專題15四邊形課標要求考點考向①了解多邊形的概念及多邊形的頂點、邊、內(nèi)角、外角與對角線;探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式。②理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它們之間的關(guān)系;了解四邊形的不穩(wěn)定性。③探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理:平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。探索并證明平行四邊形的判定定理:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。④探究并證明三角形中位線定理。⑤探索并證明矩形、菱形的性質(zhì)定理:矩形的四個角都是直角，對角線相等;菱形的四條邊相等，對角線互相垂直。探索并證明矩形、菱形的判定定理:三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形;四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之間的包含關(guān)系。多邊形及其內(nèi)角和考向一多邊形的內(nèi)角和考向二多邊形的外角和平行四邊形考向一平行四邊形的性質(zhì)考向二平行四邊形的判定考向三平行四邊形的性質(zhì)好判定綜合考向四三角形的中位線特殊的平行四邊形考向一矩形考向二菱形考向三正方形考點一多邊形及其內(nèi)角和?考向一多邊形的內(nèi)角和1．（2024·河北·中考真題）直線l與正六邊形的邊分別相交于點M，N，如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，正多邊形的每個內(nèi)角，鄰補角，熟練掌握知識點是解決本題的關(guān)鍵．先求出正六邊形的每個內(nèi)角為，再根據(jù)六邊形的內(nèi)角和為即可求解的度數(shù)，最后根據(jù)鄰補角的意義即可求解．【詳解】解：正六邊形每個內(nèi)角為：，而六邊形的內(nèi)角和也為，∴，∴，∵，∴，故選：B．2．（2024·云南·中考真題）一個七邊形的內(nèi)角和等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查多邊形的內(nèi)角和，根據(jù)邊形的內(nèi)角和為求解，即可解題．【詳解】解：一個七邊形的內(nèi)角和等于，故選：B．3．（2024·吉林長春·中考真題）在剪紙活動中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個正五邊形，其中正五邊形的一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角與外角，正多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和公式和鄰補角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：，故選：D．4．（2024·山東青島·中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形和正方形中，，的延長線分別交，于點M，N，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是正多邊形內(nèi)角和問題，熟記正多邊形的內(nèi)角的計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正五邊形的內(nèi)角的計算方法求出、，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出、，根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于計算即可．【詳解】解：∵五邊形是正五邊形，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，故選：B．5．（2024·山西·中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，其中，則這個五邊形的內(nèi)角的度數(shù)為．【答案】116【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．先求出五邊形的內(nèi)角和，即可求解．【詳解】解：五邊形內(nèi)角和為：，∴，∵，∴，故答案為：116．?考向二多邊形的外角和6．（2024·西藏·中考真題）已知正多邊形的一個外角為，則這個正多邊形的內(nèi)角和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角，先求出正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算即可得解，根據(jù)多邊形的外角求出邊數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正多邊形的一個外角為，∴正多邊形的邊數(shù)為，∴這個正多邊形的內(nèi)角和為，故選：B．7．（2024·山東·中考真題）如圖，已知，，是正邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以為邊在該正邊形的外部作正方形．若，則的值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】A【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角和，先求解正多邊形的1個內(nèi)角度數(shù)，得到正多邊形的1個外角度數(shù)，再結(jié)合外角和可得答案.【詳解】解：∵正方形，∴，∵，∴，∴正邊形的一個外角為，∴的值為；故選A8．（2024·湖南·中考真題）下列命題中，正確的是（

）A．兩點之間，線段最短 B．菱形的對角線相等C．正五邊形的外角和為 D．直角三角形是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題考查了命題與定理的知識，多邊形外角性質(zhì)，菱形性質(zhì)及軸對稱圖形的特點，解題的關(guān)鍵是掌握這些基礎(chǔ)知識點．【詳解】解：A、兩點之間，線段最短，正確，是真命題，符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，不一定相等，選項錯誤，是假命題，不符合題意；C、正五邊形的外角和為，選項錯誤，是假命題，不符合題意；D、直角三角形不一定是軸對稱圖形，只有等腰直角三角形是軸對稱圖形，選項錯誤，是假命題，不符合題意；故選：A．9．（2024·青海·中考真題）正十邊形一個外角的度數(shù)是．【答案】/36度【分析】本題考查正多邊形的外角．根據(jù)正n多邊形的外角公式求解即可．【詳解】解：正十邊形的一個外角的大小是，故答案為：．10．（2010·江蘇徐州·中考真題）若正多邊形的一個外角是45°，則該正多邊形的邊數(shù)是.【答案】8【分析】根據(jù)多邊形外角和是360度，正多邊形的各個內(nèi)角相等，各個外角也相等，直接用可求得邊數(shù)．【詳解】解：多邊形外角和是360度，正多邊形的一個外角是，即該正多邊形的邊數(shù)是8，故答案為：8．【點睛】本題主要考查了多邊形外角和以及多邊形的邊數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握正多邊形的各個內(nèi)角相等，各個外角也相等．考點二平行四邊形?考向一平行四邊形的性質(zhì)11．（2024·海南·中考真題）如圖，在中，，以點D為圓心作弧，交于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，若，則四邊形的周長是（

）

A．22 B．21 C．20 D．18【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．利用勾股定理求得的長，再證明，作于點，求得，利用，求得，再利用勾股定理求得，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，，∴，由作圖知，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，作于點，

則，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴四邊形的周長是，故選：A．12．（2024·貴州·中考真題）如圖，的對角線與BD相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，掌握平行四邊形的對邊平行且相等，對角線互相平分是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是平行四邊形，∴，故選B．13．（2024·河南·中考真題）如圖，在中，對角線，相交于點O，點E為的中點，交于點F．若，則的長為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用平行四邊形的性質(zhì)、線段中點定義可得出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解∶∵四邊形是平行四邊形，∴，∵點E為的中點，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選：B．14．（2024·山東·中考真題）如圖，點為的對角線上一點，，，連接并延長至點，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．解法一：延長和，交于點，先證，得到，再證，得到，即可求得結(jié)果；解法二：作交于點H，證明出，得到，，然后證明出四邊形是平行四邊形，得到．【詳解】解：解法一：延長和，交于點，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．解法二：作交于點H∴，，又∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故選：B．15．（2024·浙江·中考真題）如圖，在中，相交于點O，．過點A作的垂線交于點E，記長為x，長為y．當x，y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，過點D作交的延長線于點F，證明，得到，由勾股定理可得，，，則，整理后即可得到答案．【詳解】解：過點D作交的延長線于點F，∵的垂線交于點E，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴∴，由勾股定理可得，，，∴，∴∴即，解得，∴當x，y的值發(fā)生變化時，代數(shù)式的值不變的是，故選：C?考向二平行四邊形的判定16．（2024·廣西·中考真題）如圖，兩張寬度均為的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為，則重合部分構(gòu)成的四邊形的周長為．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的周長，過點作于，于，由題意易得四邊形是平行四邊形，進而由平行四邊形的面積可得，即可得到四邊形是菱形，再解可得，即可求解，得出四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作于，于，則，∵兩張紙條的對邊平行，∴，，∴四邊形是平行四邊形，又∵兩張紙條的寬度相等，∴，∵，∴，∴四邊形是菱形，在中，，，∴，∴四邊形的周長為，故答案為：．17．（2024·河北·中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習(xí)題及解答過程：已知：如圖，中，，平分的外角，點是的中點，連接并延長交于點，連接．求證：四邊形是平行四邊形．證明：∵，∴．∵，，，∴①______．又∵，，∴（②______）．∴．∴四邊形是平行四邊形．若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】本題考查平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義可得，證明，得到，再結(jié)合中點的定義得出，即可得證．解題的關(guān)鍵是掌握：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：∵，∴．∵，，，∴①．又∵，，∴（②）．∴．∴四邊形是平行四邊形．故選：D．18．（2024·四川樂山·中考真題）下列條件中，不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理分別進行分析即可．【詳解】解：A、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；B、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；C、∵，∴四邊形是平行四邊形，故此選項不合題意；D、∵，不能得出四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知平行四邊形的判定定理．19．（2024·湖南·中考真題）如圖，在四邊形中，，點E在邊上，．請從“①；②，”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上（填序號），再解決下列問題：(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，，，求線段的長．【答案】(1)①或②，證明見解析；(2)6【分析】題目主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形，理解題意，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）選擇①或②，利用平行四邊形的判定證明即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，再由勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：選擇①，證明：∵，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；選擇②，證明：∵，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形；（2）解：由（1）得，∵，，∴．?考向三平行四邊形的性質(zhì)好判定綜合20．（2024·浙江·中考真題）如圖，在正方形中，分別是邊上的點，且分別在邊上，且與交于點O，記，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，過點作交于點，作交于點，延長、交于點，過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而得出，設(shè)，則，證明四邊形是平行四邊形，得出，在中，勾股定理算出，得出，證明，得出，根據(jù)，得出，在中，列方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點作交于點，作交于點，延長、交于點，過點作，∴，∴，設(shè)，則，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴在中，，∴，即，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴解得：或，當時，，∴，∴．故選：D．【點睛】該題主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，解一元二次方程等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點，正確做出輔助線．21．（2024·遼寧·中考真題）如圖，的對角線，相交于點，，，若，，則四邊形的周長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．16【答案】C【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．由四邊形是平行四邊形得到，，再證明四邊形是平行四邊形，則，即可求解周長．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴周長為：，故選：C．22．（2024·新疆·中考真題）如圖，拋物線與y軸交于點A，與x軸交于點B，線段CD在拋物線的對稱軸上移動（點C在點D下方），且．當?shù)闹底钚r，點C的坐標為．

【答案】【分析】在y軸上取點，證明四邊形是平行四邊形，得出，利用拋物線的對稱性得出，則，當E、C、F三點共線時，最小，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把代入，即可求出C的坐標．【詳解】解：，∴對稱軸為，如圖，設(shè)拋物線與x軸另一個交點為F，

當時，，∴，當時，，解得，，∴，，在y軸上取點，連接，，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵拋物線對稱軸為，∴，∴，當E、C、F三點共線時，最小，設(shè)直線解析式為，∴，解得，∴，當時，，∴當最小時，C的坐標為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩點之間線段最短等知識，明確題意，添加合適輔助線，構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．23．（2024·浙江·中考真題）尺規(guī)作圖問題：如圖1，點E是邊上一點（不包含A，D），連接．用尺規(guī)作，F(xiàn)是邊上一點．小明：如圖2．以C為圓心，長為半徑作弧，交于點F，連接，則．小麗：以點A為圓心，長為半徑作弧，交于點F，連接，則．小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦……我明白了！(1)證明；(2)指出小麗作法中存在的問題．【答案】(1)見詳解(2)以點A為圓心，長為半徑作弧，與可能有兩個交點，故存在問題【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，（1）根據(jù)小明的作圖方法證明即可；（2）以點A為圓心，長為半徑作弧，與可能有兩個交點，據(jù)此作答即可．【詳解】（1）∵，∴，又根據(jù)作圖可知：，∴四邊形是平行四邊形，∴；（2）原因：以點A為圓心，長為半徑作弧，與可能有兩個交點，故無法確定F的位置，故小麗的作法存在問題．?考向四三角形的中位線24．（2024·湖南·中考真題）如圖，在中，點分別為邊的中點．下列結(jié)論中，錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，由三角形中位線性質(zhì)可判斷；由相似三角形的判定和性質(zhì)可判斷，掌握三角形中位線的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點分別為邊的中點，∴，，故正確；∵，∴，故正確；∵，∴，∴，故錯誤；故選：．25．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在外取一點C，然后步測出的中點D，E，并步測出的長約為，由此估測A，B之間的距離約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形的中位線的實際應(yīng)用，由題意，易得為的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵點D，E，分別為的中點，∴為的中位線，∴；故選：C．26．（2024·浙江·中考真題）如圖，D，E分別是邊，的中點，連接，．若，則的長為

【答案】4【分析】本題主要考查三角形中位線定理和等腰三角形的判定，由三角形中位線定理得得出得出【詳解】解：∵D，E分別是邊，的中點，∴是的中位線，∴∴∵∴∴故答案為：427．（2024·天津·中考真題）如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，點在的延長線上，，連接．（1）線段的長為；（2）若為的中點，則線段的長為．【答案】2/【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，中位線定理，正確添加輔助線、熟練運用中位線定理是解題的關(guān)鍵；（1）運用正方形性質(zhì)對角線互相平分、相等且垂直，即可求解，（2）作輔助線，構(gòu)造中位線求解即可．【詳解】（1）四邊形是正方形，，在中，，，，；（2）延長到點，使，連接由點向作垂線，垂足為∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，在中，，，在中，，為的中位線，；故答案為：2；.28．（2024·青海·中考真題）綜合與實踐順次連接任意一個四邊形的中點得到一個新四邊形，我們稱這個新四邊形為原四邊形的中點四邊形．數(shù)學(xué)興趣小組通過作圖、測量，猜想：原四邊形的對角線對中點四邊形的形狀有著決定性作用．以下從對角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個方面展開探究．【探究一】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形如圖1，在四邊形中，E、F、G、H分別是各邊的中點．求證：中點四邊形EFGH是平行四邊形．證明：∵E、F、G、H分別是AB、、CD、的中點，∴、分別是和的中位線，∴，（____①____）∴．同理可得：．∴中點四邊形EFGH是平行四邊形．結(jié)論：任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形．（1）請你補全上述過程中的證明依據(jù)①________【探究二】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形菱形從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅰ：原四邊形的對角線相等時，中點四邊形是菱形．（2）下面我們結(jié)合圖2來證明猜想Ⅰ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【探究三】原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀不相等、不垂直平行四邊形②________（3）從作圖、測量結(jié)果得出猜想Ⅱ：原四邊形對角線垂直時，中點四邊形是②________．（4）下面我們結(jié)合圖3來證明猜想Ⅱ，請你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過程．【歸納總結(jié)】（5）請你根據(jù)上述探究過程，補全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對應(yīng)的圖形．原四邊形對角線關(guān)系中點四邊形形狀③________④________結(jié)論：原四邊形對角線③________時，中點四邊形是④________．【答案】（1）①中位線定理（2）證明見解析（3）②矩形（4）證明見解析（5）補圖見解析；③且；④正方形【分析】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識（1）利用三角形中位線定理即可解決問題；（2）根據(jù)三角形中位線定理，菱形判定定理即可解決問題；（3）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；（4）根據(jù)三角形中位線定理，矩形判定定理即可解決問題；（5）根據(jù)三角形中位線定理，正方形判定定理即可解決問題.【詳解】（1）①證明依據(jù)是：中位線定理；（2）證明：∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點四邊形是菱形．（3）②矩形；故答案為：矩形（4）證明∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，，∴．同理可得：．∵∴，∴∴中點四邊形是矩形．（5）證明：如圖4，∵分別是的中點，∴分別是和的中位線，∴，∴．同理可得：．∵∴∴中點四邊形是菱形．∵由（4）可知∴菱形是正方形．故答案為：③且；④正方形

考點三特殊的平行四邊形?考向一矩形29．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在矩形中，點在上，當是等邊三角形時，為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形得到，繼而得到，而是等邊三角形，因此得到．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，故選：C．30.．（2024·吉林·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為0,2．以為邊作矩形，若將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到，再由矩形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵點A的坐標為，點C的坐標為，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵將矩形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，∴，，∴軸，∴點的坐標為，故選：C．31．（2024·河北·中考真題）在平面直角坐標系中，我們把一個點的縱坐標與橫坐標的比值稱為該點的“特征值”．如圖，矩形位于第一象限，其四條邊分別與坐標軸平行，則該矩形四個頂點中“特征值”最小的是（

）A．點A B．點B C．點C D．點D【答案】B【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，坐標與圖形，分式的值的大小比較，設(shè)，，，可得，，，再結(jié)合新定義與分式的值的大小比較即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，，，∵矩形，∴，，∴，，，∵，而，∴該矩形四個頂點中“特征值”最小的是點B；故選：B．32．（2024·西藏·中考真題）如圖，在中，，，，點P是邊上任意一點，過點P作，，垂足分別為點D，E，連接，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理的運用、矩形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的面積的不同求法，題目難度不大，設(shè)計很新穎，解題的關(guān)鍵是求的最小值轉(zhuǎn)化為其相等線段的最小值．連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：，當最小時，則最小，根據(jù)垂線段最短可知當時，則最小，再根據(jù)三角形的面積為定值即可求出的長．【詳解】解：中，，，，，連接，如圖所示：∵于點，于點，，∴，四邊形是矩形，，當最小時，則最小，根據(jù)垂線段最短可知當時，則最小，∴此時．故選：B．33．（2024·新疆·中考真題）如圖，在正方形中，若面積，周長，則．【答案】40【分析】本題考查了正方形、矩形的性質(zhì)，完全平方公式等知識，設(shè)正方形、的邊長分別為a、b，先求出，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：設(shè)正方形、的邊長分別為a、b，根據(jù)題意，得，∴，∴，故答案為：40．34．（2024·新疆·中考真題）如圖，的中線，交于點O，點F，G分別是，的中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)當時，求證：是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判斷，三角形中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）利用三角形中位線定理可得出，，然后利用平行四邊形的判定即可得證；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)得出，，結(jié)合點G是的中點，可得出，同理，則可得出，，然后利用矩形判定即可得證．【詳解】（1）證明：∵的中線，交于點O，∴，，∵點F，G分別是，的中點，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形；（2）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵G是中點，∴，∴，同理，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴是矩形．?考向二菱形35．（2024·浙江·中考真題）如圖，已知菱形的面積是24，E，F(xiàn)分別是菱形的邊的中點，連結(jié)與交于點G，則的面積為（

）A． B． C．3 D．9【答案】A【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線，技巧性較強．延長交延長線于點，則，證明，即可得出，根據(jù)菱形的面積，求出的面積，然后可得出的面積．【詳解】解：如圖，延長交延長線于點，∵點F是邊的中點，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵點是中點，∴，∴，∵菱形的面積為24，∴的面積為6，∴的面積為，故選：A．36．（2024·海南·中考真題）如圖，菱形的邊長為2，，邊在數(shù)軸上，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點E處，若點E表示的數(shù)是3，則點A表示的數(shù)是（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理．作于點，利用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理計算即可．【詳解】解：作于點，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∵點E表示的數(shù)是3，∴點A表示的數(shù)是，故選：D．37．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點在軸負半軸上，頂點在直線上，若點的橫坐標是8，為點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點B作軸，垂足為點D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性質(zhì)得到軸，最后由平移即可求解．【詳解】解：過點B作軸，垂足為點D，∵頂點在直線上，點的橫坐標是8，∴，即，∴，∵軸，∴由勾股定理得：，∵四邊形是菱形，∴軸，∴將點B向左平移10個單位得到點C，∴點，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點的坐標平移，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．38．（2024·上海·中考真題）四邊形為矩形，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為（

）A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形【答案】A【分析】本題考查矩形性質(zhì)、等面積法、菱形的判定等知識，熟練掌握矩形性質(zhì)及菱形的判定是解決問題的關(guān)鍵．由矩形性質(zhì)得到，，進而由等面積法確定，再由菱形的判定即可得到答案．【詳解】解：如圖所示：四邊形為矩形，，，過作對角線的垂線，過作對角線的垂線，，如果四個垂線拼成一個四邊形，那這個四邊形為菱形，故選：A．39．（2024·四川·中考真題）如圖，在菱形中，，則菱形的周長為．【答案】8【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)“菱形的四條邊相等”可直接進行求解．【詳解】解：由菱形的四條邊相等可得：菱形的周長為，故答案為：8．40．（2024·廣東·中考真題）如圖，菱形的面積為24，點E是的中點，點F是上的動點．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．【答案】10【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出，，根據(jù)和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．【詳解】解：連接，∵菱形的面積為24，點E是的中點，的面積為4，∴，，設(shè)菱形中邊上的高為h，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．41．（2024·云南·中考真題）如圖，在四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，且，，四邊形是矩形．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若矩形的周長為22，四邊形的面積為10，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，證明四邊形是平行四邊形，再利用三角形中位線定理得到，，利用矩形的性質(zhì)得到，即可證明四邊形是菱形；（2）利用三角形中位線定理和菱形性質(zhì)得到，利用lx面積公式得到，再利用完全平方公式結(jié)合勾股定理進行變形求解即可得到．【詳解】（1）解：連接，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，，，四邊形是矩形，，，四邊形是菱形；（2）解：四邊形中，點、、、分別是各邊的中點，，，矩形的周長為22，，四邊形是菱形，即，四邊形的面積為10，，即，，，．【點睛】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)和判定，菱形面積公式，勾股定理，完全平方公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?考向三正方形42．（2024·陜西·中考真題）如圖，正方形的頂點G在正方形的邊上，與交于點H，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．證明，利用相似三角形的性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：∵正方形，，∴，∵正方形，，∴，∴，由題意得，∴，∴，即，解得，故選：B．43．（2024·重慶·中考真題）如圖，在邊長為4的正方形中，點是上一點，點是延長線上一點，連接，，平分．交于點．若，則的長度為（）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，先由正方形的性質(zhì)得到，再證明得到，進一步證明得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，∵平分，∴，又∵，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，故選：D．44．（2024·廣西·中考真題）如圖，邊長為5的正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，連接，，，，交點分別為M，N，P，Q，那么四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】C【分析】先證明四邊形是平行四邊形，利用平行線分線段成比例可得出，，證明得出，則可得出，同理，得出平行四邊形是矩形，證明，得出，進而得出，得出矩形是正方形，在中，利用勾股定理求出，然后利用正方形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，，，∵E，F(xiàn)，G，H分別為各邊中點，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴，同理，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，同理，∴平行四邊形是矩形，∵，，，∴，∴，又，，∴，∴矩形是正方形，在中，，∴，∴，∴正方形的面積為5，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，明確題意，靈活運用相關(guān)知識求解是解題的關(guān)鍵．45．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對角線相交于點O，點E是的中點，點F是上一點．連接．若，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，先由正方形的性質(zhì)得到，，再證明，進而可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，即．【詳解】解：∵正方形的對角線相交于點O，∴，，∵點E是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．46.（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，，平分，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)過點B作于點G，若，請直接寫出四邊形的形狀．【答案】(1)證明見詳解(2)四邊形為正方形【分析】（1）由角平分線的定義可得出，由平行線的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，結(jié)合已知條件可得出四邊形是平行四邊形．（2）由已知條件可得出，由平行四邊形的性質(zhì)可得出，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，，由全等三角形的性質(zhì)可得出，等量代換可得出，即可得出四邊形為正方形．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，由∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）四邊形是正方形．過點B作于點G，∴，∵四邊形是平行四邊形．∴，，∴，，∴，，由（1），∴，∵，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定，以及平行線的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定以及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，O是菱形的對角線的中點，以O(shè)為原點，建立如圖平面直角坐標系，若軸，，，點C的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令與y軸的交點為字母E，根據(jù)菱形的性質(zhì)和說明是等邊三角形，再求出，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，結(jié)合勾股定理求出，可知點A的坐標，最后根據(jù)點A和點C關(guān)于原點對稱得出答案．【詳解】如圖所示，令與y軸的交點為字母E，∵四邊形是菱形，∴．∵，，∴是等邊三角形，則，∵點O是菱形的對角線的中點，∴．∵軸，則，∴，∴根據(jù)勾股定理，得，∴．∵點A和點C關(guān)于原點對稱，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，理解菱形的對稱性是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）將一副三角尺在平行四邊形按如圖所示的方式擺放，設(shè)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板中角度的計算，平行四邊形的性質(zhì)，求出的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．如圖所示，過點G作，由平行線的性質(zhì)得到，，然后求出的度數(shù)即可求出∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖所示，過點G作，由題意得，，則，∴，∴，，∴，∴，故選：C．3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）如圖，等腰梯形（

）

A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形B．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形C．是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形D．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形【答案】B【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，等腰梯形的性質(zhì)，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義解答即可，掌握軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形【詳解】解：等腰梯形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故選：B．4．（2024·湖北·模擬預(yù)測）類比“趙爽弦圖”，可類似的構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由中間的小正六邊形和6個全等的直角三角形拼成的一個大正六邊形，若在大正六邊形內(nèi)部隨機取一點，則此點取自小正六邊形的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先對圖形標注，根據(jù)內(nèi)角和定理求出，即可得出，再設(shè)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得，由勾股定理求出，根據(jù)題意可知，可求，然后求出等邊三角形的面積，進而得出正六邊形的面積，最后根據(jù)面積比得出答案．【詳解】如圖所示，正六邊形的每個內(nèi)角，∴．設(shè)，∴，根據(jù)勾股定理得．根據(jù)題意可知，∴．作，交于點F，∵是等邊三角形，∴．根據(jù)勾股定理得，∴，，∴正六邊形的面積，六個直角三角形的面積為，∴此點取自小正六邊形的概率是．故選：A．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，概率的計算公式，理解用面積比表示概率是解題的關(guān)鍵．5．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，D，E分別是的邊，的中點，若的周長為6，則的周長為（

）A． B．3 C．12 D．36【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．先根據(jù)三角形的中位線定理可得，再根據(jù)三角形的周長公式求解即可得．【詳解】解：∵點分別是的邊，的中點，∴，即，∵的周長為6，∴，∴的周長為，故選：C．6．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，點在邊上，平分，，分別是，的中點，，，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)先證明是等腰直角三角形，求出，，再利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，利用勾股定理求出，進而得到，根據(jù)是的中位線，即可求解．【詳解】解：四邊形矩形，∴，，，平分，，，是等腰直角三角形，，是的中點，，，，為的中點，，，，在中，，，，，分別為，的中點，是的中位線，，故選：D．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線，勾股定理，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．7．（2024·河北·模擬預(yù)測）在中，，是的中點，求證：．證明：如圖，延長至點，使，連接，．……，．下面是“……”部分被打亂順序的證明過程：①∴四邊形是平行四邊形；②∵；③∵，；④∴四邊形是矩形，則正確的順序是（

）．A．③①②④ B．③②①④ C．②③①④ D．②①③④【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定和性質(zhì)，掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．從結(jié)論入手，要證明直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，顯然不能應(yīng)該斜邊中線定理，看到提示的兩行證明，有對角線相等，由此根據(jù)矩形的對角線互相平分且對角線相等的性質(zhì)，作輔助線補全四邊形，先證平行四邊形再證矩形，即可推出結(jié)論．【詳解】解:根據(jù)提示，先由對角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形證明是矩形，證明過程應(yīng)為：③，；①四邊形是平行四邊形；②；④四邊形是矩形．，．即證明過程為③①②④，故選：A．8．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的8倍，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A．19 B．18 C．17 D．16【答案】B【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和的綜合，先設(shè)多邊形的邊數(shù)為條，因為一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的8倍，所以，解出值，即可作答．【詳解】解：設(shè)該多邊形的邊數(shù)為條，則列方程為，解得：，故選B．9．（2024·山西·模擬預(yù)測）如圖，將正五邊形紙片沿折疊，得到，點C的對應(yīng)點為點，的延長線交于點F，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識．熟練掌握正多邊形的內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．由正五邊形紙片，可得，由，可得，由折疊的性質(zhì)可知，，，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：∵正五邊形紙片，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，，∴，故選：B．10．（2024·廣東·模擬預(yù)測）下列說法中，錯誤的是（

）A．在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行B．等角對等邊C．四條邊相等的四邊形是正方形D．圓的切線垂直于過切點的半徑【答案】C【分析】本題考查平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的判定，切線的性質(zhì)，根據(jù)各個知識點逐個判斷即可．【詳解】A.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，說法正確，不符合題意；B.等角對等邊，說法正確，不符合題意；C.四條邊相等的四邊形是菱形，說法錯誤，符合題意；D.圓的切線垂直于過切點的半徑，說法正確，不符合題意；故選：C．11．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，在中，，點分別是的中點，順次連接，在從逐漸增大到的過程中，四邊形形狀的變化依次是（

）A．平行四邊形→菱形→平行四邊形B．平行四邊形→矩形→平行四邊形C．平行四邊形→菱形→正方形→平行四邊形D．平行四邊形→矩形→正方形→平行四邊形【答案】A【分析】本題主要考查了三角形的中位線．熟練掌握三角形的中位線性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理，得到，得到，得到四邊形是平行四邊形，當時，是矩形，，得到，得到是菱形；當時，或時，，∴，四邊形是平行四邊形，【詳解】連接，∵E、F、G、H是的各邊中點，∴，∴，當時，∵中，，∴，∴四邊形是平行四邊形，當時，是矩形，∴，∴，∴是菱形，當時，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．∴四邊形形狀的變化依次是：平行四邊形→菱形→平行四邊形．故選：A．12．（2024·安徽·模擬預(yù)測）如圖，正方形中，點，分別在邊，上，且，分別交，于點，，以點A為圓心，長為半徑畫弧下列結(jié)論：①；②；③；④與相切；⑤．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，正確的作出輔助線，熟練掌握這些性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．延長到，使，連接根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到；故正確；在上截取，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，證得，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到；故正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，推出，又，于是得到，故正確；過A作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，于是得到與相切；故正確；由，而不一定等于，于是得到不一定平行于，故錯誤．【詳解】解：延長到，使，連接．在和中，，，，，又，，．在和中，，，，又，；故正確；在上截取，連接、，在和中，，，，，又，．．在和中，，，．；故正確；，．，，，又，，故正確；過A作于，，，，與相切；故正確；，而不一定等于，不一定等于，不一定平行于，故錯誤，故選：B．二、填空題13．（2024·上海·模擬預(yù)測）如圖1是一款可升降籃球架，支架，，的長度固定，A，D，G為立柱上的點，地面，籃板地面，，米，米，若改變伸縮臂的長度，則，CD可繞點A，D旋轉(zhuǎn)來調(diào)整籃筐的高低．如圖2，當時，可測得籃筐的固定點C距離地面為2.9米，則支架CD的長為米．降低籃筐高度如圖3，連結(jié)交CD于點O，平分，，此時籃筐的固定點C離地面的距離為米．【答案】【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．延長交地面于點，過點作于點，可得，利用平行線性質(zhì)，可得，進而求得，利用直角三角形性質(zhì)，可得，由此得解；設(shè)于相交于，連接，連接，由，，得四邊形是平行四邊形，進而得到，利用平分，結(jié)合，可得，根據(jù)等角對等邊得，進而得到，結(jié)合，得到四邊形是平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合，可證平行四邊形是矩形，由此即可得解．【詳解】解：如圖，延長交地面于點，過點作于點，地面，籃板地面，，∴，，，，又，米，故支架的長為米．如圖，設(shè)于相交于，連接，連接，，，又四邊形是平行四邊形，，，，平分，，又，，，，，又，四邊形是平行四邊形，互相平分，，，平行四邊形是矩形，，即，四邊形是矩形，米．故此時籃筐的固定點C離地面的距離為米．故答案為∶；．14．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，在邊上，，連接，則線段的最小長度為．【答案】【分析】根據(jù)題意取的中點，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，利用矩形性質(zhì)證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)對稱性得，繼而利用勾股定理即可得到本題答案．【詳解】解：如圖，取的中點，連接，作點關(guān)于的對稱點，連接，，∵矩形中，，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，即，∵根據(jù)對稱性可知，則，，∵，∴的最小長度：，故答案為：．【點睛】本題考查平行四邊形判定及性質(zhì)，矩形性質(zhì)，對稱性質(zhì)，勾股定理等．15．（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知四邊形的對角線垂直平分對角線于點，要使四邊形為菱形，則可添加的條件是（添加一個條件即可，不添加其他的點和線）．【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的判定即可得出答案．【詳解】解：添加，理由如下：∵四邊形的對角線垂直平分對角線于點，，，∴四邊形是菱形，故答案為：（答案不唯一）．16．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使點A，B分別落在點，的位置．若，則．【答案】【分析】本題考查了矩形與折疊問題，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，故答案為：．17．（2024·浙江·一模）如圖，正方形的邊長為，以AB邊上的動點為圓心，為半徑作圓，將沿翻折至，若過一邊上的中點，則的半徑為．【答案】或或【分析】分三種情況討論，設(shè)的半徑為，分別根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】設(shè)的半徑為，當經(jīng)過的中點，即經(jīng)過的中點，∴，當經(jīng)過的中點，則，∴，，在中，∴解得：（負值舍去）當經(jīng)過的中點，即經(jīng)過的中點，設(shè)的中點為，∴∴解得：綜上所述，半徑為、、故答案為：或或．【點睛】本題考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，掌握翻折的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)以及分類討論是正確解答的關(guān)鍵．18．（2024·重慶·一模）如圖，在中，E為邊中點．以C為圓心，CD為半徑畫弧，恰好經(jīng)過點A．以C為圓心，CE為半徑畫弧，與AD相切于點F．若，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留π）【答案】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)扇形、正方形、三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：與切于，，由題意可知：，，四邊形是平行四邊形，，，為邊中點，，，，，，，，，四邊形是正方形，陰影部分的面積扇形的面積的面積正方形的面積扇形的面積，故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2024·上海·模擬預(yù)測）如圖1兩張等寬的矩形紙片，矩形紙片不動，將矩形紙片按如圖2方式纏繞：先將點與點重合，再依次沿、對折，點A、C所在的相鄰兩邊不重疊、無空隙，最后邊剛好經(jīng)過點G．

若，，則長為【答案】1【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，，證明四邊形是平行四邊形，利用證明，得出，即可證明四邊形是菱形；標記點，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得出，，，，證明四邊形和四邊形是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，得出，，，證明四邊形是菱形，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，得出，證明、、、是邊長相等的等邊三角形，求出，，根據(jù)，得出答案即可．【詳解】解：∵兩張紙片是等寬的矩形紙片，∴，，，，∴，四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴四邊形是菱形，如圖，標記點，

∵兩張紙片是等寬的矩形紙片，∴，，，，∴四邊形和四邊形是平行四邊形，∴∵由（1）得，，四邊形是菱形，∴，，，∴四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴和是等邊三角形，∴，∴，∴，，∴，∴、是等邊三角形，∵、、、依次有公共邊，∴、、、是邊長相等的等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用知識點推理證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題20．（2024·湖南·模擬預(yù)測）慈氏塔（如圖①）作為湖南現(xiàn)存最早的磚塔之一，以其巍然?立，雄視洞庭湖，成為“巴陵勝狀”之一．某