1/12022北京八十中初三3月月考數學一、選擇題（本題共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是【】A.圓錐 B.圓柱 C.三棱柱 D.三棱錐2.為阻斷新冠疫情傳播，我國政府積極開展新冠疫苗接種工作．截止到2022年3月5日，全國接種疫苗累計超過31億劑次．把3100000000用科學記數法表示為（）．A.31×108 B.3.1×109 C.31×109 D.0.31×10103.若正多邊形的一個內角是135°，則該正多邊形的邊數是（）．A.6 B.7 C.8 D.94.下列各式計算正確的是（）．A. B.C D.5.德育處王主任將份獎品分別放在個完全相同不透明禮盒中，準備將它們獎給小明等位獲“科技節活動先進個人”稱號的同學．這些獎品中有份是學習文具，份是科普讀物，份是科技館通票．小明同學從中隨機取一份獎品，恰好取到科普讀物的概率是（）A. B. C. D.6.實數a，b，c，d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A.bc＞0 B.a+d＜0 C.|a|＜|c| D.b＜﹣27.如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C為⊙O上一點，若∠P=40°，則∠ACB的度數為（）．A.70° B.50° C.20° D.40°8.如圖1，矩形的一條邊長為x，周長的一半為y，定義（x，y）為這個矩形的坐標．如圖2，在平面直角坐標系中，直線x=1，y=3將第一象限劃分成4個區域，已知矩形1的坐標的對應點A落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標的對應點落在區域④中，則下面敘述中正確的是（）A.點A的橫坐標有可能大于3B.矩形1正方形時，點A位于區域②C.當點A沿雙曲線向上移動時，矩形1的面積減小D.當點A位于區域①時，矩形1可能和矩形2全等二、填空題（本題共16分，每題2分）9.若分式有意義，則x的取值范圍是___．10.分解因式：______．11.如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，且，如果AD∶DB=3∶2，那么DE∶BC等于__________．12.介于兩個連續整數a和a+1之間，a=________．13.如果m＝n+4，那么代數式的值是__．14.某函數的圖象上有兩個點，，并且，寫出一個滿足條件的函數解析式：________．15.某校八年級有600名學生，為了解他們對安全與環保知識的認識程度，隨機抽取了30名學生參加安全與環保知識問答活動．此活動分為安全知識和環保知識兩個部分．這30名學生的安全知識成績和環保知識成績如圖所示．根據下圖，判斷安全知識成績的方差和環保知識成績的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）．16.為方便市民出行，2019年北京地鐵推出了電子定期票，電子定期票在使用有效期限內，支持單人不限次數乘坐北京軌道交通全路網（不含機場線）所有線路，電子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五個種類，價格如下表：種類一日票二日票三日票五日票七日票單價（元/張）2030407090某人需要連續6天不限次數乘坐地鐵，若決定購買電子定期票，則總費用最低為____元．三、解答題（本題共68分，第17-23題每題5分，第24、25、27題每題6分，第26題7分，第28題8分）．17.計算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．18.解不等式組：19.已知關于x的一元二次方程mx2+nx-2=0．（1）當n=m-2時，證明方程有兩個實數根；（2）若方程有兩個不相等的實數根，寫出一組滿足條件的m，n的值，并求出此時方程的根．21.下面是小明設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點A．求作：直線AD，使得AD//l．作法：如圖2，①在直線l上任取兩點B，C，連接AB；②分別以點A，C為圓心，線段BC，AB長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點D；③作直線AD．直線AD就是所求作的直線．根據小明設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AB＝________，BC＝________，∴四邊形ABCD為平行四邊形（_________）（填推理的依據）．∴AD//l．22.如圖，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．23.如圖，AB為⊙O直徑，點C在AB延長線上，CD與⊙O相切于點D，，交⊙O于E，連AD，BE，若∠CAD=22.5°，（1）求∠EAB的大小；（2）若AE=，求BC長．25.如圖，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F（1）求證：AF=CE；（2）延長CF，DA交于點G，若∠B=30°，求AG：AD的值．27.在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線y＝（x＞0）交于點A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）點B是y軸正半軸上的一點，且△OAB是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點B的坐標．28.如圖，AB為直徑，弦BC平分∠DBA，BD與⊙O交于點E，過點C作BD的垂線于D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）如果，OA=2，求DE的長．30.在平面直角坐標系xOy中，拋物線的表達式為，線段AB的兩個端點分別為，．（1）求拋物線頂點C的坐標（用含有m的代數式表示）；（2）若，且對于該拋物線上的兩點，，當，時，均滿足，求t的取值范圍；（3）若拋物線與線段AB恰有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出m的取值范圍．31.如圖，在等邊三角形ABC中，點D為BC邊上一點，點D關于直線AB的對稱點為點E，連接AD、DE，在AD上取點F，使得∠EFD=60°，射線EF與AC交于點G．（1）設∠BAD=α，求∠AGE的度數（用含α的代數式表示）；（2）用等式表示線段CG與BD之間的數量關系，并證明．32.在平面直角坐標系xOy中，給定⊙C，若將線段AB繞原點O逆時針旋轉α（0°＜α＜180°），使得旋轉后對應的線段A′B′所在直線與⊙C相切，并且切點P在線段A′B′上，則稱線段AB是⊙C的旋轉切線段，其中滿足題意的最小的α稱為關于⊙C和線段AB的最小旋轉角．已知C（0，2），⊙C的半徑為1．（1）如圖1，A（2，0），線段OA是⊙C的旋轉切線段，寫出關于⊙C和線段OA的最小旋轉角為°；（2）如圖2，點A1，B1，A2，B2，A3，B3的橫、縱坐標都是整數．在線段A1B1，A2B2，A3B3中，⊙C的旋轉切線段是；（3）已知B（1，0），D（t，0），若線段BD是⊙C的旋轉切線段，求t的取值范圍；（4）已知點M的橫坐標為m，存在以M為端點，長度為的線段是⊙C的旋轉切線段，直接寫出m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體是【】A.圓錐 B.圓柱 C.三棱柱 D.三棱錐【1題答案】【答案】A【解析】【詳解】由三視圖判斷幾何體．【分析】主視圖和左視圖都是等腰三角形，那么此幾何體為錐體，由俯視圖為圓，可得此幾何體為圓錐．故選A．2.為阻斷新冠疫情傳播，我國政府積極開展新冠疫苗接種工作．截止到2022年3月5日，全國接種疫苗累計超過31億劑次．把3100000000用科學記數法表示為（）．A.31×108 B.3.1×109 C.31×109 D.0.31×1010【2題答案】【答案】B【解析】【分析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，n為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，n是正數，當原數絕對值小于1時n是負數；由此進行求解即可得到答案．【詳解】解：故選B．【點睛】本題主要考查了科學記數法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握科學記數法的定義．3.若正多邊形的一個內角是135°，則該正多邊形的邊數是（）．A.6 B.7 C.8 D.9【3題答案】【答案】C【解析】【分析】根據正多邊形的一個內角是135°，則知該正多邊形的一個外角為45°，再根據多邊形的外角之和為360°，即可求出正多邊形的邊數．【詳解】解：∵正多邊形的一個內角是135°，∴該正多邊形的一個外角為45°，∵多邊形的外角之和為360°，∴邊數＝＝8，∴這個正多邊形邊數是8．故選：C．【點睛】本題主要考查多邊形內角與外角的知識點，解答本題的關鍵是知道多邊形的外角之和為360°，此題難度不大．4.下列各式計算正確的是（）．A. B.C. D.【4題答案】【答案】A【解析】【分析】直接利用同底數冪的乘法、合并同類項、冪的乘方、積的乘方運算法則分別化簡得出答案，進行判斷即可．【詳解】解：A．，故選項正確，符合題意；B．，故選項錯誤，不符合題意；C．，故選項錯誤，不符合題意；D．，故選項錯誤，不符合題意．故選：A．【點睛】此題主要考查了同底數冪的乘法、合并同類項、冪的乘方、積的乘方運算法則，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．5.德育處王主任將份獎品分別放在個完全相同的不透明禮盒中，準備將它們獎給小明等位獲“科技節活動先進個人”稱號的同學．這些獎品中有份是學習文具，份是科普讀物，份是科技館通票．小明同學從中隨機取一份獎品，恰好取到科普讀物的概率是（）A. B. C. D.【5題答案】【答案】D【解析】【分析】根據根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發生的概率即可求出答案．【詳解】解：小明同學從中隨機取一份獎品，恰好取到科普讀物的概率是．故選D．【點睛】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．6.實數a，b，c，d在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（）A.bc＞0 B.a+d＜0 C.|a|＜|c| D.b＜﹣2【6題答案】【答案】B【解析】【分析】觀察數軸，找出a、b、c、d四個數的大概范圍，再逐一分析四個選項的正誤，即可得出結論．詳解】A、∵b＜0，c＞0，∴bc＜0，結論A錯誤；B、∵a＜﹣4，d＝4，∴a+d＜0，結論B正確；C、∵a＜﹣4，0＜c＜1，∴|a|＞|c|，結論C錯誤；D、﹣2＜b＜﹣1，結論D錯誤．故選B．【點睛】本題考查了實數與數軸以及絕對值，觀察數軸，逐一分析四個選項的正誤是解題的關鍵．7.如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，點C為⊙O上一點，若∠P=40°，則∠ACB的度數為（）．A.70° B.50° C.20° D.40°【7題答案】【答案】A【解析】【分析】首先連接OA，OB，由PA，PB為⊙O的切線，根據切線的性質，即可得∠OAP=∠OBP=90°，由四邊形內角和求出∠AOB，又由圓周角定理，可求得∠ACB的度數，繼而可求得答案．【詳解】解：連接OA，OB，

∵PA，PB為⊙O的切線，

∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠AOB=360°-∠P-∠OAP-∠OBP=140°

∴．

故選：A．【點睛】此題考查了切線的性質與圓周角定理，四邊形內角和，注意掌握輔助線的作法和數形結合思想的應用．8.如圖1，矩形的一條邊長為x，周長的一半為y，定義（x，y）為這個矩形的坐標．如圖2，在平面直角坐標系中，直線x=1，y=3將第一象限劃分成4個區域，已知矩形1的坐標的對應點A落在如圖所示的雙曲線上，矩形2的坐標的對應點落在區域④中，則下面敘述中正確的是（）A.點A的橫坐標有可能大于3B.矩形1是正方形時，點A位于區域②C.當點A沿雙曲線向上移動時，矩形1的面積減小D.當點A位于區域①時，矩形1可能和矩形2全等【8題答案】【答案】D【解析】【分析】A、根據反比例函數k一定，并根據圖形得：當x=1時，y＜3，得k=xy＜3，因為y是矩形周長一半，即y＞x，可判斷點A的橫坐標不可能大于3；B、根據正方形邊長相等得：y=2x，得點A是直線y=2x與雙曲線的交點，畫圖，如圖2，交點A在區域③，可作判斷；C、先表示矩形面積S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，當點A沿雙曲線向上移動時，x的值會越來越小，矩形1的面積會越來越大，可作判斷；D、當點A位于區域①，得x＜1，另一邊為：y-x＞2，矩形2的坐標的對應點落在區域④中得：x＞1，y＞3，即另一邊y-x＞0，可作判斷．【詳解】如圖，設點A（x，y），A、設反比例函數解析式為：y=（k≠0），由圖形可知：當x=1時，y＜3，∴k=xy＜3，∵y＞x，∴x＜3，即點A的橫坐標不可能大于3，故選項A不正確；B、當矩形1為正方形時，邊長為x，y=2x，則點A是直線y=2x與雙曲線的交點，如圖2，交點A在區域③，故選項B不正確；C、當一邊為x，則另一邊為y-x，S=x（y-x）=xy-x2=k-x2，∵當點A沿雙曲線向上移動時，x的值會越來越小，∴矩形1的面積會越來越大，故選項C不正確；D、當點A位于區域①時，∵點A（x，y），∴x＜1，y＞3，即另一邊為：y-x＞2，矩形2落在區域④中，x＞1，y＞3，即另一邊y-x＞0，∴當點A位于區域①時，矩形1可能和矩形2全等；故選項④正確；故選D．【點睛】本題考查了函數圖象和新定義，有難度，理解x和y的意義是關鍵，并注意數形結合的思想解決問題．二、填空題（本題共16分，每題2分）9.若分式有意義，則x的取值范圍是___．【9題答案】【答案】【解析】【分析】根據分母不等于零分式有意義，可得答案．【詳解】解：∵分式有意義，∴解得，故答案為：【點睛】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解答此題的關鍵．10.分解因式：______．【10題答案】【答案】【解析】【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式因式分解即可．【詳解】．故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解，分解因式時要注意把每個因式都分解到不能夠再分解為止．11.如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC邊上，且，如果AD∶DB=3∶2，那么DE∶BC等于__________．【11題答案】【答案】【解析】【分析】先證明，可得，再利用AD∶DB=3∶2，求解，從而可得答案.【詳解】解：，，，AD∶DB=3∶2，，．故答案為：【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，證明是解本題的關鍵.12.介于兩個連續整數a和a+1之間，a=________．【12題答案】【答案】5【解析】【分析】先估算出的值，然后進行計算即可解答．【詳解】解：，，又介于兩個連續整數a和a+1之間，，故答案為：5．【點睛】本題考查了無理數的估算，熟練掌握平方數是解題的關鍵．13.如果m＝n+4，那么代數式的值是__．【13題答案】【答案】8【解析】【分析】先化簡分式，然后將m﹣n的值代入計算即可．【詳解】解：原式＝＝＝2（m﹣n），∵m＝n+4，∴m﹣n＝4，∴原式＝2×4＝8，故答案為8．【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算法則是解題的關鍵．14.某函數的圖象上有兩個點，，并且，寫出一個滿足條件的函數解析式：________．【14題答案】【答案】y=-x（答案不唯一）【解析】【分析】若選擇一次函數，根據自變量變大，函數值變小，說明k＜0，任選一個函數即可．【詳解】設要寫的函數是一次函數，∵1＜3，m＞n，∴y隨x的增大而減小，∴k＜0，故答案為：y=-x（答案不唯一）．【點睛】本題考查了函數的性質，熟練掌握所學的一次函數、二次函數及反比例函數的性質是解題的關鍵．15.某校八年級有600名學生，為了解他們對安全與環保知識的認識程度，隨機抽取了30名學生參加安全與環保知識問答活動．此活動分為安全知識和環保知識兩個部分．這30名學生的安全知識成績和環保知識成績如圖所示．根據下圖，判斷安全知識成績的方差和環保知識成績的方差的大小：________（填“＞”，“＝”或“＜”）．【15題答案】【答案】【解析】【分析】根據方差越大數據波動程度越大，方差越小數據越穩定，波動程度越小即可判斷．【詳解】由圖像可以看出，安全知識出成績最小值約60分，最大值約100分；環保知識成績，最小值約67分，而最大值約92分；因此，可以得出安全知識成績分布相較于環保知識成績更分散，數據波動程度更大，所以方差較大；故答案為：＞．【點睛】本題考查了根據散點圖判斷方差的大小，方差越大數據波動程度越大越分散．16.為方便市民出行，2019年北京地鐵推出了電子定期票，電子定期票在使用有效期限內，支持單人不限次數乘坐北京軌道交通全路網（不含機場線）所有線路，電子定期票包括一日票、二日票、三日票、五日票及七日票共五個種類，價格如下表：種類一日票二日票三日票五日票七日票單價（元/張）2030407090某人需要連續6天不限次數乘坐地鐵，若決定購買電子定期票，則總費用最低為____元．【16題答案】【答案】80【解析】【分析】根據題意算出5種方案的錢數，故可求解.【詳解】解：連續6天不限次數乘坐地鐵有5種方案方案①：買一日票6張，費用20×6＝120（元）方案②：買二日票3張：30×3＝90（元）方案③：買三日票2張：40×2＝80（元）方案④：買一日票1張，五日票1張：20+70＝120（元）方案⑤：買七日票1張：90元故方案③費用最低：40×2＝80（元）故答案為80．【點睛】此題主要考查有理數運算的應用，解題的關鍵是根據題意寫出各方案的費用.三、解答題（本題共68分，第17-23題每題5分，第24、25、27題每題6分，第26題7分，第28題8分）．17.計算：（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°．【17題答案】【答案】3【解析】【分析】按順序先分別進行負指數冪的運算、0指數冪的運算、二次根式的化簡、代入特殊角的三角函數值，然后再按運算順序進行計算即可得.【詳解】（）﹣2﹣（π+）0+﹣4cos45°=4-1+2=3．【點睛】本題考查了實數的運算，涉及了負指數冪、0指數冪、特殊角的三角函數值等知識，熟練掌握相關的運算的運算法則是解題的關鍵.18.解不等式組：【18題答案】【答案】【解析】【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可．【詳解】解不等式①：，得，解不等式②：，得，不等式組的解集是．【點睛】本題考查的是解一元一次不等式組，掌握同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到是解題的關鍵．19.已知關于x的一元二次方程mx2+nx-2=0．（1）當n=m-2時，證明方程有兩個實數根；（2）若方程有兩個不相等的實數根，寫出一組滿足條件的m，n的值，并求出此時方程的根．【19題答案】【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）直接根據一元二次方程根的判別式求解即可；（2）先根據一元二次方程根的判別式得到，然后代入合適的值求解即可．【小問1詳解】解：∵，∴當時，，∴當n=m-2時，證明方程有兩個實數根；【小問2詳解】解：∵方程有兩個不相等的實數根，∴，若n＝1，m＝1，則方程變形為x2+x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣2．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟知一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．21.下面是小明設計的“過直線外一點作已知直線的平行線”的尺規作圖過程．已知：如圖1，直線l及直線l外一點A．求作：直線AD，使得AD//l．作法：如圖2，①在直線l上任取兩點B，C，連接AB；②分別以點A，C為圓心，線段BC，AB長為半徑畫弧，兩弧在直線l上方相交于點D；③作直線AD．直線AD就是所求作的直線．根據小明設計的尺規作圖過程，（1）使用直尺和圓規，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AB＝________，BC＝________，∴四邊形ABCD為平行四邊形（_________）（填推理的依據）．∴AD//l．【21題答案】【答案】（1）見解析；（2），，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【解析】【分析】（1）根據作法畫出圖形即可；（2）根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”進行證明即可．【詳解】（1）如圖所示，（2）證明：連接CD．∵AB＝CD，BC＝AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據）．∴AD//l．故答案為：，，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的判定．22.如圖，△ABC中，AB=12，BC=15，∠ABC=60°．求tanC的值．【22題答案】【答案】【解析】【詳解】過點A作AD⊥BC于點D，如圖所示：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵△ABC中，AB＝12，∴，，∵BC＝15，∴，∴＝．【點睛】本題考查了解直角三角形，解題的關鍵是計算出題目中各邊的長，找出所求問題需要的條件．23.如圖，AB為⊙O直徑，點C在AB延長線上，CD與⊙O相切于點D，，交⊙O于E，連AD，BE，若∠CAD=22.5°，（1）求∠EAB的大小；（2）若AE=，求BC長．【23題答案】【答案】（1）45°（2）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接OD，由切線的性質得到∠ODC=90°，由圓周角定理得到∠BOD=45°，從而求出∠C=45°，再由平行線的性質即可得到∠EAB=∠C=45°；（2）先證AE=BE，然后求出AB=2，從而得到OD=CD=1，即可求出OC的長，由此即可求解．【小問1詳解】解：如圖所示，連接OD，∵CD是圓O的切線，∴∠ODC=90°，∵∠CAD=22.5°，∴∠BOD=2∠CAD=45°，∴∠C=45°，∵，∴∠EAB=∠C=45°；【小問2詳解】解：由（1）得∠EAB=45°，∠DOC=∠C=45°，∴OD=CD，∵AB是圓O的直徑，∴∠AEB=90°，∴∠ABE=45°，∴，∴，∴OD=1，∴CD=OD=1，∴，∴．【點睛】本題主要考查了切線的性質，圓周角定理，平行線的性質，等腰直角三角形的性質與判定，勾股定理等等，熟知切線的性質是解題的關鍵．25.如圖，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，CF⊥AB于F（1）求證：AF=CE；（2）延長CF，DA交于點G，若∠B=30°，求AG：AD的值．【25題答案】【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）如圖所示，連接AC，只需要利用“HL”證明即可得到AF=CE；（2）先證明，∠GCD=90°，得到，設AG=x，AD=CD=y，則，由此即可得到答案．【小問1詳解】解：如圖所示，連接AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵AE⊥BC，CF⊥AB∴，∠AFC=∠AEC=90°，∴AE=CF，又∵AC=CA，∴（HL），∴AF=CE；【小問2詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴，∠B=∠D=60°，∴，∵CF⊥AB，∴∠AFG=90°，∴∠G=60°，∴∠GCD=90°，∴，∴，設AG=x，AD=CD=y，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，全等三角形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理等等，熟知菱形的性質是解題的關鍵．27.在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線y＝（x＞0）交于點A（2，n）．（1）求n及k的值；（2）點B是y軸正半軸上的一點，且△OAB是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點B的坐標．【27題答案】【答案】（1）n=4，k=2；（2）點B的坐標為（0，8），（0，2），（0，）．【解析】【分析】（1）由點A的橫坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出n值，進而可得出點A的坐標，由點A的坐標利用待定系數法可求出k值；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三種情況考慮：①當AB＝AO時，利用等腰三角形的性質可求出CB1的長度，結合點C的坐標可得出點B1的坐標；②當OA＝OB時，由點A的坐標利用勾股定理可求出OA的長度，利用等腰三角形的性質可得出OB2的長度，進而可得出點B2的坐標；③當BO＝BA時，設OB3＝m，則CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中利用勾股定理可得出關于m的方程，解之即可得出點B3的坐標．綜上，此題得解．【詳解】（1）∵點A（2，n）在雙曲線y＝上，∴n＝＝4，∴點A的坐標為（2，4）．將A（2，4）代入y＝kx，得：4＝2k，解得：k＝2．（2）分三種情況考慮，過點A作AC⊥y軸于點C，如圖所示．①當AB＝AO時，CO＝CB1＝4，∴點B1的坐標為（0，8）；②當OA＝OB時，∵點A的坐標為（2，4），∴OC＝4，AC＝2，∴OA＝，∴OB2＝2，∴點B2的坐標為（0，2）；③當BO＝BA時，設OB3＝m，則CB3＝4﹣m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB32＝CB32+AC2，即m2＝（4﹣m）2+22，解得：m＝，∴點B3的坐標為（0，）．綜上所述：點B的坐標為（0，8），（0，2），（0，）．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、待定系數法求一次函數解析式、等腰三角形的性質、勾股定理以及解一元一次方程，解題的關鍵是：（1）利用反比例函數圖象上點的坐標特征求出點A的坐標；（2）分AB＝AO，OA＝OB，BO＝BA三種情況，利用等腰三角形的性質求出點B的坐標．28.如圖，AB為直徑，弦BC平分∠DBA，BD與⊙O交于點E，過點C作BD的垂線于D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）如果，OA=2，求DE的長．【28題答案】【答案】（1）見解析（2）1【解析】【分析】（1）如圖所示，連接OC，根據等腰三角形的性質和角平分線的定義推出∠OCB=∠DBC，即可證明，得到∠D+∠OCD=180°，再由BD⊥CD，即可推出∠OCD=90°，即OC⊥CD，則CD是圓O的切線；（2）如圖所示，連接AC，AE，由AB是圓O的直徑，得到∠ACB=∠AEB=90°，再由，得到∠ABD=60°，則，求出∠ABC=∠DBC=30°，則，即可求出，由此即可得到答案．【小問1詳解】解：如圖所示，連接OC，∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC=∠DBC，∴∠OCB=∠DBC，∴，∴∠D+∠OCD=180°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，∴∠OCD=90°，即OC⊥CD，∴CD是圓O的切線；【小問2詳解】解：如圖所示，連接AC，AE，∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=∠AEB=90°，∵，∴∠ABD=60°，∴∠BAE=30°，∴，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC=∠DBC=30°，∴，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，∴，∴．【點睛】本題主要考查了圓切線的證明，解直角三角形，等腰三角形的性質，平行線的性質與判定，特殊角三角函數值求角的度數，角平分線的定義等等，正確作出輔助線求解是關鍵．30.在平面直角坐標系xOy中，拋物線的表達式為，線段AB的兩個端點分別為，．（1）求拋物線頂點C的坐標（用含有m的代數式表示）；（2）若，且對于該拋物線上的兩點，，當，時，均滿足，求t的取值范圍；（3）若拋物線與線段AB恰有一個公共點，結合函數圖象，直接寫出m的取值范圍．【30題答案】【答案】（1）拋物線頂點C（m，3m）；（2）綜合得總有；（3）m的取值范為或．【解析】【分析】（1）把拋物線配方為頂點式即可得出頂點坐標；（2）先求出m=4時，二次函數解析式，再求出當x=6時，函數值，求出函數值為8時的自變量的值為2與6，只要x1在2≤x1≤6變化，，求出t的范圍；當x1＞6時，根據函數性質對稱軸的右側，函數值隨自變量x的增大而減小，t+1≤x2，可得即可；（3）先求出拋物線頂點軌跡函數y=3x，根據點A在拋物線上和點B在拋物線上，解關于m的一元二次方程，去掉交于兩點的情況即可．【詳解】解：（1），∴拋物線頂點C（m，3m），（2）當時，，當x=6時，，，解得，∵拋物線開口向下，拋物線對稱軸為x=4，∴離拋物線對稱軸越近函數值越大，∵，y2≤8，∴，∴2≤x1≤6，∴，∴，當x1＞6時，只要x1＜x2根據函數的性質，在對稱軸的右側，函數值隨自變量x的增大而減小，∴t+1≤x2，∴t≤x2-1，綜合得總有；（3）拋物線頂點所在解析式為y=3x，當點A（1，3）在拋物線上時，把點A代入解析式得：，整理得，解得，當點B（7，3）在拋物線上時，把點B代入拋物線解析式得：，整理得，解得，∴當m=4時A、B兩點都在拋物線上，拋物線與線段AB恰有一個公共點，∴m的取值范為或．【點睛】本題考查拋物線綜合，拋物線化為頂點式，二次函數性質，一元二次方程的解法，拋物線與線段的公共交點問題，掌握拋物線綜合，拋物線化為頂點式，二次函數的性質，一元二次方程的解法，拋物線與線段的公共交點，利用一元二次方程的解確定自變量的范圍是解題關鍵．31.如圖，在等邊三角形ABC中，點D為BC邊上的一點，點D關于直線AB的對稱點為點E，連接AD、DE，在AD上取點F，使得∠EFD=60°，射線EF與AC交于點G．（1）設∠BAD=α，求∠AGE的度數（用含α的代數式表示）；（2）用等式表示線段CG與BD之間的數量關系，并證明．【31題答案】【答案】（1）60°+α；（2）CG=2BD，證明見解析.【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的性質和三角形的內角和定理可得結論；

（2）作輔助線，構建全等三角形，證明四邊形EBPG是平行四邊形，得BE=PG，再證明△ABD≌△BCP（AAS），可得結論．【詳解】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵∠BAD=α，∴∠FAG=60°-α，∵∠AFG=∠EFD=60°，∴∠A