9.2用樣本估計總體9.2.1總體取值規律的估計第1課時總體取值規律的估計【學習目標】1.掌握頻率分布表的作法以及頻率分布直方圖的畫法.2.掌握用頻率分布直方圖估計總體.【素養達成】數據分析數學運算一、頻率分布直方圖的相關概念1.從頻數到頻率(1)頻率表示頻數與總數的比值.(2)頻率反映了相對總數而言的相對強度,其所攜帶的總體信息遠超過頻數.在實際問題中,如果總體容量比較小,頻數也可以較客觀地反映總體分布;當總體容量較大時,頻率就更能客觀地反映總體分布.2.頻率分布直方圖(1)定義:頻率分布直方圖中每個小長方形的底邊長是該組的組距,每個小長方形的高是該組的頻率與組距的比,從而每個小長方形的面積等于該組的頻率,即每個小長方形的面積=組距×頻率組距=頻率.我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖(2)頻率分布直方圖與頻率的關系頻率分布直方圖以面積的形式反映了數據落在各個小組的頻率的大小.(3)頻率分布直方圖的優點①能清楚直觀地顯示各組頻率分布情況及各組頻率之間的差別.②當考慮數據落在若干個組內的頻率之和時,可以用相應長方形面積之和來表示.二、頻率分布直方圖的繪制步驟【教材深化】組距的選擇應力求“取整”,如果極差不利于分組(如不能被組數整除),可適當增大極差,如在左、右兩端各增加適當范圍(盡量使兩端增加的量相同).三、總體取值規律的估計1.從頻率分布表可以看出,樣本觀測數據落在各個小組的比例大小.2.從頻率分布直方圖可以看出,樣本的觀測數據分布對稱情況、左右高低情況、數據集中情況、從左到右的變化趨勢等.【教材深化】總體分布指的是總體取值的頻率分布規律,由于總體分布不易知道,因此我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布.【明辨是非】(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個體數.(×)提示:頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率.(2)頻率分布直方圖中所有小長方形面積之和可以大于1.(×)提示:頻率分布直方圖中所有小長方形面積之和等于1.(3)樣本量越大,用樣本的頻率分布去估計總體的頻率分布就越準確.(√)類型一頻率分布直方圖的繪制(數據分析)【典例1】從某校高三學生中抽取50名參加數學競賽,成績分組(單位:分)及各組的頻數如下:[40,50),2;[50,60),3;[60,70),10;[70,80),15;[80,90),12;[90,100],8.(1)列出樣本的頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)估計成績在[60,90)的學生比例.【解析】(1)頻率分布表如圖:成績分組頻數頻率頻率/組距[40,50)20.040.004[50,60)30.060.006[60,70)100.20.02[70,80)150.30.03[80,90)120.240.024[90,100]80.160.016合計501.000.1(2)頻率分布直方圖如圖所示.(3)學生成績在[60,90)的頻率為0.2+0.3+0.24=0.74=74%,所以估計成績在[60,90)的學生比例為74%.【備選例題】為了解九年級學生中女生的身高(單位:cm)情況,某中學對九年級部分女生身高進行了一次測量,所得數據整理后列出頻率分布表如表.分組頻數頻率[145.5,149.5)10.02[149.5,153.5)40.08[153.5,157.5)200.40[157.5,161.5)150.30[161.5,165.5)80.16[165.5,169.5]mn合計MN(1)求出表中m,n,M,N的值;(2)畫出頻率分布直方圖;(3)全體女生中身高在哪組范圍內的人數最多?估計九年級學生中女生的身高在161.5cm及以上的頻率.【解析】(1)方法一N=1.00,n=1(0.02+0.08+0.40+0.30+0.16)=0.04,m0.04解得m=2,M=1+4+20+15+8+2=50.方法二M=10.02=50,m=50(1+4+20+15+8)=2,N=1.00,n=mM=2(2)畫出頻率分布直方圖,如圖所示.(3)由頻率分布直方圖可知,樣本中身高在[153.5,157.5)范圍內的人數最多,且身高在161.5cm及以上的頻率為0.16+0.04=0.20,由此可估計全體女生中身高在[153.5,157.5)范圍內的人數最多,九年級學生中女生的身高在161.5cm及以上的頻率約為0.20.【總結升華】在繪制出頻率分布表以后,畫頻率分布直方圖的關鍵就是確定小長方形的高.一般地,頻率分布直方圖中兩坐標軸上的單位長度是不一致的,合理的定高方法是“以一個恰當的單位長度”(沒有統一規定),然后以各組的“頻率組距”所占的比例來定高【即學即練】為了解學校高一年級男生的身高情況,選取一個容量為60的樣本(60名男生的身高),分組情況如下(單位:cm):分組[147.5,155.5)[155.5,163.5)[163.5,171.5)[171.5,179.5]頻數62127m頻率a0.1(1)求出表中a,m的值;(2)畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)依題意得6+21+27+m=60,則m=6,a=2760=0.45(2)根據頻率分布表,可求第一組、第二組的頻率分別為660=0.1,2160=0.畫出頻率分布直方圖如圖所示.【補償訓練】某中學從高一年級隨機抽取50名學生進行智力測驗,其得分如下(單位:分):4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根據上面的數據,回答下列問題:(1)這次測驗成績的最高分和最低分分別是多少?(2)將區間[30,100]平均分成7個小區間,試列出這50名學生智力測驗成績的頻率分布表,進而畫出頻率分布直方圖.【解析】(1)這次測驗成績的最低分是32分,最高分是97分.(2)根據題意,列出樣本的頻率分布表如表:分組頻數頻率[30,40)10.02[40,50)60.12[50,60)120.24[60,70)140.28[70,80)90.18[80,90)60.12[90,100]20.04合計501.00頻率分布直方圖如圖所示.類型二頻率分布直方圖的相關計算與應用(數據分析)【典例2】志愿者的服務工作對亞運會的舉辦十分重要.某高校承辦了杭州志愿者選拔的面試工作.現隨機抽取了100名候選者的面試成績,并分成五組:第一組[45,55),第二組[55,65),第三組[65,75),第四組[75,85),第五組[85,95],繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.已知第三、四、五組的頻率之和為0.7,第一組和第五組的頻率相同.(1)求a,b的值;(2)根據組委會要求,本次志愿者選拔錄取率為19%,請估算被錄取至少需要多少分.【解析】(1)因為第三、四、五組的頻率之和為0.7,所以(0.045+0.020+a)×10=0.7,解得a=0.005.由題意可知,(0.005×2+b+0.045+0.020)×10=1,解得b=0.025.(2)由頻率分布直方圖得[45,55),[55,65),[65,75),[75,85)的頻率分別為0.05,0.25,0.45,0.2,因為0.05+0.25+0.45=0.75<0.81,0.05+0.25+0.45+0.2=0.95>0.81,所以錄取分數應該落在第四組,設錄取分數為x,則0.75+0.02·(x75)=0.81,解得x=78,所以被錄取至少需要78分.【總結升華】頻率分布直方圖的性質(1)因為小長方形的面積=組距×頻率組距=頻率,所以各小長方形的面積表示相應各組的頻率.這樣,頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小(2)頻數相應的頻率=樣本容量(3)頻率分布直方圖反映了樣本在各個范圍內取值的可能性,由抽樣的代表性利用樣本在某一范圍內的頻率,可近似地估計總體在這一范圍內的可能性.【即學即練】(2024·亳州高一期末)如圖所示為某企業員工年齡(歲)的頻率分布直