元二次方程之應用篇(優質類型)

【類型覆蓋】

類型一、數字應用

【解惑】一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4,且個位數字與十位數字的平方和比這兩位數小

4,設個位數字為X,則方程為()

A./+(x-4)-=10(x-4)+x-4B.x2+(x+4)'=10x+%-4-4

C.x2+(x+4)2=10(x+4)+x-4D.x2+(x+4)2=10x+(x-4)-4

【融會貫通】

1.有一個兩位數，個位上數字和十位上數字之和為6,這個兩位數是這個兩位數的個位上數字與十位上數

字之積的3倍，則這個兩位數為()

A.24B.15C.24或15D.42或51

1

2.一個兩位數，個位數字比十位數字大2,十位數字2倍的平方恰好等于個位數字與十位數字互換位置的

新數，則這個兩位數為.

3.已知實數。、6滿足（2/+/+i）（2/+/_］）=go,試求2a2卡片的值.

解：設2a2+〃=機，則原方程可化為（加+1）（加-1）=80,即療=81,

解得：m=+9,

■-2a2+b2>0,

■■-2a2+b2=9,

上面的這種方法稱為"換元法"，換元法是數學學習中最常用的一種思想方法，在結構較復雜的數和式的運算

中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜問題簡單化.

根據以上閱讀材料，解決下列問題：

⑴已知實數X、>滿足（2/+2/-1）（》2+/）=3,求3x2+3/一2的值；

（2）若四個連續正整數的積為120,求這四個正整數.

類型二、增長率應用

【解惑】在"雙減政策”的推動下，某中學學生每天書面作業時長明顯減少.2022年上學期每天書面作業平

均時長為lOOmin,經過2022年下學期和2023年上學期兩次調整后，2023年上學期平均每天書面作業時長

比2022年上學期減少了36%.假設下學期與上學期天數一樣.設該校平均每天作業時長每學期的下降率均

為x,則可列方程為（）

A.100（1）2=36B.64（l+x）2=100

C.100（1-x）2=64D.100（1-X2）=64

【融會貫通】

2

1.某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由188元降為108元，已知兩次降價的百分率相同，設每次降價的百

分率為X,根據題意列方程得()

A.188（l+x）2=108B.188（l-x）2=108

C.108（l-x）2=188D.188（1-X2）=108

2.菜農李偉種植的某蔬菜計劃以每千克5元的單價對外批發銷售，由于部分菜農盲目擴大種植，造成蔬菜

滯銷，李偉為了加快銷售，減少損失，對價格進行兩次下調后，以每千克3.2元的單價對外批發銷售.平均

每次下調的百分率是.

3.隨著旅游旺季的到來，貴州某景區游客人數逐月增加，6月份游客人數為1.6萬人，8月份游客人數為

2.5萬人.

⑴求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；

⑵預計9月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率.已知該景區9月1

日至9月21日已接待游客2.225萬人，則9月份后9天日均接待游客人數最多是多少萬人？

類型三、傳播應用

【解惑】進入12月份來，甲型流感頻發.某校有1名學生感染了甲型流感病毒，經過兩輪傳染后，一共有

81人感染了此病毒.設每輪傳染中一人可以傳染x個人，則所列方程是()

A.1+X+%(%+1)=81B.l+(l+x)+x(x+l)=81

C.1+x+x2=81D.x(x+l)=81

【融會貫通】

1.有一個人患了流行性感冒，經過兩輪傳染后，共有196人患流行性感冒，則每輪傳染中平均一人傳染的

人數是()

A.14B.13C.12D.11

2.新冠病毒主要是經呼吸道飛沫傳播的，在無防護下傳播速度很快，已知有1個人患了新冠，經過兩輪傳

染后共有196個人患了新冠，每輪傳染中平均一個人傳染“人，則加的值為.

3

3.春季流感爆發，有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有81人患了流感.

⑴每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

(2)經過三輪傳染后共有多少人患了流感？

類型四、行程應用

【解惑】《九章算術》中有一題："今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙東行，甲南行十步而斜東北與

乙會.問甲行幾何.”大意是說：已知甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲的速度為7,乙的速度為3.乙一

直往東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時甲走了多遠()

A.10.5步B.16.5步C.24.5步D.25.5步

【融會貫通】

1.《九章算術》中有一題："今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，

問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為6,乙的速度為4,乙一直向

東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？"請問乙走的步

數是()

A.36B.26C.24D.10

2.甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為每秒1.5米，乙的速度為每秒1米，乙一直向東走，甲先

向南走10米，后又朝北偏東某個方向走了一段后與乙相遇，則乙走了米.

3.運動創造美好生活！一天小美和小麗相約一起去沿河步道跑步.若兩人同時從/地出發，勻速跑向距離

9000米處的B地，小美的跑步速度是小麗跑步速度的1.2倍，那么小美比小麗早5分鐘到達3地.

(1)求小美每分鐘跑多少米？

4

（2）若從/地到達8地后，小美以跑步形式繼續前進到C地.從小美跑步開始，前20分鐘內，平均每分鐘

消耗熱量15卡，超過20分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡，在整個鍛煉過程

中，小美共消耗1650卡的熱量，小美從N地到C地鍛煉共用多少分鐘.

類型五、工程應用

【解惑】城開高速公路即重慶市城口縣至開州區的高速公路，是國家高速G69銀百高速公路（銀川至百色）

的一段，線路全長129.3公里，甲、乙兩工程隊共同承建該高速公路某隧道工程，隧道總長2100米，甲、

乙分別從隧道兩端向中間施工，計劃每天各施工6米.因地質結構不同，兩支隊伍每合格完成1米隧道施

工所需成本不一樣.甲每合格完成1米隧道施工成本為8萬元；乙每合格完成1米隧道施工成本為9萬元.

3

⑴若工程結算時乙總施工成本不低于甲總施工成本的'，求甲最多施工多少米？

⑵實際施工開始后地質情況比預估更復雜，甲乙兩隊每日完成量和成本都發生變化.甲每合格完成1米隧

道施工成本增加加萬元時，則每天可多挖羨米，乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天少挖/米，若最

終每天實際總成本比計劃多（9加-2）萬元，求％的值.

【融會貫通】

1.某工程隊采用8兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造.原計劃/型設備每小時鋪設路

面比3型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務.

5

(1)求/型設備每小時鋪設的路面長度；

(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米.在實際施工中，2型設備在鋪路效率不

變的情況下，時間比原計劃增加了(加+25)小時，同時，/型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3加米,

而使用時間增加了m小時，求m的值.

2.甲、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計劃32小時完成.甲工程隊每小時修

路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務.

⑴求甲工程隊每小時修的路面長度；

(2)通過勘察，地下發現大型溶洞，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實際施工中，

乙工程隊修路效率保持不變的情況下，時間比原計劃增加了("+25)小時；甲工程隊的修路速度比原計劃每

小時下降了3加米，而修路時間比原計劃增加m小時，求m的值.

3.2022年暑期，我區遭遇連續高溫和干旱，一居民小區的部分綠化樹枯死.小區物業管理公司決定補種綠

化樹，計劃購買小葉榕和香樟共50棵進行栽種.其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經測算，購

買兩種樹共需38800元.

6

⑴原計劃購買小葉榕、香樟各多少棵？

（2）實際購買時，經物業管理公司與商家協商，每棵小葉榕和香樟的售價均下降10加元（機《10））,且兩種樹

的售價每降低10元，物業管理公司將在原計劃的基礎上多購買小葉榕2棵，香樟1棵.物業管理公司實際

購買的費用比原計劃多3600元，求物業管理公司實際購買兩種樹共多少棵？

類型六、圖形應用

【解惑】列一元二次方程解決實際問題：如圖，某校計劃在寬為20m,長為32m的矩形地面上修筑同樣寬

的道路（圖中陰影部分），余下的部分種上草坪.若要使草坪的面積為540m，求道路寬的長度.

20

v

【融會貫通】

1.如圖所示.在寬為20m,長為32m的矩形草坪上，修筑同樣寬的三條路（互相垂直），把草坪分成大小

不等的六塊區域，要使草坪的面積為570m2,道路的寬為多少m?

7

2.如圖，某旅游景點要在長、寬分別為12米、10米的矩形水池內部建一個與矩形的邊互相平行的正方形

觀賞亭，觀賞亭的四邊連接四條與矩形的邊互相平行的且寬度相等的道路，已知道路的寬為正方形邊長的!

（每條道路的一側均與正方形觀賞亭的一邊在同一直線上），若道路與觀賞亭的面積之和是矩形水池面積的

三13，求道路的寬度.

3.綜合實踐一一用矩形硬紙片制作無蓋紙盒.如圖1,有一張長30cm,寬16cm的長方形硬紙片，裁去角

上同樣大小的四個小正方形之后，折成圖2所示的無蓋紙盒.（硬紙片厚度忽略不計）

8

⑴若剪去的正方形的邊長為2cm,則紙盒底面長方形的長為cm,寬為cm；

(2)若紙盒的底面積為240cm2，請計算剪去的正方形的邊長；

⑶如圖3,小明先在原矩形硬紙片的兩個角各剪去一個同樣大小的正方形(陰影部分)，經過思考他發現,

再剪去兩個同樣大小的矩形后，可將剩余部分折成一個有蓋紙盒.若折成的有蓋長方體紙盒的表面積為

412cm2,請計算剪去的正方形的邊長.

類型七、營銷應用

【解惑】某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤120元.天氣漸熱，為了擴大銷售，增

加利潤，超市準備適當降價.據測算，若每箱飲料每降價1元，每天可多售出2箱.針對這種飲料的銷售

情況，請問在要求每箱飲料獲利大于80元的情況下，要使每天銷售飲料獲利14400元，問每箱應降價多少

元？

【融會貫通】

1.平安路上，多"盔"有你，在"交通安全宣傳月”期間，某商店銷售一批普通頭盔，進價為每頂40元，售價

9

為每頂68元，平均每周可售出100頂.商店計劃將該種普通頭盔降價銷售，每頂售價不高于58元，經調

查發現：每降價2元，平均每周可多售出40頂.

⑴若該商店希望平均每周獲利4000元，則每頂普通頭盔應降價多少？

（2）隨著夏季的到來，該商店計劃另購進一批具有防曬功能的頭盔，進價為80元/頂，兩種頭盔共200頂（兩

種都有），其中普通頭盔的個數不低于防曬頭盔個數的2倍.若普通頭盔的售價為降價后的價格，防曬頭盔

的售價為110元/頂，兩種型號頭盔全部售完時獲得的利潤為少元，該商店應如何進貨才能獲得最大利潤,

最大利潤是多少元？

2.成都"蒲江卿猴桃”是維C含量特別高的紅心狒猴桃，營養豐富，老少皆宜，某種植基地2020年開始種植

"舜猴桃”200畝，該基地這兩年"卿猴桃”種植面積的平均年增長率為50%.

⑴求到2022年“舜猴桃”的種植面積達到多少畝？

⑵市場調查發現，當"獅猴桃”的售價為20元/千克時，每天能售出200千克，售價每降價2元，每天可多售

出80千克.

①若降價x（04x420）元，每天能售出多少千克？（用x的代數式表示）

②為了推廣宣傳，基地決定降價促銷，同時盡量減少庫存，已知該基地“掾猴桃”的平均成本價為10元/千克,

若要銷售“舜猴桃”每天獲利2160元，則售價應降低多少元？

3.大運會期間，某網店直接從工廠購進8兩款紀念幣，進貨價和銷售價如表所示：（注：利潤=銷售價-

進貨價）

10

類別

A款紀念幣B款紀念幣

價格

進貨價（元/枚）1520

銷售價（元/枚）2532

⑴網店第一次用580元購進aB兩款紀念幣共32枚，求兩款紀念幣分別購進的枚數；

（2）第一次購進的48兩款紀念幣售完后，該網店計劃再次購進這兩款紀念幣共80枚（進貨價和銷售價都

不變）；且進貨總價不高于1350元.應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多

少？

⑶大運會臨近結束時，網店打算把/款紀念幣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售出6枚，經調

查發現，每枚/款紀念幣每降價1元，平均每天可多售出2枚，將銷售價定為每枚多少元時，才能使/款

紀念幣平均每天銷售利潤為84元？

類型八、動態幾何應用

【解惑】如圖B,C,。為矩形的四個頂點，AB=16cm,AD=6cm,動點尸，。分別從點，，C同時

11

出發，點尸以3cm/s的速度向點3移動，一直到達8點為止，點。以2cm/s的速度向。點移動，當點尸

到達B點時點Q隨之停止運動.

WAP=_,BP=_,CQ=_,。。=_(用含/的代數式表示);

⑵/為多少時，四邊形PBC。的面積為33cm2；

(3%為多少時，點P和點0的距離為10cm.

【融會貫通】

1.如圖，在四邊形48c。中，AB//CD,ZD=9Q°,AB=14cm,CD=25cm,NO=5cm,點P從點A出

發，以Icm/s的速度向點8運動；點0從點C同時出發，以2cm/s的速度向點。運動.規定其中一個動點先

到達端點停止時，另一個動點也隨之停止運動，運動時間記為今.

(2)當尸。=13cm時，求/的值.

2.如圖，RM/BC中，zC=90°,AC=6cm,5C=8cm,點尸從3點出發以每秒1cm的速度向C點運動,

同時。從C點出發以相同的速度向/點運動，當其中一個點到達目的地時另一點自動停止運動，設運動時

12

間為*s)

⑴用含f的代數式表示CP、C。的長，并直接寫出/的取值范圍;

(2)多長時間后KPQ的面積為6cm2?

⑶多長時間后尸點、。點的距離為5立？

3.如圖，在矩形48。中，48=5cm,8c=6cm,點尸從點A開始沿邊向終點8以1cm/s的速度移動,

與此同時，點0從點2開始沿邊2C向終點C以2cm/s的速度移動.如果P,。分別從48同時出發，當點。

13

運動到點CW；兩點停止運動，設運動時間為/秒.(。＜，＜3)

(1)當t為何值時，點3在尸。的垂直平分線上？

(2)當t為何值時，的長度等于5cm?

⑶連接PC,是否存在/的值，使得△尸。C的面積等于8cm淚若存在，請求出此時/的值；若不存在，請說

明理由.

⑷是否存在/的值，使得△BP。的面積與五邊形么尸。。的面積之比等于2:13?若存在，請求出此時/的值;

若不存在，請說明理由.

【一覽眾山小】

14

1.如圖，在一塊長92m、寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成面均為885m?

的6個矩形小塊，水渠應挖多寬？設水渠應挖xm寬，根據題意，可列方程（）

A.（92-2x）（60-x）=885x6B.（92-2x）（60+x）=885x6

C.（92+2x）（60-x）=885x6D.（92+2x）（60+x）=885x6

2.如圖，在Rt/X48C中，ZABC=90°,AB=8cm,5C=6cm,點尸沿48邊從點A出發向終點8以Icm/s

的速度移動；同時點。沿3c邊從點B出發向終點C以2cm/s的速度移動，當其中一點到達終點時，另一點

也隨之停止移動.當△尸3。的面積為12cm2時，點尸運動的時間是（）

A.2sB.2s或6sC.6sD.6s或8s

3.我國古代數學著作《增減算法統宗》記載"圓中方形"問題："今有圓田一段，中間有個方池.丈量田地待

耕犁，恰好三分在記，池面至周有數，每邊三步無疑.內方圓徑若能知，堪作算中第一其大意思為：有

一塊正方形水池，測量出除水池外圓內可耕地的面積恰好是81平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠,

如圖，設正方形的邊長是x步，則列出的方程是（）

X

A.j+6-x2=81B.TT(X+6)2-X2=81

乃2

C.乃(x+3)2-/=81