建筑圖法姚其博士建筑與城市規(guī)劃學(xué)院畫(huà)法幾何畫(huà)法幾何（descriptivegeometry），研究在平面上用圖形表示形體和解決空間幾何問(wèn)題的理論和方法的學(xué)科。1、研究在二維平面上表達(dá)三位空間形體的方法，也就是圖示法。2、研究在平面上利用圖形來(lái)解決空間幾何問(wèn)題的方法，也就是圖解法。22

點(diǎn)的投影3直線的投影點(diǎn)、直線、平面的投影1投影法的基本知識(shí)3光源承影面影子光線物體形體投射線投影面投影(圖)投射中心S投影法的形成及分類(lèi)產(chǎn)生影子的自然現(xiàn)象投影的構(gòu)成要素（中心投影法）投影法的基本知識(shí)4投影(圖)形體投射線投影面投射方向投射方向投影(圖)形體投射線投影面a)

斜投影法b)

正投影法平行投影法投影法中心投影法平行投影法斜投影法正投影法平行投影法5Pb

●●AP過(guò)空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B3●B2●B1●點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影。a

●點(diǎn)的投影6一、兩投影面體系的建立水平投影面——

H

正面投影面——

V

投影軸——

OXVXO1、點(diǎn)在兩投影體系中的投影水平投影面正面投影...水平投影

...投影軸(V⊥H)正立投影面

8兩投影面體系中點(diǎn)的投影點(diǎn)A的水平投影——

a點(diǎn)A的正面投影——

a

aAZYXa

點(diǎn)的兩個(gè)投影能唯一確定該點(diǎn)的空間位置兩面投影圖的畫(huà)法HXHVOa

aaxxzya12兩面投影圖的性質(zhì)1)aa

OX2)a

ax=Aa,aax

=Aa

規(guī)定投影面展開(kāi)：H面向下翻轉(zhuǎn)90度，與V面重合

投影連線a’a用細(xì)實(shí)線畫(huà)出

aa

⊥OXa

ax=A

a

=ZAaax=A

a

=YA14HWV2點(diǎn)的三面投影投影面◆正面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)正面或V面）◆水平投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡(jiǎn)稱(chēng)側(cè)面或W面）投影軸OXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線三個(gè)投影面互相垂直Y15WHVOXZY空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a

點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a

點(diǎn)A的側(cè)面投影注意：空間點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。a

●a●a

●A●16●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開(kāi)WVHaa●x●●azZaa

yayaXY

YO

17點(diǎn)的投影規(guī)律:①a

a⊥OX軸②aax=

a

ax=aay=●●YZaza

XYayOaaxaya

●

a

a

⊥OZ軸=y=Aa

（A到V面的距離）a

az=x=Aa

（A到W面的距離）a

ay=z=Aa（A到H面的距離）●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazaya

az18●●a

aax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz解法一:通過(guò)作45°線使a

az=aax解法二:用圓規(guī)直接量取a

az=aaxa

●19

點(diǎn)的每個(gè)投影反映兩個(gè)坐標(biāo)：

V投影反映高標(biāo)和橫標(biāo)(a′aX和a′aZ)，

H投影反映縱標(biāo)和橫標(biāo)(aaX和aaYH)，

W投影反映高標(biāo)和縱標(biāo)(a″aYW和a″aZ)。點(diǎn)的投影和坐標(biāo)20一般位置點(diǎn)（X、Y、Z）1)投影面上的點(diǎn)：V面上點(diǎn)（X、0、Z）

H面上點(diǎn)（X、Y、0）

W面上點(diǎn)（0、Y、Z）3)原點(diǎn)上的點(diǎn):（0、0、0）2)投影軸上點(diǎn):X軸上點(diǎn)（X、0、0）

Y軸上點(diǎn)（0、Y、0）

Z軸上點(diǎn)（0、0、Z）注意:點(diǎn)的各個(gè)投影一定要寫(xiě)在它所屬的投影面區(qū)域內(nèi)。各種位置點(diǎn)的投影特殊位置點(diǎn)21各種位置點(diǎn)的投影22兩點(diǎn)的相對(duì)位置兩點(diǎn)中x值大的點(diǎn)

——

在左兩點(diǎn)中y值大的點(diǎn)——

在前兩點(diǎn)中z值大的點(diǎn)——

在上a

a

ab

b

bBA23

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：X坐標(biāo)大的在左Y坐標(biāo)大的在前Z坐標(biāo)大的在上兩點(diǎn)的相對(duì)位置左右后上下前上下后前左右兩點(diǎn)的相對(duì)位置和重影點(diǎn)24作圖步驟：1）在a′左方12mm，上方8mm處確定b′；2）作b′b⊥OX軸，且在a前10mm處確定b；3）按投影關(guān)系求得b″。［例2］如圖，已知點(diǎn)A的三投影，另一點(diǎn)B在點(diǎn)A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求:點(diǎn)B的三個(gè)投影。ayayZaa

axazXYH

YWOa

bybybxbzb

●b●b

●1281025()a

cc

重影點(diǎn)

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱(chēng)此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。●●●●●a

a

c

被擋住的投影加()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？A、C為H面的重影點(diǎn)26aa

a

b

b

b●●●●●●

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性直線的投影特性BA●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長(zhǎng)

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=AB.cos

●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●二、直線的投影27直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱(chēng)特殊位置直線垂直于某一投影面其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對(duì)位置28⑴投影面平行線水平線γβXZ″baaabbOYY′′″實(shí)長(zhǎng)①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)際大小。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，其到相應(yīng)投影軸距離反映直線與它所平行的投影面之間的距離。投影特性VHabAaaγβBbbWβγ′′″″29判斷下列直線是什么位置的直線？側(cè)平線正平線與H面的夾角:

與V面的角:β與W面的夾角:γ實(shí)長(zhǎng)

β實(shí)長(zhǎng)γ

b

a

aba

b

b

aa

b

ba

直線與投影面夾角的表示法：30

反映線段實(shí)長(zhǎng)，且垂直于相應(yīng)的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②

另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●a

b

a(b)a

b

●c

(d

)cdd

c

●e

f

efe

(f

)31名稱(chēng)立體圖投影圖投影特性鉛垂線（

H）正垂線（

V）側(cè)垂線（

W）(1)H投影為一點(diǎn)，有積聚性；

(2)a

b

OX,a

b

OYW

；

(3)a

b=a

b

=AB(1)V影為一點(diǎn)，有積聚性；

(2)ab

OX,

a

b

OZ

；

(3)ab=a

b

=AB(1)W投影為一點(diǎn)，有積聚性；

(2)Ab

OYH,

a

b

OZ

；

(3)Ab=a

b

=AB投影面垂直線32⑶一般位置直線Z

YaOXabbaYb

三個(gè)投影都傾斜于投影軸，其與投影軸的夾角并不反映空間線段與三個(gè)投影面夾角的大小。三個(gè)投影的長(zhǎng)度均比空間線段短，即都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)。投影特性HaβγaAb

VBbWa

b

33投影面平行線名稱(chēng)立體圖投影圖投影特性水平線(∥H）正平線(∥V)側(cè)平線(∥W)(1)a

b

∥OX,

a

b

∥OYW

(2)ab=AB；

(3)反映夾角、大小。(1)ab∥OX,

a

b

∥OZ

(2)a

b

=AB

(3)反映夾角、大小。(1)ab∥OYH,

a

b

∥OZ；

(2)a

b

=AB

(3)反映夾角、大小。34cacXabcYYbOaZb′″′′″″cAHacaVbBabcCbW′′′″″″直線與點(diǎn)的相對(duì)位置◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。

◆點(diǎn)的投影將線段的同名投影分割成與空間線段相同的比例。即：AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b=a

c

:c

b

定比定理35例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在a

b

●c

●●aa

b

c

b③c不在應(yīng)用定比定理另一判斷法?36例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一：（應(yīng)用第三投影）解法二：（應(yīng)用定比定理）●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●37兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉（異面）。⒈兩直線平行

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

38例：判斷圖中兩條直線是否平行。

對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。AB與CD不平行。

對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。a

b

c

d

cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

①abcdc

a

b

d

39⒉兩直線相交

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影特性。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)a

c

VXb

HDacdkCAk

Kd

bOBcabdb

a

c

d

kk

40例1：過(guò)C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。●cd

k

kd先作正面投影a●bb

a

c

41′例2：判斷直線AB、CD的相對(duì)位置。c′′a′bdabcd相交嗎？不相交！為什么？

交點(diǎn)不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影特性。判斷方法？⒈應(yīng)用定比定理⒉利用側(cè)面投影42⒊兩直線交叉為什么？?jī)芍本€相交嗎？不相交！

交點(diǎn)不符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律！cacabddbOX′′′′accAaCVbHddDBb′′′′43accAaCVbHddDBb′′′′cacabddbOX′′′′1(2)●2●′1●′投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。★“交點(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。211(2)ⅡⅠ′′●●●●●′′Ⅳ43(4)3Ⅲ●●●●●●3(4)34●●′′44兩直線垂直相交（或垂直交叉）定理：相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時(shí)，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥ABBC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面BC∥bcABCabcHa

c

b

abc.證明：xH

垂直相交的兩直線的投影投影特性:a'b'∥ox,∠bac＝90°ABCxobcacabcabAB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

ac交叉垂直的兩直線的投影例過(guò)點(diǎn)A作EF線段的垂線ABbb′返回xoe′f′a′efa

例

以最短線KM連接AB，確定M點(diǎn)，并求出KM實(shí)長(zhǎng)。ababkkababkkababkkmmM0LKMmmXXX例

過(guò)點(diǎn)E作線段AB、CD的公垂線EF。返回f′exoa′b′c′d′e′abcdfb

[例]作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB

=2

3。bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCc

a

a小結(jié)★點(diǎn)與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線的投影特性、直角三角形法。★點(diǎn)與直線及兩直線的相對(duì)位置的判斷方法及投影特性。★定比定理。★直角定理，即兩直線垂直時(shí)的投影特性。重點(diǎn)掌握：一、點(diǎn)的投影規(guī)律①a

a⊥OX軸②aax=a

az=y=A到V面的距離a

ax=a

ay=z=A到H面的距離aay=a

az=x=A到W面的距離

a

a

⊥OZ軸二、各種位置直線的投影特性⒈一般位置直線三個(gè)投影與各投影軸都傾斜。利用直角三角形法求投影、實(shí)長(zhǎng)、傾角⒉投影面平行線

在其平行的投影面上的投影反映線段實(shí)長(zhǎng)及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個(gè)投影平行于相應(yīng)的投影軸。⒊投影面垂直線

在其垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。另兩個(gè)投影反映實(shí)長(zhǎng)且垂直于相應(yīng)的投影軸。三、直線上的點(diǎn)⒈點(diǎn)的投影在直線的同名投影上。⒉點(diǎn)分線段成定比，點(diǎn)的投影必分線段的投影成定比——定比定理。四、兩直線的相對(duì)位置⒈平行⒉相交⒊交叉（交錯(cuò)）

同名投影互相平行。

同名投影相交，交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)，且符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。

同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律。“交點(diǎn)”是兩直線上一對(duì)重影點(diǎn)的投影。五、相互垂直的兩直線的投影特性⒈