相交線與平行線（4大易錯+5大壓軸）

01思維導圖

目錄

【易錯題型】...................................................................................1

易錯題型一對同位角、內錯角、同旁內角辨別不清...............................................1

易錯題型二平行線的判定和性質多結論題........................................................3

易錯題型三旋轉使兩直線平行的多解題..........................................................8

易錯題型四角的邊平行的多解問題.............................................................15

【壓軸題型】..................................................................................17

壓軸題型一平行線的判定和性質綜合問題.......................................................17

壓軸題型二根據平行線的判定與性質探究角的關系..............................................23

壓軸題型三根據平行線的判定和性質解決三角形旋轉問題........................................29

壓軸題型四根據平行線的判定與性質接解決光線問題............................................37

壓軸題型五根據平行線的判定與性質探解決平移問題............................................43

02易錯題型

易錯題型一對同位角、內錯角、同旁內角辨別不清

例題：（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，下列結論正確的是（）

A.N1與22互為內錯角B.N3與N4互為內錯角

C.N1與N3互為同旁內角D./2與N4互為同位角

【答案】D

【知識點】同位角、內錯角、同旁內角

【分析】本題考查了同位角，內錯角，同旁內角和鄰補角，根據同位角，內錯角，同旁內角和鄰補角的

概念判斷即可.

【詳解】解：/、N1和/2是同位角，故/不符合題意;

B、N3與/4不是內錯角，故8不符合題意;

C、N1與N3不是同旁內角，故C不符合題意;

D、/2與N4互為同位角，故。符合題意;

故選：D.

鞏固訓練

1.（2024七年級上?全國?專題練習）下列說法不正確的是（）

A.N1和N5是同旁內角

C.N3和N4是同位角D.N1和22是同旁內角

【答案】D

【知識點】同位角、內錯角、同旁內角

【分析】本題主要考查了同位角，內錯角，同旁內角的定義，熟練掌握同位角，內錯角，同旁內角的定

義是解題的關鍵.根據同位角，內錯角，同旁內角的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A.N1和N5是同旁內角，說法正確，選項不符合題意;

B.N1和N4是內錯角，說法正確,選項不符合題意;

C.N3和N4是同位角，說法正確,選項不符合題意;

D.N1和22互為補角，說法錯誤,選項符合題意;

故選：D.

2.

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

【答案】C

【知識點】同位角、內錯角、同旁內角

【分析】根據同位角定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且

在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角進行分析即可.

本題考查了同位角的定義，正確理解定義是解題的關鍵.

【詳解】根據題意，得

A.Z2,對頂角，不符合題意；

B.N3,是同旁內角，不符合題意;

C.N4是同位角，符合題意；

D.N5是內錯角，不符合題意，

故選C.

3.（23-24七年級下?廣東?期末）如圖，下列說法錯誤的是（）

A.NN與是同旁內角B.21與—3是同位角

C.N2與N3是內錯角D.N1與N3是對頂角

【答案】D

【知識點】同位角、內錯角、同旁內角、對頂角的定義

【分析】本題考查的知識點是同旁內角、同位角、內錯角、對頂角的定義，解題關鍵是熟練掌握同旁內

角、同位角、內錯角、對頂角的定義.根據同旁內角、同位角、內錯角、對頂角的定義對選項進行逐一

判斷即可求解.

【詳解】解：A.與4B是同旁內角，說法正確，不符合題意，A選項錯誤；

B.N1與ZB是同位角，說法正確，不符合題意，B選項錯誤；

C.N2與23是內錯角，說法正確，不符合題意，C選項錯誤；

D.N1與23不是對頂角，是鄰補角，說法錯誤，符合題意，D選項正確.

故選：D.

易錯題型二平行線的判定和性質多結論題

例題：（2024七年級上?全國?專題練習）如圖，已知N4=45。，CD1AB,垂足為。，DE、。廠分別是

—4DC和/HOC的平分線，則下列五種說法：①44。。=90。；②DF〃AC；@DELDF；④

NFDC=NECD；⑤NEDC=NFCD.其中一定正確的個數為（）

42個8.3個C.4個D5個

【答案】C

【知識點】角平分線的有關計算、垂線的定義理解、根據平行線判定與性質證明

【分析】本題考查了垂線的定義，角平分線的定義，平行線的判定及性質，熟練掌握各個性質是關鍵.根

據已知條件及角平分線性質、平行線的判定及性質逐項判斷即可.

【詳解】???CDA.AB,

:.ZADC=NCDB=90°,故①正確；

:DF平分NBDC,ZCDB=90°,

ZBDF=45°.

又?.?//=45°,

ZBDF=ZA,

DF//AC,故②正確；

DF//AC,

ZFDC=ZECD,故④正確；

?:DE、。/分別平分一/OC、ZCDB,AADC=ZCDB=90°,

ZEDC=ZCDF=45°,

ZEDF=90°,即即_1比＞,故③正確；

無法證明即〃8C,故/￡DC=/FCD無法證明，故⑤錯誤

故正確的個數為4個.

故選C.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?廣東江門?期中）如圖，AB//CD,尸為48上一點，FD//EH,且FE平分/4FG,

過點尸作尸GJ_￡”于點G,^.ZAFG=2ZD,則下列結論：①40=30。；②2ND+NEHC=90。；

③FD①分/HFB,,④FH平分NGFD.其中正確結論的個數是（）

A.1個反2個

【答案】B

【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線判定與性質證明

【分析】本題考查了角平分線的性質和平行線的性質，二者有機結合，難度較大，需要作出輔助線，對

能力要求較高.根據角平分線的性質和平行線的性質解答.延長尸G,交CH于1,構造出直角三角形,

利用直角三角形兩銳角互余解答.

【詳解】解：FG,交CH于L

vAB//CD,

/.ZBFD=ZD,ZAFI=ZFIH,

vFD//EH,

ZEHC=ND,

?；FE平分/AFG,

"FIH=2NAFE=2NEHC,

??.3mze=90。，

；"EHC=30。，

???ZD=30°,

??.2/D+ZEHC=2x30。+30。=90。，

???①ND=30。正確；②2/。+/￡〃。=90。正確,

?；FE平分NAFG,

.-.Z^77=30ox2=60°,

???ABFD=30°,

.-.zero=90°,

：./GFH+NHFD=90°,

可見，/m*的值未必為30。，/GFH未必為45。，只要和為90。即可，

:.③FD平分NHFB,④尸〃平分/GED不一定正確.

故選：B.

2.（24-25八年級上?內蒙古巴彥淖爾?開學考試）如圖，在三角形/5C中，已知CD1AB,

Zl=Z2.對于下列五個結論：①DE〃AC；@Zl=ZB；③N3=44；@Z3=ZEDB；⑤/2與N3

互補.其中正確的有（）

/.2個2.3個C.4個D.5個

【答案】C

【知識點】與余角、補角有關的計算、根據平行線判定與性質證明

【分析】本題考查了平行線的判定與性質，互余的概念，解決本題的關鍵是準確區分平行線的判定與性

質，并熟練運用.根據平行線的判定與性質即可進行逐一判斷.

【詳解】解：?vZ1=Z2,

DE//AC；

故①正確；

@-：ACIBC,

Zl+Z3=90°,

???CDVAB,

.-.Z5+Z3=90o,

Z1=Z5；

故②正確；

③???/）+Z8=90。，Z8+/3=90。，

N3=NZ；

故③正確；

④???OE||ZC,

...ZA=NEDB,

?/Z3=Z^,

Z3=ZEDB-.

故④正確；

⑤?.?/l+/3=90。，Z1=Z2.

Z2+Z3=90°,

N2與N3互余.

故⑤錯誤.

其中正確的有①②③④4個.

故選：C.

3.（23-24七年級下?浙江杭州?階段練習）如圖，AB//CD,PG平分NFPE,NCFP+NFPH=180°,下列

結論：①CO||P"；②

ZBEP+ZDFP=2ZEPG；③NFPH=NGPH；@ZA+ZAGP+ZDFP-ZFPG=180°；⑤若

/BFP-/DFP

NBEP>NDFP,則—————=2.其中正確結論的個數是（）

Z-Qjrrl

N.2個8.3個C.4個D5個

【答案】C

【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線的性質探究角的關系

【分析】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解題的關鍵是注意：兩直線平行,

內錯角相等.

由/Z+//HP=180。，可得根據A8〃CD,可彳導AB〃CD〃PH,再根據平行線的性質以及

角的和差關系進行計算，即可得出正確結論.

【詳解】解：???//+//郎=180。，

PH//AB,

■.■AB//CD,

.-.AB//CD//PH,故①正確；

???NBEP=NEPH,NDFP=NFPH,

/BEP+NDFP=NEPF,

又???PG平分NEPF,

；,NEPF=2NEPG,故②正確；

???NGPH與NFPH不一定相等，

：,NFPH=NGPH不一定豉立,故③錯誤：

vZAGP=ZHPG+ZPHG,NDFP=NFPH,NFPH+NGPH=NHPG,/FPG=/EPG,

???//+ZAGP+NDFP-NFPG

=//+ZHPG+NPHG+ZDFP-ZFDG

=NA+/HPG+NPHG+/FPH—NFDG

=/Z+NFPG+ZPHG-ZEPG

=NA+NPHG,

???PH//AB,

.??/4+NT〃G=180。，即/Z+/4GP+/。月P—/FPG=180。，故④正確；

NBEP-NDFP=NEPH-NFPH=(EPG+NGPH)-NFPH=NFPG+NGPH-NFPH=NGPH+NGPH=2ZG1

/BEP-Z.DFP；zp\十丁生

-------二2為f定值，故⑤正確.

綜上所述，正確的選項①②④⑤共4個,

故選：C.

易錯題型三旋轉使兩直線平行的多解題

例題：（24-25八年級上?全國?期中）如圖，將一副直角三角尺的其中兩個頂點重合疊放，其中含30。角

的三角尺/3C固定不動，將含45。角的三角尺。5E繞頂點B順時針轉動（轉動角度小于180。），當。E與

三角尺ZBC的其中一條邊所在的直線互相平行時，2/8E的度數是（）

A.15。或45°或60°B.45。或60。或75。

C.15。或45°或105°D.60。或75。或105°

【答案】C

【知識點】根據平行線的性質求角的度數、三角板中角度計算問題

【分析】本題考查了平行線的性質、三角板中角度的計算，分三種情況：當回47時；當。￡〃48時;

當DE〃2。時；分別求解即可得解，采用分類討論的思想是解此題的關鍵.

【詳解】解：???△4BC是含有30。角的三角板，

.?.//=30°,ZABC=60°,ZC=90°,

???&DBE是含有45。的三角板，

ABED=ZD=45°,ZEBD=90°,

??,在旋轉的過程中（轉動角度小于180。），與△48C的一邊平行，

.??有以下三種情況：

如圖，當石747時，

■,■ZC=90°,

ACLBC,

■■■CE//fiC,

BCIDE,

■-BE=BD,ZEBD=90°,

.?.8C為的平分線，即/E3C=45。，

,-,ZABE=NABC-NEBC=60。-45。=15。；

如圖，當Z)E〃48時，

?-?DE//AB,

/ABE=NE=45°,

如圖，當。石〃3c時,

cE

-.DE//BC,

/.ACBE=2E=45°,

AABE=AABC+NCBE=60°+45°=105°；

故選：C.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?全國?單元測試）將斜邊上的高不相等的兩塊直角三角尺按如圖方式擺放,

ABAC=ZDAE=90°,ZC=30°,4=60°,ZD=NE=45°.

（1）若8C，ND,則ZDAC的度數為；

（2）若將三角形/AE繞點A轉動，使得兩個直角三角形的斜邊平行，則ND4C的度數為.

【答案】600105°或75。/75。或105°

【知識點】三角板中角度計算問題、垂線的定義理解、平行公理推論的應用、根據平行線判定與性質求

角度

【分析】（1）設/。交2c于點由貝UNBMN=90°,證明8C〃/￡,然后根據平行線的

性質即可求解；

（2）根據題意，分兩種情況：①當三角形ADE在線段NC左側時，②當三角形/DE在線段/C右側

時進行分析即可；

本題考查了平行線的判定與性質，平行公理推論，垂直的定義，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】（1）如圖，設AD交于點

c

???BC上AD,

NBMA=90°,

???ZDAE=90°,

；?ZBMA=ZDAE,

??.BC〃AE,

vZC=30°,

ZCAE=ZC=30°f

...ZDAC=/DAE-/CAE=60°,

故答案為：60°；

（2）根據題意，分兩種情況：①當三角形405在線段4C左側時，如圖①，過點A作Z尸〃5C,

vBC//DE,

??.AP//BC//DE,

ZBAP=N5=60°,ZDAP=ZD=45°

??./BAD=/BAP-/DAP=15°,

???ZBAC=90°,

ZDAC=ABAC+/BAD=105°；

②當三角形在線段4。右側時，如圖②，過點A作

c

-：BC//DE,

AQ//BC//DE,

.-.ZCAQ=ZC=30°,ZDAQ=ZD=45°,

ADAC=ACAQ+ADAQ=75°,

綜上所述，/D/C的度數為105。或75。，

故答案為：105。或75。.

2.（23-24七年級上?安徽阜陽?期末）如圖，AB〃CD,點、P,。分別是48,CD上的一點，射線PB繞點P

順時針旋轉，速度為每秒1度，射線0c繞點。順時針旋轉，速度為每秒2度，旋轉至與。。重合便立即

回轉，當射線PB旋轉至與總重合時，必與0C都停止轉動.若射線PB先轉動30秒，射線0C才開始

轉動，則射線0c轉動秒后，0c與總平行.

C----------?------------------------D

Q

【答案】30或110

【知識點】幾何問題（一元一次方程的應用）、根據平行線的性質求角的度數

【分析】本題考查了平行線的性質，一元一次方程的應用.設射線。C轉動f秒，兩射線互相平行，分

兩種情況進行討論：分兩種情況討論，當0</<90和90</<150時，根據平行線的性質得出方程，解方

程即可求解.

【詳解】解：設QC轉動后與48交于點PB轉動后與CD交于點N,

當0</<90時，如圖1,

（圖1）（圖2）

VAB//CD,

/.ZBPN=ZPNC,

?.,PN〃MQ,

：.ZCQM=ZPNCf

；"CQM=/BPN,

2z=1-（30,

解得f=30；

②當90<f<150時，如圖2,

-：AB//CD,

：.ZBPN+ZPND=180°,

?：PN〃MQ,

ZMQD=ZPND,

...ZBPN+ZMQD=180°,

...l-（30+/）+（2f-180）=180,

解得，=110,

綜上所述，射線QC轉動30或110秒，兩射線互相平行；

故答案為：30或110.

3.（23-24七年級下?遼寧沈陽?開學考試）將一副三角板中的兩塊直角三角尺按如圖方式放置（其中

4480=45。,/。=60。），固定三角尺/5C,將三角尺2AE以每秒30。的速度繞點8按逆時針方向旋轉

180。停止.在這個過程中，當運動時間為秒時，三角尺8OE的一邊與三角尺/3C的某一邊平

行（不共線）.

【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5

【知識點】三角板中角度計算問題、根據平行線的性質求角的度數

【分析】本題考查平行線的性質，分5種情況進行討論求解即可.

【詳解】解：①當時，如圖,

貝！J：/ABE=NE=30°,

ZCBE=ZABC-NABE=15°,

t=15+30=0.5；

②當80〃4c時，止匕時/C3D=/C=45。,

ZCBE=ZDBE-ZCBD=45°,

Z=45-j-30=1.5；

③當包47時，/l=//=90。，

E

??.N4BD=9()o-ND=30。,

??.NCBD=ZABC-NABD=15。,

，/CBE=ZDBE+ZCBD=105°,

f=1054-30=3.5；

④當BE〃/。時，貝i|：NCBE=ZABC+NDBE=135°,

."=135+30=4.5；

⑤當Z>￡〃5c時，貝l|：Z￡SC=180°-ZE=150°,

."=150+30=5

綜上：/=0.5或1.5或3.5或4.5或5；

故答案為：0.5或1.5或3.5或4.5或5.

易錯題型四角的邊平行的多解問題

例題：（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期中）如果兩個角的兩邊分別平行，其中一個角a比另一個角的4

倍少30度，則角a的度數為.

【答案】10度或138度

【知識點】根據平行線的性質求角的度數、幾何問題（一元一次方程的應用）

【分析】此題考查了平行線的性質，解題的關鍵是注意由兩個角的兩邊分別平行，可得這兩個角相等或

互補，注意分類討論思想的應用.

由兩個角的兩邊分別平行，可得這兩個角相等或互補，可設另一個角的度數為夕，由其中一個角a比另

一個角的4倍少30度，分別從這兩個角相等或互補去分析，即可列方程，解方程即可求得這兩個角的

度數.

【詳解】解：???兩個角的兩邊分別平行，如圖1,

???AI//CJ,JD//IE,

Z/=ZCBE,NCBE=NJ,

/.Z/=ZJ,

如圖2,???//〃CJ,JD//IE,

：.Al=Z.JBE,NJBE+ZJ=18。°,

ZI+ZJ=180°,

??.這兩個角相等或互補，設另一個角的度數為4

...其中一個角a比另一個角的4倍少30度，

...?=4/7-30°

①若這兩個角相等，則￡=4尸-30。，解得：尸=10。，

.,.<7=4=10。；

②若這兩個角互補，貝抬尸-30。+尸=180。，解得：4=42。，

...?=4^-30°=4x42°-30°=138°

綜上，角a的度數為10度或138度.

故答案為：10度或138度.

鞏固訓練

1.（24-25七年級上?全國?課后作業）（1）畫一畫：在圖①中，以尸為頂點畫一尸（一尸為銳角），使一尸的

兩邊分別與N1的兩邊平行；再在圖②中，以尸為頂點畫/尸（/尸為鈍角），使/尸的兩邊分別與N1

的兩邊平行.

（2）量一量：量出N1與的度數，它們之間的數量關系是

(3)猜一猜：如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這個兩個角的數量關系是.

(4)做一做：如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，且這個角為30。，求另一個角的大小.

【答案】(1)見解析(2)/I=/尸或/尸+21=180°(3)相等或互補(4)30。或150。

【知識點】根據平行線的性質探究角的關系

【分析】本題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是掌握平行線的性質和判定.

(1)根據題意，畫出符合條件的/尸即可；

(2)動手量一量即可得到結論；

(3)根據角的兩邊同方向平行和反方向平行兩種情況，根據平行線的性質即可才想出數量關系;

(4)利用(3)的結論即可求出另一個角的度數.

【詳解】解：(1)根據題意畫圖，如圖所示.(答案不唯一)

(2)由測量得到結論：/1=/尸或/尸+/1=180°

(3)如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這個兩個角相等或互補

(4)應用(3)的結論得另一個角的大小為30。或150。.

03壓軸題型

壓軸題型一平行線的判定和性質綜合問題

例題：(23-24七年級下?遼寧撫順?期末)如圖，8O1/C于點。，斯，/C于點尸，ZAMD=ZAGF,

/1=22=23°.

11

BE

⑴求/GFC的度數.

（2）求證：DM//BC.

［答案］⑴123。

（2）見解析

【知識點】根據平行線判定與性質證明、根據平行線判定與性質求角度

【分析】本題考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵.

（1）首先得到8。〃￡尸，根據平行線的性質得到/1=/HFE=23。，再根據角的和差關系可求/GFC

的度數；

（2）等量代換得到-2=尸E,根據平行線的判定定理得到G/〃8C,證得〃D〃GF,進而求解即

可.

【詳解】（1）解：???BDLNC,EFLAC,

,-,ZBDC=ZEFC=90°,

.■.BD//EF,

ZHFE=/I=23°,

；./GFC=23°+90°=113°.

（2）證明：?.21=/2=23。，

由（1）問知N*E=N1,

：.N2=NHFE,

GF//BC,

???NAMD=NAGF,

.■,MD//GF,

：.DM//BC.

鞏固訓練

1.（23-24七年級下?寧夏銀川?期中）如圖，在△48C中，CE/7AB,F、G是4B、8c上的兩點，

Zl+Z2=180°.

E

(1)求證：FGHAC.

(2)若4=100。，CE平分48,求-2的度數.

【答案】(1)答案見解析

(2)NB=80°

【知識點】根據平行線判定與性質證明、根據平行線判定與性質求角度

【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的判定及

性質.

(1)首先由CE//3得N2=N/,再根據4+/2=180。，由此得/1+乙4=180。，據此可得出結論；

(2)先由Nl+N2=180。，Nl=100。求得/2的度數，再由CE平分NNCD,得N2=NECD,最后再根

據CE//8可得-8的度數.

【詳解】(1)證明：?.?CEIMB,

Z2=ZA,

Zl+Z2=180°,

二./I+4=180°,

FG//AC.

(2)解：???Zl+Z2=180°,Zl=100°,

Z2=80°,

平分N/CZ),

:"2=ZECD=80。,

■：CE\\AB,

NB=ZECD=80°.

2.(23-24七年級下?河北張家口?期末)如圖，直線E4,交于點尸，點C在2。的左側，且滿足

NBDC=ZABF,NBAD+ZDCE=180°.

D

（1）求證：AD//EC；

（2）若。4平分/8OC,CELE4于點￡,ZBAF=52°,求N48尸的度數.

【答案】（1）見解析

（2）76°

【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線判定與性質證明、根據平行線判定與性質求角度

【分析】此題考查了平行線的判定與性質、角平分線定義，熟練運用平行線的判定與性質是解題的關鍵.

（1）根據平行線的性質與判定求解即可；

（2）根據垂直的定義及角的和差求出/切。二38。，結合（1）得出/。。/=/胡。=38。，再根據角平分

線定義求解即可.

【詳解】（1）證明：???/8。。二443月，

??.AB//CD,

：./BAD=/CDA,

vZBAD+ZDCE=m0,

：.Z.CDA+ADCE=\^Q,

AD//EC；

（2）解：?.?CE_LE4于點E,AD//EC,

??.ZDAF=ABAD+ZBAF=ACEA=90°,

vZBAF=52°,

??.ABAD=38°,

.?.NCDA=/BAD=38。,

???。/平分/8。。，

.?.ZBDC=2ZCDA=76°f

:.ZABF=ZBDC=76°.

3.（23-24七年級下?廣西南寧?期末）如圖，在三角形中，D、E、尸分別是3。、AC.上的點，

且/AFE=/DEF.

A

Q)若FD平分NBFE,ZFDE=70°,求//FE的度數.

【答案】(1)。尸_LDE,理由見解析

(2)40°

【知識點】根據平行線判定與性質求角度、根據平行線判定與性質證明、角平分線的有關計算

【分析】本題主要考查了平行線的判定和性質：

(1)根據44FE=/DEF,可得48〃DE,再由。尸_L48,即可求解；

(2)根據=尸，可得4B〃DE,從而得到/昉。=/FDE=70。，再根據角平分線的定義,

可得ZBFE=2NBFD=140°,即可求解.

【詳解】(1)解：DF上DE,理由如下：

???ZAFE=ZDEF,

?-.AB//DE,

DFVAB,

.-.DFLDE■,

(2)解：?；ZAFE=/DEF,

?-.AB//DE,

ZBFD=ZFDE=70°,

?；FD平分NBFE,

ZBFE=2NBFD=140°,

ZAFE=180°-NBFE=40°.

4.(23-24六年級下?山東濟南?期末)如圖，已知4B〃DE.

圖1圖2

⑴感知與探究:

如圖1,已知/8=45。,/3。)=110。,請求出/。叫的度數；

(2)問題遷移：

如圖2,BG、。尸分別是//3C、/CDE的角平分線，5G的反向延長線與。尸相交于點凡猜想N尸與

/3C。之間的數量關系，并說明理由；

(3)聯想拓展：

在(2)的條件下，若N8C￡>=100。，則N尸的度數是.

【答案】(1)115°

(2)2ZF+/50)=180\

⑶40。

【知識點】根據平行線判定與性質求角度、角平分線的有關計算、根據平行線的性質探究角的關系

【分析】本題主要考查角平分線的性質、平行線的性質，熟記有關平行線的各種模型是解題關鍵

(1)過點C作。時〃4B,根據平行線的性質易得NB=ZBCN=45。，ZCDE+DCM=180°,以此即可

求解.

(2)過點尸作FM//AB,過點C作CN〃AB,由平行線的性質得

ZB=ZBCM=45°,ZCDE+DCM=1SO°,由角平分線的性質得NELS'=g/EOC,NABG=；NABC,

于是NCDE-NABC=2NBFD①,再由角平分線的性質得/CDE+/OCN=180。，NBCN=NABC,以此

MWZCDE=AABC+180°-ZBCD?,結合①②即可得2N8FD+ZBC￡)=180。.

(3)利用(2)中的結論求解即可.

【詳解】(1)如圖，過點C作CM〃/8,

貝I]CM//AB//DE,

NB=NBCM=45°,NCDE+DCM=180°,

ADCM=/BCD-/BCM=110°-45°=65°,

.-.ZCDE'=180°-65°=115°.

(2)2ZF+ZJBCD=180°.理由如下：

如圖，過點歹作R彼〃48,過點C作CN〃/8,

於FM//AB"CN"DE,

ZDFM=NEDF,ZBFM=NABG,

?:DF平分NCDE,BG平分/ABC,

AEDF=-NEDC,ZABG=-ZABC,

22

；.NBFD=ZDFM-ZBFM=g(/CDE-ZABC),

ZCDE-ZABC=2NBFD①,

???ZCDE+ZDCN=180°,NBCN=/ABC,

/.ZCDE+ZDCN+NBCN=180°+ZABC,

ZCDE+/BCD=180°+ZABC,

ZCDE=ZABC+180°-/BCD?,

由①②可得2NBFD=180°-NBCD,即2NBFD+NBCD=180°.

(3)由(2)知，2NBFD+NBCD=18Q°,

■：ZBCD^100°,

故答案為：40°.

壓軸題型二根據平行線的判定與性質探究角的關系

例題：(2024七年級上?全國?專題練習)如圖，已知Z2〃CD,乙4=70。.點尸是射線48上一動點(與

點A不重合)，CE,CF分別平分々CP和/DCP交射線于點￡,F.

(1)求/EC7的度數，若乙4=〃。，請直接用含”的式子表示/EC5；

(2)隨著點尸的運動，設44PC=a,ZAFC=。，a與6之間的數量關系是否改變？若不改變，請求出

此數量關系；若改變，請說明理由；

(3)當N/EC=N/CF時，請直接寫出NZPC的度數.

【答案】(1)55°,Z￡CF=90°-1?°

(2)不改變，恒為a=2/7,理由見解析

(3)44尸。=55。

【知識點】根據平行線的性質探究角的關系、角平分線的有關計算

【分析】本題主要考查了平行線的性質、角平分線的定義的運用等知識點，掌握兩直線平行，內錯角相

等是解題的關鍵.

⑴先根據平行線的性質得出N4CD=120°,再根據CE、CF分別平分N/C尸和NDCP,即可得出ZECF

的度數；同理：當乙4=〃°,用含〃的式子表示/ECF即可；

(2)根據平行線的性質得出4PC=ZPCD=a,ZAFC=ZFCD=0,再根據CF平分/PCD,即可得

到ZPCD=2ZFCD進而得出ZAPC=2ZAFC,進而完成解答；

(3)根據=NAEC=NACF,得出=進而得N/CE=NFCD,根據

//CD=110。，進而求得//PC的度數.

【詳解】(1)-.-AB//CD,ZA=70°,

：.ZA+ZACD=180°,

.?.44。0=180。-70。=110。，

???CE、CF分別平分N4cp和ZDCP,

ZECP=-ZACP,ZPCF=-ZDCP

22

ZECF=NECP+ZPCF=^(ZACP+ZDCP)=|ZACD=55°；

若4=〃。,

■■■AB//CD,44=丸

■.ZA+ZACD=180°,

ZACD=180°-n°,

?:CE、CF分別平分N/CP和/。CP,

ZECP=-ZACP,ZPCF=-ZDCP,

22

ZECF=ZECP+ZPCF=1(N4cp+ZDCP)=^ZACD=90°-^n°；

(2)解：不變.恒為1=24，理由如下:

VAB//CD,

??.ZAFC=/DCF=a,ZAPC=ZDCP=[J,

,；CF平分/DCP,

；,/DCP=2/DCF=2a,

：.a=2/3；

(3)解：???45〃CQ,

/AEC=/ECD,/APC=NDCP,

當N/￡C=NNC尸時，貝ij有/ECQ=/ZCF,

/ACE=/DCF,

APCD=ZPCF+ZDCF=-ZACD=55°,

2

ZAPC=ZPCD=55°.

鞏固訓練

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若NB4E=35。,ZDCE=20°,貝!]Z4EC=；

(2)如圖2,試說明，ZBAE+ZAEC+ZECD=360°；

(3)如圖3,若，A4E的平分線與/DCE的平分線相交于點尸，判斷//EC與乙4FC的數量關系，并說

明理由.

【答案】(1)55。；

(2)見解析;

(3)2NNAC+NNEC=36O。，理由見解析.

【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線的性質探究角的關系、根據平行線判定與性質求角度、根

據平行線判定與性質證明

【分析】本題考查平行線的判定及性質，解題的關鍵是掌握平行線的性質，利用平行線的性質探索角之

間的關系.

(1)過點E作直線MN//AB,利用平行線的性質證明NAEM=NBAE,ZCEM=ZDCE,即可得到

ZAEC=ZBAE+ZDCE=35°+20°=55°；

（2）過點￡作EG〃/15,利用平行線的性質證明/4+/l=180。，ZC+Z2=180°,即可證明

44+/I+/2+/C=360°,即NBAE+ZAEC+ZECD=360°；

（3）由（1）BTZAFC=ZBAF+ZDCF,再證明/8/E+/DCE=244/C,由（2）可知，

NBAE+ZAEC+ZDCE=360°,即可證明2N4FC+ZAEC=360°.

【詳解】（1）解：過點￡作直線MN〃42,

圖1

???AB//CD,

.-.MN//AB//CD,

:.NAEM=Z.BAE,ZCEM=NDCE,

???ZAEC=NAEM+ZCEM,

ZAEC=NBAE+ZDCE=350+20°=55°.

（2）解：如圖所示，過點E作EG〃/5,

AB//CD//EG,

:.ZA+X1=18O°,ZC+Z2=180°,

+Z1+Z2+ZC=360°,

即/BAE+ZAEC+NECD=360°.

（3）解:02ZAFC+AAEC=360°,理由如下:

由（1）可得N4FC=NB4F+NDCF,

?：AF平分NBAE,CF平分/DCE,

：.ZBAE=2/BAF,NDCE=2NDCF,

ZBAE+ZDCE=2NAFC,

由（2）可知，ZBAE+ZAEC+ZDCE=360°,

:.2ZAFC+ZAEC^360°.

2.(23-24七年級下?云南曲靖?期末)如圖1,已知直線E尸與直線4B交于點E,與直線CD交于點尸，FM

平分NEFD交直線于點"，NEFM=NEMF.

(1)試判斷直線與C。的位置關系，并說明理由；

(2)點G是射線加4上的一個動點(不與點E重合)，FH平分NEFG交直線4B于點H,過點a作

HV||J?交直線C。于點N.設ZFHN=a,NFGE=/3.

①如圖2,當點G在點E的左側，且a=58。時，求方的值；

②當點G在運動過程中，a和夕之間有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并加以證明.

【答案】⑴/2〃CD,理由見解析

(2)①尸=64。；②當點G在點E的左側時，夕=180。-2。；當點G在點E的右側時，B=2a

【知識點】角平分線的有關計算、根據平行線的性質探究角的關系、根據平行線判定與性質證明

【分析】本題考查了角平分線的定義、平行線的判定與性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題

的關鍵.

(1)由角平分線的定義結合題意得出=,即可得出結論；

(2)①由角平分線的定義得出NG/0=Z￡7：H,AEFM=ADFM,由平行線的性質得出

NHFM=NFHN=a=58。,從而求出NGED=2/毋河=116。，再由平行線的性質即可得出答案；②分

兩種情況：當點G在點￡的左側時；當點G在點E的右側時；分別求解即可得出答案.

【詳解】(1)解：AB//CD,理由如下：

,:FM平分NEFD,

NEFM=NDFM,

■.ZEFM=NEMF,

：.NEMF=ZDFM,

.■.AB//CD-

(2)解：①?；FH平分NEFG,FM平分NEFD,

ZGFH=ZEFH,AEFM=ADFM,

-HN\\FMfa=58。，

/.AHFM=AFHN=i=58。，

???AHFM=ZHFE+ZEFM=58°,

ZGFD=2ZHFM=116。，

???AB//CD,

???/FGE+/GFD=180。,

：.ZFGE=180°-ZGFD=64°,即4=64。；

?：FH平分4EFG,FM平分NEFD,

ZGFH=ZEFH,NEFM=/DFM,

-HN\\FM,

.?.AHFM=/FHN=a,

???ZHFM=ZHFE+ZEFM=a,

/.ZGFD=2ZHFM=2a,

AB//CD,

??./FGE+/GFD=180。,

??.NFG￡=180°—2。，即尸=180。-2a；

■:FH平分4EFG,FM平分/EFD,

/GFH=ZEFH,ZEFM=ZDFM,

-HN\\FM,

??.AHFM=/FHN=a,

???NHFM=ZHFG+ZGFM=a,

ZGFD=NGFM+AMFD=NGFM+ZEFH+ZHFG+AGFM=2a,

■：AB//CD,

；"FGE=ZGFD=2a,即夕=2c,

綜上所述，當點G在點E的左側時，￡=180。-2"；當點G在點E的右側時，B=2a.

壓軸題型三根據平行線的判定和性質解決三角形旋轉問題

例題：(2025七年級下?全國?專題練習)如圖1,O為直線4B上一點，過點。在直線42的上方作射線

OC,使乙40c=60。.將一塊直角三角板的直角頂點放在點。處，一邊在射線02上，另一邊ON在

直線的下方

C

N

0B

M

圖1圖2圖3

(1)將圖1中的三角板繞點。順時針旋轉至圖2,使一邊。河在28OC的內部，且恰好平分23OC,求

ZCON的度數;

(2)將圖1中的三角板繞點。按每秒10。的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第S時,

邊恰好與射線0C平行；第s時，直線ON恰好平分銳角ZAOC-,

(3)將圖1中的三角板繞點。順時針旋轉至圖3,使ON在。的內部，請探究與NNOC之間

的數量關系，并說明理由.

【答案】(1)150。；

(2)9或27,12或30；

(3)ZAOM-ZNOC=30°,見解析.

【知識點】根據平行線的性質求角的度數、角平分線的有關計算、幾何圖形中角度計算問題

【分析】本題考查了旋轉的性質，角平分線的定義，平行線的性質,

(1)根據鄰補角的定義求出/BOC=120。，再根據角平分線的定義求出/COM,然后根據

ZCON=NCOM+90°解答即可;

(2)分別分情況根據平行線的性質和旋轉的性質求出旋轉角，然后除以旋轉速度即可得解;

(3)用和NCON表示出乙4ON,然后列出方程整理即可得解;

讀懂題目信息并熟練掌握各性質是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：???//OC=60。，

r./80C=120°,

又?.?（W平分/8OC,

ZCOM=-ZBOC=60°,

2

ZCON=ZCOM+90°=150°；

（2）解：:/OMN=30。,

■：ZAOC=60°,ZONM=60°,

???當CW在直線上時，MN//OC,此時旋轉角為90。或