專題3-3壓軸小題導數技巧：構造函數

目錄

【題型一】導數公式構造1：“基函數”型.................................................1

【題型二】導數公式構造2：指數函數型..................................................3

【題型三】導數公式構造3：三角函數型..................................................5

【題型四】導數公式構造4：對數型......................................................7

【題型五】復合型構造1：常數型.......................................................10

【題型六】復合型構造2：指數型.......................................................12

【題型七】復合構造3：f(x)+g(x)型................................................14

【題型八】換元構造...................................................................16

【題型九】雙元構造...................................................................19

二、真題再現.........................................................................20

三模擬測試............................................................................22

熱點題型歸納

【題型一】導數公式構造1:“幕函數”型

【典例分析】

(2022?全國?高三專題練習)已知函數〃力滿足/((=/(-x),且當xe(y,0］時,/(幻+力'(幻<0成立，

若”=(2°6)"(2巧，/,=(ln2)-/(ln2),C=^log2^-/^log2^,貝I］〃，b,c的大小關系是()

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.c>a>b

【答案】B

【分析】構造函數g(x)=x?/(x),利用奇函數的定義得函數g(x)是奇函數，再利用導數研究函數的單調

性，結合Iog2：<0<ln2<l<2°6,再利用單調性比較大小得結論.

O

【詳解】因為函數“X)滿足=且在R上是連續函數，所以函數“X)是偶函數，

令g(x)=x,〃x),則g(x)是奇函數，且在R上是連續函數，pl!］g\x)=f(x)+x-f'(x),

因為當XC(YO,0］時，/(%)+談(0<0成立，即g'(x)<0,所以g(x)在xe(-oo,0］上單調遞減,

又因為g(x)在R上是連續函數，且是奇函數，所以g(無)在R上單調遞減，

則a=g(2。')，6=g(ln2),c=gpog21\

因為2°6>1，0<ln2<l,log21=-3<0,所以log?：<0<ln2<1<2°6,所以c>6>。，故選：B.

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【提分秘籍】

基本規律

1.對于k'(x)4/(x)>0(<0),構造g(x)=x?f(x)

2.對于葉'(x)+V(x)>°(<0),構造g(x)=xk*f(x)

f(x)

對于尤)>0(<0)，構造g(x)=------

3.x

f(X)

4.對于x.7'(x)-V(x)>0(<0),構造g(x)=一/

【變式演練】

1.設/(九)是定義在R上的奇函數，在(—8,0)上有2靖(2x)+/(2x)<0,且/(—2)=0,則不等式

#(2^)<0的解集為.

【思路引導】滿足“靖(%)+過形式，優先構造F(X)=4(2X)，然后利用函數的單調性、奇偶性

和數形結合求解即可.注意/(-2)=0和F(尤)的轉化..

【詳細解析，】構造F(%)=V(2X),則F,(x)=2#,(2x)+/(2x),當x<0時，

F(x)=2xf'(2x)+f(2x)<0,可以推出無<0,F(x)<0,F(x)在(9,0)上單調遞減.u為

奇函數，x為奇函數,所以F(x)為偶函數，F(x)在(0,+oo)上單調遞增.根據/(—2)=0可得F(—1)=0,

根據函數的單調性、奇偶性可得函數圖象，根據圖象可知^(2x)<0的解集為(―l,O)U(OJ)?

2.函數/⑴在定義域(0,+?)內恒滿足：①/(x)>0,②2/(%)<靖(1)<3/(￡),其中用x)為

/(x)的導函數，則()

1/(I)11/(I)11/(I)11/⑴1

4/(2)216/(2)83/(2)28/(2)4

【答案】D【解析】令g(x)=&hxe(O,y),g，(x)N'(+2〃x),

XJC

國Vx￡(0,+oo),2/(x)<xfr(%)<3/(x),0/(x)>0,g,x)>0,

ZW1

回函數g(x)在xw(0,+°o)上單調遞增，回g⑴<g(2),即⑵,

“2)4’

令=xe(0,+co),J"",ElX/xe(0,+oo),2/(x)<靖⑴<3/(x),

"(x)<0,

回函數妝x)在xe(O,+8)上單調遞減，0/i(l)>/z(2),即/⑴〉《1,故選D.

3.已知定義域為夫的奇函數/(x)的導函數為/'(x),當XHO時，7?'(%)+工區〉0,若

“==-2，(-21，=In；)則〃,/，.，的大小關系正確的是

A.a<h<cB.h<c<ac.a<c<hD.c<a<b

【答案】C詳解：設g(x)=V(x),則g'(x)=y(x)+VG),回/(x)+JM>o,即

X

V")+/(X)=￡^2>0,團當x<0時，g，(x)<0,當%>0時，g'(x)>0,g(x)遞增.又f(x)是

XX

奇函數，Elg(x)=V(X)是偶函數，Elg(—2)=g(2),g(ln；)=g(-ln2)=g(ln2),ia0<g<ln2<2,

回g(；)<g(ln2)<g(2),即a<c<6.

故選C.

【題型二】導數公式構造2：指數函數型

【典例分析】

(2021?吉林?高三階段練習(文))已知定義在(0,+⑹上的函數Ax)的導函數為/(X),滿足/(尤)>0.當x>0

時,f'(x)<2/(x).當x>2時，-。)>/(%)，且/(3-x)=/(I+x)e2**，其中e是自然對數的底數.則黑

的取值范圍為()

【答案】B

【分析】根據題意，構造函數g(x)=9和Mx)=紳，對于g(x),由題意可得g6=g(3),利用導

ee

數分析可得在區間(2,口)上單調遞增，進而有g(3)<g(4),對其變形可得瑞同理分析欠力的單

調性可得不/(I興)>三1，綜合即可得答案.

”4)e

【詳解】根據題意，設g(x)=@,(尤>0),〃(尤)=電，(%>0)

exex

?."(3-x)=/(l+x)e?,=

ee

即g(3-尤)=g(l+x),g(l)=g(3)

對于g(x)=￥，其導數/(x)=尸(分=尸⑺丁⑺>0,

f'(x)>f(x),則有g(x)=工學在區間(2,位)上單調遞增；

e

所以g(l)=g(3)<g(4),即乎〈券，變形可得瑞<:；

對于Mx)=警，其導數〃(x)==:(x)[2〃x)<0,

?.?尤>0時，f(x)<2f(x),則“月=萼在區間(0,+力)上單調遞減；

e

則有〃⑴>可4),即駕>/啰，變形可得%>二,

e2e8/(4)浮

綜合可得：，〈器J，即瑞的范圍為

故選：B.

【提分秘籍】

基本規律

1.對于/'(%)4/(尤)>0(<0),構造g(x)=ex?f(x),

2.>0(<0),構造g(x)=ekx?f(x)

_f(x)

3.對于/，(1可。)>0(<0),構造g(x)=---，

f(x)

4.對于/'(x)時(x)>0(<0)，構造g(x)二——

【變式演練】

1.(2021.四川省綿陽實驗高級中學高三階段練習(理))已知定義域為R的函數/(X)的圖象是連續不斷的

曲線,且〃2-*)=〃"/2工，當X>1時，r(x)>/(x),則下列判斷正確的是

A.f(l)>e/(O)B./(3)<e4/(-l)C./(2)<e3y(-l)D./(3)>e5/(-2)

【答案】C

【分析】先根據題意，構造函數g(x)=%,判斷出函數g(x)的單調性，再利用1(2-x)=/(x)e2-2*求

得函數g(X)的對稱軸，然后判斷g(2)<g(-l)n與</畢，得出答案即可.

ee

【詳解】構造函數g(x)=駕，因為當X>1時，r(x)>/(%),所以g(x)=/，T里>0

ee

可得在x>l時，g(x)是單調遞增的；因為〃2r)=〃x)e2w,化簡得與三2=等

即g(2-x)=g(無)可得圖像關于x=l對稱，則g(-l)=g⑶=>勺9=與，g(2)=與

eee

因為g(2)<g(3)=g(-l)n￡3<BD化簡可得〃2)<e3〃-l),故選c

2.已知函數/(x)在R上可導，其導函數為廣(x),若“X)滿足：當時，(x-l)[f,(x)+/(x)]>0,

/(x)=?2-2了但-尤)，則下列判斷一定正確的是

A./(1)</(0)B.//(4)</(0)C.儀2)>〃0)D.e3/(3)>/(0)

【答案】D

【分析】

構造函數g(x)=f(x)ex,結合導函數，判定g(x)的單調性，由g(2-x)=g(x),得g(x)的對稱軸,對選項判斷即

可.

【詳解】

構造函數g(x)=f(x)ex,計算導函數得到g'(x)=e［尸(x)+〃x)］,由(x—1)［尸(x)+〃x)］>0,得當x>1,

r(x)+〃x)>0,當x<l時,/'(x)+〃x)<0.所以g(x)在(1,+司單調遞增，在(一8,1)單調遞減，而

g(2_x)=f(2—x)e2r=普七2一*=f(x)e'=g(x),所以g(x)關于x=］對稱，故

g(3)=e3f(3)=g(-l)>g(O)=f(0)，得到e3f(3)>f(0),故選:D.

3.已知定義在R上的可導函數F(x)的導函數為/'(x),滿足/(尤)</(%),且/(—九)=/(2+力，

"2)=1,則不等式/⑴</的解集為()

A.(-2,+co)B.(2,+co)C.0,+8)D.(0,+oo)

【答案】D【解析】因為/(—x)=/(x+2),所以y=/(x)的圖象關于直線x=l對稱，所以/(0)=/(2)=1,

0000

設g(x)=￥，則8(防二尸：/,因為/(>)</(無)，所以g(x)在R上為減函數，又

ee

g(0)=竿=1,因為/(x)<e，，所以g(x)<L，g(/(g(0)㈤0，選D.

【題型三】導數公式構造3：三角函數型

【典例分析】

已知定義在［0,^］上的函數/(x),f'(x)為其導數，且/(x)</'(x)tanx恒成立，則()

A.何?圖〉①仁)B.⑸閨?圖A后閨”圖D./(l)<2/^sinl

TTQinX

【答案】C【解析】因為%w(0,—),所以sinx>0,cosx>0,則由/(x)<jTQOtan尤得/(x)<f\x)-------，

2cosx

即cos#(x)—sin#'(x)<。.令/。:)=罷2,則=cos，(：#)(獷(工)<0,所以/(彳)在

/(%)/(x)"(%)］

.71.兀

sin—sin—

(0,工)上遞減，所以廠(三)〉/(乙)，即一色〉一工,故選C.

63

2/(f)/(f)

oJ

【提分秘籍】

基本規律

］對于sinx./'CO+cosx./Xx)>。(<0),構造g(x)=f(x)?sinx

f(X)

對于5111*?/'(%)?05*?7(幻>0(<0)，構造g(X)=-------

2,sinx

3.對于正切型，可以通分(或者去分母)構造正弦或者余弦積商型

4.對于cosx?/'(x)-sinx?/(x)>0(<0),構造g(x)=f(x)?cosx,

f(X)

5?對于cosx?/'(x)+sinx?/(尤)>0(<0)，構造g(x)=-------

cosx

【變式演練】

1.(2022?全國?高三專題練習)已知可導函數〃力是定義在(一導燈上的奇函數.當x〈0，T時，

f(x)+f'(x)tanx>0,則不等式cosx-/［x+］J+sinx"(T)>0的解集為()

A-卜B.卜則C.吐一力D.匕,

【答案】D

【分析】構造函數sin(x),并依據函數sinW(x)的單調性去求解不等式cosx./(x+|J+sinx?"-司>0

的解集.

【詳解】當xe(0,3時，/(x)+/,(x)tanx>0,則cos時"⑺+/^卜皿%〉。

則函數sin4(x)在(0切上單調遞增，又可導函數〃尤)是定義在?上的奇函數

則sin4(x)是「宗上的偶函數，且在［go］單調遞減，

可得了€'。,貝［。，］

由<5'Ux+je

則x￡,o]時，不等式cosx?/[x+5J+sinx./(-x)>0

可化為sin[x+m/]x+3>sin(_x)"(_x)

又由函數如引力在[o,鼻上單調遞增，且-xe(0,，|,x+

貝1|有］>尤+1>-尤>0,解之得一§<x<0

故選：D

2.(2021?吉林?梅河口市第五中學高三階段練習(理))已知在定義在R上的函數/(x)滿足

f(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,且無20時，/'(x)N3-cosx恒成立，則不等式

—￡+6x+后cos[x+：]的解集為()

1c兀]「乃、(兀71

A.|0,-B,-，+?lC,ID.—,+00

6

【答案】B

【分析】結合已知不等式，構造新函數g(x)=/(x)-3x+sinx,結合單調性及奇偶性，列出不等式，即可

求解.

【詳解】由題意，當尤20時，/'(x)23-cos尤恒成立，即r(x)-3+cosxNO恒成立，

又由/(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,可得/(x)-3x+sinx=y(-x)+3x-sinx,

令g(x)=/(x)-3x+sinx,可得g(-x)=g(-x),則函數g(x)為偶函數，

且當X20時，g(x)單調遞增，

結合偶函數的對稱性可得g(x)在(-%0)上單調遞減，

由/(x)之/(/_x]_,+6x+0cos(x+?],

化簡得至U—3x+sinxN/g-x)-3g-x)+si嗚-x),

即g(x)2g(g-x),所以|x|Ng-x,解得x'g,

乙Z4

即不等式的解集為?,+?>].故選：B.

3.(2023?全國?高三專題練習)定義在R上的連續函數/(x)的導函數為f\x),>cosxf'(x)<(cosx+sinx)/(x)

成立，則下列各式一定成立的是()

A./(0)=0B./(0)<0

C./⑺>0D.(訃0

【答案】C

【分析】設g(x)=c°s：/。),由條件可得g，(x)<0,即g(x)在R上單調遞減，且g]￡|=0,由此卡判斷

選項A,B,C,將xg代入條件可得了0>0,可判斷選項D.

【詳解】由題可得COS4'(尤)-sin對'(x)<cosW(x),

所以(cos獷(尤))'<cosxf(x),

設g(X)=cos無皿貝”g，(x)=(cos獷(尤))'-cosV(x)<0,

e%ex

所以g(x)在R上單調遞減，且?口=0

由g(。)>g]/J>gO)可得/(o)>o>一,

所以”0)>0,〃%)>0,所以選項錯誤，選項C正確.

把x=]代入cos9'(尤)<(cos尤+sinx)/(x),可得(m>0,所以選項。錯誤，

故選：C.

【題型四】導數公式構造4：對數型

【典例分析】

(2022?全國?模擬預測)已知“X)是定義在R上的奇函數，是“X)的導函數，且

/(x)ln(2x)+午<0,則不等式(J-x-2)"x)>0的解集是()

A.⑹B.(-1,0)。6,2)

C.(-l,0)u(2,^x>)D.1)"0,2)

【答案】D

【分析】根據題意，構造函數g(x)=/(x)ln(2x),根據已知條件以及利用導數判斷其單調性，從而求得〃x)

的性質，再利用了(X)的性質求解不等式即可.

【詳解】設g(x)=〃x)ln(2x),則g(x)的定義域為(0,包)

且g，(尤)=f(x)ln(2x)+工f<0,所以g(x)在(0,。)上單調遞減.

因為==所以當xe/j時，g(x)>0；

當xe(；,+oo,寸，g(x)<0.

又當時，ln(2x)<0,當時，ln(2x)>0,

所以當xe(0,+8)時，恒有/(x)<0.

因為〃x)是R上的奇函數，所以當x?-o>,0)時，〃力>0,

所以卜--2)小)>。等價于[二;或｛二;

解得。VX<2或XV-1,

所以不等式(爐-彳-2).f(x)>。的解集是

故選：D.

【提分秘籍】

基本規律

1-對方'，(x)lnx+"尤>>0(<0),構造g(x)=lnx.f(X)

2.授課時，可以讓學生寫出y=ln(kx+b)與y=f(x)的加、減、乘、除各種結果

【變式演練】

1.(2020?黑龍江?鶴崗一中高三階段練習(文))若定義域[,+s]的函數“X)滿足尸(x)-/(x)="且

〃l)=-e,若恒成立，則機的取值范圍為()

「1J「1122]「21]

[2」L2)I5」[52j

【答案】D

【分析】先根據條件構造函數駕=lnx+c,再利用導數研究函數單調性，進而解決不等式

e

/(3—:4一e=/⑴恒成立問題即可.

【詳解】函數/(天)滿足(⑴一/(x)=3，；."y=/,則[半)=L

可設23=lnx+c,c為常數，故/(x)=(lnx+c)e",；./■⑴=一e,

:.c=-l,故/'(XlHlnx-l”*,/，(x)=ex^lnx+^-lj,xep+ooj,

令g(x)=lnx+^-l,xe[,+00]，則，(尤)」--=

xe劃時，g'(x)<。，故g(x)單調遞減；xe(l,+?)時，g'(x)>0,故g(x)單調遞增，，g(x)在％=1時

取得最小值g⑴=0，，g(x)上。恒成立,

f'(x)=e'fInx+--1j>0xe；,+'成立，故在上遞增，又〃1)=-e,所以不等式

小一"一型小T"⑴，根據單調性得上4'解得與故選：D.

2.設函數f(x)是定義在(-1,位)上的連續函數，且在》=。處存在導數，若函數/(x)及其導函數/'(無)滿足

/4x)ln(x+l)=x-1(%),則函數/(x)

x+1

A.既有極大值又有極小值B.有極大值，無極小值

C.有極小值，無極大值D.既無極大值也無極小值

【答案】C

【分析】本題首先可以根據，如)ln(x+l)=x-駕構造函數/(x)ln(x+l)=1x2+c,然后利用函數fM在

x+l2

%=0處存在導數即可求出c的值并求出函數的解析式，然后通過求導即可判斷出函數的極值.

【詳解】由題意可知，加尤)In(尤+l)=x-智，即/如)1!1(尤+1)+智=-所以［/(x)ln(x+l)F=;c,

>LJi'L

令/(x)ln(x+l)=9+c,則/(尤)也,

因為函數〃x)在x=0處存在導數，所以噂言為定值，c=0,/(幻=焉，所以掰*)=嗎有土

令%+1=1,當x>0時，z>l,

構建函數g(r)=21nr+ll,則有旗r)=d/=^>。，所以函數g(r)在(1,+?)上單調遞增，

當-1C<0,o<t<l,令.0=0,解得/=，所以g?)在(。用上單調遞減，在什,1)上單調遞增,

因為gG)<。，g(i)=-41n2+3>0,所以當I(0尚時函數g(t)=O必有一解,

令這一解為％,-1<無。<0,則當尤？(1,尤。)時盟x)<0,

當xi(x0,0)時第x)>0,

綜上所述，/(x)在上單調遞減，在(x0,0)上單調遞增，在(0,+?)上單調遞增，

所以了(無)有極小值，無極大值.

3.已知Ax)是定義在(F,0)U(0，+S)上的奇函數，/(X)是/⑺的導函數，/⑴*0,且滿足：

廣(力1門+故<0,則不等式(*-1)"(幻<0的解集為()

A.(1,-H?)B.(F,-1)U(0,DC.S，l)D.(-O),0)U(1,+CO)

【答案】D

【分析】

根據給定含導數的不等式構造函數g(x)=/Minx,由此探求出f(x)在(0,+⑹上恒負，在(-8,0)上恒正，

再解給定不等式即可.

【詳解】

令g(x)=/(x)lnx,尤>0,則g'(x)=/'(x)lnx+"4<o,g(x)在(0,+8)上單調遞減，而g(l)=0,

x

因此，由g(x)>0得0<x<l,而lnx<0,則/(x)<0,由g(x)<0得*>1,而lnx>0,則又/⑴<0,

于是得在(。，+8)上，/(%)<0,而/⑺是(YO,0)U(0,+8)上的奇函數，則在(-8,0)上，/(%)>0,

,\x-\>0fx-l<0fx>lfx<l,一

由(X—D"(尤)<。得：八或乙、C，即八或八，解得x<0或X>1,

[/(x)<0[/(x)>0[x>0[x<0

所以不等式(x-1)?/(%)<0的解集為(―,0)51,+?0.

故選：D

【題型五】復合型構造1：常數型

【典例分析】

(2023?全國?高三專題練習)已知函數/(%)的導函數為)(力,若對任意的xeR,都有/(x)>_f(尤)+2,

且/'(1)=2022,則不等式〃司-202061<2的解集為()

A.(0,+oo)B.C.(l,+oo)D.

【答案】C

【分析】設函數g(x)="?-2,根據題意可判斷g(x)在R上單調遞減，再求出g⑴=理型，不等式

ee

f(X)-2。2吐<2整理得-2〈迎2,所以g(x)<g。)，利用g(無)單調性解抽象不等式即可.

ee

【詳解】設函數g(x)="，2,

所以g'(x)J'(x)xeH"2]xe*J(x)—〃x)+2,因為“耳>廣(x)+2,

所以/'(同一〃尤)+2<0,即g'(x)<0,所以g(x)在R上單調遞減，因為/⑴=2022,

所以g⑴二譽,因為/(x)_2020ei<2,整理得〃，一譽,

所以g(x)<g。)，因為g(“在R上單調遞減，所以x>L

故選：C.

【提分秘籍】

基本規律

結合式子，尋找各種綜合構造規律，如g(x)=△^擔，或者f(x)+kx+b

可以借助本小節授課，培養這類觀察和構造的思維

【變式演練】

L.(2021.黑龍江.哈爾濱三中高三期中(理))設函數外力在尺上的導函數為尸(x),若/'(x)>/(x)+l,

r(x)=_f(6—x),/(3)=1,/(6)=5,則不等式〃lnx)+2x+l<0的解集為()

A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(3,6)

【答案】A

【分析】構造函數g(x)=士]，得到g(x)也是R上的單調遞增函數.，分析得到函數f(x)關于點(3,1)對稱.

e

由/(Inx)+2x+l<0得到g(lnx)<g(0),即得解.

【詳解】構造函數g(x)="把，g'(x)=[")一/")一1>°，

ee

所以g(x)也是R上的單調遞增函數.

因為/'(x)=/'(6—x),所以，(無)關于直線x=3對稱,

所以Jf'(x)dx=j/\6-x)dx,:.f(x)+cl=-f(6-x)+c2,(q,c?為常數)，

L

/(x)+f(6-x)=e2-Cj,令x=3,所以2/(3)=C2-q,，/(3)=^^.

因為;'(3)=1,所以C2-G=2,所以f(x)+/(6-尤)=2,所以函數/(x)關于點(3,1)對稱.

由/(3)=1,/(6)=5得到/(0)=-3,因為/(Inx)+2x+1<0,/(Inx)+1<-2x=一2e1nx,

所以+所以g(]nx)<-2=g(0)=/,所以g(lnx)<g(0),

ee

所以ln%v0,「.。vxvl.故選：A

2.(2020?內蒙古赤峰高三階段練習(理))已知函數〃x)的定義域為R,尸(x)為的導函數.若

r(x)-/(x)<l,且“0)=1,則不等式〃x)+G2/的解集為()

A.(9⑼B.[-l,+oo)C.[0,+oo)D.(-oo,-l]

【答案】A

【解析】本題為含導函數的抽象函數的構造問題，由/'(力-/(無)<1聯想到構造/口)=色區，對其求

ex

導，從而判斷出該函數的單調性.又由"0)=1得出*0)=2,不等式〃x)+G2eX等價于/將

ex

其轉化為F(x)>F(0),利用單調性就可得出不等式的解集.

【詳解】設廠(司=”?+1,則尸(x)=￡Hz^Hzl.

V/(x)-/(x)<l,

/.F(x)<0,即函數尸(x)在定義域R上單調遞減.

?."(0)=1,.??-0)=2,

???不等式/(X)+122/等價于>2,

即尸(x)a7(o),解得「wo.

故不等式的解集為(f,。］.

故選A.

3.(2022?全國?高三專題練習)若定義域為R的函數f(x)的導函數為，(x),并且滿足f(x)<f'(x)-2,則

下列正確的是()

A.7(2021)-^(2020)<2(e-l)B./(2021)-ef(2020)>2(e-1)

C./(2021)-6^(2020)>2(e+1)D./(2021)-ef(2020)<2(e+1)

【答案】B

【解析】根據題意，可知/'(尤)-/(尤)-2>0,構造函數根x)="?+2,利用導數研究函數的單調性，可

e

知g(%)在H上單調遞增，得出g(2021)>g(2020),整理即可得出答案.

【詳解】解：由題可知/(x)</'(x)-2,貝ljr(x)-/(*)-2>0,

令g(M”，

而《工>0,則g'a)=ra)_/*)_2>0,

e

所以g(x)在R上單調遞增，

故g(2021)>g(2020),即偌0；：)+2>〃2。何+2,

e~e

故/(2021)+2>牙(2020)+2e,

即/(2021)-ef(2020)>2e-2,

所以/(2021)-ef(2020)>2(e-1).

故選：B.

【題型六】復合型構造2：指數型

【典例分析】

(2022?陜西?武功縣普集高級中學高三階段練習(理))定義在R上的函數Ax)滿足/(x)-r(x)+e，<0(e

為自然對數的底數)，其中/'(x)為AM的導函數，若/(3)=3e3,則f(x)>xe'的解集為()

A.(-a>,2)B.(2,+oo)

C.(-<?,3)D.(3,+00)

【答案】D

【分析】構造新函數，并利用函數單調性把抽象不等式轉化為整式不等式即可解決.

【詳解】設g(?=華一x,貝Ug(3)=件一3=0,所以/(x)>xex等價于g(x)>0=g(3),

ee

由f(x)-fr(x)+ex<0,可得f\x)-f(x)>ex>0

e

所以g(x)在R上單調遞增，所以由g(x)>g(3),得x>3.

故選：D

【提分秘籍】

基本規律

對于/'(蹌八］)>k(<0),構造=-k］

【變式演練】

1.(2020.全國?高三專題練習)已知尸(%)是函數/(x)的導函數，對任意的實數x都有/(x)+〃x)=-(,

且若函數》=/(力—。有兩個零點，則實數。的取值范圍是()

<2A/2A/5A(_5A

A.-2e3+8B.-2節,0C.-2e5,+8D.-2e，,0

k7\7\7k7

【答案】D

【分析】首先構造函數g(x)=eV(x)+2x—3,根據g'(x)=0和g[T)=0得至1」/口)=三三，再根據函數

/(x)的單調性和最值即可得到實數。的取值范圍.

【詳解】設函數g(x)=e"(x)+2x—3,則g(x)=e"(x)+e"[x)+2,

29

因為廣(x)+〃x)=-/，所以g，(x)=e，x(一”2=0,

又因為g1)=°，所以g(￡)=o,即/(同=三三.

廣(司=三」，"力在卜雙\上單調遞減，在g,+“|上單調遞增,

=/[|)=一2/；且當X，時,

1mH/(x)<0,

。有兩個交點,

C5>

所以實數。的取值范圍是-2/5,0.故選：D

\7

2.(2020?陜西省丹鳳中學一模(理))若定義在R上的函數〃x)滿足〃力+/(另>1,"0)=4,則不等

式/(%)>三+1(6為自然對數的底數)的解集為()

A.(0,+oo)B.(-00,0)u(3,+8)

C.(-oo,0)U(0,+oo)D.(3,+oo)

【答案】A

a

【分析】把不等式〃x)>/+l化為e"(x)>3+e)構造函數令尸(x)=e"(x)-/-3,利用導數求得函

數尸(x)的單調性，結合單調性，即可求解.

【詳解】由題意，不等式〃X)>]+1,即e"(x)>3+/,

令*x)=e"(x)-e'—3,可得尸(x)=e"(x)+e了⑺-/=產"(￡)+((力—1],

因為/(x)+f'(x)>l且，>0,可知尸(x)>0,所以P(x)在R上單調遞增，

又因為尸(o)=e。〃。)一/一3=〃0)-4=0,

所以尸(x)>0的解集為(0,+8).

故選：A.

3.(2021.河南?義馬市高級中學高三階段練習(文))若定義在R上的函數/(x)滿足/(x)+x+T(x)+l>2尸,

/(0)=5,則不等式/。)>(2尤+5)尸7的解集為()

A.(-co,0)U(0,+°o)B.(-co,0)IJ(5,+co)c.(0,+oo)D.(5,+℃)

【答案】C

【分析】構造函數g(x)=e，"(x)+x]-2x,利用導數研究g(x)的單調性，由此求得不等式

/(x)>(2x+5)e-x-x的解集.

【詳解】令g(x)=ex[f(x)+x]-2x,則g\x)=ex[/(x)+x]+ex(f(x)+1)-2

=ex[/(x)+x+f(x)+l]-2>ex-2e^-2=0,所以g(x)在R上單調遞增，

又因為g(0)=e°[/(0)+0]-2x0=5,由/(x)>(2x+5)e~x-x,得f(x)+x>(2x+5)e-x,兩邊同時乘

以得e""(x)+幻〉2x+5,得e""(x)+劃一2x>5,即g(%)>g(。)，解得％>0,即不等式的解集是

(0,+oo).

故選：C

【題型七】復合構造3：f(x)+g(x)型

【典例分析】

(2022?湖南岳陽?模擬預測)己知定義在R上的函數/⑺滿足/(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,且尤..0時,

f(x)..3-cosx上恒成立，則不等式+++的解集為()

A.1,+00)B.[卜^

71

D.—,+co

6

【答案】B

【分析】令g(%)=/(x)-3%+sin、，利用定義證明其奇偶性，由/'(X)..3-cos兄得出g(x)的單調性，將所

求不等式變為/(無)-3x+sinx../(1-J-3|q-xJ+sin19-xJ,從而得至1J,利用函數g(x)

的奇偶性以及單調性解不等式即可.

【詳解】由題得/(x)-3x+sinx=/(—x)+3x-sinx,令g(x)=f(x)-3x+sinx=g(-x),則g(x)為偶函數

尤..0時，/(x)..3-cosx,則g'(x)..O,貝i|g(x)遞增由一x)-芳+6x+0cos[x+?)得:

即g(x).-g

T[rr

則⑶…「,所以"T故選：區

【提分秘籍】

基本規律

f(x)x-=-r(x)±g(x),其中r(x尸X，e『sin九,cosx等

授課時，可以適當的借助例題，分析這類題的結構特征。

【變式演練】

1.(2023?全國?高三專題練習)設函數/(x)在R上存在導數f\x),對于任意的實數x，有/(x)+/(-%)=2尤2,

當時，r(x)+4<2x,若/5+2)+〃〃，)+4V2〃2,則實數沉的取值范圍是()

m-2

A.[1,2)B.(F』U(2,E)

C.[—2,2)D.(-0°,—1]0(2,+°0)

【答案】D

【分析】構造函數g(x)=/(x)-V+4x,得到g(x)為奇函數，g(無)在R上單調遞減，分根-2<0和根-2>0

兩種情況，利用奇偶性和單調性解不等式，求出實數加的取值范圍.

【詳解】；/'(x)+4<2x,.../'(x)+4—2x<0.令g(x)=/(x)—x?+4x,且g'(x)=/'(無)-2x+4,

則g(無)在(Y?,。]上單調遞減.

又：〃x)+〃—x)=2x\

g(x)+g(-x)=/(x)-x*2+4x+/(-x)-x2-4x-/(%)+/(-x)-2x2=0,

g(尤)為奇函數，g(尤)在R上單調遞減.

/(加+2)+/(〃2)+4

<2m,

m-2

/(m+2)+/(m)+4-2m2+4m

<0.

m-2

當機一2<0,即根<2時，/(m+2)+/(m)+4-2m2+4m>0,

即/(m+2)-(m+2)2+4(m+2)>—+4問

即g(m+2)>g(-m),由于g(x)在尺上遞減，則又+2Wm,

解得：m<—l,