—1,0)或(5,0)

(3)點D的坐標(3,2)或(1,3)

【分析】本題主要考查軸對稱變換，等腰直角三角形的判定，以及三角形的面積：

(1)直接利用關于x軸對稱點的性質得出對應點坐標進而得出答案；

(2)先確定AABP的高為1,根據面積為右由三角形面積公式可得底邊長為3,從而可確定點P的坐標;

(3)先作出以為腰的等腰直角三角形，從而可確定點。的坐標

【詳解】(1)如圖，△4%的即為所作;

【變式2］（2023上?江蘇?八年級專題練習）在平面直角坐標系久Oy中，對于P,。兩點給出如下定義：若點

產到x、y軸的距離中的最大值等于點0到x、y軸的距離中的最大值，則稱尸，。兩點為"等距點”.下圖中

的尸，。兩點即為"等距點”.

備用圖

（1）已知點A的坐標為（一3,1）,

①在點E(0,3),F(3,—3),G(2,-5)中,為點A的"等距點”的是.

②若點8的坐標為以叫小+6）,且A,B兩點為"等距點"，則點B的坐標為.

(2)若A(-1,—k-3),T2(4,4fc-3)兩點為“等距點”，求k的值.

【答案】⑴①E、F；@(-3,3)

(2)1或2

【分析】本題主要考查了坐標與圖形性質，此題屬于閱讀理解類型題目，首先讀懂"等距點"的定義，而后根

據概念解決問題，難度較大，需要有扎實的基礎，培養了閱讀理解、遷移運用的能力.

(1)①找到x、y軸距離最大為3的點即可；

②先分析出直線上的點到x、y軸距離中有3的點，再根據"等距點"概念進行解答即可；

(2)先分析出直線上的點到尤、y軸距離中有4的點，再根據"等距點"概念進行解答即可.

【詳解】(1)①???點力(一3,1)到小y軸的距離中最大值為3,

???與A點是"等距點"的點是E、F.

②當點B坐標中到無、y軸距離其中至少有一個為3的點有(3,9)、(-3,3),(-9,-3),

這些點中與A符合"等距點"的是(-3,3).

故答案為①E、F-,②(-3,3)；

(2)丁式-1,一k-3),T2(4,4fc-3)兩點為"等距點”，

①若|4k-3|<4時，則4=—k—3或一4=—k一3

解得k=—7(舍去)或k=1.

②若|4卜一3|>4時，則|4k-3|=|-k-3|

解得k=2或k=0(舍去).

根據"等距點”的定義知，卜=1或/￡=2符合題意.

即左的值是1或

【變式3](2023上?四川成都?八年級校考階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，已知三點分別是4(0,5),

5(-5,3)，C(-3,l).

⑴試在圖中作出AaBC關于x軸對稱的△4/16，并寫出點Bl坐標;

⑵在圖中作出點尸，使PB+PC的值最小，且點尸在y軸上.

⑶已知點D(-2a-l,3a+1),且直線BD||y軸，求。點的坐標.

【答案】⑴8式一5,-3),見解析

⑵見解析

⑶￡>(—5,7)

【分析】本題考查了坐標的對稱及其作圖，線段和最小值的作圖，平行坐標軸的點的坐標計算,

(1)根據橫不變，縱坐標相反，確定對稱點，后依次連接即可.

(2)作出點2關于y軸的對稱點連接CM,交y軸于點尸，點尸即為所求.

(3)根據直線BDIIy軸，得到—2a—l=—5,計算即可.

【詳解】(1)財(0,5),8(—5,3),C(-3,l).

041(0,-5),B](—5,-3),G(-3,—S).

畫圖如下：

則A&B1G即為所求,且當(—5,—3).

(2)04(0,5),B(-5,3),C(-3,l).

回點8關于y軸的對稱點M(5,3),

連接CM,交y軸于點P,

則點P即為所求.

(3)00(-20-1,30+1),5(-5,3),直線8。||y軸，

0-2a-1=一5,

解得a=2.

故點。(—5,7).

考點6：坐標規律

典例6：(2023上?黑龍江綏化?九年級統考期末)如圖，有一系列有規律的點，它們分別是以。為頂點，邊

長為正整數的正方形的頂點，4式0,1)>A2(l,1),4(1，0)、4(2,0)、4(2，2)、A6(O,2)、

4（0,3）、4（3,3）....,依此規律，點420的坐標為

【答案】（7,7）

【分析】本題考查了規律型-點的坐標：通過特殊到一般解決此類問題，利用前面正方形的邊長與字母A的

腳標數之間的聯系尋找規律.

根據已知條件得出坐標之間每三個增加一次，找出第20個所在位置即可得出答案.

【詳解】解：?.?4式0,1）,4。，1）、4（1，0）、4（2,0）,4（2，2）、X6（0,2）、A7（0,3）、

3）....

數據每隔三個增加一次，20+3得6余2,

故第20個數據坐標一定有7,且正好是3個數據中中間那一個，

依此規律，點—o的坐標為（7,7）,

故答案為：（7,7）.

【變式1］（2023下?七年級課時練習）如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與坐標軸平行，從內

至矽卜，它們的邊長依次為2,4,6,8,頂點依次為&,4，&，人4,…，則頂點4024的坐標是.

A15

*

x

【答案】（506,-506）

【解析】略

【變式2］（2023上?黑龍江佳木斯?九年級統考期末）如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEF的邊力B

與y軸正半軸重合，頂點C在%軸正半軸上，AB=2,將正六邊形4BCDEF繞坐標原點。順時針旋轉，每次旋

轉90。，那么經過第2023次旋轉后，頂點E的坐標為.

【答案】（-3,28）

【分析】本題考查了正多邊形的性質，旋轉的性質以及旋轉引起的坐標變化規律問題，根據正六邊形的性

質及它在坐標系中的位置，求出點￡的坐標，再根據旋轉的性質以及旋轉的規律求出旋轉2023次后頂點E

的坐標即可.

【詳解】解：延長ED交x軸于點。,如圖，

在正六邊形4BCDEF中，AB=BC=CD=DE=2,AD=2,4BCD=120°,

EIZFCO=乙DCQ=30°,

0BO=DQ=1

0OC=QC=V3,

00（2=OC+QC=2A/3,EQ=ED+DQ=2+1=3,

回點E的坐標為（2次,3）,

將正六邊形48CDEF繞坐標原點。順時針旋轉，第一次旋轉90。后，點E的坐標為（3,-2舊）；第二次旋轉90。

后，點E的坐標為（-2百,-3）,第三次旋轉90。后，點E的坐標為（-3,2百），第四次旋轉90。后，點E的坐

標為（2次,3）,

由此可得點E每旋轉四次即回到原來位置，即四次一循環，

2023+4=505…3,

所以，正六邊形經過第2023次旋轉后，點E的坐標為（-3,2百），

故答案為：（-3,273）

【變式3］（2023上?江蘇常州?八年級校考階段練習）如圖，彈性小球從P（2,0）出發，沿所示方向運動，每當

小球碰到正方形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第一次碰到正方形的邊時的點為B，

第二次碰到正方形的邊時的點為P2...；第n次碰到正方形的邊時的點為七，貝加2023的坐標是—.

5口丁公「6

4十二「夫

2,十一十一力

［十/%,

。|12345￡

【答案】（0,2）

【分析】本題考查的是點的坐標、坐標與圖形變化-對稱，根據軸對稱的性質分別寫出點匕的坐標為、點P2

的坐標、點P3的坐標、點的坐標，從中找出規律，根據規律解答，正確找出點的坐標的變化規律是解題的

關鍵.

【詳解】由題意得，

點Pi的坐標為（5,3）,

點P2的坐標為（3,5）,

點「3的坐標為（。，2），

點P4的坐標為（2,0），

點P5的坐標為（5,3）,

132023+4=505…3,

回點「2023的坐標為（。，2），

故答案為：（0,2）.

考點7：函數的定義

典例7:（2024下?全國?八年級假期作業）下列是關于變量的關系式:①4x-3y=2②y=|幻；③y=

④2x-y2=o.其中y是光的函數的是（）

A.①②③④B.①②③C.①③D.②④

【答案】B

【解析】略

【變式1］（2023上?安徽合肥?八年級合肥38中校考階段練習）下列各曲線中，能表示y是x的函數的是（）

【答案】D

【分析】根據函數的概念即可解答.

【詳解】解：由函數的定義：在一個變化過程中有兩個變量x與y,對于x的每一個確定的值，y都有唯一的

值與其對應，那么就說y是x的函數.則只有D選項符合題意

故選：D.

【點睛】題主要考查了函數的概念，在一個變化過程中有兩個變量尤與y對于龍的每一個確定的值，y都有

唯一本的值與其對應，那么就說y是x的函數.

【變式2】（2022上?山東聊城?九年級統考期末）下列式子：①y=3萬一5久②y=j（3）y=-1④*=

=\x\.其中y是x的函數的個數是（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】B

【分析】根據以下特征進行判斷即可：①有兩個變量；②一個變量的數值隨著另一個變量的數值的變化而

發生變化；③對于自變量的每一個確定的值，函數值有且只有一個值與之對應，即單對應.

【詳解】解：①y=3%-5x,y是x的函數；

②y=5y不是x的函數；

（3）y=>Jx-1,y是x的函數；

④y2=x,當x取一個值時，有兩個y值與之對應，故y不是x的函數；

（5）y=\x\.y是x的函數；

所以其中y是x的函數的個數是3,

故選：B

【點睛】本題主要考查的是函數的概念，掌握函數的定義是解題的關鍵.

【變式3］（2022下?山東濟南?七年級濟南育英中學校聯考期中）彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長

度武。力與所掛的物體的重量x（像）間有下面的關系：

x(kg)012345

y(cm)1010.51111.51212.5

下列說法不正確的是（）

A.x與y都是變量，且光是自變量，y是因變量B.物體質量每增加以g,彈簧長度y增加0.5c機

C.所掛物體質量為7依時，彈簧長度為13.5cmD.y與x的關系表達式是y=0.5x

【答案】D

【分析】由表中的數據進行分析發現x與y滿足一次函數關系，根據圖表求出表達式，然后逐個分析四個選

項，可得出最終結果.

【詳解】???根據圖表觀察x與y滿足一次函數關系，

二設y=kx+b,

代入（0,10）和（2,人）兩點,

4B[b=10

侍：血+6=11'

解得:憶需

???y與尤的關系表達式是y=0.5x+10,

A、y隨x的增加而增加，x是自變量，y是因變量，故A選項正確，不符合題意；

B、由圖表知，物體質量每增加1依，彈簧長度y增加0.5cm,故B選項正確，不符合題意；

C、由表達式知，當x=7時，y=13.5,即所掛物體質量為7依時，彈簧長度為13.5c如故C選項正確，不

符合題意；

D、y與尤的關系表達式是y=0.5x+10,D選項錯誤，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了一次函數的概念，屬于基礎題，能夠根據所給的表進行分析變量的值的變化情況，同

時求出表達式是解題的關鍵.

考點8：函數的關系式

典例8：（2023下?天津濱海新?八年級統考期末）若點P（x,0）是無軸上的一個動點，它與x軸上表示3的點的

距離是y,則y關于x的函數解析式為（）

A.y=x—3B.y—3—xC.y——x—3D.y=|x—3|

【答案】D

【分析】根據距離的非負性判斷即可.

【詳解】根據題意，y關于x的函數解析式為y=忱-3|,

故選D.

【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離，距離的非負性，熟練掌握距離的非負性是解題的關鍵.

【變式1】（2023下?陜西榆林?七年級統考期末）如圖，在△力BC中，已知BC=8,8c邊上的高線2D=5,

動點L由點C沿C8向點8移動（不與點8重合），設CC，的長為x,△4BC，的面積為S,則S與龍之間的關

525

A.S=-xB.S=5%C.S=-X+20D.S=20—x

252

【答案】D

【分析】首先設的長為》,得出BC，的長為（8-x）,然后再根據三角形的面積公式列出關系式即可.

【詳解】解：設CC，的長為x,則的長為（8—x）,

■:S^ABC'=5"BCxAD,

■■-s=|x（8-x）x5=20-|x,

故選：D.

【點睛】本題考查了求函數關系式，根據實際問題確定函數關系式的關鍵是讀懂題意，建立函數的數學模

型來解決問題.

【變式2］（2023下?福建廈門?八年級廈門市檳榔中學校考期中）已知兩個變量x和y,它們之間的三組對應

值如下表所示：

X-202

y31-1

那么y關于x的函數解析式可能是（）

01

A.y=—X+1B.y=xz+x+1C.y=——D.y=—2x

JJ'x+317

【答案】A

【分析】根據函數的定義以及函數圖象上點的坐標特征逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A.表格中的三組％、y的對應值均滿足y=-乂+1,因此選項A符合題意；

B.表格中x=0,y=1滿足y=/+%+1,但％=-2,y=3與工=2,y=—1不滿足y=/+乂+1,因

此選項B不符合題意;

C.表格中的三組x、y的對應值均不滿足y=瞑，因此選項C不符合題意；

D.表格中的三組％、y的對應值均不滿足y=-2%,因此選項D不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查函數關系式，理解函數的定義以及函數圖象上點的坐標特征是正確解答的前提.

【變式3］（2023?重慶?統考一模）油箱中存油40升，油從油箱中均勻流出，流速為0.2升/分鐘，剩余油量（升）

與流出時間f（分鐘）的函數關系是（）

A.Q=0.2tB.<2=40-0.2tC.Q=0.2t+40D.Q=0.2t-40

【答案】B

【分析】利用油箱中存油量減去流出油量等于剩余油量，根據等量關系列出函數關系式即可.

【詳解】解：由題意得：流出油量是0.23

則剩余油量：Q=40—0.23

故選：B.

【點睛】此題主要考查了列函數解析式，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系.

考點9：自變量的取值范圍

典例9：（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱德強學校校考階段練習）函數y=等的自變量尤的取值范圍

是.

【答案】x>—2/—2<x

【分析】本題考查了函數的自變量、二次根式的被開方數的非負性，熟練掌握二次根式的被開方數的非負

性是解題關鍵.根據二次根式的被開方數的非負性求解即可得.

【詳解】解：TX+Z20,

x>—2,

即函數y=等的自變量X的取值范圍是X2一2,

故答案為：x>-2.

【變式1］（2023上?上海長寧?八年級上海市西延安中學校考期中）函數y=備的定義域是—.

【答案】%>3/3<x

【分析】本題考查了求函數自變量的取值范圍，根據分式有意義的條件與二次根式有意義的條件得出不等

式組，解不等式組即可求解，掌握分式有意義的條件與二次根式有意義的條件是解題的關鍵.

【詳解】解：由丫=信，

0X-3>0,解得：x>3,

故答案為：x>3.

【變式2](2022下?湖北武漢?九年級校考自主招生)已知y=爺莖，求自變量式取值范圍___________.

VX+6

【答案】x>一6且汽W1

【分析】根據被開方數大于等于0,分母不等于0,零指數幕的底數不等于0列式求解即可.

【詳解】解：根據題意得：(x-°,

5+6>0

解得：x>一6且無W1,

故答案為：x>—6且％H1.

【點睛】本題考查了求函數自變量的取值范圍，一般從三個方面考慮：當函數表達式是整式時，自變量可

取全體實數；當函數表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0;當函數表達式是二次根式時，考慮被開方

數為非負.

【變式3】(2022?湖北襄陽?統考一模)函數y=71』+普自變量x的取值范圍是.

【答案】一2<xW1

【分析】由分母不為0結合被開方數為非負數可得｛:再解不等式組即可得到答案.

【詳解】解：由題意得：f1-x-0?

%+2>0(2)

由①得：%<1,

由②得：x>-2,

所以不等式組的解集為：-2<xWl.

所以函數y=+自變量x的取值范圍是—2<xW1.

故答案為：-2<%W1.

【點睛】本題考查的是函數自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，掌握"求解函

數自變量的取值范圍的方法”是解本題的關鍵.

考點10：函數值計算

典例10:(2023上,安徽合肥?八年級合肥38中校考期中)我們有時會將關于萬的函數表示為f(x)=F，其

中f⑴就表示當x=1時的函數值，即"1)=^=1-則fC)="⑴+f⑵+/(1)+/(3)+fG)+

…"m+/(；)=(結果用含〃的代數式表示，其中〃為正整數)

【答案】|/0.2n—1

【分析】本題主要考查了數字的變化規律，求函數值，求代數式的值；

(1)將x=]弋入求解即可；

(2)根據x=71和工時函數值的和，得出算式的規律，然后進行計算即可；

n

明確X=71和工時函數值的和是定值，是本題解題的關鍵.

n

【詳解】必》=熹

1

=22+1

_1

-59

故答案為：

⑵/⑺+%)

n2(!)2

n21

=-------1------

1+n2n2+1

n2+1

n2+1

=1,

???f⑴+A2)+f(|)+f(3)+f?)+-??+/(n)+/(i)

=/(I)+1x(n—1)

1

=-+n—1

=n——1，

2

故答案為：n—

【變式1](2022上?上海?八年級校考期中)如果f(x)=小尸，那么"4)=

yJ3—\X

【答案】-V3-2

【分析】將X=4代入f(乃=無彳計算即可得.

V3—VX

【詳解】解：?."(>)=某產

V3—V%

???f(4)=/廣=-p--=(/-弋；~~T=—V3—2，

V3-V4V3-2(V3+2)(V3-2)

故答案為：一百一2.

【點睛】本題考查了求函數的值、二次根式的分母有理化，熟練掌握求函數值的方法是解題關鍵.

【變式2](2022上?浙江杭州?八年級校考期中)若函數y='則當函數值V=20時，自變量

%的值為.

【答案】一VT7或5

【分析】將y=20分別代入函數解析式，求出x的值，然后根據取值范圍得出x的值.

【詳解】解：當XW4時，貝反2+3=20時，

解得：x=±V17,

0V17>4,

0%=-V17；

當x>4時，4x=20時，

解得：%=5,符合題意，

團綜上所述：x=-VI7或x=5.

故答案為：-g或5.

【點睛】本題主要考查的是求解函數自變量值，屬于基礎題型.根據取值范圍確定自變量的值是解題的關

鍵.

【變式3](2022上?安徽合肥?八年級校考階段練習)函數3),當函數自變量％=一1時，/=_；

當y=6時，x=.

【答案】61或一1/—1或1

【分析】根據函數自變量的范圍，將x=-l代入2/+4,根據y=6,分別解方程6=2/+4,6=3X,結合自變

量的取值范圍即可求解.

【詳解】解：當函數自變量％=—1時，ffl-l<3

0y=2x2+4=2x(-l)2+4=6,

當xW3時，y=6時，6=2/+4,

解得：x=l或x=-L

當久>3,6=3支解得：x=2,舍去

取=1或x=-1,

故答案為：40,1或-1.

【點睛】本題考查了求函數自變量的值或函數值，根據平方根的定義解方程，注意自變量的取值范圍是解

題的關鍵.

考點11:實際問題與函數圖像

典例11:（2022下?甘肅白銀?七年級統考期末）金魚公園是白銀市的主要城市公園，是白銀市市民和外來游

客健身、休閑、娛樂的主要場所.周末小斌在這個公園里某筆直的道路上騎車游玩，先前進了。千米，休

息了一段時間，又原路返回b（6<a）千米，再前進c千米，則他離起點的距離s與時間f的關系的示意圖是

（）

【答案】D

【分析】根據前進時離起點的距離S增加，休息時離起點的距離S不變，返回時離起點的距離S減少，再前

進時路程增加，即可求解.

【詳解】解：由題意得，離起點的距離S先增加，然后不變，再減少，最后又增加，

故選：D.

【點睛】本題考查函數圖象，理解題意，掌握路程與時間的關系是解題的關鍵.

【變式11（2023上?遼寧錦州?八年級統考期中）小明和小張是鄰居，某天早晨，小明7：40先出發去學校，

走了一段后，在途中停下吃早餐，后來發現上學時間快到了，就跑步到學校；小張比小明晚出發5分鐘，

乘公共汽車到學校.如圖是他們從家到學校已走的路程y（米）和小明所用時間無（分鐘）的函數圖象.則

下列說法中不正確的是（）

A.小張乘坐公共汽車后7：48與小明相遇

B.小張到達學校時，小明距離學校400米

C.小明家和學校距離1000米

D.小明吃完早餐后，跑步到學校的速度為80米/分

【答案】A

【分析】本題考查了函數圖象，根據函數圖象中各拐點的實際意義求解可得.

【詳解】解：A、小張乘公共汽車的速度為：1000+（15-5）=100（米/分），

360+100=3.6（分）,

故小張乘坐公共汽車后7點48分36秒與小明相遇，故此選項符合題意；

B、小張到達學校時，小明距離學校1000—360—80x（15—12）=400（米），故此選項不符合題意.

C、由圖象可知，小明家和學校距離1000米，故此選項不符合題意；

D、小明吃完早餐后，跑步到學校的速度為：（1000-360）4-（20-12）=80（米/分），故此選項不符合題

忌;

故選：A.

【變式2］（2022下?福建福州?八年級統考期中）函數y=㈤-1的圖像大致是（）

【答案】C

【分析】根據畫圖像的基本步驟，畫圖判斷即可.

【詳解】回函數y=|x|-1的圖像大致是

y

1X

故選c.

【點睛】本題考查了圖像的畫法，熟練掌握畫圖像的基本步驟是解題的關鍵.

【變式3］（2023?黑龍江綏化?統考模擬預測）一段筆直的公路2C長20千米，途中有一處休息點B,2B長15

千米，甲以15千米/時的速度勻速跑至點B,原地休息半小時后，再以10千米/小時的速度勻速跑至終點C；

乙以12千米/時的速度勻速跑至終點C,下列選項中，能正確反映甲、乙兩人出發后2小時內運動路程y（千

米）與時間久（小時）函數關系的圖象是（

A.B.

C.

【答案】A

【分析】分別求出甲乙兩人到達C地的時間,再結合已知條件即可解決問題.

【詳解】解；由題意得：甲跑到8地所花費的時間為：15+15=lh,甲在B地休息的時間為0.5h,甲從B地

跑到。地花費的時間為：（20-15）4-10=0.5h,總共花費時間