函數的表示法整體設計教學分析課本從引進函數概念開始就比較注重函數的不同表示方法:解析法,圖象法,列表法.函數的不同表示方法能豐富對函數的認識,幫助理解抽象的函數概念.特別是在信息技術環境下,可以使函數在形與數兩方面的結合得到更充分的表現,使學生通過函數的學習更好地體會數形結合這種重要的數學思想方法.因此,在研究函數時,要充分發揮圖象的直觀作用.在研究圖象時,又要注意代數刻畫以求思考和表述的精確性.課本將映射作為函數的一種推廣,這與傳統的處理方式有了邏輯順序上的變化.這樣處理,主要是想較好地銜接初中的學習,讓學生將更多的精力集中理解函數的概念,同時,也體現了從特殊到一般的思維過程.三維目標1.了解函數的一些基本表示法(列表法、圖象法、解析法),會根據不同實際情境選擇合適的方法表示函數,樹立應用數形結合的思想.2.通過具體實例,了解簡單的分段函數,并能簡單應用,提高應用函數解決實際問題的能力,增加學習數學的興趣.3.會用描點法畫一些簡單函數的圖象,培養學生應用函數的圖象解決問題的能力.4.了解映射的概念及表示方法,會利用映射的概念來判斷“對應關系”是否是映射,感受對應關系在刻畫函數和映射概念中的作用,提高對數學高度抽象性和廣泛應用性的進一步認識.重點難點教學重點:函數的三種表示方法,分段函數和映射的概念.教學難點:分段函數的表示及其圖象,映射概念的理解;運用集合兩種常用表示——列舉法與描述法.課時安排3課時教學過程第1課時導入新課思路1.語言是溝通人與人之間的聯系的,同樣的祝福又有著不同的表示方法.例如,簡體中文中的“生日快樂！”用繁體中文為:生日快樂！英文為:HappyBirthday！法文是BonAnniversaire！德文是AllesGuteZumGeburtstag!西班牙中稱iFelizCumpleaRos!印度尼西亞文是SelamatUlangTahun！荷蘭文的生日快樂為VanHarteGefeliciteerdmetjeverjaardag！在俄語中則是Сднемрождения!……那么對于函數,又有什么不同的表示方法呢？引出課題:函數的表示法.思路2.我們前面已經學習了函數的定義,函數的定義域的求法,函數值的求法,兩個函數是否相同的判定方法,那么函數的表示方法常用的有哪些呢？這節課我們就來研究這個問題(板書課題).推進新課新知探究提出問題初中學過的三種表示法:解析法、圖象法和列表法各是怎樣表示函數的？討論結果：(1)解析法:用數學表達式表示兩個變量之間的函數關系,這種表示方法叫做解析法,這個數學表達式叫做函數的解析式.(2)圖象法:以自變量x的取值為橫坐標,對應的函數值y為縱坐標,在平面直角坐標系中描出各個點,這些點構成了函數的圖象,這種用圖象表示兩個變量之間函數關系的方法叫做圖象法.(3)列表法:列一個兩行多列的表格,第一行是自變量的取值,第二行是對應的函數值,這種用表格來表示兩個變量之間的函數關系的方法叫做列表法.應用示例思路11.某種筆記本的單價是5元,買x(x∈{1,2,3,4,5})個筆記本需要y元,試用三種表示法表示函數y=f(x).活動：學生思考函數的表示法的規定.注意本例的設問,此處“y=f(x)”有三種含義,它可以是解析表達式,可以是圖象,也可以是對應值表.本題的定義域是有限集,且僅有5個元素.解：這個函數的定義域是數集{1,2,3,4,5},用解析法可將函數y=f(x)表示為y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可將函數y=f(x)表示為筆記本數x12345錢數y510152025用圖象法可將函數y=f(x)表示為圖1-2圖1-2點評：本題主要考查函數的三種表示法.解析法的特點是:簡明、全面地概括了變量間的關系;可以通過解析式求出任意一個自變量的值所對應的函數值,便于用解析式來研究函數的性質,還有利于我們求函數的值域;圖象法的特點是:直觀形象地表示自變量的變化,相應的函數值變化的趨勢,有利于我們通過圖象來研究函數的某些性質,圖象法在生產和生活中有許多應用,如企業生產圖,股市走勢圖等;列表法的特點是:不需要計算就可以直接看出與自變量的值對應的函數值,列表法在實際生產和生活中也有廣泛的應用,如銀行利率表、列車時刻表等等.但是并不是所有的函數都能用解析法表示,只有函數值隨自變量的變化發生有規律的變化時,這樣的函數才可能有解析式,否則寫不出解析式,也就不能用解析法表示.例如:張丹的年齡n(n∈N*)每取一個值,那么他的身高y(單位:cm)總有唯一確定的值與之對應,因此身高y是年齡n的函數y=f(n),但是這個函數的解析式不存在,函數y=f(n)不能用解析法來表示.注意：①函數圖象既可以是連續的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等;②解析法:必須注明函數的定義域,否則使函數解析式有意義的自變量的取值范圍是函數的定義域;③圖象法:根據實際情境來決定是否連線;④列表法:選取的自變量要有代表性,應能反映定義域的特征.變式訓練1.已知函數f(x)在［-1,2］上的圖象如圖1-2圖1-2解：觀察圖象,知此函數是分段函數,并且在每段上均是一次函數,利用待定系數法求出解析式為:當-1≤x≤0時,f(x)=x+1;當0<x<2時,f(x)=,則有f(x)=2.2007山東青島第一次調研,理13已知2f(x)+f(-x)=3x+2,則f(x)=________.分析:由題意得把f(x)和f(-x)看成未知數,解方程即得.答案：3x+2.下表是某校高一(1)班三位同學在高一學年度幾次數學測試的成績及班級平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分請你對這三位同學在高一學年度的數學學習情況做一個分析.活動：學生思考做學情分析,具體要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本題利用表格給出了四個函數,它們分別表示王偉、張城、趙磊的考試成績及各次考試的班級平均分.由于表格區分三位同學的成績高低不直觀,故采用圖象法來表示.做學情分析,具體要分析學習成績是否穩定,成績變化趨勢.解：把“成績”y看成“測試序號”x的函數,用圖象法表示函數y=f(x),如圖1-2圖1-2由圖1-2王偉同學的數學成績始終高于班級平均分,學習情況比較穩定而且成績優秀;張城同學的數學成績不穩定,總是在班級平均分水平上下波動,而且波動幅度較大;趙磊同學的數學學習成績呈上升趨勢,表明他的數學成績穩步提高.點評：本題主要考查根據實際情境需要選擇恰當的函數表示法的能力,以及應用函數解決實際問題的能力.通過本題可見,圖象法比列表法和解析法更能直觀反映函數值的變化趨勢.注意：本例為了研究學生的學習情況,將離散的點用虛線連接,這樣便于研究成績的變化特點.變式訓練1.函數y=x2-4x+6,x∈［1,5)的值域是_________.分析:畫出函數的圖象,圖象上所有點的縱坐標的取值范圍就是函數的值域.答案：［2,11)2.將長為a的鐵絲折成矩形,求矩形面積y關于一邊長x的函數關系式,并求定義域和值域,作出函數的圖象.分析:解此題的關鍵是先把實際問題轉化成數學問題,即把面積y表示為x的函數,用數學的方法解決,然后再回到實際中去.解：設矩形一邊長為x,則另一邊長為(a-2x),則面積y=(a-2x)x=-x2+ax.又得0<x<,即定義域為(0,).由于y=-(x)2+a2≤a2,如圖1-2-2圖1-23.2007山東高考樣題,文8向高為H的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數關系的圖象如圖1-2圖1-2-2-5圖1-2分析:要求由水瓶的形狀識別容積V和高度h的函數關系,突出了對思維能力的考查.觀察圖象,根據圖象的特點發現:取水深h=,注水量V′>,即水深為一半時,實際注水量大于水瓶總水量的一半.A中V′<,C、D中V′=,故排除A、C、D.答案：B思路21.2007寧夏銀川一模,理14已知f()=,則f(x)=________.活動：=t,利用換元法,轉化為求f(t).利用整體思想把看成一個整體,即可得函數的解析式.要注意函數f(t)與f(x)是同一個函數.分析:可設=t,則有x=,所以f(t)==,所以f(x)=.答案：變式訓練課本P26練習1.點評：本題主要考查函數的解析式.已知f［g(x)］=φ(x),求f(x)的解析式時,通常用換元法,其步驟是:①設g(x)=t;②把t看成常數,解關于x的方程g(x)=t得x=h(t);③將x=h(t)代入φ(x),得函數f(t)的解析式;④再用x替換f(t)的解析式中的t得函數f(x)的解析式.其實求函數的解析式方法很多,例如方程法:對于已知等式中出現兩個不同變量的函數關系式,依據這兩個變量的關系,重新建立關于這兩個變量的不同等式,利用整體思想,把f(x)和另一個函數看成未知數,解方程組得函數f(x)的解析式.類似于解二元一次方程組,故稱為方程法.待定系數法:已知函數的模型求其解析式時,常用待定系數法.2.已知函數f(x)=.(1)畫出函數f(x)的圖象;(2)觀察圖象寫出函數的定義域和值域.活動：學生思考函數圖象的畫法.利用變換法畫函數f(x)的圖象,利用圖象法寫出函數的定義域和值域.形如函數y=(c≠0,a2+b2≠0)的圖象均可由反比例函數y=的圖象經過平移得到,因此函數y=(c≠0,a2+b2≠0)的圖象形狀是雙曲線.解：(1)y===.將y=的圖象向左平移兩個單位得y=的圖象,再向上平移三個單位得y=+3的圖象.圖象如圖1-2圖1-2(2)觀察函數的圖象圖1-2可知圖象上所有點的橫坐標的取值范圍是(-∞,-2)∪(-2,+∞),圖象上所有點的縱坐標的取值范圍是(-∞,3)∪(3,+∞).則函數的定義域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),值域是(-∞,3)∪(3,+∞).點評：本題主要考查函數的定義域、值域和圖象.畫不熟悉的函數的圖象,可以變形成由基本函數,利用變換法畫出圖象,但要注意變形過程是否等價,注意x,y的變化范圍.因此必須熟記基本初等函數的圖象,如:正、反比例函數,一次、二次函數的圖象,在變換函數的解析式中運用了轉化和分類討論的思想.求函數值域的方法:①圖象法,借助于函數值域的幾何意義,利用函數的圖象求值域;②觀察法,對于解析式比較簡單的函數,利用常見的結論如x2≥0,|x|≥0,x≥0等觀察出函數的值域;③換元法,利用換元法轉化為求常見函數如二次函數的值域等.注意：討論函數的值域要先考慮函數的定義域,本例中(1)如果忽視函數的定義域,那么會錯誤地得函數值域為［-1,+∞).避免此類錯誤的方法是研究函數時要遵守定義域優先的原則.變式訓練求下列函數的值域:(1)y=x2-2x(-1≤x≤2);(2)y=x4+1.分析:本題主要考查函數的值域及其求法.(1)借助于函數值域的幾何意義,利用函數的圖象求值域;(2)觀察得x4≥0,得函數的值域,也可以利用換元法轉化為求二次函數的值域.(1)解：(圖象法)在平面直角坐標系中畫出二次函數y=x2-2x(-1≤x≤2)的圖象,如圖1-2圖1-2函數y=x2-2x(-1≤x≤2)的圖象上所有點的縱坐標的取值范圍就是函數的值域,觀察圖象知函數的值域是［-1,3］.(2)解法一：(觀察法)函數的定義域是R,則x4≥0,有x4+1≥1,即函數y=x4+1的值域是［1,+∞).解法二：(換元法)函數的定義域是R,設x2=t,則t≥0,則有y=t2+1.利用圖象可求得當t≥0時,二次函數y=t2+1的值域是［1,+∞),即函數y=x4+1的值域是［1,+∞).3.車管站在某個星期日保管的自行車和電動車共有3500輛次,其中電動車保管費是每輛一次0.5元,自行車保管費是每次一輛0.3元.(1)若設自行車停放的輛次數為x,總的保管費收入為y元,試寫出y關于x的函數關系式;(2)若估計前來停放的3500輛次自行車中,電動車的輛次不小于25%,但不大于40%,試求該保管站這個星期日收入保管費總數的范圍.活動：讓學生審清題意讀懂題.求解析式時不要忘記函數的定義域,要考慮自變量的取值必須使解析式有意義.然后再根據解析式列不等式求解.總的保管費=自行車保管費+電動車保管費.解：(1)由題意得y=0.3x+0.5(3500-x)=-0.2x+1750,x∈N*且0≤x≤3500.(2)若電動車的輛次不小于25%,但不大于40%,則3500×(1-40%)≤x≤3500×(1-25%),即2100≤x≤2625,畫出函數y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的圖象,可得函數y=-0.2x+1750(2100≤x≤2625)的值域是［1225,1330］,即收入在1225元至1330元之間.點評：本題主要考查函數的解析式和值域,以及應用函數知識解決實際問題的能力.解函數應用題的步驟是①審清題意讀懂題;②恰當設未知數;③列出函數解析式,并指明定義域;④轉化為函數問題,并解決函數問題;⑤將數學問題的答案還原為實際答案.變式訓練2007山東實驗中學級第一次診斷性測試,文13水池有2個進水口,1個出水口,每個水口進出水的速度如圖1-2-2-9甲、乙所示.某天0點到6點,該水池的蓄水量如圖1-2圖1-2給出以下三個論斷:①0點到3點只進水不出水;②3點到4點不進水只出水;③4點到6點不進水不出水;其中一定正確的論斷是()A.①B.①②C.①③D.①②③分析:由圖1229甲可看出,如果進水口與出水口同時打開,每個進水口的速度為出水口速度的一半,即v進水=v出水;由圖丙可看出在0點到3點之間蓄水量以速度2勻速增加,所以在此時間段內一定是兩個進水口均打開,出水口關閉,故①正確.由圖丙可看出在3點到4點之間蓄水量以速度1勻速減少,所以在此時間段內一定是一個進水口打開,出水口打開,故②不正確.由圖丙可看出在4點到6點之間蓄水量不變,所以在此時間段內一定是兩個進水口打開,出水口打開,或者兩個進水口關閉,出水口關閉,故③不正確.綜上所述論斷僅有①正確.答案：A知能訓練課本P23練習2、3.【補充練習】1.等腰三角形的周長是20,底邊長y是一腰長x的函數,則()A.y=10-x(0<x≤10)B.y=10-x(0<x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)分析:根據等腰三角形的周長列出函數解析式.∵2x+y=20,∴y=20-2x.則20-2x>0.∴x<10.由構成三角形的條件(兩邊之和大于第三邊)可知2x>20-2x,得x>5,所以函數的定義域為{x|5<x<10}.所以y=20-2x(5<x<10).答案：D2.2007北京四中第一次統測,文4定義在R上的函數y=f(x)的值域為[a,b],則y=f(x+1)的值域為()A.[a,b]B.[a+1,b+1]C.[a-1,b-1]分析:將函數y=f(x)的圖象向左平移一個單位得函數y=f(x+1)的圖象,由于定義域均是R,則這兩個函數圖象上點的縱坐標的取值范圍相同,所以y=f(x+1)的值域也是[a,b].答案：A3.2006陜西高考,文2函數f(x)=(x∈R)的值域是()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]分析:(觀察法)定義域是R,由于x2≥0,則1+x2≥1,從而0<≤1.答案：B拓展提升問題:變換法畫函數的圖象都有哪些?解答:變換法畫函數的圖象有三類:1.平移變換:(1)將函數y=f(x)的圖象向左平移a(a>0)個單位得函數y=f(x+a)的圖象;(2)將函數y=f(x)的圖象向右平移a(a>0)個單位得函數y=f(x-a)的圖象;(3)將函數y=f(x)的圖象向上平移b(b