PAGE1-第2講集合、復數、常用邏輯用語一、選擇題1．(2024·高考全國卷Ⅱ)設集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，則A∩B＝()A．(－∞，1) B．(－2，1)C．(－3，－1) D．(3，＋∞)解析：選A．A∩B＝{x|x2－5x＋6>0}∩{x|x－1<0}＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}．故選A．2．命題“?x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是()A．?x0≤0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)B．?x0≤0，lnx0<1－eq\f(1,x0)C．?x0>0，lnx0≥1－eq\f(1,x0)D．?x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)解析：選D．若命題為?x∈M，p(x)，則其否定為?x0∈M，﹁p(x0)．所以“?x>0，lnx≥1－eq\f(1,x)”的否定是?x0>0，lnx0<1－eq\f(1,x0)，故選D．3．(2024·鄭州市第一次質量預料)設全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，則?U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1}B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3}D．{x|x≤－3}解析：選D．因為B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以?U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故選D．4.(2024·沈陽市質量監測(一))已知全集U＝{1，3，5，7}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則如圖所示陰影區域表示的集合為()A．{3} B．{7}C．{3，7} D．{1，3，5}解析：選B．由圖可知，陰影區域為?U(A∪B)，由并集的概念知，A∪B＝{1，3，5}，又U＝{1，3，5，7}，于是?U(A∪B)＝{7}，故選B．5．若i是虛數單位，則復數eq\f(2＋3i,1＋i)的實部與虛部之積為()A．－eq\f(5,4) B．eq\f(5,4)C．eq\f(5,4)i D．－eq\f(5,4)i解析：選B．因為eq\f(2＋3i,1＋i)＝eq\f((2＋3i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)i，所以其實部為eq\f(5,2)，虛部為eq\f(1,2)，實部與虛部之積為eq\f(5,4).故選B．6．已知(1＋i)·z＝eq\r(3)i(i是虛數單位)，則復數z在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：選A．因為(1＋i)·z＝eq\r(3)i，所以z＝eq\f(\r(3)i,1＋i)＝eq\f(\r(3)i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(\r(3)＋\r(3)i,2)，則復數z在復平面內對應的點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，所以復數z在復平面內對應的點位于第一象限，故選A．7．(2024·高考北京卷)設函數f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數)，則“b＝0”是“f(x)為偶函數”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C．因為f(x)＝cosx＋bsinx為偶函數，所以對隨意的x∈R都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx＋bsinx，所以2bsinx＝0.由x的隨意性，得b＝0.故f(x)為偶函數?b＝0.必要性成立．反過來，若b＝0，則f(x)＝cosx是偶函數．充分性成立．所以“b＝0”是“f(x)為偶函數”的充分必要條件．故選C．8．下列命題錯誤的是()A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要條件B．命題“?x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”C．設x，y∈R，則“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分條件D．設a，b∈R，則“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件解析：選C．若eq\f(1,a)<1，則a>1或a<0，則“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要條件，故A正確；依據特稱命題的否定為全稱命題，得“?x0∈(0，＋∞)，lnx0＝x0－1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”，故B正確；當x≥2且y≥2時，x2＋y2≥4，當x2＋y2≥4時卻不肯定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要條件，故C錯誤；因為“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分條件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分條件，故D正確．9．(2024·貴陽市第一學期監測)命題p：若x>y，則x2>y2，命題q：若x<y，則－x>－y.在命題①p∧q；②p∨q；③p∨(﹁q)；④(﹁p)∧q中，真命題是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：選D．命題p：當x＝0，y＝－2時，x2<y2，所以為假命題；命題q為真命題，所以①p∧q為假命題；②p∨q為真命題；③p∨(﹁q)為假命題；④(﹁p)∧q為真命題，所以真命題是②④.10．(2024·福州模擬)給出下列命題：①“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要條件；②定義在[a，b]上的偶函數f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值為30；③命題“?x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“?x∈R，x＋eq\f(1,x)>2”．其中正確命題的個數為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C．由x＝eq\f(π,4)，得tanx＝1，但由tanx＝1推不出x＝eq\f(π,4)，所以“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要條件，所以命題①是正確的；若定義在[a，b]上的函數f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b是偶函數，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋5＝0,a＋b＝0))，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－5,b＝5))，則f(x)＝x2＋5在[－5，5]上的最大值為30，所以命題②是正確的；命題“?x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“?x∈R，x＋eq\f(1,x)<2”，所以命題③是錯誤的．故正確命題的個數為2，故選C．11．已知命題“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命題，則實數a的取值范圍為()A．(－∞，0) B．[0，4]C．[4，＋∞) D．(0，4)解析：選D．因為命題“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)≤0”是假命題，所以其否定“?x∈R，4x2＋(a－2)x＋eq\f(1,4)＞0”是真命題，則Δ＝(a－2)2－4×4×eq\f(1,4)＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故選D．12．(2024·南昌市第一次模擬測試)已知r>0，x，y∈R，p：“|x|＋eq\f(|y|,2)≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分條件，則實數r的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5))) B．(0，1]C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，＋∞)) D．[2，＋∞)解析：選A．由題意，命題p對應的是菱形及其內部，當x>0，y>0時，可得菱形的一邊所在的直線方程為x＋eq\f(y,2)＝1，即2x＋y－2＝0，由p是q的必要不充分條件，可得圓x2＋y2＝r2的圓心到直線2x＋y－2＝0的距離d＝eq\f(2,\r(4＋1))＝eq\f(2\r(5),5)≥r，又r>0，所以實數r的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5)))，故選A．二、填空題13．已知復數z滿意z(1－i)2＝1＋i(i為虛數單位)，則|z|＝________．解析：因為z＝－eq\f(1＋i,2i)＝eq\f(－1＋i,2)，所以|z|＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)14．以下四個說法中，正確的是________(填序號)．①雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x；②命題p：?x>0，x3>0，那么﹁p：?x0>0，xeq\o\al(3,0)≤0；③已知x，y∈R，若x2＋y2≠0，則x，y不全為0；④△ABC中，若AB>AC，則sinC>sin B．解析：①是正確的；對于②，命題p：?x>0，x3>0，﹁p：?x0>0，xeq\o\al(3,0)≤0，所以②是正確的；對于③，若x，y同時為0，則x2＋y2＝0，與已知沖突，故x，y不全為0；③正確；對于④，在△ABC中，大邊對大角，所以④正確．答案：①②③④15．(一題多解)設P，Q為兩個非空實數集合，定義集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{1，2}，Q＝{－1，0，1}，則集合P*Q中元素的個數為________．解析：法一(列舉法)：當b＝0時，無論a取何值，z＝ab＝1；當a＝1時，無論b取何值，ab＝1；當a＝2，b＝－1時，z＝2－1＝eq\f(1,2)；當a＝2，b＝1時，z＝21＝2.故P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，該集合中共有3個元素．法二(列表法)：因為a∈P，b∈Q，所以a的取值只能為1，2；b的取值只能為－1，0，1.z＝ab的不同運算結果如下表所示：ba－10111112eq\f(1,2)12由上表可知P*Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，2))，明顯該集合中共有3個元素．答案：316．已知命題p：?x∈[0，1]，a≥2x；命題q：?x∈R，使得x2＋4x＋a＝0.若命題“p∨q”是真命題，“﹁p∧q”是假命題，則實數a的取值范圍為________．解析：命題p為真，則a≥2x(x∈[0，1])恒成立，因為y＝2x在[0，1]上單調遞增，所以2x≤21＝2，故a≥2，即命題p為真時，實數a的取值集合為P＝{a|a≥2}．